高等數(shù)學(xué)在中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與教學(xué)中的影響

蔣紅瑛

（四川職業(yè)技術(shù)學(xué)院 教師教育學(xué)院，四川 遂寧 629000）

隨著我國教育事業(yè)的不斷進(jìn)步和發(fā)展，和大量的事實表明，如果想要更好的將數(shù)學(xué)知識的深度把握住，就需要把數(shù)學(xué)問題的背景和實質(zhì)都了解清楚。無論是學(xué)生對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)還是教師對數(shù)學(xué)的教授都必須轉(zhuǎn)變一些觀點，按照傳統(tǒng)的學(xué)習(xí)方法必然有所落后，當(dāng)我們轉(zhuǎn)變觀念，改變教學(xué)方法和學(xué)習(xí)方法，最終必定會提高效率。初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)之間在觀點上和在方法上都是有著很大區(qū)別的。也正是因為有區(qū)別，部分人就認(rèn)為學(xué)生不需要對高等數(shù)學(xué)的知識進(jìn)行了解，教師也只需要按照課本上所寫的講下去就可以了，其實這樣并不正確。如果我們在課堂上不能把高等數(shù)學(xué)知識讓學(xué)生有所了解，而知識僅僅停留在課本上是不行的，當(dāng)遇到一些數(shù)學(xué)問題用書本知識難以解決時，就會感覺很費勁。而高等數(shù)學(xué)是初等數(shù)學(xué)的延伸和發(fā)展，如果在中學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)中站在高等數(shù)學(xué)的角度來看中學(xué)數(shù)學(xué)的某些問題會更深刻、全面，更容易解答，也更容易培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識和邏輯思維能力。另一方面，初等數(shù)學(xué)里遺留了很多理論問題也只有在高等數(shù)學(xué)中才能夠得到徹底的證明。因此，高等數(shù)學(xué)在初等數(shù)學(xué)中必定有著極大的影響和作用。

一、高等數(shù)學(xué)與中學(xué)數(shù)學(xué)的關(guān)系

中學(xué)數(shù)學(xué)是常量數(shù)學(xué)和變量數(shù)學(xué)的初步知識，也是高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。而高等師范院校的數(shù)學(xué)專業(yè)，開設(shè)了門類眾多的高等數(shù)學(xué)課程，比如，數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)、解析幾何、概率統(tǒng)計、數(shù)論、實變函數(shù)、復(fù)變函數(shù)、拓?fù)鋵W(xué)等等，所開設(shè)的這些課程都是中學(xué)相應(yīng)課程內(nèi)容的加深，也是中學(xué)數(shù)學(xué)的進(jìn)一步拓展。通過高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，一是為了讓即將走上中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)崗位的畢業(yè)生具有一定的數(shù)學(xué)理論知識，能勝任中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)任務(wù)；二是為了讓畢業(yè)生能應(yīng)用所學(xué)的高等數(shù)學(xué)知識指導(dǎo)中學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)研究工作；三是為了讓畢業(yè)生有基礎(chǔ)繼續(xù)學(xué)習(xí)現(xiàn)代數(shù)學(xué)知識并提高自身數(shù)學(xué)素養(yǎng)[1]。因此，站在高等數(shù)學(xué)的角度來看中學(xué)數(shù)學(xué)，首先就應(yīng)該將中學(xué)數(shù)學(xué)中的一些公式、定理及概念和高等數(shù)學(xué)中相關(guān)的知識點聯(lián)系起來，這也是我們掌握高等數(shù)學(xué)和中學(xué)數(shù)學(xué)知識的關(guān)鍵點，對于學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)也有促進(jìn)作用。而我們又將高等數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法運用、滲透到中學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和教學(xué)中，找到兩者的結(jié)合點，這不僅能拓展學(xué)生的知識面，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和創(chuàng)新意識，而且能提高教學(xué)質(zhì)量和教學(xué)水平。

（一）知識方面的關(guān)系

高等數(shù)學(xué)雖然不同于初等數(shù)學(xué)，但是它又起源于初等數(shù)學(xué)。它的知識結(jié)構(gòu)是在中學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)上的進(jìn)一步提升，運用高等數(shù)學(xué)的一些知識體系理論我們可以很容易的將許多中學(xué)數(shù)學(xué)中沒有解釋清楚的問題解釋得更為清楚明白。例如，多項式的根及因式分解理論，中學(xué)生只了解并熟悉的一些簡單代數(shù)多項式的加、減、乘、除運算法則，多項式因式分解解題的幾種常用的方法：提取公因式法、公式法、十字相乘法、分組分解法，但是并未給出它的準(zhǔn)確定義，中學(xué)生對此理解肯定也就不深刻，而在高等代數(shù)中則進(jìn)一步拓寬了多項式的定義，且在嚴(yán)格定義了多項式的次數(shù)以及加法、乘法運算的基礎(chǔ)上再接著詮釋了多項式的整除理論，最大公因式理論。高等代數(shù)這部分知識點，一開始，運用不可約多項式的定義來嚴(yán)格的解釋了“不可再分”的含義，然后告訴了不可約多項式的性質(zhì)是什么、因式分解定理以及不可約多項式在幾種常見數(shù)域上的判定，層層遞進(jìn)，知識結(jié)構(gòu)全面且嚴(yán)謹(jǐn)[3]。下面我們舉個例子來說明，如因式分解x3- 11x2+ 31x- 21，單純用中學(xué)幾種常用方法來分解就有一點難度，但若結(jié)合高等代數(shù)的方法來做就特簡單：

從這道因式分解題的解答，我們不難發(fā)現(xiàn)，中學(xué)數(shù)學(xué)是基礎(chǔ)，高等代數(shù)是對中學(xué)數(shù)學(xué)的知識進(jìn)行驗證和拓展升華。它們知識點之間是互通的，是有著不可分割的聯(lián)系。只是高等代數(shù)在理解運用中會更加注重知識點的靈活性，也更便于學(xué)生靈活掌握、運用知識。

（二）思想方法的聯(lián)系

對于數(shù)學(xué)的思想和方法有許許多多，我們大體上可以把它分為三個層次來體現(xiàn)。在第一層次上，指的是對數(shù)學(xué)各分科的具體解題的方法和解題模式的理解和分類，就像我們所學(xué)的代數(shù)方法就有許多，如韋達(dá)定理法、判別式法、公式法、加減消元法、代入消元法、放縮法、錯位相消法、倒序相加法、數(shù)學(xué)歸納法等等有效方法都涉及在其中。除了代數(shù)方法，幾何中也有許多方法對圖形進(jìn)行很好的闡述，如對稱、相似、平移、旋轉(zhuǎn)、輔助線的作法、面積法、體積法、圖形及幾何體的割補方法，當(dāng)然還有三角形奠基法，這些方法在幾何圖形運用中具有非常重要的作用。除此之外，教師還會在具體的解答過程中得出一些解題技巧和答題方法，并對他們進(jìn)行歸納概括總結(jié)，因此，往往也會附加一些內(nèi)容在學(xué)生的課本上，對內(nèi)容以及公式方法的運用進(jìn)行補充說明，例如，書本上不僅僅只有簡單的專有模式，旁邊也會附帶許多詳細(xì)的解答方法或者解答過程以及運用原理。當(dāng)然，使用面很廣的通法，其實就是所謂的第二個層次，不僅僅只有換元法、降次法、待定系數(shù)法、分離系數(shù)法、數(shù)形結(jié)合法、參數(shù)法、同一法、反證法等運用廣闊，范圍大，而且還有比較與分類、分析與綜合、觀察與實驗、分解與組合、類比與聯(lián)想、歸納與演繹、抽象與概括等等文字上的題目，這些應(yīng)用范圍都很廣闊，我們經(jīng)常會加以應(yīng)用，它們頻繁的出現(xiàn)在我們的作業(yè)、考試以及生活應(yīng)用中；而所謂的第三層次指數(shù)學(xué)觀念，這個對我們做學(xué)術(shù)研究很有幫助，它就是人們對數(shù)學(xué)的基本看法以及概括認(rèn)識的不同理解，人們在不同意識上表現(xiàn)出差異，就像在整體意識、推理意識、化歸意識、抽象意識、數(shù)學(xué)美的意識等等都存在不同理解。人們在高等數(shù)學(xué)教育活動時，往往就會產(chǎn)生分歧，得到更多的思考，不同數(shù)學(xué)思想和知識結(jié)構(gòu)體系滲透在高等數(shù)學(xué)的各個分支上，互相穿插，互相交融，層層遞進(jìn)，緊密聯(lián)系。除上述所舉的思想和方法外，高等數(shù)學(xué)各分支學(xué)科中也滲透著許多新的思想和方法，體現(xiàn)于不同的運用當(dāng)中，如分析中的函數(shù)、極限法、微分法、積分法等等，它們之間緊密聯(lián)系，如加強數(shù)學(xué)建模的學(xué)習(xí)，會發(fā)現(xiàn)應(yīng)用這些數(shù)學(xué)思想能解決生活和科技中的許多問題。而空間解析幾何法和向量代數(shù)法是學(xué)習(xí)多元微積分的基礎(chǔ)，曲線積分法和曲面積分法又是多元函數(shù)積分學(xué)的重要組成部分，除此之外，高等代數(shù)中的求公因式法、線性方程組的矩陣解法、二次型的正負(fù)判定法、線性變換法等等都有其重要作用[2]。不管在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)、研究，還是生活中，都應(yīng)該重視這些思想和方法的訓(xùn)練和掌握，讓我們學(xué)會用數(shù)學(xué)思想和方法去思考問題，從而找到最有效的解決問題策略。長此以往，數(shù)學(xué)思想會愈加嚴(yán)謹(jǐn)，解題方法愈加多樣化，整體數(shù)學(xué)素養(yǎng)必將得到有效提升。

二、高等數(shù)學(xué)與中學(xué)數(shù)學(xué)的知識和教學(xué)的不同點

（一）知識的不同

知識肯定是具備一定的重復(fù)性。根據(jù)對如今新課標(biāo)下的各種中學(xué)數(shù)學(xué)教材分析，很多的知識學(xué)生都是有了自己的認(rèn)知，例如，導(dǎo)數(shù)的概念及計算、四則運算法則等知識，學(xué)生肯定都是掌握得很不錯了，但如果對這些知識點具體是怎么來的卻毫無知曉，因此對于復(fù)雜函數(shù)求導(dǎo)、求解等過程不容易得出答案。而在高等數(shù)學(xué)中，任何的知識點都有著更細(xì)致的原理，根據(jù)原理解決一些難題就更為容易。

高等數(shù)學(xué)與中學(xué)數(shù)學(xué)知識相關(guān)聯(lián)，知識重復(fù)存在，難以銜接的問題也存在，例如：在中學(xué)數(shù)學(xué)中對于三角函數(shù)的學(xué)習(xí)，大多數(shù)學(xué)生都是只知道正弦、余弦和正切和余切，其實三角函數(shù)還有正割和余割，積化和差、反三角函數(shù)、和差化積、萬能公式等，這些知識點對于大部分學(xué)生而言是不知道的。

（二）教學(xué)方法的不同

中學(xué)數(shù)學(xué)教師比較注重課堂教學(xué)，特別是近幾年，大多數(shù)的中學(xué)都是為了追求升學(xué)率，以至于教師在教授知識時，基本上將知識點生硬灌輸給學(xué)生，然后通過大量例題與習(xí)題來鞏固所學(xué)的知識點，搞題海戰(zhàn)術(shù)，從而讓學(xué)生能夠掌握并運用知識。而高等數(shù)學(xué)則是采取大班授課，一堂課有很多的知識點，教學(xué)內(nèi)容和中學(xué)相比較就多很多，并且知識點更加緊湊，教師一般來說都是在課堂上講解具體的知識要點，課堂習(xí)題練習(xí)基本上沒有，所有的知識點都需要學(xué)生在課后自己進(jìn)行歸納總結(jié)。

（三）知識反饋的不同

中學(xué)課余時間基本上是用來完成布置的相關(guān)作業(yè)，一般沒有多余的時間來仔細(xì)閱讀課本內(nèi)容，但接觸老師的時間十分充裕，有不懂的問題都能及時得到解決。而高校學(xué)生和老師接觸的時間僅限于在課堂上，學(xué)生和老師的交流通過QQ 和微信實現(xiàn)，除部分學(xué)生與老師交流較多以外，大部分學(xué)生和老師并無交流，因此只能通過拷貝課件與自學(xué)完成學(xué)業(yè)，得到學(xué)業(yè)反饋。

三、高等數(shù)學(xué)與中學(xué)數(shù)學(xué)的銜接途徑

（一）知識點的強化

中學(xué)數(shù)學(xué)是高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，中學(xué)數(shù)學(xué)所學(xué)的知識，例如，指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)等一些初等函數(shù)的基本性質(zhì)和運算，還有平面解析幾何中常見的曲線方程、圖形、不等式的性質(zhì)等，在高等數(shù)學(xué)的課堂上就不需要再進(jìn)行詳細(xì)解說了，僅僅需要簡單復(fù)習(xí)即可。當(dāng)然，在中學(xué)數(shù)學(xué)中有一些知識和在高等數(shù)學(xué)中涉及的角度和側(cè)重點是不同的，比如高三學(xué)習(xí)的微分，只需會用、會計算即可，而在高等數(shù)學(xué)中學(xué)習(xí)微分比較深入，然后學(xué)習(xí)積分，其積分就是微分的逆運算，二者聯(lián)系很緊密，教師一定不能認(rèn)為學(xué)生在中學(xué)已經(jīng)掌握好了微分，就絲毫不提微分，這樣就會造成高等數(shù)學(xué)和中學(xué)數(shù)學(xué)知識內(nèi)容上的脫節(jié)。

（二）找準(zhǔn)知識點和方法銜接

我們常將中學(xué)較深入的代數(shù)、幾何以及簡單的集合論初步、邏輯初步稱為中等數(shù)學(xué)，將其作為中小學(xué)階段的初等數(shù)學(xué)與大學(xué)階段的高等數(shù)學(xué)的過渡知識。在中學(xué)數(shù)學(xué)中所學(xué)的知識點和課后習(xí)題的解答是息息相關(guān)的，而高等數(shù)學(xué)則不是這樣，概念與邏輯聯(lián)系十分嚴(yán)謹(jǐn)，單純依靠習(xí)題并不能全面掌握相關(guān)理論，甚至對概念十分熟悉之后，拿到相對應(yīng)的習(xí)題也不一定會做。面對這樣的情況，培養(yǎng)學(xué)生邊看書邊思考的能力就顯得十分重要了，教師在習(xí)題的講解中可以和初等數(shù)學(xué)相比較，盡可能的選擇可以用初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)知識都能夠解決的問題，方法多，肯定解決得也快。運用兩種數(shù)學(xué)方法來解決問題，學(xué)生對于知識也更容易接受和掌握。

四、高等數(shù)學(xué)方法在中學(xué)數(shù)學(xué)中的靈活應(yīng)用

高等數(shù)學(xué)在知識上不僅僅是中學(xué)數(shù)學(xué)的拓展延伸，相比于現(xiàn)代數(shù)學(xué)，它也是基礎(chǔ)。中學(xué)數(shù)學(xué)教師總感覺高等數(shù)學(xué)在中學(xué)教學(xué)中用不上，我認(rèn)為這可能是兩者研究問題和處理問題在方式、方法上各自不同，所以它們也有很大的區(qū)別存在。也正因為有這樣的區(qū)別，我們更應(yīng)該用長遠(yuǎn)發(fā)展的眼光去看待中學(xué)數(shù)學(xué)的問題。而對于中學(xué)數(shù)學(xué)教師來說，除了掌握中學(xué)數(shù)學(xué)各種類型題和相對應(yīng)的解題方法以外，更重要的是善于采用高等數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)思想和解題方法去解決中學(xué)數(shù)學(xué)問題，尤其是一些用初等數(shù)學(xué)的方法難以解決或者說雖然能解，但解題過程顯得格外難、繁的數(shù)學(xué)題。否則，學(xué)生對這類知識點肯定就不容易掌握，如果采用高等數(shù)學(xué)就顯得輕而易舉。下面舉幾例說明。

（一）行列式在中學(xué)數(shù)學(xué)因式分解中的應(yīng)用

因式分解這個內(nèi)容也是中學(xué)數(shù)學(xué)中的一個十分重要的內(nèi)容，在中學(xué)數(shù)學(xué)中解決因式分解問題的方法有很多種，而有些因式分解的問題，我們在仔細(xì)觀察后發(fā)現(xiàn)它其實能夠構(gòu)造與之相對應(yīng)的行列式，我們再根據(jù)行列式的一些簡單性質(zhì)去解決這個問題，當(dāng)然也就會容易很多。

（二）微積分方法在求函數(shù)的極值、最值中的應(yīng)用[3]

我們采用微積分的數(shù)學(xué)思想很容易就解決了這個三元一次函數(shù)極值的問題，可見微積分在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中也是有很多便捷之處。

（三）微積分在高考試題中的應(yīng)用

在中學(xué)數(shù)學(xué)中，很多不等式的證明都可以運用微積分的方法計算，利用函數(shù)的增減性、微分中值定理等相關(guān)知識也可以將問題簡化[5]。在高考數(shù)學(xué)中的卷末往往都有一些關(guān)于導(dǎo)數(shù)的壓軸題，然而這些壓軸題大多數(shù)都是可以運用微積分相關(guān)知識點來求解的，當(dāng)然這些壓軸導(dǎo)數(shù)題除了運用高等數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)思想和解題方法以外，初等數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)思想和解題方法也是可以將其解決的，但兩者相比之下，高等數(shù)學(xué)的方法計算量小、不容易錯，這也是高等數(shù)學(xué)思想和方法在中學(xué)數(shù)學(xué)中應(yīng)用的優(yōu)勢。

五、結(jié)語

高等數(shù)學(xué)看似復(fù)雜難懂，其實高等數(shù)學(xué)的所有知識也是人們在日常生活中解決一些實際問題時慢慢被發(fā)現(xiàn)，隨著時間的變遷逐漸被驗證和歸納總結(jié)出來的，當(dāng)我們加深了對高等數(shù)學(xué)知識的理解以后，就會在頭腦中形成一個有層次的知識結(jié)構(gòu)網(wǎng)。雖然高等數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)思想和解題方法相對于初等數(shù)學(xué)來說十分的豐富，如果這些思想方法只是獨立的存在，可能也就沒有什么價值可言，但是如果將初等數(shù)學(xué)的思想、方法與高等數(shù)學(xué)的思想、方法兩者有機而完美地結(jié)合起來，在學(xué)習(xí)生活中也經(jīng)常用高等數(shù)學(xué)的思想和方法對初等數(shù)學(xué)中的有關(guān)問題進(jìn)行分析，肯定會從中受到不少的啟發(fā)。當(dāng)找到一種或者多種技巧性的解法時，也就為后面學(xué)習(xí)初等數(shù)學(xué)，解決初等數(shù)學(xué)的問題提供了幫助，化解了解初等數(shù)學(xué)習(xí)題時思想的僵化，從而也就避免了在解一些比較難的初等數(shù)學(xué)問題時表現(xiàn)出的束手無策。這在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式上也體現(xiàn)出了正遷移，解決中學(xué)數(shù)學(xué)問題的效率也能達(dá)到最優(yōu)化，也算是為解題提供了方便。