數(shù)學(xué)教材小欄目有大作用

邱志鵬

（湖北省公安縣甘家廠中學(xué) 湖北·荊州 434323）

伴隨著數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的更新，數(shù)學(xué)課程內(nèi)容也發(fā)生了變革,注重學(xué)生發(fā)展的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，應(yīng)該提供多樣化的活動(dòng)方式。新的《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（下面簡(jiǎn)稱《課標(biāo)》）指出，“要讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋與應(yīng)用的過(guò)程”，數(shù)學(xué)課程的內(nèi)容“應(yīng)當(dāng)是現(xiàn)實(shí)的、有意義的、富有挑戰(zhàn)性的，這些內(nèi)容要有利于學(xué)生主動(dòng)地進(jìn)行觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、驗(yàn)證、推理與交流”。由于數(shù)學(xué)課程內(nèi)容是現(xiàn)實(shí)的，并且“過(guò)程”成為了課程內(nèi)容的一部分，因此課程內(nèi)容本身就要求有意義的、與之匹配的學(xué)習(xí)方式。正是配合《課標(biāo)》的這種理念，在新教材中，我們不但可以看到在每章的最后都被編入章節(jié)相應(yīng)的“數(shù)學(xué)活動(dòng)”課，更可以發(fā)現(xiàn)幾乎在每個(gè)課時(shí)的小節(jié)里，都有“觀察”、“思考”、“探究”、“討論”、“歸納”等之類的學(xué)習(xí)引導(dǎo)欄目。在這些數(shù)學(xué)活動(dòng)的設(shè)置下，在這些欄目的引導(dǎo)下，在教師的輔助下，學(xué)生基本上可以以自己的能力，經(jīng)歷思考、探究、總結(jié)、交流的過(guò)程。教材這樣的課程設(shè)計(jì)對(duì)學(xué)生自身數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng)有很大的積極作用。就要求教師不能完全依賴于教材，而是要有創(chuàng)造地使用教材。新的教學(xué)理念又使很多教師對(duì)新教材有了全新的認(rèn)識(shí)，也更大膽的對(duì)教材內(nèi)容進(jìn)行優(yōu)化與拓展。這都給了教師很大的教學(xué)發(fā)揮空間，利用教材開(kāi)設(shè)形式各樣的數(shù)學(xué)活動(dòng)，充分展現(xiàn)“過(guò)程”。正是因?yàn)檫@樣，所以新教材的內(nèi)容彈性大、靈活性強(qiáng)，由于個(gè)人自身素質(zhì)與認(rèn)識(shí)的不同，不一樣的教材利用方式，不一樣的活動(dòng)設(shè)置方式，會(huì)產(chǎn)生不一樣的學(xué)習(xí)效果。所以對(duì)教材進(jìn)行二次開(kāi)發(fā)、創(chuàng)作是教師面臨的新問(wèn)題。

1 對(duì)數(shù)學(xué)活動(dòng)課的認(rèn)識(shí)

數(shù)學(xué)活動(dòng)就是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，探索、掌握和應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的活動(dòng)。簡(jiǎn)單地說(shuō)，在數(shù)學(xué)活動(dòng)中要有數(shù)學(xué)思考的含量。數(shù)學(xué)活動(dòng)不是一般的活動(dòng)，而是讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)化過(guò)程的活動(dòng)。數(shù)學(xué)化是指學(xué)習(xí)者從自己的現(xiàn)實(shí)出發(fā)，經(jīng)過(guò)自己的思考，得出有關(guān)數(shù)學(xué)結(jié)論的過(guò)程。這個(gè)過(guò)程是以學(xué)生探究為主，把交互式、多樣式、個(gè)性化的學(xué)習(xí)融合在一起；以活動(dòng)為基礎(chǔ)，激發(fā)學(xué)生積極的思維活動(dòng)，充分弘揚(yáng)學(xué)生的主動(dòng)性、能動(dòng)性、創(chuàng)造性；以活動(dòng)促發(fā)展，達(dá)到真正的主體性、能動(dòng)性、創(chuàng)造性，發(fā)展素質(zhì)全面提高之目的的一種教學(xué)手段。

數(shù)學(xué)活動(dòng)是建立在學(xué)生已有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上的研究發(fā)現(xiàn)型學(xué)習(xí)活動(dòng)，教師的工作重點(diǎn)應(yīng)當(dāng)用最快捷的方法教會(huì)學(xué)生自己獲取知識(shí)的方法，而不是知識(shí)傳授的方法，這是給予學(xué)生“獵槍”和“漁桿”的做法。只有教給學(xué)生學(xué)法，學(xué)生才會(huì)對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)“活”起來(lái)。所以應(yīng)該以問(wèn)題解決為龍頭，設(shè)置情境，展開(kāi)研究，從而發(fā)現(xiàn)“成果”——需要學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)。這里的“問(wèn)題解決”是：應(yīng)讓具備前一知識(shí)的學(xué)生去研究與前一知識(shí)有聯(lián)系的后一知識(shí)，在“問(wèn)題解決”中研究探討，完成知識(shí)的發(fā)現(xiàn)、理解和掌握，并歸納抽象成理性的知識(shí)。因此，需要構(gòu)建一個(gè)以問(wèn)題解決為學(xué)習(xí)過(guò)程的活動(dòng)學(xué)習(xí)模式，讓學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)、研究、探討、總結(jié)并獲取知識(shí)，這是一種課堂功能的轉(zhuǎn)換，即課堂不是教師教的課堂，而是學(xué)生學(xué)的課堂。這樣的數(shù)學(xué)活動(dòng)可以讓每一個(gè)學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)“動(dòng)”起來(lái)。而人教版教材所設(shè)的很多欄目，也正是契合了這樣的要求。

教材是課程專家、教學(xué)專家和一線教師集體智慧的結(jié)晶，教師教學(xué)是用教材教，而不是教教材。它是學(xué)生從事數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本素材，它為學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)提供了基本線索、基本內(nèi)容和主要的數(shù)學(xué)活動(dòng)機(jī)會(huì)。而對(duì)教師而言，教材是他們?cè)O(shè)計(jì)數(shù)學(xué)活動(dòng)的“源泉”，而不是“模式”。對(duì)學(xué)生而言，教材是他們從事數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“出發(fā)點(diǎn)”，而不是“終結(jié)點(diǎn)”。

2 數(shù)學(xué)活動(dòng)課實(shí)踐與操作

2.1 數(shù)學(xué)活動(dòng)有助于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解與辨析

不少學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解往往是知其然而不知其所以然。這就是要求教師在教學(xué)中不僅僅滿足對(duì)知識(shí)的講解與掌握，還要根據(jù)學(xué)生已有的知識(shí)背景和活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，提供大量操作、思考與交流的機(jī)會(huì)，讓學(xué)生在交流反思等活動(dòng)中，增加感性認(rèn)識(shí)、合情推理的意識(shí)，逐步加深對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解。

人教版七年級(jí)（下）第五章《5.1.2垂線》這節(jié)課中，教材設(shè)置了一個(gè)“探究”欄目。內(nèi)容是：（1）用三角尺或量角器畫(huà)已知直線 的垂線，這樣的垂線能畫(huà)出幾條？（2）經(jīng)過(guò)直線 上一點(diǎn)A畫(huà) 的垂線，這樣的垂線能畫(huà)出幾條？（3）經(jīng)過(guò)直線 外一點(diǎn)B畫(huà) 的垂線，這樣的垂線能畫(huà)出幾條？

這個(gè)欄目的設(shè)置，可以設(shè)計(jì)讓學(xué)生自主的進(jìn)行操作、思考、交流與總結(jié)的數(shù)學(xué)活動(dòng)。這樣學(xué)生參與的積極性高，主動(dòng)性強(qiáng)。對(duì)于作垂線的條數(shù)，學(xué)生會(huì)想到相應(yīng)的條件，并思考給出一個(gè)簡(jiǎn)要的結(jié)論。在交流總結(jié)中，相互辨析，相互修正。整個(gè)過(guò)程中，學(xué)生不僅理解和掌握了知識(shí)，而且也明白“過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直?！边@一定理的原由。對(duì)定理的認(rèn)識(shí)，不再是記憶，而是一種過(guò)程的再現(xiàn)，提高了學(xué)生對(duì)一些概念或是定理的辨別。為學(xué)生學(xué)習(xí)概念與定理，找到了一個(gè)很好的學(xué)習(xí)方法。還有，如從比賽中看列方程，也可以通過(guò)開(kāi)展類似的數(shù)學(xué)活動(dòng)。讓學(xué)生在活動(dòng)過(guò)程中學(xué)習(xí)相關(guān)的數(shù)學(xué)定理、解題方法。

2.2 數(shù)學(xué)活動(dòng)有助于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)現(xiàn)與證明

學(xué)生往往對(duì)一個(gè)章節(jié)、一個(gè)單元不能構(gòu)架出系統(tǒng)的知識(shí)結(jié)構(gòu)，難以真正理解知識(shí)前后間的相互聯(lián)系與運(yùn)用。這就是要求教師在教學(xué)中聯(lián)系前后章節(jié)的相關(guān)內(nèi)容，將知識(shí)與技能進(jìn)行適當(dāng)?shù)拇?lián)。這樣不但能讓學(xué)生活用已學(xué)的知識(shí)，更能讓學(xué)生活學(xué)將學(xué)的知識(shí)。

人教版八年級(jí)（上）第十四章《14.3.1.等腰三角形（一）》這節(jié)課中，教材一開(kāi)始就安排了一個(gè)“探究”欄目。學(xué)生在小學(xué)已經(jīng)接觸過(guò)等腰三角形，生活中也有許多等腰三角形的實(shí)例，學(xué)生對(duì)于等腰三角形并不陌生。因此，教科書(shū)并沒(méi)有通過(guò)舉出一些實(shí)例來(lái)引出等腰三角形的概念，而是直接通過(guò)一個(gè)“探究”欄目，讓學(xué)生自己剪出一個(gè)三角形。

教材是以軸對(duì)稱圖形①為切入點(diǎn)，在學(xué)生動(dòng)手操作的基礎(chǔ)上，通過(guò)學(xué)生觀察猜想，自主探究，證明應(yīng)用等方式學(xué)習(xí)，獲取新知。即：通過(guò)觀察及軸對(duì)稱知識(shí)的應(yīng)用，可以得出兩邊相等，同時(shí)也得出“像這樣有兩條邊相等的三角形，叫做等腰三角形?！边@樣的過(guò)程，完成了從感性到理性的知識(shí)發(fā)生發(fā)展的認(rèn)知。最后動(dòng)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，并加以對(duì)新知的應(yīng)用，做到學(xué)以致用。

在這節(jié)課的最后，教材又安排了一個(gè)“討論”欄目。教材仍是利用等腰三角形的軸對(duì)稱性，再次發(fā)現(xiàn)等腰三角形中許多相等的線段或角，如兩底角平分線、兩腰的中線，兩腰的高，以及教材中提到的一些線段和角等，這些性質(zhì)都與之前學(xué)習(xí)的等腰三角形性質(zhì)類同；并均可再次利用已學(xué)過(guò)的全等三角形和等腰三角形的性質(zhì)來(lái)證明這些結(jié)論。

當(dāng)前的教學(xué)，已不是單一的教授學(xué)生一個(gè)新的知識(shí)點(diǎn)，及對(duì)這個(gè)知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用。更為重要的是，通過(guò)這個(gè)知識(shí)點(diǎn)的教學(xué)，學(xué)生能從中學(xué)到，從發(fā)現(xiàn)新知到證實(shí)發(fā)現(xiàn)的能力。那樣，對(duì)于以后新的、未知的或是他們發(fā)現(xiàn)的知識(shí)，都可以由他們自身去探究，去證實(shí)并應(yīng)用。這就是新課程中，所推崇新的教學(xué)理念。

這節(jié)課的教學(xué)，在重視等腰三角形的性質(zhì)及性質(zhì)的證明與應(yīng)用的同時(shí)，作為教學(xué)者，我們更應(yīng)該讓學(xué)生體會(huì)學(xué)習(xí)的方法：這個(gè)只有等腰三角形擁有的特殊性質(zhì)，我們是通過(guò)動(dòng)手、觀察、發(fā)現(xiàn)的；并且運(yùn)用已學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)，通過(guò)推理證明，得到驗(yàn)證的；然后，在實(shí)踐中應(yīng)用能獲得應(yīng)用的，這樣的一個(gè)解決問(wèn)題的過(guò)程。使學(xué)生意識(shí)到，這種解決問(wèn)題的方法、學(xué)習(xí)知識(shí)的方式。

那么，“討論”欄目以及下一節(jié)課的《14.3.2等邊三角形》，就可以更為輕松的簡(jiǎn)單學(xué)習(xí)。甚至包括以后類似等腰梯形等新知識(shí)，都可以如法炮制。

2.3 數(shù)學(xué)活動(dòng)有助于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的探究與整合

教學(xué)來(lái)源與生活，但現(xiàn)在的學(xué)生往往對(duì)身邊的數(shù)學(xué)視而不見(jiàn)，很難從中尋找數(shù)學(xué)的樂(lè)趣。人教版教材中很多學(xué)生身邊的數(shù)學(xué)，利用這些我們可以通過(guò)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)和好奇心；引發(fā)學(xué)生有爭(zhēng)論，有發(fā)現(xiàn)、有創(chuàng)新；啟發(fā)學(xué)生豐富的想象力等等方式與手段，來(lái)實(shí)施對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)。這不但可以讓學(xué)生學(xué)會(huì)關(guān)注身邊的數(shù)學(xué)，更可以讓學(xué)生學(xué)到一系列知識(shí)的學(xué)習(xí)方法，一大類問(wèn)題的解決方法。

人教版八年級(jí)（下）第十八章《18.1.1.勾股定理（一）》這節(jié)課中，教材安排了“觀察”和“探究”欄目。

教材從觀察地磚開(kāi)始，利用特殊的等腰直角三角形，發(fā)現(xiàn)規(guī)律。并讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)以直角三角形兩直角邊為邊長(zhǎng)的正方形面積，和以斜邊為邊長(zhǎng)的正方形面積之間的關(guān)系。結(jié)合幾個(gè)直角三角形，歸納出勾股定理的命題。并利用面積法，對(duì)其進(jìn)行論證。使學(xué)生親身體驗(yàn)勾股定理的探索與驗(yàn)證過(guò)程。

這節(jié)課重在探索和證明勾股定理，并非對(duì)它的應(yīng)用。作為教學(xué)者，我們不但要教會(huì)學(xué)生各種探究和證明的方法。與此同時(shí)，更應(yīng)該讓學(xué)生明白，面對(duì)關(guān)于與平方有關(guān)的等式或是定理，我們都可以運(yùn)用面積法，實(shí)施證明。

在此之后，學(xué)生對(duì)于代數(shù)中有關(guān)于平方的整式乘法公式的幾何驗(yàn)證，就會(huì)以類似的思想方法來(lái)完成。這種方法，以后遇到類似的問(wèn)題，都可以用這種方法嘗試證明。

2.4 數(shù)學(xué)活動(dòng)有助于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的創(chuàng)新與反思

學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，也是新課程新理念所關(guān)注的。教師和學(xué)生要?jiǎng)?chuàng)造性的使用教材，對(duì)同一內(nèi)容或同一個(gè)知識(shí)點(diǎn)可借鑒不同的途徑與方式，并進(jìn)行融合，以設(shè)計(jì)更好的教學(xué)活動(dòng)。教師把握好教材，設(shè)計(jì)好問(wèn)題，引導(dǎo)好學(xué)生，使學(xué)生在活動(dòng)中勇于創(chuàng)新。

教材“信息技術(shù)應(yīng)用”的設(shè)置，也為學(xué)生的思維提供了更寬廣的創(chuàng)新空間。如人教版七年級(jí)（下）第五章相交線與平行線的《5.3平行線的性質(zhì)》之后安排了“探索兩條直線的位置關(guān)系”；八年級(jí)（上）第十一章一次函數(shù)的《11.1.3函數(shù)的圖象》之后安排了“用計(jì)算機(jī)畫(huà)函數(shù)圖象”等等，很多都利用電腦《幾何畫(huà)板》軟件來(lái)學(xué)習(xí)。

這些對(duì)學(xué)生所學(xué)知識(shí)的再一次認(rèn)識(shí)，給學(xué)生很強(qiáng)的直觀感，也有了對(duì)新知識(shí)驗(yàn)證的一種全新方法。而且學(xué)生對(duì)電腦操作總是充滿熱情。因此，學(xué)生對(duì)幾何上新知識(shí)的學(xué)習(xí)，都可自主的使用《幾何畫(huà)板》。有的學(xué)生甚至，開(kāi)始對(duì)冪函數(shù)等高等函數(shù)有了初步的印象。這種勇于探索，勇于創(chuàng)新的學(xué)習(xí)方法，將對(duì)學(xué)生今后的學(xué)習(xí)起到很大的作用。

《課標(biāo)》提出：“教師是學(xué)生數(shù)學(xué)活動(dòng)的組織者、引導(dǎo)者與合作者，教師要積極利用各種數(shù)學(xué)資源，創(chuàng)造性地使用教材，設(shè)計(jì)適合學(xué)生發(fā)展的教學(xué)過(guò)程。”新教材，當(dāng)然還有很多不同的處理，可以設(shè)計(jì)出不同的數(shù)學(xué)活動(dòng)。而這些數(shù)學(xué)活動(dòng)的教學(xué)也需要我們不斷地總結(jié)和反思，對(duì)于成功的模式和方法要進(jìn)行提煉和推廣，不理想或不成熟的活動(dòng)要不斷改善。使其轉(zhuǎn)化為難得的教育教學(xué)資源，為教學(xué)服務(wù)。只有用先進(jìn)的教育教學(xué)理念作指導(dǎo)，充分利用新教材的優(yōu)勢(shì)，設(shè)計(jì)出適合學(xué)生年齡特征和認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)活動(dòng)，才會(huì)有利于提高教育教學(xué)質(zhì)量，有利于學(xué)生學(xué)習(xí)和發(fā)展，更好的促進(jìn)數(shù)學(xué)教學(xué)。

注釋

① 人教版八年級(jí)(上)第十四章14.1軸對(duì)稱；14.2軸對(duì)稱變換