車輛跟馳的隨機優(yōu)化速度模型及其穩(wěn)定性分析

劉中華，舒思朝，吳子強，吳新燁

（廈門大學(xué)，建筑與土木工程學(xué)院，福建廈門 361005）

0 引言

為揭示車流引發(fā)擁堵的內(nèi)在機理，國內(nèi)外學(xué)者建立了各類交通流模型，其中，車輛跟馳模型對研究交通流特性和調(diào)控車流穩(wěn)定有著重要意義，引起眾多學(xué)者的關(guān)注。車輛跟馳理論是運用動力學(xué)方法，在單一車道上假定車輛無法超車且車頭間距在一定范圍內(nèi)，此時，后車跟隨前車行駛，車輛間產(chǎn)生相互作用并以運動方程描述這種相互作用。CHANDLER 等[1]基于刺激-反應(yīng)理論在20 世紀中葉提出GM 模型，GM 模型經(jīng)過眾多學(xué)者的深入研究，推動了微觀交通流理論的發(fā)展。此后，跟馳理論不斷豐富，BANDO 等[2]提出著名的優(yōu)化速度模型(OV)，受到廣泛的關(guān)注和應(yīng)用。HELBING 等[3]在發(fā)現(xiàn)前、后車負速度差的作用后，提出改進的廣義力模型(GF)。之后，JIANG等[4]在GF模型的基礎(chǔ)上同時考慮正、負速度差均產(chǎn)生影響，提出全速度差模型(FVD)。此后，許多學(xué)者在車輛跟馳模型上作出了重要貢獻。

以上模型均用確定性函數(shù)描述交通流特性，真實的交通流中存在著不可忽視的隨機現(xiàn)象，跟馳行為的隨機性客觀存在。王祺等[5]考慮交通流中的隨機性，發(fā)現(xiàn)了局部密度-速度的隨機分布特性。張建波等[6]提取快速路的車輛跟馳軌跡，得到車頭時距的隨機特征后，建立了隨機Newell 跟馳模型。ZHENG等[7]考慮駕駛員駕駛行為的隨機因素，建立隨機拉格朗日交通動力學(xué)模型。WAGNER 等[8]通過分析車輛軌跡數(shù)據(jù)后，發(fā)現(xiàn)許多跟馳車流產(chǎn)生波動的原因來自于駕駛員自身的隨機性。張繼業(yè)等[9]對交通流隨機行為進行分析，認為交通流隨機行為對實際交通控制有重要意義。

因此，考慮車流的隨機現(xiàn)象會使跟馳模型更加符合現(xiàn)實車流的性質(zhì)，本文基于優(yōu)化速度模型將駕駛員的靈敏度系數(shù)設(shè)定為相同的常數(shù)值，沒有考慮跟馳過程中駕駛員的靈敏度系數(shù)會產(chǎn)生隨機變化，將靈敏度系數(shù)模型化為高斯白噪聲過程，建立隨機優(yōu)化速度模型(SOV)，并進行隨機穩(wěn)定性分析和蒙特卡洛數(shù)值模擬，研究結(jié)果證實了靈敏度系數(shù)的噪聲強度對車流擾動傳播的影響。

1 隨機優(yōu)化模型建立

1.1 優(yōu)化速度模型

BANDO 等[2]引入有拐點的優(yōu)化速度函數(shù)，以加速度為研究項建立交通動力學(xué)方程，提出優(yōu)化速度模型，其系統(tǒng)動力學(xué)方程為

式中：a為駕駛員靈敏度常值系數(shù)；n為第n輛車，n=1,2,…,N，N為系統(tǒng)的車輛總數(shù)；t為時間；分別為第n輛車在時刻t的位置、速度、加速度；Δxn(t)=xn+1(t)-xn(t)為跟馳車輛n與第n+1 輛車在時刻t的車頭間距；V(·)為優(yōu)化速度函數(shù)，本文優(yōu)化速度函數(shù)表達式為

式中：hc為安全車頭間距，本文設(shè)hc=25 m ，優(yōu)化速度函數(shù)單調(diào)遞增且有上界。

1.2 隨機優(yōu)化速度模型

在傳統(tǒng)的優(yōu)化速度模型中，駕駛員的靈敏度系數(shù)始終為同一常數(shù)值，不會隨著行駛時間的推移而發(fā)生改變。但在現(xiàn)實車隊的行駛過程中，伴隨跟馳行為的持續(xù)，駕駛員駕駛狀態(tài)和駕駛環(huán)境出現(xiàn)變化，駕駛員的靈敏度系數(shù)也會出現(xiàn)微小的隨機變化?？紤]一隊靈敏度系數(shù)隨機變化的環(huán)形跟馳車流，如圖1所示。

圖1 靈敏度系數(shù)隨機變化的環(huán)形車流示意Fig.1 Schematic diagram of circular traffic flow with stochastic change of sensitivity coefficient

圖1(a)和圖1(b)分別表示系統(tǒng)車輛在t1時刻和t2時刻的駕駛場景。a1,…,an,…,a100為t1時刻系統(tǒng)車輛的駕駛員靈敏度系數(shù)；a′1,…,a′n,…,a′100為t2時刻系統(tǒng)車輛的駕駛員靈敏度系數(shù)。根據(jù)圖1描述的車流場景，在跟馳過程中可以將駕駛員的靈敏度系數(shù)模型化為一個高斯白噪聲過程，建立隨機交通動力學(xué)方程，得到隨機優(yōu)化速度模型為

式中：μ為靈敏度系數(shù)的均值函數(shù)；N(t)為單位高斯白噪聲；D為高斯白噪聲的噪聲強度，在模型中體現(xiàn)為靈敏度系數(shù)隨機波動的離散程度。

2 隨機穩(wěn)定性分析

交通流的穩(wěn)定性主要研究擾動對車流演化狀態(tài)的影響。若系統(tǒng)穩(wěn)定，擾動會隨著時間的推移慢慢消失；若系統(tǒng)不穩(wěn)定，擾動會隨著時間的推移發(fā)生傳播并增強，引發(fā)交通系統(tǒng)的擁堵。在隨機優(yōu)化速度模型中，通過對隨機動力方程的轉(zhuǎn)化，在周期性邊界條件下，應(yīng)用隨機動力學(xué)穩(wěn)定性理論的矩穩(wěn)定性分析系統(tǒng)的穩(wěn)定條件。假設(shè)系統(tǒng)車流在初始狀態(tài)是穩(wěn)定的，均勻車流的車頭間距為b，對應(yīng)的優(yōu)化速度為V(b)，此時，穩(wěn)定交通流的第n輛車位置為

若給車流系統(tǒng)施加一個微小的擾動yn(t)，則第n輛車的位置變?yōu)?/p>

將式(5)改寫為

求式(6)的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)，即

將式(6)～式(8)代入式(3)，對優(yōu)化速度函數(shù)進行Taylor 展開，忽略高階項后，得到關(guān)于yn(t)的SOV模型為

式中：f=V′(b)，V′(b)是V(hc)在hc=b處的導(dǎo)數(shù)。

令yn(t)=[φ(t)+ω(t)j] exp(nαkj)，其中，αk=和ω(t)分別為yn(t)的復(fù)變幅值的實數(shù)部分和虛數(shù)部分，然后將yn(t)代入式(9)，令其實部和虛部分別為零，化簡為

根據(jù)隨機動力學(xué)理論，設(shè)W(t)為單位維納隨機過程，單位高斯白噪聲N(t)可以看作單位維納過程W(t)的形式導(dǎo)數(shù)，則有

為進行隨機動力學(xué)穩(wěn)定性分析，先將式(10)轉(zhuǎn)化為斯特拉多諾維奇隨機微分方程，再轉(zhuǎn)化為伊藤隨機微分方程。為方便運算，作狀態(tài)變量轉(zhuǎn)換，令

將式(11)和式(12)代入式(10)，得到的斯特拉多諾維奇隨機微分方程，考慮Wong-zakai修正項可以將斯特拉多諾維奇隨機微分方程轉(zhuǎn)化為伊藤隨機微分方程，即

矩穩(wěn)定性[10]是隨機動力學(xué)中常用的判別穩(wěn)定性的方法，其適用條件包含：受數(shù)學(xué)或物理白噪聲隨機過程參激的線性系統(tǒng)；各自的矩方程是線性的；系統(tǒng)方程可以寫為伊藤隨機微分方程形式。根據(jù)上述分析，本文將駕駛員的靈敏度系數(shù)模型表示為高斯白噪聲，得到式(3)隨機模型。施加擾動后將其用Taylor 展開，并忽略其高階項，得到式(9)參激的線性隨機動力學(xué)方程。經(jīng)過代入轉(zhuǎn)化后得到式(13)伊藤隨機微分方程，且其各階方程均為線性方程。因此，矩穩(wěn)定性分析方法適用于本文模型穩(wěn)定性的判定。

在實際隨機系統(tǒng)中，通?？紤]用一階矩穩(wěn)定和二階矩穩(wěn)定描述隨機系統(tǒng)的穩(wěn)定性，矩穩(wěn)定性定義為

式中：E為求數(shù)學(xué)期望的表示符；i、j、k、l分別為φ1、φ2、ω1、ω2的階數(shù)。

對式(13)進行一階矩穩(wěn)定性計算，其一階矩形式為

利用式(13)和式(15)求得一階矩方程

式中：S1為一階矩方程的系數(shù)矩陣；令，得到S1的表達式為

將式(17)轉(zhuǎn)化為特征矩陣，求得特征方程，運用勞斯判據(jù)求出SOV 模型的一階矩穩(wěn)定性條件，將重復(fù)和明顯包含在內(nèi)的條件省略后，得到表達式為

二階矩穩(wěn)定性的求解需要用到隨機微分方程中的伊藤引理[10]，求解方式與一階矩穩(wěn)定性類似，在此不再贅述，SOV模型的二階矩穩(wěn)定性條件為

由于伊藤隨機微分方程的二階矩方程維數(shù)較高，得出的穩(wěn)定條件較為復(fù)雜。當(dāng)αk→0 時，可以得到矩穩(wěn)定條件臨界穩(wěn)定值，此時，一階矩穩(wěn)定臨界值與二階矩穩(wěn)定臨界值經(jīng)過化簡后，得到相同的臨界值，即

為直觀的表達隨機優(yōu)化速度模型的穩(wěn)定范圍，用式(20)和f=V′(b)得到車頭間距與靈敏度系數(shù)的穩(wěn)定臨界曲線，如圖2所示。

圖2 車頭間距與靈敏度系數(shù)的穩(wěn)定臨界曲線Fig.2 Stability critical curve of headway and sensitivity

由圖2可知，SOV模型的穩(wěn)定范圍由靈敏度系數(shù)的均值(μ)和噪聲強度(D)，以及車頭間距(b)共同決定；隨著噪聲強度的增大，穩(wěn)定區(qū)域會縮小。當(dāng)噪聲強度為零，靈敏度均值μ與OV模型的靈敏度常值系數(shù)a相等時，模型退化為確定性的OV 模型，穩(wěn)定臨界條件和穩(wěn)定區(qū)域同OV 模型得到的結(jié)論一致。

3 蒙特卡羅模擬

蒙特卡羅模擬是分析隨機系統(tǒng)的經(jīng)典方法，依據(jù)隨機過程的特性產(chǎn)生樣本函數(shù)，得到大量的響應(yīng)樣本后可以獲得相應(yīng)的統(tǒng)計量。應(yīng)用到隨機交通動力學(xué)方程中，通過模擬車流場景，觀察擾動傳播的特點進一步了解SOV模型的性質(zhì)。設(shè)循環(huán)邊界條件，在總長度為L的環(huán)形道路上，令車輛總數(shù)N=100；初始均勻車流的車頭間距為b；初始車速為v(0)，在模擬開始時，給頭車一個微小的擾動。

首先，為驗證隨機穩(wěn)定性分析中求得的矩穩(wěn)定性條件，在數(shù)值模擬中，設(shè)置不同的初始均勻車流的車頭間距和車速，以及不同的噪聲強度值，觀察不同參數(shù)組合下系統(tǒng)內(nèi)所有車輛的車速波動演化，確定數(shù)值模擬穩(wěn)定臨界點，形成模擬情形下的穩(wěn)定臨界曲線，如圖3(a)所示，數(shù)值模擬的穩(wěn)定臨界曲線與矩穩(wěn)定性分析得到的結(jié)果有較好的擬合。為進一步觀察擬合情況，設(shè)置初始車頭間距b=25 m，初始車速v(0)=15.3384 m·s-1，以及初始車頭間距b=15 m，初始車速v(0)=3.6413 m·s-1的兩個模擬場景，此時f值已經(jīng)確定。在設(shè)定不同噪聲強度值后，觀察模擬結(jié)果，得到兩個模擬場景的穩(wěn)定臨界曲線，如圖3(b)和3(c)所示，模擬得到的穩(wěn)定臨界曲線有較好的擬合，驗證了矩穩(wěn)定性分析的有效性。在之后的模擬場景中，設(shè)置初始均勻車流的車頭間距b=25 m，初始車速v(0)=15.3384 m·s-1。

圖3 數(shù)值模擬與解析解的穩(wěn)定臨界曲線對比Fig.3 Comparison of stability critical curves between numerical simulation and analytical solution

靈敏度系數(shù)的噪聲強度是研究隨機優(yōu)化速度模型的重要參數(shù)，噪聲強度代表了靈敏度系數(shù)波動的離散程度。為與確定性的OV模型進行對比，在圖4(a)中設(shè)置OV模型的靈敏度系數(shù)a=2.91 s-1，在圖4(b)中設(shè)置SOV 模型的靈敏度參數(shù)為μ=2.91 s-1，D=0.24 s-2。施加同樣大小的擾動后，模擬擾動傳播過程中300 s 內(nèi)的車頭間距波動情況，如圖4(a)和4(b)所示。當(dāng)SOV模型的靈敏度均值μ與OV 模型的靈敏度系數(shù)a在數(shù)值上相等時，由于SOV模型中靈敏度系數(shù)噪聲強度的存在，使得在擾動傳播過程中車頭間距的波動會比OV 模型更劇烈。

圖4 擾動傳播過程中車頭間距的波動Fig.4 Fluctuation of headway in process of disturbance propagation

然后，在SOV模型中設(shè)置不同的噪聲強度，圖5(a)中設(shè)置參數(shù)μ=2.91 s-1，D=0.12 s-2；圖5(b)中設(shè)置參數(shù)μ=2.91 s-1，D=0.30 s-2。施加同樣大小的擾動后，模擬擾動傳播過程中2000 s的車頭間距波動情況，可以觀察到在圖5(a)中，在2000 s里系統(tǒng)車輛的車頭間距一直在波動，但在這段時間內(nèi)的波動并沒有明顯的加劇，而圖5(b)中設(shè)置更大的噪聲強度后，在2000 s內(nèi)系統(tǒng)車輛的車頭間距波動越來越劇烈，按此趨勢最終會使交通系統(tǒng)陷入擁堵。

圖5 擾動傳播過程中車頭間距的波動Fig.5 Fluctuation of headway in process of disturbance propagation

遲滯環(huán)是用來描述系統(tǒng)內(nèi)所有車輛在不同車頭間距下，跟馳車速的最大值和最小值所形成的曲線。遲滯環(huán)表征擁堵流，因此，遲滯環(huán)越大表明系統(tǒng)車流越不穩(wěn)定，若系統(tǒng)車流在受到擾動后最終回到初始的穩(wěn)定狀態(tài)，那么遲滯環(huán)最終會縮小為一個點。設(shè)置相同的靈敏度系數(shù)均值μ=2.92 s-1，設(shè)置不同的靈敏度系數(shù)噪聲強度D=0.05 s-2，D=0.25 s-2,D=0.50 s-2，模擬第5000 s 時刻的遲滯環(huán)，模擬結(jié)果如圖6所示。

圖6 SOV模型不同噪聲強度的遲滯環(huán)Fig.6 Hysteresisloopsof SOVmodelwithdifferent noise intensity

當(dāng)D=0.50 s-2時遲滯環(huán)最大，系統(tǒng)車流的擁堵最嚴重。隨著噪聲強度的降低，遲滯環(huán)曲線縮小，當(dāng)D=0.05 s-2時遲滯環(huán)已經(jīng)幾乎縮小為一個點，此時，系統(tǒng)車流變得穩(wěn)定，車頭間距為25 m時所有車輛的車速接近初始速度。

通過與OV模型的對比模擬，以及在SOV模型中設(shè)置不同噪聲強度進行模擬，說明當(dāng)靈敏度系數(shù)的均值一定時，靈敏度系數(shù)的噪聲強度越大，擾動傳播的過程中會使得跟馳車流更容易產(chǎn)生波動，影響交通系統(tǒng)穩(wěn)定性。在現(xiàn)實車流中，假設(shè)駕駛員的靈敏度系數(shù)平均值處于某一水準時，則駕駛員的靈敏度系數(shù)隨機波動的離散程度會對系統(tǒng)車流的穩(wěn)定行駛造成影響，即駕駛員的駕駛狀態(tài)越不穩(wěn)定，在交通系統(tǒng)受到擾動后系統(tǒng)車流越容易產(chǎn)生擁堵。因此，SOV模型模擬的結(jié)果是符合現(xiàn)實車流的合理預(yù)測的。

上述分析得到關(guān)于靈敏度系數(shù)的噪聲強度在擾動傳播過程中會對系統(tǒng)車流的穩(wěn)定產(chǎn)生影響。為研究靈敏度系數(shù)的噪聲強度如何影響擾動傳播，在OV模型和SOV模型施加同樣的擾動，探究第49輛和第99 輛車的車速波動曲線。圖7(a)設(shè)置OV模型參數(shù)為a=2.91 s-1；圖7(b)設(shè)置SOV 模型的參數(shù)為μ=2.91 s-1，D=0.28 s-2。100～400 s 這個時段，可以觀察到SOV模型的車速波動振幅比OV模型更大。

圖7 擾動傳播過程中車速波動曲線Fig.7 Vehicle speed fluctuation curve in process of disturbance propagation

為更好地說明靈敏度系數(shù)的噪聲強度對車速波動振幅的影響，設(shè)置不同的噪聲強度值，在車流中間施加同樣的擾動后，以100～400 s 時段內(nèi)車速波動的標(biāo)準差為指標(biāo)反映波動振幅的大小。不同噪聲強度下的車速波動標(biāo)準差如表1所示。

表1 不同噪聲強度下的車速波動標(biāo)準差Table 1 Standard deviation of vehicle speed fluctuation under different noise intensity

由表1可知，噪聲強度越大，車速波動的標(biāo)準差越大，這與圖7所觀察到的現(xiàn)象一致，表明，如果駕駛員的靈敏度系數(shù)發(fā)生隨機波動，系統(tǒng)車流受到擾動后，時走時停的劇烈程度會增加。

4 結(jié)論

本文在優(yōu)化速度模型(OV)的基礎(chǔ)上，考慮駕駛員在跟馳過程中，由于駕駛狀態(tài)，駕駛環(huán)境等原因，駕駛員出現(xiàn)靈敏度系數(shù)變化的交通流隨機行為，將靈敏度系數(shù)模型化為高斯白噪聲過程，建立隨機優(yōu)化速度模型(SOV)。根據(jù)隨機動力學(xué)穩(wěn)定性理論，對隨機優(yōu)化速度模型進行矩穩(wěn)定性分析，得到SOV模型的一階和二階矩穩(wěn)定性條件的解析解。

對SOV 模型進行蒙特卡羅數(shù)值模擬，模擬結(jié)果表明：靈敏度系數(shù)的噪聲強度越大，擾動傳播過程中交通系統(tǒng)越容易產(chǎn)生擁堵，具體影響在擾動演化過程中的波動振幅上。靈敏度系數(shù)的噪聲強度在模型中代表靈敏度系數(shù)波動的離散程度，在現(xiàn)實車隊中，倘若駕駛員自身駕駛行為出現(xiàn)隨機性，駕駛員的靈敏度系數(shù)發(fā)生隨機波動，其波動的離散程度會對交通系統(tǒng)的穩(wěn)定行駛造成影響。SOV 模型隨機穩(wěn)定性分析的解析解和數(shù)值模擬的結(jié)果符合現(xiàn)實車流的常理推測。