廖山濤早年的生平經(jīng)歷與學(xué)術(shù)貢獻(xiàn)

王 濤

(中國科學(xué)院 自然科學(xué)史研究所,北京 100190)

廖山濤(1920-1997)是少數(shù)幾位具有國際聲譽(yù)與世界影響的中國數(shù)學(xué)家之一。1986年,第三世界科學(xué)院(1)第三世界科學(xué)院成立于1983年,現(xiàn)名世界科學(xué)院(2012-),曾用名發(fā)展中國家科學(xué)院(2004-2012)。中國科學(xué)院院長白春禮曾于2012-2018 年擔(dān)任世界科學(xué)院院長。將首次頒發(fā)的數(shù)學(xué)獎授予廖山濤,以獎勵他在球面周期變換和動力學(xué)的定性理論兩個不同數(shù)學(xué)領(lǐng)域中所做的基本貢獻(xiàn)。這是改革開放后中國數(shù)學(xué)家獲得的首個重要國際獎項。廖山濤在微分動力系統(tǒng)領(lǐng)域形成了一套獨(dú)特的研究體系,相關(guān)成果榮獲國家自然科學(xué)一等獎(1987年)與二等獎(1982年)。數(shù)學(xué)大師陳省身稱贊廖山濤:“對微分動力系統(tǒng)有獨(dú)特的貢獻(xiàn)。某些方面,如‘典范方程組’及‘阻礙集’等超出西洋?！?2)陳省身推薦信(1998年8月)著名科學(xué)家錢學(xué)森將廖山濤的微分動力體系作為他構(gòu)建系統(tǒng)科學(xué)的基礎(chǔ),并特別指出這是中國數(shù)學(xué)家自己提出的理論[1]。曾擔(dān)任過國際數(shù)學(xué)聯(lián)盟主席的帕里斯(J.Palis,1940-)更是對廖山濤推崇備至,他在2002年北京國際數(shù)學(xué)家大會的開幕式上講到:“中國數(shù)學(xué)這棵大樹是由陳省身、華羅庚、馮康、谷超豪、吳文俊和廖山濤,以及最近的丘成桐和田剛等人培育和奠基?！盵2]

與陳省身、華羅庚、吳文俊等人相比,學(xué)術(shù)界有關(guān)廖山濤的介紹與研究極少,主要散見于一些報紙期刊、現(xiàn)代數(shù)學(xué)史論著、數(shù)學(xué)家傳記與訪談等,比較系統(tǒng)的只有董鎮(zhèn)喜、文蘭、孫文祥為紀(jì)念廖山濤80周年誕辰編輯的文集《廖山濤論微分動力系統(tǒng)》[3]。2020年是廖山濤100周年誕辰,北京大學(xué)舉辦了“紀(jì)念廖山濤先生100周年誕辰暨微分動力系統(tǒng)研討會”(下稱“研討會”)?！读紊綕撐⒎謩恿ο到y(tǒng)》與“研討會”雖然都回顧了廖山濤的生平與成就,但主要限于他1956年回國任教以后。而廖山濤早年的生平經(jīng)歷仍有很多不清楚甚至錯誤的地方。受“研討會”主辦方的邀請,本文特別對這個問題進(jìn)行了初步探索和考察。

1 從衡山到西南聯(lián)大(1920-1946)

廖山濤,譜名文源,1920年1月4日出生于湖南省衡山縣后山地區(qū)(3)衡山縣地處湖南省中部偏東,因橫亙于縣境中部的南岳衡山而得名。衡山整體呈東北-西南走勢,將衡山縣天然分成兩個地區(qū),其中東南方向為前山地區(qū),西北方向則為后山地區(qū)。的一個農(nóng)村。據(jù) 《衡山廖氏八修族譜》記載,廖山濤的先祖為元朝時的廖思政。廖山濤的祖父廖六銘(4)原名樹勛,譜名先聲,字六銘,以字行。原配劉氏,生子哲城。繼配李氏,生四子:哲商、哲謀、哲書、哲經(jīng)。,從九品,因保舉軍功六品獲得五品翎頂。廖山濤的父親廖子豪(5)廖六銘與李氏第二子,原名嘉蟠,譜名哲謀,字子豪,以字行。,太學(xué)生,精通詩文與算術(shù),對廖山濤的教育十分嚴(yán)格。

1927年,廖山濤進(jìn)入家鄉(xiāng)小學(xué)讀初小。兩年后,廖山濤到附近的白山小學(xué)讀高小。白山小學(xué)1903年由白山書院改立,為衡山縣新學(xué)之始[4]。起初廖山濤學(xué)習(xí)極不用功,算術(shù)考試甚至得過0分。勉強(qiáng)畢業(yè)后父親安排廖山濤跟隨一位家塾先生繼續(xù)學(xué)習(xí),其間因逃學(xué)而受到父親重罰。幾個月后,廖山濤不再去私塾讀書,父親交給他一本四則算術(shù)應(yīng)用題。廖山濤發(fā)現(xiàn)有些題目非常困難,根本不知道怎么解。晚年他回顧該書時認(rèn)為這本書甚至比初中一年級的算術(shù)教本都要難。對于做不出的題目,廖山濤會隔一天再去思考,慢慢地就能做出一些題目了。久而久之,廖山濤發(fā)現(xiàn)所有的問題都不再困難,并且可以相當(dāng)快地解出來[5]49。1932年,廖山濤離開衡山縣,到位于衡陽的湖南私立道南中學(xué)(今衡陽外國語學(xué)校)讀初中。由于養(yǎng)成了自學(xué)習(xí)慣,廖山濤在道南中學(xué)的學(xué)習(xí)沒有遇到困難,可以說是一帆風(fēng)順。

1935年,廖山濤順利考入湖南省立長沙高級中學(xué)(今長沙一中)。長沙高級中學(xué)是當(dāng)時湖南省最好的高中之一。在高一的某次平面幾何測驗中,廖山濤覺得老師將自己的一道題目判錯。當(dāng)時廖山濤想找老師理論,但略微有些害怕,再加上那時許多老師是“跑教”(6)即上節(jié)課在一個學(xué)校教書,下節(jié)課則可能坐著黃包車到其他學(xué)校教書去了。,考慮到老師很忙而且學(xué)生也多,廖山濤突然萌生了一個想法:與其找老師去談,不如自己設(shè)法學(xué)得更好些。廖山濤開始到長沙的商務(wù)印書館與中華書局購買有關(guān)平面幾何作圖與軌跡問題的參考書。經(jīng)過一年半的課外時間,廖山濤幾乎讀遍了市面上的數(shù)學(xué)參考書。給廖山濤留下印象最深的是中華書局的一本譯著《幾何作圖題解法及其原理》,原書作者是丹麥數(shù)學(xué)家彼得森(J.Peterson,1839-1910)。這本書在每章的開頭用加粗字體介紹一些原理,這些原理字?jǐn)?shù)不多,寫得精練。接著便是用小號字體給出題目,累計有420道[6]。初看時廖山濤完全不懂,后來按照當(dāng)年在衡山自學(xué)的方法,問題不會時便停下來,思考幾天后再做,覺得略微懂些。過了一段時間,廖山濤終于看懂了第一章的原理,逐漸能做出一些題目。慢慢地,他竟將這本書讀完,并做出大部分題目。對于其中特別困難的問題,廖山濤想想停停,前后用了七八個月的時間才解決。這件事對廖山濤的影響很大[5]49-50。

1937年冬,廖山濤離開長沙,原因不得而知。1938年,廖山濤報考西南聯(lián)大數(shù)學(xué)系,成績據(jù)說是湖南省第一名(7)2020 年12月29日,采訪廖秀北先生。。這一點(diǎn)本文雖然暫未考證出結(jié)果,但據(jù)廖山濤在西南聯(lián)大的同學(xué)許淵沖(8)許淵沖(1921-2021),江西南昌人,北京大學(xué)教授,著名翻譯家,曾獲“翻譯文學(xué)終身成就獎”與國際翻譯界最高獎項之一的“北極光”杰出文學(xué)翻譯獎。初見廖山濤時的回憶:

廖山濤穿一件土布大褂……誰也看不出他是數(shù)學(xué)系考第一的新生。[7]

可以確定廖山濤的考試成績非常優(yōu)秀。當(dāng)年冬天(9)由于西南聯(lián)大遷到昆明費(fèi)了一些時間,所以新生入學(xué)的時間也相應(yīng)推遲。,廖山濤從衡山出發(fā)來到桂林,住在青年會辦的流亡青年寄宿站。寄宿站是一個大通間,放著二十多張床,憑證件可以免費(fèi)住宿。在這里廖山濤遇到了兩位同去西南聯(lián)大報到的新生,一位是數(shù)學(xué)系的鄧漢英(10)鄧漢英(1919-2007),江蘇蘇州人,后任南開大學(xué)數(shù)學(xué)系教授,并曾擔(dān)任系主任。,另一位則是外語系的許淵沖,他們3人在入學(xué)后又恰好被分在了同一間宿舍。前面提到許淵沖初次見到廖山濤的印象,即發(fā)生在桂林的寄宿站。

廖山濤在西南聯(lián)大時以湖南口音與數(shù)學(xué)成績在同學(xué)中出名,據(jù)許淵沖后來回憶:

廖山濤和我大一時都住北院22號宿舍,說一口土話,很不好懂; 有一次我發(fā)現(xiàn)了用6條直線畫20個三角形的方法,要考考他,不料他卻從理論上證明:只要不是平行線,都可以畫出20個。[8]

我只有感性經(jīng)驗,沒有理性知識,口里說不過他,心里卻不服氣。直到他后來當(dāng)選為第三世界科學(xué)院院士,才不得不服輸了。輸?shù)氖敲麣?并不是道理。因為我并不懂為什么6條直線能畫成20個三角形,但又說不出反面的理由。[9]60

西南聯(lián)大數(shù)學(xué)系當(dāng)時名師云集,不僅有姜立夫、楊武之、江澤涵等重量級元老,還有華羅庚、陳省身等學(xué)術(shù)新星。其中對廖山濤影響最大的是數(shù)學(xué)系主任江澤涵。江澤涵是最早將拓?fù)鋵W(xué)引入中國的數(shù)學(xué)家,堪稱中國拓?fù)鋵W(xué)的第一人。1939-1940年,江澤涵在數(shù)學(xué)系組織了拓?fù)鋵W(xué)討論班,參加的教授有陳省身、程毓淮、劉晉年、申又悵,助教孫樹本,研究生王湘浩、李盛華,本科生廖山濤等人[10]。拓?fù)鋵W(xué)主要研究拓?fù)淇臻g及其連續(xù)變化的性質(zhì),公認(rèn)比較難學(xué)。能在本科時就參與如此前沿的討論班,可以想見廖山濤的數(shù)學(xué)水平。

拓?fù)鋵W(xué)在20世紀(jì)30年代取得了迅猛發(fā)展,由于抽象代數(shù)工具的大量進(jìn)入,逐漸從組合拓?fù)渖墳榇鷶?shù)拓?fù)?其標(biāo)志性的事件是兩部經(jīng)典著作的問世。一本是塞弗特(H.Seifert,1907-1996)與施雷發(fā)(W.Threlfall,1888-1949)在1934年出版的《拓?fù)鋵W(xué)教程》(LehrbuchDerTopologie),另一本是亞歷山大洛夫(P.Alexandrov,1896-1982)與霍普夫(H.Hopf,1894-1971)于1935年出版的《拓?fù)鋵W(xué)》(Topologie)[11]。要想系統(tǒng)了解當(dāng)時拓?fù)鋵W(xué)的最新進(jìn)展,那就必須學(xué)習(xí)這兩本著作。

進(jìn)入西南聯(lián)大以后,廖山濤對自己提出了更高的要求,對自己認(rèn)為重要的數(shù)學(xué)著作進(jìn)行前后一貫的系統(tǒng)學(xué)習(xí)。即除了思維有條不紊外,還必須熟練到把書本合起來以后,書上的內(nèi)容在腦海中像放電影一樣,一幕幕不停地演出來的程度。為了學(xué)習(xí)拓?fù)?廖山濤決定系統(tǒng)閱讀前面提到的那兩本經(jīng)典名著。當(dāng)時西南聯(lián)大的數(shù)學(xué)書刊分歸三校所有。為了防止日軍轟炸受損,南開將運(yùn)抵昆明的數(shù)學(xué)資料存放在郊區(qū)的西山華亭寺海會塔,供師生閱覽,但不能外借[12]272。廖山濤與同班好友江澤堅(11)江澤堅(1921-2005),安徽旌德人,后任吉林大學(xué)數(shù)學(xué)系教授,數(shù)學(xué)研究所所長。經(jīng)常到西山華亭寺去讀書,甚至住在那里,這樣就免不了逃學(xué)。廖山濤在讀書時往往把書略微一翻,然后看定義、定理的陳述,但對于證明,則要求自己去想,絕不許自己輕易去看現(xiàn)成的。和廖山濤類似,江澤堅的學(xué)習(xí)方法也是全憑自己,連課都不愛聽,自稱在西南聯(lián)大時期“自由散漫、不守繩墨”[13]。

1942年春節(jié)之際,廖山濤與汪鴻儀在衡山結(jié)為夫妻。由于缺課較多又不耐管束,廖山濤有多門課程不及格。加之廖山濤在考試時常用一些自己的方法,閱卷的助教看不明白,又害怕廖山濤去找任課教授理論,有時只給他一個及格分?jǐn)?shù)(12)2020年12月29日,采訪廖秀北先生。。西南聯(lián)大教務(wù)規(guī)定如果部分課程不及格,畢業(yè)年限將會受到直接影響。再加上結(jié)婚以后經(jīng)濟(jì)壓力大增,廖山濤于1942年春從西南聯(lián)大肄業(yè),之后到云南呈貢縣中山中學(xué)任教。

不久之后廖山濤返回衡山,到位于湘鄉(xiāng)霞嶺的明德中學(xué)任教,主要講授幾何學(xué)。廖山濤講課時不像其他教師那樣注重板書和教學(xué)方法,但邏輯嚴(yán)謹(jǐn),不時引出一些問題讓學(xué)生們思考。其中有一位學(xué)生叫李傳信,后來成為清華大學(xué)黨委書記,對廖山濤的印象極為深刻[3]474-476。

1943年夏,廖山濤返回昆明,與江澤堅一同到西山華亭寺自學(xué)拓?fù)?。一年?廖山濤到昆明東郊的私立金江中學(xué)任教,同時仍獨(dú)立學(xué)習(xí)做研究?？谷諔?zhàn)爭勝利以后,廖山濤離開金江中學(xué),寄寓在江澤堅任教的南菁中學(xué),期間仍堅持自學(xué)拓?fù)?后返回衡山(13)2021年1月7日,采訪董鎮(zhèn)喜教授。。1946年夏,西南聯(lián)大結(jié)束了歷史使命,三校師生陸續(xù)復(fù)員遷回北平、天津。江澤涵一直惦記著廖山濤,趁此機(jī)會將他聘請到北京大學(xué)數(shù)學(xué)系擔(dān)任助教。

2 “中央研究院”時期(1947-1950)

回到北京大學(xué)以后,廖山濤主要跟隨江澤涵學(xué)習(xí)拓?fù)?參加他組織的拓?fù)鋵W(xué)討論班。當(dāng)時陳省身剛從美國訪問回來,奉姜立夫之命負(fù)責(zé)籌備“中央研究院”數(shù)學(xué)研究所。由于楊武之患病留昆、華羅庚出國等緣故,清華大學(xué)數(shù)學(xué)系的師資頗為緊張。有鑒于此,陳省身于1947年3月返回清華講課一學(xué)期[14]。當(dāng)年5月,江澤涵邀請陳省身來北大作報告,主題是拓?fù)鋵W(xué)。陳省身講到射影平面不能嵌入三維歐氏空間,廖山濤詢問其故,陳省身回答說是因為亞歷山大對偶定理(Alexander dual theorem)。那時吳文俊與曹錫華兩人跟隨陳省身也來到清華大學(xué),第一次認(rèn)識了廖山濤。據(jù)吳文俊回憶:“我也認(rèn)識了北方數(shù)學(xué)界的好多人,其中最有道理的是廖山濤?！盵15]61吳文俊認(rèn)為陳省身在大陸的學(xué)生中,真正成才的是兩個人,一個是他自己,另一個則是廖山濤[15]122。

很快,陳省身邀請廖山濤到數(shù)學(xué)所工作[3]397。此外,江澤涵還推薦了馬良與孫以豐,二人都是江澤涵拓?fù)溆懻摪嗟闹匾蓡T。當(dāng)年暑假,廖山濤與馬良、孫以豐一起到“中研院”數(shù)學(xué)所工作。數(shù)學(xué)所還有周毓麟(大同大學(xué))、葉彥謙(浙江大學(xué))、陳杰(四川大學(xué))等年輕人,其中廖山濤與葉彥謙分在同一間辦公室。原來數(shù)學(xué)所在成立之前,陳省身曾致函全國各著名大學(xué)的數(shù)學(xué)系,請他們推薦3年內(nèi)畢業(yè)的優(yōu)秀學(xué)生[16]。很快,數(shù)學(xué)所就聚集了一批像廖山濤這樣的年輕人,職稱均為助理員。

代數(shù)拓?fù)湓?0世紀(jì)40年代取得了進(jìn)一步的發(fā)展,主要是纖維叢與示性類的概念與理論的誕生。陳省身決定以這一學(xué)科培養(yǎng)新人,每周為助理員們講授代數(shù)拓?fù)湔n程。用廖山濤自己的說法,集中如此一大批年輕人去學(xué)習(xí)和研究拓?fù)鋵W(xué),在當(dāng)時的中國是史無前例的。陳省身給助理員們講過艾倫伯格(S.Eilenberg,1913-1987)的廣義同調(diào)論,惠特尼(H.Whitney,1907-1989)的上積與卡積,霍普夫空間的同調(diào)性質(zhì)等,內(nèi)容十分新穎。廖山濤大開眼界[3]398,很快便寫出了自己的第一篇論文[17],內(nèi)容是關(guān)于纖維空間的維數(shù)。

1948年10月,中國科學(xué)社、新中國數(shù)學(xué)會等十個學(xué)術(shù)團(tuán)體在南京組織了聯(lián)合年會。由于國民政府時局動蕩,與會的外地數(shù)學(xué)家們很少,這次會議幾乎成了陳省身及其弟子們的討論會。會議共宣讀論文27篇,其中廖山濤報告了《關(guān)于纖維束度數(shù)之研究》《不密ANR空間之研究》[18]。第一個報告的主要內(nèi)容見文獻(xiàn) [17],廖山濤一共給出了5個定理,其中定理1-3建立了具有特定性質(zhì)的纖維空間、基底空間,以及從纖維空間到基底空間的投影三者之間的聯(lián)系,定理4-5則給出了纖維空間具有相同維數(shù)的充分條件。第二個報告的主要內(nèi)容見文獻(xiàn) [19],廖山濤刻畫了兩類特定類型的空間是ANR的充要條件。ANR是絕對鄰域收縮核之意(absolute neighbourhood retract),由波蘭數(shù)學(xué)家波爾蘇克(K.Borsuk,1905-1982)引入,是代數(shù)拓?fù)渲型瑐愓摰闹匾拍钆c理論。陳克勝具體總結(jié)了廖山濤這兩篇論文的主要結(jié)果,見文獻(xiàn) [20]。

這次會議結(jié)束后不久,“中央研究院”決定搬遷到臺灣。數(shù)學(xué)所由于成立最晚,儀器設(shè)備也少,反而被列入最早搬遷之列。根據(jù)王作躍、郭金海的研究,鑒于形勢劇變,陳省身首先聯(lián)系了美國的學(xué)術(shù)同行請求幫助,繼而普林斯頓高等研究院的奧本海默(R.Oppenheimer,1904-1967)院長在10月底發(fā)來了那封著名的電報:如果我們做什么事可以便利你來美,請告知[21]。最終,陳省身于1948年12月31日舉家赴美。在出國前夕,陳省身計劃讓周毓麟、廖山濤等人首先和數(shù)學(xué)所一同遷往臺灣,然后再到美國去跟他讀博士。周毓麟考慮到臺灣遠(yuǎn)離家鄉(xiāng),更兼自己剛結(jié)婚不久,沒有同意。廖山濤愿意繼續(xù)研究拓?fù)鋵W(xué),他在幾個年輕人當(dāng)中成家較早,便把夫人和孩子送回了湖南老家,決定到臺灣[22]。

1949年2月,廖山濤與數(shù)學(xué)所的同事姜立夫、胡世楨、王憲鐘、楊忠道、陳杰一同遷往臺灣。初到臺灣時,數(shù)學(xué)所被安置在臺南桃園楊梅鎮(zhèn)的一個倉庫,條件非常艱苦。經(jīng)過努力,也通過私人關(guān)系,廖山濤他們終于在臺北位于廈門街臺灣大學(xué)的一個招待所里,找到了一間六個榻榻米大的房間,條件比在楊梅鎮(zhèn)好些,至少在白天可以上公園、逛街、逛書店。那時的境遇是找一個地方坐下來寫封信都很難。至于做研究,更是不可能的事情了[23]。

不久后數(shù)學(xué)所也搬遷到臺北,租用臺灣大學(xué)數(shù)學(xué)系的一個研究室辦公。臺灣大學(xué)在日占時期并沒有數(shù)學(xué)系,只有兩個日本數(shù)學(xué)教授松村宗治(S.Matumura,1887-1959)與加藤平左術(shù)門(H. Kato,1891-1975),分別研究微分幾何與和算[24]?？谷諔?zhàn)爭勝利后臺灣光復(fù),羅宗洛、陳建功、蘇步青、蔡邦華 4位教授奉命接收臺灣大學(xué)。蘇步青曾短暫擔(dān)任臺灣大學(xué)理學(xué)院的院長并創(chuàng)辦了數(shù)學(xué)系。那時臺灣大學(xué)數(shù)學(xué)系的師資非常薄弱,只有沈璿、施拱星、許振榮、項黼宸等人,沒有正教授。數(shù)學(xué)所遷到臺北以后,臺灣大學(xué)的數(shù)學(xué)師資增加了一倍。由于搬遷的緣故,數(shù)學(xué)所的所有遷臺人員均晉升了一級職稱,廖山濤則從助理員升為助理研究員,相當(dāng)于從助教晉升為講師[25]。

在極端困難的條件下,廖山濤仍然發(fā)表了2篇論文[26-27],署名單位為“中央研究院”與臺灣大學(xué)。在文獻(xiàn) [26] 中,廖山濤討論了多面體同倫群的生成元問題,刻畫了幾類特定多面體同倫群具有有限生成元的充要條件。在文獻(xiàn) [27] 中,廖山濤推廣了ANR與LC之間的聯(lián)系,指出p維分離度量空間是ANR當(dāng)且僅當(dāng)其是LCp。LC是局部可縮之意(Locally Contractible),由美國數(shù)學(xué)家萊夫謝茲(S.Lefchetz,1884-1972)引入,與ANR一樣是同倫論中的重要概念與理論。這篇論文的主要結(jié)果仍可見陳克勝的總結(jié)[20]。

1950年,廖山濤、楊忠道分別獲得了美國芝加哥大學(xué)與圖蘭大學(xué)的獎學(xué)金。為了給廖山濤、楊忠道籌措旅費(fèi),接替姜立夫代理所長的周鴻經(jīng)以留職留薪的辦法,補(bǔ)助他們每人700美元[28]。同年,他們二人離開臺灣到美國。廖山濤、楊忠道等人在臺灣的時間雖然短暫,但在臺期間堅持開展討論班,可以說開臺灣數(shù)學(xué)研究之先河[29]。

3 負(fù)笈美國與歸國(1950-1956)

到達(dá)芝加哥大學(xué)的第一天,廖山濤便去拜訪陳省身。陳省身希望他能做出好成果。1951年6月,廖山濤完成論文《同調(diào)球面周期變換的定理》(A theorem on periodic transformations of homology spheres)投稿至《數(shù)學(xué)年刊》(AnnalsofMathematics),第二年正式發(fā)表[30]。這篇論文推廣了史密斯(P.A.Smith,1900-1980)的周期變換不動點(diǎn)的定理:X是有限維的緊致豪斯道夫空間,同時是一個素數(shù)p階循環(huán)群上的同調(diào)球面,T為X上模p的周期變換,那么X在T下的不動點(diǎn)集是上r維同調(diào)球(-1≤r≤n)。廖山濤指出在史密斯的定理中,如果X的所有整系數(shù)上同調(diào)群是有限生成的話,則T由n-r的奇偶性來確定是否保持定向。

有一次陳省身與斯潘尼爾(E.Spanier,1921-1996)對廖山濤講了球面纖維叢的二次阻礙問題,并猜測了兩個公式。阻礙理論主要是通過代數(shù)不變量來判斷映射的可擴(kuò)張性,如果所得的初次阻礙為0,則可以定義二次阻礙。廖山濤思考了一天后告訴陳省身,他已想到了解決方法。1952年,廖山濤以此問題為核心,完成了博士論文《纖維叢的阻礙理論》(On the theory of obstructions of fiber bundles)并通過學(xué)位答辯。博士論文的內(nèi)容見文獻(xiàn) [31],1954年亦發(fā)表在《數(shù)學(xué)年刊》,其主要結(jié)果是證明了兩個公式

φ*Zm+2(f)=θ(f)∪φ*β(Sq2θ(f))+Sq2θ(f),m>2,

φ*Z4(f)=θ(f)∪φ*β(θ(f))∪θ(f)-θ(f)∪θ(f),m=2。

而當(dāng)構(gòu)造群是旋轉(zhuǎn)群時，上述公式可以簡化為

φ*Zm+2(f)=θ(f)∪φ*w2+Sq2θ(f),m>2,

該結(jié)果曾在1952年4月美國數(shù)學(xué)會在芝加哥召開的學(xué)術(shù)會議上宣讀過,其在同倫論中的重要性已經(jīng)被載入拓?fù)鋵W(xué)史[32]。

廖山濤本應(yīng)該是陳省身培養(yǎng)的第一個博士,然而獲得博士學(xué)位需要第二外語的成績,他的德語考試沒有通過,因此未能拿到學(xué)位。1953年,日本人野水克己(Katsumi Nomizu,1924-2008)在陳省身的指導(dǎo)下獲得博士學(xué)位,成為陳省身的第一個博士[33]。有一種說法是廖山濤的英語不好,其實是非常錯誤的。廖山濤講話的確有很重的口音,英語也不例外,但寫作卻不差。楊振寧曾對此印象深刻:

山濤在美國讀博士學(xué)位時,說一口湖南英語,也不好懂,幸虧他的導(dǎo)師陳省身是中國人,答辯才能通過。[8]

另據(jù)北京大學(xué)數(shù)學(xué)力學(xué)系1959級的學(xué)生唐云(現(xiàn)清華大學(xué)數(shù)學(xué)教授)回憶:

記得在1965年我們?nèi)ケR溝橋農(nóng)場勞動期間,我們的連長也姓唐,湖南人。在一次勞動休息時他突然問我:你們北大是否有個叫廖山濤的教授。我說就是我的老師,便好奇地問起他怎么知道的。他說小時候撿到一只藤箱,里面都是書。打開后看到有一本英文練習(xí)簿,封面上寫著“廖山濤”名字,里面的英文寫得非常漂亮。他便把那練習(xí)簿帶回家,作為自己英文書寫的范本。以后,他同我的關(guān)系不錯。我提出希望他設(shè)法能找到廖先生那只藤箱的下落。他口頭上答應(yīng)過,但我想十幾年以前的事,恐怕很難找尋到了。我們分手后就沒有再追尋。但從中也可看出,廖先生在中學(xué)時期英文基礎(chǔ)就相當(dāng)好。[34]

1952-1954年,廖山濤博士畢業(yè)以后到普林斯頓高等研究院數(shù)學(xué)研究所從事研究工作。高等研究院是世界上最著名的理論研究中心之一,創(chuàng)建之初即匯聚了愛因斯坦(A.Einstein,1879-1955)、馮·諾依曼(J.von Nemann,1903-1957)、外爾(H.Weyl,1885-1955)等學(xué)術(shù)大師,陳省身與華羅庚此前都曾在此擔(dān)任過訪問成員。廖山濤的家屬提供了兩封信件,第一封是1952年5月7日莫爾斯(M.Morse,1892-1977)致信廖山濤,全文如下:

親愛的廖山濤先生:

數(shù)學(xué)研究所已經(jīng)投票資助您3 500美元,以供您1952-53年在高等研究院從事研究。您對勒瑞(J.Leray,1906-1998)、惠特尼研究的這種類型的數(shù)學(xué)感興趣,而且我相信我們中的其他成員正在努力,并歡迎您加入我們的成員序列。很快您就會收到高等研究院奧本海默院長的正式任命。

秋季學(xué)期將開始于1952年9月29日,春季學(xué)期結(jié)束于1953年4月10日。研究院的辦公室非常緊張,以至于有必要為您在圖書館工作提供一個空間。您還應(yīng)當(dāng)知道普林斯頓的住房狀況最為關(guān)鍵,當(dāng)然如果您只需要一個房間的話,為您安排或許會稍微容易一些。

我們期待著秋天您與我們在一起。

真誠的莫爾斯

第二封信是1952年5月9日奧本海默給廖山濤的任命信,內(nèi)容如下:

廖山濤先生:

在數(shù)學(xué)研究所成員的推薦下,我想正式地向您提供高等研究院1952-53學(xué)年的成員資格。我們可以為您提供3 500美元的獎金,以幫助您支付旅行和在普林斯頓居住的費(fèi)用。

我們都非常榮幸地期待您與我們一起工作。

真誠的奧本海默

高等研究院數(shù)學(xué)研究所有著深厚的幾何與拓?fù)涞膫鹘y(tǒng)。廖山濤到高等研究院時,外爾與維布倫(O.Veblen,1880-1960)雖然已經(jīng)退休,但莫爾斯、亞歷山大(J.Alexander,1888-1971)與惠特尼等人正十分活躍。其中,莫爾斯正是江澤涵在美國攻讀博士時的導(dǎo)師。除了廖山濤以外,數(shù)學(xué)所還有兩位華人:楊振寧與李政道。其中楊振寧是永久成員,李政道則和廖山濤一樣是訪問成員。

在高等研究院期間,除了將博士論文的一部分整理成論文發(fā)表外[31],廖山濤還于1953年6月完成了另一篇論文《球面循環(huán)積的拓?fù)洹?On the topology of cyclic products of spheres)[35]。在這篇文章中,廖山濤完全決定了n維球面的q-循環(huán)積的兩種上同調(diào)H*(θn,p,Z)與H*(θn,p,Zp),并計算了θn,p中的斯廷羅德運(yùn)算。實際上,在論文[31]中,廖山濤正是將對稱積應(yīng)用到纖維叢的第二阻礙問題,并取得了突破。

1954-1955年,廖山濤到普林斯頓大學(xué)數(shù)學(xué)系做“訪問博士后研究員”,其實廖山濤那時仍沒有獲得博士學(xué)位。廖山濤博士畢業(yè)之后也曾數(shù)次回芝加哥參加第二外語的考試,然而每次都沒能通過。不過斯廷羅德(N.E.Steenrod,1910-1971)對廖山濤十分青睞,仍然招收他做博士后。斯廷羅德在代數(shù)拓?fù)漕I(lǐng)域非常知名,他在1951年出版的著作《纖維叢的拓?fù)洹?TheTopologyofFiberBundles)是關(guān)于纖維叢的標(biāo)準(zhǔn)參考書。其實,廖山濤的論文[31]在發(fā)表過程中曾受到過斯廷羅德的指導(dǎo),特別是后者建議采用Massey近期的研究成果作為起點(diǎn),使得原來笨重的證明得以大幅簡化。

1955年,陳省身努力說服了芝加哥的一些同事,終于使廖山濤獲得了博士學(xué)位。當(dāng)年9月,廖山濤離開普林斯頓大學(xué),來到俄克拉荷馬州農(nóng)礦學(xué)院數(shù)學(xué)系任教。多年來,廖山濤一直思念著祖國與親人,時刻準(zhǔn)備回國。然而朝鮮戰(zhàn)爭爆發(fā)以后,美國一度禁止中國理工科的留學(xué)生回國,甚至收走了他們的護(hù)照,部分人如錢學(xué)森還被FBI監(jiān)禁[36]。當(dāng)時美國的麥卡錫主義十分盛行,廖山濤的回國之路一直被封閉著。

中華人民共和國成立以后,高等教育部留學(xué)生管理司曾統(tǒng)計過一份被美扣留學(xué)生的部分名單,上面有錢學(xué)森、師昌緒、廖山濤等160人[37]。為了爭取回國,中國留學(xué)生同美國當(dāng)局進(jìn)行了積極斗爭,他們的家屬們也多次請求中國政府給予援助。汪鴻儀曾寫信給江澤涵請求幫助,這封信最終轉(zhuǎn)交給周恩來總理。中國政府為了使留學(xué)生能夠早日歸國做了多番努力。終于在1955年9月10日,中美兩國通過日內(nèi)瓦大使級談判達(dá)成了協(xié)議:雙方將采取適當(dāng)措施保障彼此在對方境內(nèi)的僑民能夠盡速行使返回的權(quán)利[38]。

得知可以回國后,廖山濤當(dāng)即向美國移民局申請回國,辦理各類回國的證明與證件。1956年春,日內(nèi)瓦談判的中方首席代表王炳南大使給廖山濤寫信,詢問他是否缺少路費(fèi),并告知尋求幫助的途徑。很快,廖山濤拿到了回國的船票,于4月3日從舊金山登上了威爾遜總統(tǒng)號客輪,并與鮑城志、高有煥、裴錫恒、斯重遙同船歸國。其中鮑城志曾在1954年聯(lián)合其他8位留學(xué)生共同給美國總統(tǒng)艾森豪威爾寫信[39]。

1956年4月30日,廖山濤等人途徑夏威夷、橫濱、馬尼拉、香港回到祖國,并在當(dāng)天到達(dá)廣州。五一期間,廖山濤等歸國人員受廣東教育廳的邀請到廣州體育館觀禮、憑吊黃花崗七十二烈士公墓、參觀中山大學(xué)與中國科學(xué)院廣東分院等機(jī)構(gòu)。5月4日,廖山濤等人接受了新華社記者的采訪,心情十分激動[40]。

廖山濤回國后,原本接受好友江澤堅的邀請到吉林大學(xué)任教,但江澤涵認(rèn)識到廖山濤的重要性,將其請回北京[15]122。1956年7月,廖山濤正式到北京大學(xué)數(shù)學(xué)力學(xué)系任教。汪鴻儀帶著兩個孩子也來到北京與廖山濤團(tuán)聚。從此廖山濤一直任教于北京大學(xué),在拓?fù)鋵W(xué)特別是微分動力系統(tǒng)取得了卓越的研究成果,培養(yǎng)了幾代數(shù)學(xué)家,為北京大學(xué)乃至中國數(shù)學(xué)的發(fā)展做出了不朽貢獻(xiàn)。

4 結(jié)語

廖山濤1956年回國任教之前的經(jīng)歷大致可以分為3個時期。第一個時期是從衡山到西南聯(lián)大,對應(yīng)的時間段大致為1920-1946年。通過對廖山濤家族進(jìn)行調(diào)研,可以發(fā)現(xiàn)廖山濤雖然受到了少量的家學(xué)傳承,更重要的應(yīng)該是他在幼年時期即養(yǎng)成了適合自己的學(xué)習(xí)方法——自學(xué)加深思,從而深刻影響到廖山濤的一生。1938年廖山濤考入西南聯(lián)大數(shù)學(xué)系,在江澤涵的影響下,對拓?fù)鋵W(xué)產(chǎn)生了極大興趣。由于學(xué)業(yè)成績、生活困難等因素,廖山濤最終于1942年肄業(yè)于西南聯(lián)大,其后輾轉(zhuǎn)于多所中學(xué)任教,期間仍堅持自學(xué)拓?fù)洹?/p>

第二個時期主要是在“中央研究院”數(shù)學(xué)研究所工作,對應(yīng)的時間段大致為1946-1950年。通過此前的自學(xué),廖山濤已經(jīng)打下了較為堅實的基礎(chǔ)。然而要想成長為一名數(shù)學(xué)家,還需要有大師來“點(diǎn)石成金”。幸運(yùn)的是,廖山濤遇到了陳省身。在陳省身的提點(diǎn)下,廖山濤開始進(jìn)入到數(shù)學(xué)研究的殿堂。特別是在他1949年跟隨中研院數(shù)學(xué)所遷往臺灣后,在極其艱苦的條件下仍積極開展研究工作。這一時期,廖山濤主要從事絕對鄰域收縮核的研究。應(yīng)當(dāng)指出,這些成果仍屬于推廣性質(zhì),他的研究能力尚未充分開發(fā)。

第三個時期是負(fù)笈美國,時間從1950年到1956年。這一時期,廖山濤先后在芝加哥大學(xué)、普林斯頓高等研究院、普林斯頓大學(xué)、俄克拉荷馬州農(nóng)礦學(xué)院求學(xué)與工作,與陳省身、斯潘尼爾、斯廷羅德等名家進(jìn)行交流與合作。廖山濤的研究領(lǐng)域也從絕對鄰域收縮核擴(kuò)展到球面的循環(huán)積與纖維叢的阻礙理論,觸及代數(shù)拓?fù)渑c微分拓?fù)涞暮诵?取得重要成果。留美時期對廖山濤回國之后的研究產(chǎn)生了深遠(yuǎn)影響。20世紀(jì)60年代,在相對隔絕的環(huán)境下,廖山濤將微分幾何中的活動標(biāo)架法與拓?fù)鋵W(xué)中的“阻礙類”應(yīng)用到微分動力系統(tǒng),開創(chuàng)了典范方程組與阻礙集理論,進(jìn)而在微分動力系統(tǒng)形成了一套獨(dú)特的研究體系,真正成長為一位世界級的數(shù)學(xué)家。

最后需要特別強(qiáng)調(diào)的是,廖山濤有著強(qiáng)烈的愛國精神。他于1956年克服種種困難堅定地回到祖國,積極參加社會主義建設(shè),為中國數(shù)學(xué)的發(fā)展貢獻(xiàn)了自己一生的力量。

致謝: 本文在寫作過程中采訪了廖山濤堂弟廖積熙、二子廖章林、三子廖秀北、堂侄廖理四位先生,以及北京大學(xué)文蘭院士、董鎮(zhèn)喜教授等人; 廖章林先生、廖秀北先生提供了部分寶貴的原始檔案資料與照片; 中國科學(xué)院自然科學(xué)史研究所潘澍原博士幫忙搜集、解讀了衡山廖氏家譜; 北京大學(xué)文蘭院士、北京師范大學(xué)-香港浸會大學(xué)聯(lián)合國際學(xué)院湯濤院士、河北師范大學(xué)鄧明立教授對本文的寫作給予了鼓勵與支持,特此致謝。