“三個(gè)和尚沒(méi)水喝” 問(wèn)題的心結(jié)與新解

張 悅 樂(lè)永琪 周艷國(guó)

(武漢大學(xué)土木建筑工程學(xué)院，武漢 430072)

俗話說(shuō)：“一個(gè)和尚挑水喝，兩個(gè)和尚抬水喝，三個(gè)和尚沒(méi)水喝”，這個(gè)問(wèn)題雖然簡(jiǎn)單但也很難解決，千百年來(lái)，為了達(dá)到三個(gè)和尚都滿意的公平，社會(huì)大眾提出了各種各樣的解決方案[1]，但大多都傾向于從管理以及合作的方面來(lái)解決問(wèn)題。本文另辟蹊徑，利用結(jié)構(gòu)力學(xué)理論[2-6]，從結(jié)構(gòu)的角度來(lái)解析為什么會(huì)出現(xiàn)這樣的問(wèn)題。一個(gè)和尚挑水，全部由一個(gè)人負(fù)擔(dān)，不存在公平性問(wèn)題。兩個(gè)和尚抬水，大家一人負(fù)擔(dān)一半，公平性問(wèn)題也很容易就解決了。但是在三個(gè)和尚抬水的問(wèn)題中，原因就復(fù)雜了，例如三人之間的配合問(wèn)題，負(fù)擔(dān)受力問(wèn)題，和尚本身?xiàng)l件問(wèn)題等。其中最重要的原因是，三個(gè)和尚的付出比較難以達(dá)到相同，用力學(xué)的語(yǔ)言描述即為，由于結(jié)構(gòu)體系受力等原因，三個(gè)和尚所承受的載荷不均等，彼此都認(rèn)為自己出了太多的力而不公平，使得合作無(wú)法繼續(xù)，因此會(huì)產(chǎn)生偷懶行為，從而更難滿足公平。本文就三個(gè)和尚抬水的力學(xué)模型問(wèn)題進(jìn)行簡(jiǎn)化并討論，將三個(gè)和尚載荷相同視為公平的基本條件，對(duì)基本的結(jié)構(gòu)力學(xué)模型進(jìn)行了一些優(yōu)化與改進(jìn)，并設(shè)計(jì)分析了新的結(jié)構(gòu)方案，以尋求達(dá)到公平所能采取的理論措施。為面對(duì)此類問(wèn)題的解決者(老和尚或決策協(xié)調(diào)者)提供多種解決方案。

1 三個(gè)和尚抬水問(wèn)題的簡(jiǎn)化

從力學(xué)簡(jiǎn)化模型上看，一個(gè)和尚挑水，獨(dú)自承受兩桶水的力P，此為有一個(gè)支撐的雙懸臂靜定梁結(jié)構(gòu)，如圖1 所示。

圖1

兩個(gè)和尚抬水，可以簡(jiǎn)化為一個(gè)兩端簡(jiǎn)支的簡(jiǎn)單靜定梁模型，如圖2 所示。

圖2

兩端支座載荷相同，因此也是公平的，只要兩個(gè)支座條件一致，即可保證公平。

但是在三個(gè)和尚抬水問(wèn)題中，可簡(jiǎn)化為有三個(gè)豎向支撐的超靜定連續(xù)梁結(jié)構(gòu)，導(dǎo)致三個(gè)和尚承受的載荷不均等，因此出現(xiàn)公平性問(wèn)題，使得合作無(wú)法繼續(xù)。

三個(gè)和尚抬水問(wèn)題的結(jié)構(gòu)計(jì)算簡(jiǎn)圖，采用一整根扁擔(dān)時(shí)為超靜定模型，如圖3(a) 所示，采用兩根扁擔(dān)時(shí)為靜定模型，如圖3(b) 所示，其中，L為兩個(gè)和尚肩膀之間的間距。

圖3

將扁擔(dān)簡(jiǎn)化成梁，即抗拉剛度EA遠(yuǎn)大于抗彎剛度EI且無(wú)剪切變形的桿件，將人簡(jiǎn)化為鏈桿支座。

對(duì)此基本的力學(xué)模型，超靜定結(jié)構(gòu)用力法進(jìn)行求解可得，兩側(cè)支座支反力為5P/16，中間支座支反力為11P/8，靜定結(jié)構(gòu)兩側(cè)支座支反力為P/2，中間支座支反力為P，無(wú)論是哪個(gè)模型，對(duì)三個(gè)和尚來(lái)說(shuō)都存在著明顯的載荷不均的現(xiàn)象，所以需要對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，改變結(jié)構(gòu)受力狀況，從而實(shí)現(xiàn)公平。而在結(jié)構(gòu)力學(xué)理論中，結(jié)構(gòu)分析模型的簡(jiǎn)化由以下內(nèi)容組成：結(jié)構(gòu)體系、桿件、結(jié)點(diǎn)、支座、載荷、材料等，這為結(jié)構(gòu)模型的選取和修改提供了設(shè)計(jì)分析思路。因此從以下六個(gè)方面進(jìn)行模型的修改和分析：改變結(jié)構(gòu)形式、改變結(jié)構(gòu)尺寸、改變載荷形式、改變載荷位置、改變支座形式、改變支座位置。

2 均等載荷方案

2.1 改變載荷位置

根據(jù)結(jié)構(gòu)力學(xué)理論，最簡(jiǎn)單的辦法是改變載荷位置，可以直接使得結(jié)構(gòu)的受力發(fā)生改變。這里同時(shí)討論了改變載荷位置對(duì)兩個(gè)模型(超靜定結(jié)構(gòu)和靜定結(jié)構(gòu)) 的影響。

2.1.1 超靜定結(jié)構(gòu)載荷偏移

對(duì)于超靜定結(jié)構(gòu)模型，載荷偏移模型結(jié)構(gòu)計(jì)算簡(jiǎn)圖如圖4 所示，其中，x為水桶重力P與端支座之間的距離。

圖4

對(duì)圖4 所示結(jié)構(gòu)，利用對(duì)稱性簡(jiǎn)化方法，取半結(jié)構(gòu)，并采用力法進(jìn)行計(jì)算，可求得兩側(cè)支座支反力F為

令F=2P/3，解得x ≈0.226L，此時(shí)三人載荷相等，達(dá)到公平。因此在實(shí)際中，可通過(guò)改變載荷的位置，使得三個(gè)和尚受力相同，達(dá)到公平。

2.1.2 靜定結(jié)構(gòu)載荷偏移

對(duì)于兩跨的靜定結(jié)構(gòu)模型，載荷偏移模型結(jié)構(gòu)計(jì)算簡(jiǎn)圖如圖5 所示。

圖5

按照靜定結(jié)構(gòu)求解方法，對(duì)單跨靜定梁進(jìn)行分析，當(dāng)x=L/3 時(shí)，兩端支座載荷為2P/3，中間支座載荷為2P/3，能夠使得三人載荷相同，達(dá)成公平條件。此模型方案中，注意中間支座處，兩根桿件的連接形式為鉸結(jié)構(gòu)造。

2.2 改變支座

2.2.1 改變支座位置

將中間支座給定下沉位移(以此模擬中間和尚的允許位移或偷懶行為)，示意圖如圖6 所示，其中Δ為支座位移。

圖6

對(duì)其求水桶重力P在結(jié)構(gòu)上產(chǎn)生的彎矩MP和支座位移Δ在結(jié)構(gòu)上產(chǎn)生的彎矩MΔ，彎矩圖如圖7 所示，計(jì)算可知，兩端支座支反力為若三人載荷相同，即滿足公平條件時(shí)，有F1=F2。此時(shí)解得Δ=17L3P/(144EI)

圖7

以上分析表明，在此方案模型中，可以發(fā)生中間支撐有Δ的下沉，也就是說(shuō)可允許處于中間位置的和尚有一定的“偷懶行為”，也可保證三個(gè)和尚出力相同，從而保證公平。

2.2.2 改變支座形式

將三個(gè)支座全部改為彈簧支座，結(jié)構(gòu)計(jì)算簡(jiǎn)圖如圖8 所示，其中，ki為彈簧支座剛度系數(shù)(i=1，2，3)。

圖8

計(jì)算可得，支反力關(guān)系為

當(dāng)滿足三支座支反力相同，達(dá)成公平條件時(shí)，有X1=X2=X3，代入式(4) 和式(5) 可以解出k1，k2，k3之間的關(guān)系式為

根據(jù)式(6) 可知，當(dāng)k1或k3增大時(shí)，X1=X3增大，X2減小。當(dāng)k2增大時(shí)，X2增大，X1=X3減小。取其中兩種特殊情況進(jìn)行證明，當(dāng)k1=k3=∞，k2= 96EI/(17L3) 或k1=k3= 48EI/L3，k2=96EI/(19L3)時(shí)，能夠達(dá)成公平條件，即X1=X2=X3= 2P/3。當(dāng)然，在符合式(6) 的條件下，還可以取得無(wú)限多組可以滿足公平條件的k1，k2，k3的解。

2.3 改變結(jié)構(gòu)形式

2.3.1 三人四桶結(jié)構(gòu)

為了采用更加靈活的手段(多個(gè)可調(diào)參數(shù))處理問(wèn)題，可采用不同的結(jié)構(gòu)形式，以及載荷大小與形式，采用三人四桶結(jié)構(gòu)形式，計(jì)算簡(jiǎn)圖如圖9 所示，其中，x為兩端水桶重力P2與兩側(cè)支座之間的距離。

圖9

將內(nèi)側(cè)的兩個(gè)水桶重量設(shè)為P1，兩端兩個(gè)水桶重量設(shè)為P2。解一次超靜定結(jié)構(gòu)，利用力法方程的變形協(xié)調(diào)條件可算得中間支座支反力為

即P1，P2，x，L滿足式(9) 時(shí)，將使得三人載荷相等，達(dá)到公平。簡(jiǎn)單地，當(dāng)x=L/4，P1= 2P2時(shí)，達(dá)到公平。此方案中，提供了三個(gè)參數(shù)，根據(jù)實(shí)際情況，依據(jù)式(9) 通過(guò)調(diào)整P1，P2，x的值，達(dá)到公平性的要求。

2.3.2 兩端為鉸支座的變截面結(jié)構(gòu)

將兩端長(zhǎng)為x的兩段桿變?yōu)榭箯潉偠葹閗EI的等截面桿。結(jié)構(gòu)計(jì)算簡(jiǎn)圖如圖10 所示。

圖10

為方便計(jì)算，利用結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性，取其半結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析，如圖11 所示，EI為桿的抗彎剛度，k為比例系數(shù)，x為抗彎剛度為kEI的等截面桿的長(zhǎng)度。

圖11

一次超靜定結(jié)構(gòu)，圖乘法可得力法方程中的系數(shù)項(xiàng)δ11=x3/(3kEI) + (L3-x3)/(3EI)，Δ1P=-[k(L-x)2(2L+x)P]/(6EI)，利用力法變形協(xié)調(diào)條件算得端支座支反力

式中，δ11為端支座在X1作用下產(chǎn)生的位移的比例系數(shù)，Δ1P為端支座處在水桶重力P作用下產(chǎn)生的位移。

為達(dá)成公平條件，即三人載荷相同，可知X1=2P/3，代入式(10) 可得

由此可知，當(dāng)x與k的關(guān)系滿足式(11) 時(shí)，能夠達(dá)成公平條件，使三個(gè)支座的載荷相同。取其中兩種特殊情況進(jìn)行證明，當(dāng)k= 3.210，x= 0.23 或k= 0.451，x= 0.22 時(shí)，求得X1= 0.666 7P，滿足公平條件。同理，在符合式(11) 的前提下還可以解出無(wú)限多組滿足公平條件的k和x的解。

2.3.3 兩端為固定端支座的變截面結(jié)構(gòu)

由結(jié)構(gòu)力學(xué)原理可知，若兩端支座由鉸支座更換為固定端支座，則兩端支座支反力將會(huì)增大，以此為先決條件，對(duì)變截面模型進(jìn)行進(jìn)一步優(yōu)化，如圖12 所示。

圖12

為方便計(jì)算，利用結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性，取其半結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析，如圖13 所示。

圖13

一次超靜定結(jié)構(gòu)，忽略桿件軸向變形，不考慮X3，圖乘法可得力法方程中的系數(shù)項(xiàng)

為達(dá)成公平條件，即三人載荷相同，可知X1=2P/3，代入式(12) 進(jìn)行求解可得

由此可知，當(dāng)x與k的關(guān)系滿足式(13) 時(shí)，能夠達(dá)成公平條件，使三個(gè)支座的載荷相同。取其中兩種特殊情況進(jìn)行證明，當(dāng)k= 7.28，x= 0.5 或k=28.11，x=0.6 時(shí)，求得X1=0.666 7P，滿足公平條件。同理，在符合式(13) 的前提下還可以解出無(wú)限多組滿足公平條件的k和x的解。

2.3.4 正三角架結(jié)構(gòu)

將結(jié)構(gòu)改造為空間受力體系，如圖14 所示，結(jié)構(gòu)桿件為布置在水平平面中的三角支架，而載荷位于面外，豎直方向。其中，Mi為支反力Xi在水桶重力P處產(chǎn)生的彎矩(i=1，2，3)。

圖14

正三角支架中部設(shè)置一個(gè)通過(guò)三角支架中心的橫梁，在中心處設(shè)置承重滾珠以保證水桶重力的作用線始終通過(guò)結(jié)構(gòu)中心。

3 實(shí)際應(yīng)用探究

3.1 各個(gè)方案的比較

各個(gè)方案中，方案一改變載荷位置為最簡(jiǎn)單的情況，簡(jiǎn)單改變載荷的作用位置，即可達(dá)到公平。

方案二改變支座稍顯復(fù)雜，2.2.1 中間支座下沉方案中，需要對(duì)扁擔(dān)材質(zhì)進(jìn)行解析，進(jìn)而求出公平條件達(dá)成時(shí)，中間支座的下沉高度，而在實(shí)際應(yīng)用中可能會(huì)出現(xiàn)挑水的三人兩強(qiáng)一弱或兩弱一強(qiáng)的情況，這時(shí)就可以適當(dāng)?shù)卣{(diào)整中間支座的下沉高度以適應(yīng)實(shí)際情況。2.2.2 三彈簧支座方案比較簡(jiǎn)單，可以依據(jù)實(shí)際應(yīng)用中挑水三人的身體狀況選擇不同彈性系數(shù)的彈簧支座，使得在絕大多數(shù)情況下都能夠保證公平條件的達(dá)成。

方案三改變結(jié)構(gòu)形式相對(duì)復(fù)雜，其中2.3.1 三人四桶結(jié)構(gòu)有多個(gè)可變參量，與方案一相比相對(duì)靈活，而且能夠在一個(gè)來(lái)回中運(yùn)輸更多的水桶，只需各參量之間的關(guān)系滿足式(9)，就能夠達(dá)到公平。2.3.2 和2.3.3 的變截面結(jié)構(gòu)相對(duì)繁瑣，但也不失為一種較好的解決方案，傳統(tǒng)的兩人三桶模型使得2.3.2 和2.3.3變截面模型較2.3.1 三人四桶結(jié)構(gòu)和2.3.4 三角架結(jié)構(gòu)更加靈活，適用于路面狀況相對(duì)復(fù)雜的地段。對(duì)于2.3.4 三角架結(jié)構(gòu)，要比其他結(jié)構(gòu)更為笨重，但適宜在路面寬闊的地帶三人合力運(yùn)輸一個(gè)大型水桶或其他物件，而且僅靠結(jié)構(gòu)本身就能夠?qū)崿F(xiàn)公平。

3.2 各個(gè)方案中的實(shí)際保證措施

3.2.1 靜定結(jié)構(gòu)中間鉸的實(shí)際應(yīng)用模型

靜定結(jié)構(gòu)中，中部需要將兩個(gè)扁擔(dān)鉸接，在實(shí)際應(yīng)用中可以在兩個(gè)扁擔(dān)的兩端開(kāi)小孔，使用肩帶(繩網(wǎng)) 連接再通過(guò)肩帶作用在人的肩上。

3.2.2 水桶位置固定的問(wèn)題

對(duì)于扁而平的扁擔(dān)，可以在對(duì)應(yīng)位置開(kāi)小孔嵌入掛鉤，使木桶掛在掛鉤上防止滑移。對(duì)于高而窄的梁式結(jié)構(gòu)，可以在對(duì)應(yīng)位置打磨一段不影響結(jié)構(gòu)受力特性的槽口，使水桶可以直接掛在指定位置。

3.2.3 支座沉降以及彈性支座的實(shí)際應(yīng)用模型

對(duì)于實(shí)際應(yīng)用中的支座沉降，可使扁擔(dān)在該點(diǎn)處截面與下部支座間事先預(yù)留出所需空間，待在水桶載荷作用下使截面產(chǎn)生豎直位移后，再作用于該支座上，起到支座沉降的效果。

關(guān)于實(shí)際應(yīng)用中的彈性支座，可以通過(guò)采用與扁擔(dān)聯(lián)結(jié)成為一個(gè)整體的彈性墊塊或剛度不同的彈性撐桿實(shí)現(xiàn)，將和尚與地面視為一個(gè)整體的剛性支座，即可簡(jiǎn)化為2.2.2 中的三彈簧模型。

3.2.4 實(shí)際應(yīng)用中的支反力檢測(cè)方法

在實(shí)際應(yīng)用中，由于超靜定結(jié)構(gòu)的特性，在X1=X2=X3以外的情況依舊能夠保持穩(wěn)定，但不滿足三個(gè)和尚載荷相同的公平條件。對(duì)于這種情況，參照新型鋼結(jié)構(gòu)建筑的應(yīng)力監(jiān)測(cè)系統(tǒng)[7]，可以考慮在三個(gè)支點(diǎn)處加裝壓力傳感器，用以實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)壓力狀況，將抖動(dòng)等因素產(chǎn)生的壓力變化計(jì)算在內(nèi)，設(shè)定正常壓力區(qū)間，在超出閾值時(shí)使用蜂鳴器進(jìn)行報(bào)警提醒，可以在一定程度上保證公平。

4 結(jié)論

對(duì)于三個(gè)和尚挑水的力學(xué)模型問(wèn)題，無(wú)論如何改變結(jié)構(gòu)，都可以總結(jié)為以下六點(diǎn)：改變結(jié)構(gòu)形式、改變結(jié)構(gòu)尺寸、改變載荷形式、改變載荷位置、改變支座形式、改變支座位置。

根據(jù)結(jié)構(gòu)力學(xué)理論，改變這六點(diǎn)中任意一點(diǎn)，或者同時(shí)改變其中幾點(diǎn)，都有可能求解出在理論上能夠達(dá)成目標(biāo)的結(jié)構(gòu)，但方法是否有效還需要聯(lián)系實(shí)際，如結(jié)構(gòu)的尺寸，材料的性質(zhì)等加以檢驗(yàn)。同時(shí)，對(duì)于不同的實(shí)際情況，各種結(jié)構(gòu)會(huì)有不一樣的實(shí)現(xiàn)難度，在這種條件下就需要權(quán)衡利弊，采用最適用于當(dāng)前狀況的結(jié)構(gòu)。