基于數(shù)學(xué)理解的函數(shù)概念教學(xué)

□嚴(yán)興光

（杭州第十四中學(xué)，浙江杭州310023）

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》（以下簡稱“《課標(biāo)》”）對高中函數(shù)概念的教學(xué)目標(biāo)作了如下闡述[1]：

在初中用變量之間的依賴關(guān)系描述函數(shù)的基礎(chǔ)上，用集合語言和對應(yīng)關(guān)系刻畫函數(shù)，建立完整的函數(shù)概念，體會集合語言和對應(yīng)關(guān)系在刻畫函數(shù)概念中的作用.了解構(gòu)成函數(shù)的要素，能求簡單函數(shù)的定義域.

那么，初中基于變量依賴關(guān)系描述函數(shù)概念對進(jìn)一步學(xué)習(xí)函數(shù)有哪些局限性呢？高中基于“對應(yīng)關(guān)系說”的函數(shù)概念有哪些優(yōu)點(diǎn)？教學(xué)中需要注意一些什么問題？應(yīng)該如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)？

一、從“變量說”到“對應(yīng)關(guān)系說”

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的主線，初中階段基于“變量說”的函數(shù)概念雖然較為一般地定義了兩個變量之間的關(guān)系，但是依然可以感知鮮明的物理背景.史寧中教授認(rèn)為，凡是用具體背景刻畫的數(shù)學(xué)概念必然會有表達(dá)不確切的地方，不可能實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)原理的一般化[2].可見，“變量說”的函數(shù)概念阻礙函數(shù)概念的進(jìn)一步抽象，不利于對函數(shù)性質(zhì)的研究，在函數(shù)形式的把握和函數(shù)性質(zhì)的研究方面帶來了很大困難，例如函數(shù)“y=1”和函數(shù)“y=sin2x+cos2x”是不是同一函數(shù)就很難回答.

而用對應(yīng)關(guān)系定義函數(shù)，不僅可以擺脫物理背景的束縛，還可以擺脫具體表達(dá)式的束縛，這意味著，研究函數(shù)時只需要思考是否存在一個對應(yīng)關(guān)系，而不用考慮是否有具體表達(dá)式，即只需要抓住兩個本質(zhì)要素——定義域與對應(yīng)關(guān)系，這就為研究函數(shù)帶來了極大的方便.同時，確定了函數(shù)的定義域，就可以在定義域上研究函數(shù)的性質(zhì)，為后續(xù)的函數(shù)研究打下基礎(chǔ).

雖然用對應(yīng)關(guān)系定義函數(shù)可以使函數(shù)的概念具有一般性，消除了用變量定義所引發(fā)的弊端，但在教學(xué)中必須解決定義過于抽象的問題.初中對函數(shù)的抽象過程可以理解為從感性具體到理性具體，而高中則是從理性具體到理性一般.因此，在教學(xué)過程中，必須先回顧初中階段關(guān)于函數(shù)的那些直觀內(nèi)容，降低起點(diǎn)，引發(fā)學(xué)生思考與交流，在對“對應(yīng)關(guān)系說”充分理解的基礎(chǔ)上，體會數(shù)學(xué)概念逐漸抽象的必要性.

二、基于數(shù)學(xué)理解的函數(shù)概念教學(xué)策略

函數(shù)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)中最重要、最基本的概念之一，也是描述客觀世界中變量關(guān)系和規(guī)律的最為基本的數(shù)學(xué)語言和工具，在解決實(shí)際問題中發(fā)揮著重要作用.但是函數(shù)概念抽象、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)奶攸c(diǎn)，使得其成為高中數(shù)學(xué)教學(xué)的難點(diǎn)之一.建構(gòu)主義理論認(rèn)為“數(shù)學(xué)知識不可能以實(shí)體的形式存在于個體之外”，真正的理解只能由學(xué)習(xí)者基于自己的經(jīng)驗(yàn)背景而自主建構(gòu).因此，教師必須列舉一些具體的函數(shù)表達(dá)式，說明抽象與具體之間的關(guān)聯(lián)，引導(dǎo)學(xué)生在認(rèn)識函數(shù)的基礎(chǔ)上建構(gòu)理解，并以理解帶動對函數(shù)的深入認(rèn)識.

（一）熟讀課標(biāo)，研透教材

《課標(biāo)》是教學(xué)的綱領(lǐng)性文件，它要求學(xué)生不僅把函數(shù)理解為刻畫變量之間依賴關(guān)系的數(shù)學(xué)語言和工具，也把函數(shù)理解為實(shí)數(shù)集合之間的對應(yīng)關(guān)系.教材是《課標(biāo)》意圖的直接反映，普通高中教科書《數(shù)學(xué)》從具體實(shí)例進(jìn)入知識的學(xué)習(xí)，從函數(shù)的現(xiàn)實(shí)背景實(shí)例出發(fā)，通過數(shù)學(xué)建模，歸納、抽象、概括出函數(shù)的三要素，層層引導(dǎo)學(xué)生建立“對應(yīng)關(guān)系說”的函數(shù)概念.整個研究過程體現(xiàn)了從具體（背景實(shí)例）到抽象（函數(shù)定義）的基本思路.

（二）合理設(shè)問，突破難點(diǎn)

函數(shù)概念非常抽象，教學(xué)中會碰到很多難點(diǎn)，比如如何讓學(xué)生通過比較、歸納、概括不同實(shí)例的共同特征，并由此抽象出函數(shù)概念.再如符號“y=f（x）”的含義，學(xué)生認(rèn)識不到函數(shù)概念的整體性，而將函數(shù)簡單地認(rèn)為就是對應(yīng)關(guān)系，甚至認(rèn)為函數(shù)就是函數(shù)值.如何把教材的知識內(nèi)容在課堂上呈現(xiàn)，突破難點(diǎn)？這需要教師巧妙地在教材的知識點(diǎn)間搭建容易讓學(xué)生攀爬的階梯，引導(dǎo)學(xué)生通過思考，從分析單個實(shí)例上升到概括一類實(shí)例具有的共同特征，理解函數(shù)概念的內(nèi)涵，得到研究方法的系統(tǒng)訓(xùn)練，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維能力，發(fā)展獨(dú)立解決問題的能力.

三、基于數(shù)學(xué)理解的函數(shù)概念教學(xué)片段

在函數(shù)概念教學(xué)中，需要先從初中已學(xué)習(xí)內(nèi)容以及日常經(jīng)驗(yàn)中舉例，突出“在學(xué)生初中已有函數(shù)認(rèn)識基礎(chǔ)上，通過實(shí)例歸納概括出函數(shù)的基本特征（要素），用集合與對應(yīng)的語言建立函數(shù)的概念”這一教學(xué)重點(diǎn)，體現(xiàn)“具體函數(shù)→一類函數(shù)→‘變量說’→‘集合—對應(yīng)說’”的抽象過程.

【片段一】請閱讀教材（注：普通高中教科書《數(shù)學(xué)》必修一“3.1函數(shù)的概念及其表示”，以下問題均出自本節(jié)，不另作說明）中的“問題1，問題2”，你能從函數(shù)的角度說說這兩個實(shí)例的同異點(diǎn)嗎？

生：相同點(diǎn)：解析式一樣，所以函數(shù)一樣.不同點(diǎn)：涉及的問題情境不一樣，并且自變量一個連續(xù)取值，一個離散取值，實(shí)例1中自變量取值為0≤t≤0.5，實(shí)例2中自變量取值為1，2，3，4，5，6.

師：我們學(xué)習(xí)了集合表示法，以后表達(dá)自變量的范圍通常都用集合表示，比如實(shí)例1中自變量取值為{t|0≤t≤0.5}，實(shí)例2中自變量取值為{1，2，3，4，5，6}.

問題1.1：對實(shí)例1，你能確定列車運(yùn)行1h后所行駛過的路程嗎？對實(shí)例2，你認(rèn)為有工人一周所獲取的工資為2450元嗎？為什么？

生：不能，實(shí)例1列車只勻速運(yùn)行了半小時，實(shí)例2工人一周最多只能拿到6天工資，即350×6=2100元.

問題1.2：如果將實(shí)例2中工人每天的工資改為400元，而其他條件不變，你認(rèn)為可用同樣的函數(shù)確定工人的一周工資嗎？為什么？

生：不能，函數(shù)的表達(dá)式變了，350元乘以天數(shù)應(yīng)該改為400元乘以天數(shù).

問題1.3：修改工資標(biāo)準(zhǔn)后，在確定工人一周工資的函數(shù)中，自變量的取值范圍與實(shí)例2中函數(shù)自變量的取值范圍是否一致？

生：一致，都是{1，2，3，4，5，6}.

問題1.4：你認(rèn)為是什么因素導(dǎo)致修改工資標(biāo)準(zhǔn)后，用以確定工人一周工資的函數(shù)不一樣？

生：函數(shù)的解析式（表達(dá)式）不同.

設(shè)計(jì)意圖：數(shù)學(xué)課堂需要站在學(xué)生的角度，基于學(xué)生已有的認(rèn)知水平開展教學(xué)，設(shè)計(jì)“基于學(xué)生”的問題開展教學(xué).通過問題串1.1，1.2引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，自變量取值范圍、函數(shù)值取值范圍是確定函數(shù)的要素，使學(xué)生體會用集合語言和對應(yīng)關(guān)系重新定義函數(shù)的必要性，又給出了用更高層次的數(shù)學(xué)語言抽象具體問題中對應(yīng)關(guān)系的示范.通過問題1.3和1.4，使學(xué)生在認(rèn)識函數(shù)自變量的取值范圍、函數(shù)值取值范圍是確定函數(shù)要素的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步認(rèn)識對應(yīng)關(guān)系是確定函數(shù)的另一重要因素.

【片段二】閱讀教材中的“問題3”，你認(rèn)為AQI的值I是時間t的函數(shù)嗎？如果是，你會如何確定自變量的取值范圍？你認(rèn)為函數(shù)值的取值范圍是B3={I|0

生1：I是時間t的函數(shù).

生2：I不是時間t的函數(shù)，因?yàn)闊o法寫出解析式.（眾點(diǎn)頭）

師：解析式是函數(shù)的一種表示方式，但并不是唯一表示方式，圖象、表格也可以表示函數(shù)，是不是函數(shù)關(guān)鍵在于對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與其對應(yīng).

問題2.1：你能用集合與對應(yīng)關(guān)系的語言描述一下實(shí)例3中的函數(shù)嗎？

生：對于數(shù)集A3={t|0≤t≤24}中的任意一個值t，都有唯一的元素（函數(shù)值）與它對應(yīng).

設(shè)計(jì)意圖：通過問題讓學(xué)生從圖象中進(jìn)一步體會函數(shù)對應(yīng)關(guān)系的重要性，以及對應(yīng)關(guān)系呈現(xiàn)方式的變化，初步理解函數(shù)的值域的概念，問題2.1幫助學(xué)生最終用集合與對應(yīng)關(guān)系的方式去理解I是時間t的函數(shù)做鋪墊.

【片段三】在教材中的“問題4”中，你認(rèn)為按表格（略）給出的對應(yīng)關(guān)系，恩格爾系數(shù)r是年份y的函數(shù)嗎？如果你認(rèn)為是函數(shù)，可用怎樣的語言來刻畫這個函數(shù)？

生：恩格爾系數(shù)r是年份y的函數(shù)，因?yàn)閷τ诿恳粋€確定的年份，都有唯一確定的恩格爾系數(shù)與其對應(yīng).

問題3.1：你認(rèn)為實(shí)例4中函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系是什么？與實(shí)例1~3相比較，你對函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系有什么認(rèn)識？

生1：實(shí)例4中函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系是年份和恩格爾系數(shù)之間的關(guān)系，通過表格描述這種對應(yīng)關(guān)系，與實(shí)例1~3相比較，對應(yīng)關(guān)系具有唯一的特征.

生2：年份具有任意性的特征.

問題3.2：你認(rèn)為實(shí)例4中函數(shù)值的取值范圍是B4={r|0

生：是的，應(yīng)該能取到0

設(shè)計(jì)意圖：通過問題使學(xué)生明確函數(shù)對應(yīng)關(guān)系不僅可以用解析式、圖象表示，還可以用表格表示，為抽象出函數(shù)對應(yīng)關(guān)系f做鋪墊.通過問題3.2，讓學(xué)生進(jìn)一步體會對應(yīng)關(guān)系、自變量取值范圍、函數(shù)值取值范圍是確定函數(shù)的三個要素.

【片段四】請對實(shí)例1~4中的函數(shù)進(jìn)行歸納，你能得到哪些共同特征？你能用比初中更精確的語言刻畫函數(shù)的本質(zhì)特征嗎？

［給學(xué)生提供充分思考的時間，引導(dǎo)學(xué)生重新回顧用集合與對應(yīng)關(guān)系刻畫函數(shù)的過程.如果學(xué)生歸納、概括有困難，可以給出相關(guān)圖表（略）幫助學(xué)生思考.］

生1：都包含兩個非空數(shù)集（用A，B來表示）.

生2：都有一個對應(yīng)關(guān)系（為了表示方便，我們用符號f統(tǒng)一表示對應(yīng)關(guān)系）.

生3：盡管表示方式不同，但它們都有如下特性：對于數(shù)集A中的任意一個數(shù)x，按照對應(yīng)關(guān)系f，在數(shù)集B中都有唯一確定的數(shù)y和它對應(yīng).

師：（介紹函數(shù)、自變量、值域等定義，略）我們把定義域、值域、對應(yīng)法則稱為函數(shù)的三要素.

問題4.1：你認(rèn)為由函數(shù)的定義域與對應(yīng)關(guān)系可以確定函數(shù)嗎？由函數(shù)的值域與對應(yīng)關(guān)系呢？

生1：由定義域與對應(yīng)關(guān)系確定函數(shù)應(yīng)該可以.

師：為什么？

生2：一個函數(shù)如果定義域與對應(yīng)關(guān)系定下來了，函數(shù)的值域就確定了，函數(shù)的值域與對應(yīng)關(guān)系好像不能確定定義域.

設(shè)計(jì)意圖：通過問題引導(dǎo)學(xué)生歸納4個案例的共同特性，讓學(xué)生經(jīng)歷歸納研究對象共性的一般過程，從而概括得到函數(shù)的一般概念.設(shè)計(jì)中特別注意循序漸進(jìn)地使學(xué)生理解函數(shù)符號y=f（x）的意義，幫助學(xué)生理解f既可以是一個解析式，也可以是圖象或表格.教學(xué)中讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)抽象過程，給出用集合與對應(yīng)關(guān)系刻畫的一般性函數(shù)概念.通過問題4.1從函數(shù)的概念抽象函數(shù)的三要素，幫助學(xué)生理解函數(shù)的本質(zhì)以及判斷兩個函數(shù)是否相同的標(biāo)準(zhǔn).

函數(shù)概念是貫穿于高中數(shù)學(xué)課程的主線，教學(xué)中要培養(yǎng)學(xué)生掌握研究函數(shù)的一般方法，即實(shí)際背景—抽象對應(yīng)關(guān)系—建立函數(shù)，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)，為后續(xù)研究冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等打下基礎(chǔ).同時，函數(shù)概念與方程、不等式、數(shù)列、立體幾何、解析幾何、概率等內(nèi)容有緊密的聯(lián)系，對這些內(nèi)容的學(xué)習(xí)有很大的影響.當(dāng)然，函數(shù)概念的高度抽象性，決定了對它的認(rèn)識過程的曲折性，即不可能一步到位，而是螺旋上升.