基于馬爾可夫模型的多點(diǎn)源誘偏系統(tǒng)作戰(zhàn)計(jì)算問(wèn)題*

任義冬，金家才，羅金亮

(國(guó)防科技大學(xué) 電子對(duì)抗學(xué)院，安徽 合肥 230037)

0 引言

反輻射武器是遂行壓制敵防空體系和摧毀防空雷達(dá)的“殺手锏”武器，具有機(jī)動(dòng)性好、突防能力強(qiáng)、效費(fèi)比和智能化程度高等優(yōu)點(diǎn)。為有效應(yīng)對(duì)反輻射武器的攻擊，防御方常在重要目標(biāo)周?chē)荚O(shè)誘餌與目標(biāo)共同組成多點(diǎn)源誘偏系統(tǒng)。在現(xiàn)代戰(zhàn)爭(zhēng)中作戰(zhàn)計(jì)算可為作戰(zhàn)指揮提供科學(xué)有效的參考依據(jù)，為此，研究多點(diǎn)源誘偏系統(tǒng)的作戰(zhàn)計(jì)算問(wèn)題對(duì)攻防雙方都具有重要意義。

當(dāng)前針對(duì)反輻射武器及其對(duì)目標(biāo)的毀傷概率分析[1-4]，以及在誘餌誘偏條件下反輻射武器攻擊過(guò)程的建模仿真[5-7]，以及誘偏系統(tǒng)抗反輻射攻擊[8-12]等問(wèn)題已有較多的研究，但對(duì)反輻射武器攻擊多點(diǎn)源誘偏系統(tǒng)時(shí)的毀傷概率與兵力計(jì)算研究相對(duì)較少。

本文針對(duì)反輻射武器對(duì)多點(diǎn)源誘偏系統(tǒng)的毀傷概率計(jì)算問(wèn)題，提出了基于馬爾可夫模型的計(jì)算方法，同時(shí)根據(jù)作戰(zhàn)任務(wù)要求，可以較好地計(jì)算出反輻射武器的兵力需求。防御方可以根據(jù)計(jì)算結(jié)果，相應(yīng)的優(yōu)化、修改目標(biāo)誘餌的布設(shè)，從而提高重要目標(biāo)的生存能力。

1 反輻射武器對(duì)單點(diǎn)源的毀傷概率

根據(jù)武器戰(zhàn)斗部對(duì)目標(biāo)的毀傷機(jī)理，毀傷概率可分為兩大類：命中毀傷概率和坐標(biāo)毀傷概率。由于一般的反輻射武器采用以近炸引信為主，觸發(fā)引信為輔的復(fù)合引信，戰(zhàn)斗部采用破片殺傷戰(zhàn)斗部，故反輻射武器對(duì)目標(biāo)的毀傷概率是坐標(biāo)毀傷概率。

1.1 相對(duì)速度坐標(biāo)系

在分析反輻射武器對(duì)目標(biāo)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)、瞄準(zhǔn)誤差或脫靶量時(shí)，通常采用相對(duì)速度坐標(biāo)系。相對(duì)速度坐標(biāo)系Oxyz如圖1所示，坐標(biāo)系原點(diǎn)O取在輻射源天線中心處。反輻射武器相對(duì)于目標(biāo)的攻擊方向沿x軸方向；z軸平行于水平面；y軸過(guò)原點(diǎn)O且垂直于x,z軸，與x,z軸共同組成右手坐標(biāo)系。

圖1 相對(duì)速度坐標(biāo)系Fig.1 Relative velocity coordinate system

1.2 毀傷概率表達(dá)式

反輻射武器的戰(zhàn)斗部在目標(biāo)附近爆炸之后，能否毀傷目標(biāo)與許多因素有關(guān)[13-15]：武器系統(tǒng)的制導(dǎo)誤差規(guī)律fd(y,z)；與制導(dǎo)誤差有關(guān)的引信引爆概率Φd2(y,z)；引信引爆點(diǎn)沿Ox軸的散布規(guī)律φd1(x)；在引信引爆點(diǎn)沿Ox軸的散布規(guī)律φd1(x)下，戰(zhàn)斗部對(duì)目標(biāo)的毀傷概率Gx。即可得到反輻射武器對(duì)單點(diǎn)源的毀傷概率公式為

(1)

其中，

(2)

(3)

(4)

(5)

式中：R為反輻射武器有效毀傷半徑；Rf為引信引爆半徑；Rf0為引信的平均引爆半徑;σRf為引信引爆半徑的標(biāo)準(zhǔn)差;mxf為引信引爆點(diǎn)沿x軸散布的平均值;σxf為引信引爆點(diǎn)沿x軸散布的標(biāo)準(zhǔn)差;y0,z0為彈著點(diǎn)y,z的數(shù)學(xué)期望;σy,σz為標(biāo)準(zhǔn)差。上式(1)可以借助數(shù)值積分的方法，利用計(jì)算機(jī)求解。

2 反輻射武器對(duì)多點(diǎn)源的毀傷概率

在多點(diǎn)源誘偏系統(tǒng)中，當(dāng)反輻射武器被動(dòng)雷達(dá)導(dǎo)引頭對(duì)目標(biāo)信號(hào)進(jìn)行搜索時(shí)，一般會(huì)有多個(gè)點(diǎn)源同時(shí)在導(dǎo)引頭的分辨角內(nèi)，隨著反輻射武器俯沖高度的下降，一部分點(diǎn)源與導(dǎo)引頭的張角會(huì)逐漸大于導(dǎo)引頭分辨角，繼而脫離反輻射武器的打擊范圍。所以可以將反輻射武器對(duì)多點(diǎn)源誘偏系統(tǒng)的攻擊分為2種情況：①反輻射武器導(dǎo)引頭能將所有點(diǎn)源分辨開(kāi)；②反輻射武器導(dǎo)引頭不能將所有點(diǎn)源分辨開(kāi)。根據(jù)此2種情況可分別計(jì)算出反輻射武器對(duì)目標(biāo)的毀傷概率，并依據(jù)任務(wù)要求計(jì)算出所需兵力。

2.1 反輻射武器對(duì)多點(diǎn)源的瞄準(zhǔn)點(diǎn)坐標(biāo)

當(dāng)反輻射武器導(dǎo)引頭能將所有點(diǎn)源分辨開(kāi)時(shí)。其結(jié)果是反輻射武器對(duì)多點(diǎn)源誘偏系統(tǒng)中的某一個(gè)點(diǎn)源進(jìn)行打擊，則最終對(duì)點(diǎn)源的毀傷概率可用單點(diǎn)源的毀傷概率進(jìn)行計(jì)算。由于多點(diǎn)源誘偏系統(tǒng)其誘餌與目標(biāo)之間的信號(hào)特征(如載頻、重復(fù)頻率、脈沖寬度等)、極化方式、發(fā)射功率等近似相同，則反輻射武器對(duì)各點(diǎn)源的選擇是等概率的。

當(dāng)反輻射武器導(dǎo)引頭不能將所有點(diǎn)源分辨開(kāi)時(shí)。其結(jié)果是反輻射武器對(duì)多點(diǎn)源誘偏系統(tǒng)中最終不能分辨的點(diǎn)源進(jìn)行打擊。在相對(duì)速度坐標(biāo)系下，根據(jù)多點(diǎn)源誘偏系統(tǒng)誘偏公式[9]可求得瞄準(zhǔn)點(diǎn)的坐標(biāo)為

(6)

(7)

式中：n為不能分辨的點(diǎn)源數(shù)；Emi，Emk為第i,k個(gè)點(diǎn)源發(fā)射信號(hào)在反輻射武器被動(dòng)雷達(dá)導(dǎo)引頭處電場(chǎng)強(qiáng)度幅值;(xA，yA，zA)為反輻射武器坐標(biāo);(xk，yk，zk)為第k個(gè)點(diǎn)源坐標(biāo);λk為第k個(gè)點(diǎn)源波長(zhǎng);(φi-φk)為第i個(gè)和第k個(gè)點(diǎn)源輻射信號(hào)在反輻射武器被動(dòng)雷達(dá)導(dǎo)引頭處的相位差。

在實(shí)際系統(tǒng)中，鑒相器輸出端、檢波器及自動(dòng)增益控制電路中的低頻濾波器，能夠?yàn)V掉信號(hào)中含有cos Δφik因子的全部信號(hào)成分。則瞄準(zhǔn)點(diǎn)的坐標(biāo)可化簡(jiǎn)為

(8)

(9)

當(dāng)各點(diǎn)源載波近似相同，且各點(diǎn)源在Oyz平面內(nèi)且距離反輻射武器較遠(yuǎn)時(shí)，瞄準(zhǔn)點(diǎn)坐標(biāo)進(jìn)一步化簡(jiǎn)為

(10)

(11)

此即各點(diǎn)源功率質(zhì)心坐標(biāo)。當(dāng)各點(diǎn)源輻射信號(hào)在反輻射武器出電場(chǎng)強(qiáng)度幅值近似相等時(shí)，可將瞄準(zhǔn)點(diǎn)的坐標(biāo)可化簡(jiǎn)為

(12)

(13)

即此時(shí)反輻射武器的瞄準(zhǔn)點(diǎn)坐標(biāo)為不能分辨的各點(diǎn)源坐標(biāo)的均值。

2.2 可分辨各點(diǎn)源時(shí)的毀傷概率

設(shè)目標(biāo)雷達(dá)周?chē)鋫淞薔個(gè)誘餌，則目標(biāo)雷達(dá)與誘餌組成了N+1個(gè)點(diǎn)源的誘偏系統(tǒng)。M數(shù)量的反輻射武器順序?qū)Χ帱c(diǎn)源誘偏系統(tǒng)進(jìn)行攻擊，設(shè)狀態(tài)向量Xn為反輻射武器第n次攻擊后誘偏系統(tǒng)的狀態(tài)，由于反輻射武器第n次攻擊后誘偏系統(tǒng)狀態(tài)Xn的概率完全由狀態(tài)Xn-1決定，而與之前狀態(tài)Xn-2，Xn-3，…，X0無(wú)關(guān)，因此誘偏系統(tǒng)狀態(tài)的變化是個(gè)馬爾可夫過(guò)程，X0,X1,…,Xn-1,Xn為一個(gè)馬爾可夫鏈。

令Pij=P{Xn=j|Xn-1=i}為轉(zhuǎn)移矩陣P的矩陣元，向量Lm=(lm0,lm1，…,lm,N+1)為第m次攻擊后系統(tǒng)各狀態(tài)的概率分布，其中l(wèi)mi=P{Xm=i,i=0,1,2，…,N+1}。則第m次攻擊后系統(tǒng)各狀態(tài)的概率分布Lm=L0Pm,L0為系統(tǒng)初始狀態(tài)的概率分布。

當(dāng)多點(diǎn)源誘偏系統(tǒng)中所有點(diǎn)源均能被分辨時(shí)。設(shè)Xn=i(i≤N)表示有i個(gè)誘餌被擊毀且目標(biāo)雷達(dá)未損傷的狀態(tài)。當(dāng)目標(biāo)雷達(dá)被擊毀時(shí)用狀態(tài)Xn=N+1表示，則狀態(tài)Xn=N+1為吸收態(tài)，即PN+1,N+1=1。在多點(diǎn)源誘偏系統(tǒng)中所有點(diǎn)源均能被分辨的情況下，雷達(dá)和誘餌被選中的可能性相等，當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)為i時(shí)，反輻射武器選中雷達(dá)的概率為

(14)

則選中某一誘餌的概率為1-γi。此時(shí)，反輻射武器對(duì)選中目標(biāo)的毀傷概率可用單個(gè)反輻射武器對(duì)單點(diǎn)源目標(biāo)的毀傷概率進(jìn)行計(jì)算，根據(jù)反輻射武器戰(zhàn)斗部特性與目標(biāo)的易損性，確定出反輻射武器對(duì)不同目標(biāo)的有效殺傷半徑R,進(jìn)而求出反輻射武器對(duì)雷達(dá)和誘餌的毀傷概率α和β。

在系統(tǒng)狀態(tài)Xn=i時(shí)(即有i個(gè)誘餌被擊毀)，反輻射武器攻擊一次后系統(tǒng)狀態(tài)發(fā)生改變，分析一步轉(zhuǎn)移概率可得：

(1) 系統(tǒng)狀態(tài)Xn=i時(shí)，反輻射武器攻擊一次后系統(tǒng)狀態(tài)未發(fā)生改變(Xn+1=i)的概率為

Pii=γi(1-α)+(1-γi)(1-β)=
1-γiα-(1-γi)β;

(15)

(2) 系統(tǒng)狀態(tài)Xn=i時(shí)，反輻射武器攻擊一次后系統(tǒng)誘餌數(shù)增加(Xn+1=i-1)的概率為Pi,i-1=0；

(3) 系統(tǒng)狀態(tài)Xn=i時(shí)，反輻射武器攻擊一次后系統(tǒng)誘餌數(shù)減少(Xn+1=i+1)的概率為

Pi,i+1=(1-γi)β;

(16)

(4) 系統(tǒng)狀態(tài)Xn=i時(shí)，反輻射武器攻擊一次后系統(tǒng)目標(biāo)雷達(dá)被摧毀(Xn+1=N+1)的概率為

Pi,N+1=γiα.

(17)

則一步轉(zhuǎn)移矩陣為

在M批次反輻射武器順序攻擊后，系統(tǒng)各狀態(tài)的概率分布為L(zhǎng)M=L0PM,則目標(biāo)雷達(dá)被摧毀的概率為lM，N+1=P{XM=N+1}。

現(xiàn)設(shè)多點(diǎn)源誘騙系統(tǒng)中誘餌數(shù)N=2，反輻射武器對(duì)雷達(dá)和誘餌的有效殺傷半徑分別為Rα=2，Rβ=3。σy，σz，y0，z0，mxf，σxf，Rf0，σRf均已由實(shí)驗(yàn)給出：σy=1，σz=1，y0=1.5，z0=1.5，mxf=1，σxf=1，Rf0=1，σRf=1，則可計(jì)算出反輻射武器對(duì)雷達(dá)和誘餌的毀傷概率α，β分別為0.426 6，0.563 3。狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣P為

系統(tǒng)初始狀態(tài)的概率分布為L(zhǎng)0=(1,0,0,0),即P{X0=0}=1,經(jīng)運(yùn)算可得M批次反輻射武器對(duì)雷達(dá)的毀傷概率,見(jiàn)表1。

表1 反輻射武器對(duì)雷達(dá)的毀傷概率Table 1 Damage probability of anti-radiation weapons to radar

反輻射武器對(duì)雷達(dá)的毀傷概率隨反輻射武器數(shù)量的變化關(guān)系見(jiàn)圖2。

圖2 反輻射武器對(duì)雷達(dá)的毀傷概率Fig.2 Damage probability of anti-radiation weapons to radar

可見(jiàn)當(dāng)使用6批次反輻射武器時(shí)，對(duì)目標(biāo)雷達(dá)的毀傷概率可超過(guò)80%。當(dāng)使用12批次反輻射武器時(shí)，對(duì)目標(biāo)雷達(dá)的毀傷概率可超過(guò)98%。

2.3 不可分辨各點(diǎn)源時(shí)的毀傷概率

當(dāng)多點(diǎn)源誘偏系統(tǒng)中多點(diǎn)源不能被分辨時(shí)，反輻射武器的瞄準(zhǔn)點(diǎn)坐標(biāo)為各點(diǎn)源坐標(biāo)的均值?，F(xiàn)設(shè)目標(biāo)雷達(dá)周?chē)蠯個(gè)誘餌最終不能被反輻射武器分辨開(kāi)，則目標(biāo)雷達(dá)與這K個(gè)誘餌組成了K+1個(gè)點(diǎn)源的誘偏系統(tǒng)。在相對(duì)速度坐標(biāo)系里，令雷達(dá)坐標(biāo)為(0，y0，z0)，第k個(gè)誘餌坐標(biāo)為(0，yk，zk)，反輻射武器坐標(biāo)為(xA，yA，zA)。

由于在此系統(tǒng)里反輻射武器每次攻擊的瞄準(zhǔn)點(diǎn)與系統(tǒng)的具體狀態(tài)有關(guān)，即在某一狀態(tài)下，反輻射武器對(duì)各點(diǎn)源的毀傷概率與各點(diǎn)源有關(guān)。則此時(shí)可對(duì)系統(tǒng)按各點(diǎn)源是否被摧毀進(jìn)行劃分，若點(diǎn)源被摧毀則用0表示，若未被摧毀則用1表示，則K+1個(gè)點(diǎn)源共有2K+1種狀態(tài)，用K+1維狀態(tài)向量S表示各點(diǎn)源的集合，狀態(tài)向量S最后一個(gè)元素表示雷達(dá)，1～K個(gè)元素分別表示第1～K個(gè)誘餌。由于狀態(tài)向量S每個(gè)元素有2種取值0或1。則狀態(tài)向量S共有2K+1種取值，每個(gè)狀態(tài)向量的取值S(v)(v=1,2，…，2K+1)代表系統(tǒng)的一個(gè)狀態(tài),則反輻射武器第n次攻擊后誘偏系統(tǒng)的狀態(tài)Xn=S(v)?，F(xiàn)令S最后一個(gè)元素SK+1=0，即雷達(dá)被摧毀時(shí)(不論其他誘餌是否被摧毀)的狀態(tài)為S(2K+1)，當(dāng)SK+1=1即雷達(dá)未被摧毀時(shí)的2K種狀態(tài)依次劃分為S(1)，S(2),…,S(2K)，則S(v)(v=1,2,…,2K+1)共有2K+1個(gè)取值。例如(1,0,1,0,1,1,…，1)表示雷達(dá)未被摧毀的情況下第2個(gè)和第4個(gè)誘餌被摧毀的狀態(tài)。當(dāng)系統(tǒng)處于初始狀態(tài)時(shí)，雷達(dá)與誘餌均未被摧毀，即系統(tǒng)狀態(tài)X0取狀態(tài)向量(1,1,1,1,…,1)的概率為1，X0取其他狀態(tài)的概率為0。

在對(duì)系統(tǒng)所有狀態(tài)進(jìn)行劃分后，計(jì)算各狀態(tài)間的轉(zhuǎn)移概率。令Pij=P{Xn=i∣Xn-1=j}為轉(zhuǎn)移矩陣P的矩陣元(這里為表述方便直接用i,j表示S(i),S(j))，向量Lm=(lm1，lm2，…，lm2K+1)為第m次攻擊后系統(tǒng)各狀態(tài)的概率分布，其中l(wèi)mi=P{Xm=i,i=1,2，…，2K+1}。第m次攻擊后系統(tǒng)各狀態(tài)的概率分布Lm=L0Pm,L0為系統(tǒng)初始狀態(tài)的概率分布，狀態(tài)Xn=2K+1為吸收態(tài)，則P2K+1,2K+1=1。

當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)Xn=S(v)=(1,1,1,1，…，1)時(shí),即所有點(diǎn)源均未被摧毀，反輻射武器的瞄準(zhǔn)點(diǎn)坐標(biāo)(0,Oiy,Oiz)為

(18)

(19)

其中，

(20)

(21)

對(duì)第k個(gè)誘餌的毀傷概率為

(22)

其中，

(23)

(24)

進(jìn)一步，可計(jì)算出Xn從狀態(tài)(1,1,1,1，…，1)轉(zhuǎn)移到其他各個(gè)狀態(tài)的概率。例如計(jì)算Xn從狀態(tài)S(i)=(1,1,1,1,…,1)轉(zhuǎn)移到狀態(tài)S(j)=(1,0,1,0,…,1)的概率Pij，即Xn在各點(diǎn)源均未被摧毀的狀態(tài)下，經(jīng)一次反輻射武器攻擊后，第2個(gè)和第4個(gè)誘餌被摧毀的概率。首先分別計(jì)算出Qiβ2和Qiβ4，則

(25)

即Pij為雷達(dá)未被摧毀的概率、第2個(gè)和第4個(gè)誘餌被摧毀的概率、其他誘餌未被摧毀的概率的乘積。通過(guò)對(duì)各狀態(tài)間的轉(zhuǎn)移概率計(jì)算即可得轉(zhuǎn)移概率矩陣P：

根據(jù)系統(tǒng)初始各個(gè)狀態(tài)概率分布以及轉(zhuǎn)移概率矩陣，可以計(jì)算在M批次反輻射武器順序攻擊后，系統(tǒng)各狀態(tài)的概率分布LM=L0PM,則目標(biāo)雷達(dá)被摧毀的概率為lM，K+1=P{XM=2K+1}。

現(xiàn)設(shè)誘偏系統(tǒng)中不能分辨的誘餌數(shù)K=2，其坐標(biāo)分別為誘餌1(0,0,5)、誘餌2(0,5,0)，雷達(dá)坐標(biāo)為(0,0,0)。此時(shí)系統(tǒng)共劃分為5種狀態(tài)即：S(1)雷達(dá)與誘餌均未被摧毀的狀態(tài)(1,1,1)；S(2)雷達(dá)和誘餌2未被摧毀而誘餌1被摧毀的狀態(tài)(0,1,1)；S(3)雷達(dá)和誘餌1未被摧毀而誘餌2被摧毀的狀態(tài)(1,0,1)；S(4)雷達(dá)未被摧毀而誘餌1,2均被摧毀的狀態(tài)(0,0,1)；S(5)雷達(dá)被摧毀的狀態(tài)(X,X,0);其中狀態(tài)5為吸收態(tài)。

設(shè)反輻射武器對(duì)雷達(dá)和誘餌的有效殺傷半徑分別為Rα=2，Rβ=3，σy，σz，y0，z0，mxf，σxf，Rf0，σRf均已由實(shí)驗(yàn)給出：σy=1，σz=1，y0=1.5，z0=1.5，mxf=1，σxf=1，Rf0=1，σRf=1，則可計(jì)算出反輻射武器在各系統(tǒng)狀態(tài)S(i)下一次攻擊對(duì)雷達(dá)和誘餌的毀傷概率Qiα，Qiβk，從而進(jìn)一步算出各狀態(tài)間的轉(zhuǎn)移概率Pij,見(jiàn)表2。

表2 各狀態(tài)下的毀傷概率Table 2 Damage probability in each state

轉(zhuǎn)移矩陣：

系統(tǒng)初始狀態(tài)的概率分布L0=(1,0,0,0,0),即P{X0=S(1)}=1,經(jīng)運(yùn)算，可得M批次反輻射武器對(duì)雷達(dá)的毀傷概率，見(jiàn)表3。

表3 M批次反輻射武器對(duì)雷達(dá)的毀傷概率Table 3 Damage probability of anti-radiation weapons to radar

反輻射武器對(duì)雷達(dá)的毀傷概率隨反輻射武器數(shù)量的變化關(guān)系見(jiàn)圖3。

圖3 M批次反輻射武器對(duì)雷達(dá)的毀傷概率Fig.3 Damage probability of anti-radiation weapons to radar

可見(jiàn)當(dāng)使用8批次反輻射武器時(shí)，對(duì)目標(biāo)雷達(dá)的毀傷概率可超過(guò)80%。當(dāng)使用15批次反輻射武器時(shí)，對(duì)目標(biāo)雷達(dá)的毀傷概率可超過(guò)98%。

由仿真結(jié)果可以看出，在給定的參數(shù)設(shè)置下，當(dāng)不可分辨各點(diǎn)源時(shí)使用同樣數(shù)量的反輻射武器，一般對(duì)雷達(dá)的毀傷概率要低于可分辨各點(diǎn)源時(shí)的毀傷概率。其原因在于，在給定相同的參數(shù)時(shí)，對(duì)比二者的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，后者最后一列的矩陣元數(shù)值要低于前者，即不可分辨各點(diǎn)源時(shí)，各狀態(tài)經(jīng)一次反輻射武器打擊后，雷達(dá)被摧毀的概率較低。

3 結(jié)束語(yǔ)

本文以反輻射武器對(duì)單點(diǎn)源的毀傷概率為基礎(chǔ)，運(yùn)用馬爾科夫模型并構(gòu)造馬爾可夫鏈，從而有效的計(jì)算了反輻射武器對(duì)有源誘偏系統(tǒng)中多點(diǎn)源的毀傷概率，并可根據(jù)實(shí)際任務(wù)要求得出所需的兵力，為戰(zhàn)場(chǎng)指揮決策提供了一定的理論和實(shí)用參考。