面陣陣元位置及幅相誤差有源校正算法

袁春姍，唐濟遠，要慶生

(昆明船舶設備研究試驗中心，云南 昆明 650051)

0 引 言

陣列信號處理是利用空間分散排列的傳感器陣列和多通道接收來獲取信號信息，達到檢測信號和進行參數(shù)估計的目的。與傳統(tǒng)的單個傳感器接收信號的一維信號處理相比，陣列信號處理具有靈活的波束控制、較高的信號增益、較強的干擾抑制能力以及很好的空間分辨能力等多種優(yōu)點[1]。參數(shù)化的陣列測向方法，如最大似然算法[2-3]和子空間類算法[4-5]，能夠突破“瑞利限”，實現(xiàn)信源波達方向(DOA)的高分辨估計。然而，這是基于陣列模型精確已知的條件下。在實際情況中，陣列模型誤差不可避免，即使很小的誤差也會導致這些超分辨算法性能的嚴重下降[6-7]。因此，在使用傳感器陣列進行測向之前，陣列校正工作是至關重要的。文獻[8]中給出線列陣的簡化多階維納濾波(SMSWF)陣列校正算法，相對特征分解法和常規(guī)數(shù)據(jù)模型估計算法(EACDM)，計算量較小，利于工程實現(xiàn)。

由于平面陣相對于線陣來說，在相同陣元數(shù)目的情況下，其尺寸要遠小于線陣，因此在工程上有實際意義。該文主要介紹了陣元位置及幅相誤差模型，并推導了面陣陣元位置及幅相誤差SMSWF快速有源校正算法，最后給出了計算機仿真結(jié)果。

1 陣元位置及幅相誤差模型

在保證實際應用合理性的條件下，對陣列測向及陣列校正模型作假設：聲源為遠場平面波，點源，窄帶信號，陣列流型矩陣各列線性獨立，聲波在傳播過程中不發(fā)生畸變，且滿足疊加原理，環(huán)境噪聲為各項同性的。

假設有K個中心頻率為wc的聲源入射到M元空間某陣列(K

X(t)=AS(t)+N(t)

(1)

式中：X(t)=[x1(t),x2(t),…,xM(t)]T，為M×1維觀測信號的數(shù)據(jù)向量；S(t)=[s1(t),s2(t),…,sK(t)]T為空間信號K×1維向量；N(t)=[n1(t),n2(t),…,nM(t)]T為M×1維噪聲數(shù)據(jù)向量，且噪聲與信號互不相關；A為M×K維流型矩陣(導向向量)，且有：

A=[a(θ1,φ1),a(θ2,φ2),…,a(θK,φK)]

(2)

其中，第k個聲源的導向向量為：

(3)

式中：(xm,ym,zm)為第m個陣元的空間位置；(θk,φk)分別表示第k個聲源的方位角與俯仰角。

在實際的工程應用中，傳感器陣列往往存在多種陣列誤差，這里考慮陣元位置及幅相誤差，則實際的陣列輸出為：

X(t)=ΓΨAS(t)+N(t)

(4)

Γ=diag(Γ1,Γ2…,ΓM)=

diag(g1exp(jφ1),…,gMexp(jφM))

(5)

Ψ=[W1?ν,W2?ν,…,WK?ν],ν=[1 1 1]T

(6)

式中：Γ為包含幅相誤差的M×M維對角矩陣；gm和φm(m=1,2,...,M)分別表示第m個陣元的增益和相位(一般情況下，以第1個陣元為參考陣元，則g1=1，φ1=0)；Ψ為陣元位置誤差矩陣；Wk=[1 exp(-jwcΔτk2) … exp(-jwcΔτkM)]T為第k個聲源的陣元位置誤差向量，其中陣元位置誤差Δτ為：

Δymsinθksinφk+Δzmcosφk)

(7)

綜合考慮陣元位置及幅相誤差，陣列流型可看出是以陣元位置參數(shù)及幅相參數(shù)為參量而以入射角參數(shù)為變量的函數(shù)。參數(shù)化方法讓原本復雜的問題簡單化，大大減小了校正的工作量。

2 面陣陣元位置及幅相誤差SMSWF有源校正算法

針對傳感器陣列幅相誤差及陣元位置誤差有源校正問題，文獻[8]提出了線列陣快速誤差校正的SMSWF算法。該算法可以同時利用校正源的方位和波形信息來實現(xiàn)陣列誤差的參數(shù)估計，無需協(xié)方差矩陣計算和特征值分解過程，計算量較小，且陣列誤差參數(shù)估計性能較優(yōu)。

X(k)(t)=ΓΨ(k)a(k)Ss(t)+N(k)(t)

(8)

則陣列協(xié)方差矩陣為：

(9)

由于信號波形已知，采用MSWF算法直接求出與信號子空間相對應的歸一化多級維納濾波器系數(shù)，即：

(10)

h(k)的具體形式可表示為：

(11)

sinθkcosφk+(ym+Δym)sinθksinφk]}

(12)

(13)

記:

(14)

對式(13)取相位可得:

(Δxmsinθkcosφk+Δymsinθksinφk)

(15)

則可得到:

(16)

為方便推導，上式改寫為:

(17)

設ΔΘ(k,1)=Θ(k)-Θ(1)，k=2,3,則可得到：

(18)

顯然，聯(lián)立方程組可解出陣元位置誤差[ΔX,ΔY]。

上式也可改寫為矩陣形式：

(19)

ΔΘ=[ΔΘ(2,1)ΔΘ(3,1)… ΔΘ(K,1)]

(20)

θcs=

(21)

式中：ΔΘ為測量值；θcs為已知值，可解得ΔX和ΔY。

根據(jù)最小二乘原則，可得陣元位置誤差參數(shù)的估計值為：

(22)

(23)

可得陣元增益參數(shù)的估計值為：

(24)

至此，分別估計出了陣列陣元位置及幅相誤差。

3 仿真分析

在仿真實驗中，假設平面陣以d=λ/2等間距布放，信號頻率15 kHz，陣元孔徑0.05 m,陣元個數(shù)為25，目標俯仰角20°，方位角為30°，信噪比30 dB，快拍數(shù)100,陣元位置、增益、相位誤差系數(shù)服從誤差范圍內(nèi)的隨機分布。仿真結(jié)果如圖1、圖2所示。

圖1 不同誤差下指向性函數(shù)二維直角坐標系和極坐標系圖

圖2 不同誤差時的MUSIC空間譜

仿真結(jié)果顯示，隨著誤差的增大，MUSIC 譜峰的尖銳程度及分辨力隨之下降，譜峰偏移程度也不斷增加，從而造成信號 DOA 估計誤差增大，定位精度降低。對幾種誤差條件分別做50次蒙特卡洛試驗，得到DOA定位精度如表1所示。

表1 不同誤差條件下DOA定位精度

隨著誤差的增大，精度越來越低。因此，在工程中，降低陣列誤差的影響，陣列誤差校正至關重要。

設定一校正聲源分別放置在3個不同的位置發(fā)射信號，這3個位置的俯仰角分別為10°，20°，30°，方位角分別為10°，40°和70°，設除參考陣元外的其余陣元位置、增益、相位誤差系數(shù)服從誤差范圍內(nèi)的隨機分布。陣元位置x和y軸方向的誤差范圍(-0.2λ,0.2λ)，陣列增益誤差為10%，相位誤差0.5 rad。采用面陣陣元位置及幅相誤差SMSWF校正算法，對陣列進行校準，并且以俯仰角為30°、方位角為70°的校正源為目標。校正前后目標DOA估計結(jié)果如圖3所示。

圖3 陣元位置及幅相誤差校正前后DOA估計結(jié)果顯示

校正前由于陣元位置及幅相誤差較大，DOA定位誤差較大，校正后譜峰明顯尖銳，定位結(jié)果準確。50次蒙特卡洛試驗得到俯仰角和方位角的標準差如表2所示。通過校正，陣元位置及幅相誤差明顯減小，DOA估計結(jié)果準確，定位誤差較小。

表2 不同誤差條件下DOA定位精度(標準差)

4 結(jié)束語

針對實際工程應用中面陣出現(xiàn)的陣元及幅相誤差，旨在找到一種參數(shù)估計性能良好、計算量小的算法。根據(jù)現(xiàn)有的線陣陣元及幅相誤差SMSWF有源校正算法，推導出應用面陣可用的有源校正算法。仿真結(jié)果顯示，采用面陣陣元及幅相誤差SMSWF有源校正算法進行陣列誤差校正，可以準確估計誤差，提高DOA估計精度。