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    指對跨階“同構(gòu)法”求解不等式恒成立問題

    2021-12-26 08:35:18楊瑞強
    數(shù)理化解題研究 2021年34期
    關(guān)鍵詞:移項同構(gòu)等價

    楊瑞強

    (湖北省黃石市第一中學(xué) 435000)

    把一個等式或不等式通過變形,使左右兩邊結(jié)構(gòu)形式完全相同,可構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)的單調(diào)性進行處理,找這個函數(shù)模型的方法就是同構(gòu)法.例如若F(x)≥0能等價變形為能等價變形為能等價變形為f[g(x)]≥f[h(x)],然后利用f(x)的單調(diào)性(如遞增),再轉(zhuǎn)化為g(x)≥h(x).在遇到“指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)”同時出現(xiàn)的試題時,我們可考慮采用“同構(gòu)”的方法變形轉(zhuǎn)化,構(gòu)造函數(shù),從而達到化難為易,刪繁就簡的功效.

    一、積型aea≤blnb同構(gòu)

    三種同構(gòu)途徑:①同左aea≤(lnb)elnb,構(gòu)造函數(shù)f(x)=xex;②同右ealnea≤blnb,構(gòu)造函數(shù)f(x)=xlnx;③取對數(shù)a+lna≤lnb+ln(lnb),構(gòu)造函數(shù)f(x)=x+lnx.

    解法1(構(gòu)造同左aea≤(lnb)elnb形式)(kx)ekx≥xlnx?(kx)ekx≥(lnx)elnx.

    解法2(構(gòu)造同右ealnea≤blnb形式)(kx)ekx≥xlnx?ekxlnekx≥xlnx.

    解法3(取對數(shù)a+lna≤lnb+ln(lnb)形式)(kx)ekx≥xlnx?kx+ln(kx)≥lnx+ln(lnx).

    解析由已知可得a>0.

    當a≥1時,不等式左邊小于0,右邊大于0,不等式顯然成立.

    三、和差型ea±a≤b±lnb同構(gòu)

    兩種同構(gòu)途徑:①同左ea±a≤elnb±lnb,構(gòu)造函數(shù)f(x)=ex±x;②同右ea±lnea≤b±lnb,構(gòu)造函數(shù)f(x)=x±lnx.

    例3已知函數(shù)f(x)=aex-1-lnx+lna,若f(x)≥1,求a的取值范圍.

    解析將f(x)≥1按照左右結(jié)構(gòu)相同、變量移至一邊的原則進行變形:

    由f(x)=aex-1-lnx+lna≥1,移項得aex-1+lna≥lnx+1,即elna+x-1+lna≥lnx+1,兩邊同時加(x-1)得elna+x-1+x+lna-1≥lnx+x,即elna+x-1+(x+lna-1)≥lnx+elnx.

    設(shè)g(x)=x+ex,則g′(x)=1+ex>0,所以g(x)單調(diào)遞增,所以lna+x-1≥lnx,即x-lnx+lna-1≥0.

    評析本題先把已知不等式變形為elna+x-1+(x+lna-1)≥lnx+elnx,從而具備ea±a≥elnb±lnb的同構(gòu)形式,構(gòu)造函數(shù)g(x)=x+ex,然后利用導(dǎo)數(shù)法求解結(jié)果,而此處難點在于將原不等式同解變形成左右兩邊具有相同“結(jié)構(gòu)”的不等式.對原不等式同解變形,如移項、通分、取對數(shù)、系數(shù)升指數(shù)等,有時也需要對兩邊同時加、乘某式等,把不等式轉(zhuǎn)化為左右兩邊是相同結(jié)構(gòu)的式子,再根據(jù)“相同結(jié)構(gòu)”構(gòu)造輔助函數(shù).

    練習(xí)1.已知函數(shù)f(x)=aeax+1-lnx+1,且對任意x>1,f(x)>0恒成立,則a的取值范圍是( ).

    2.若關(guān)于x的不等式ex-alnx≥a恒成立,則實數(shù)a的取值范圍為____.

    3.對于任意實數(shù)x>0,不等式2ae2x-lnx+lna≥0恒成立,求實數(shù)a的取值范圍是____.

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