基本不等式在解題中的應(yīng)用

廖永福

(福建省廈門第二中學(xué) 361009)

基本不等式結(jié)構(gòu)簡單，形式優(yōu)美，它是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是高考數(shù)學(xué)的重要考點(diǎn).應(yīng)用時要依次滿足條件：一正、二定、三相等，三者缺一不可.基本不等式是解決最值問題的有力工具，在解題中有著廣泛的應(yīng)用.

一、求最值

例1 (2020·江蘇)已知5x2y2+y4=1(x,y∈R)，則x2+y2的最小值是____.

點(diǎn)評本題考查應(yīng)用基本不等式求最值，考查轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力.解法一思路樸實，過程直接.解題關(guān)鍵是消元.把目標(biāo)代數(shù)式表示成關(guān)于y的函數(shù)，直接應(yīng)用基本不等式求解；解法二構(gòu)思巧妙，方法靈活,解題關(guān)鍵是由條件等式構(gòu)造出兩個正數(shù)5x2+y2與4y2之積為定值，進(jìn)而可用基本不等式的變式求解，屬于中檔題.

二、證明不等式

應(yīng)用基本不等式證明不等式，常常與分析法、綜合法、作差(商)法等結(jié)合使用，解題關(guān)鍵依然是構(gòu)造兩個正數(shù)之和(積)為定值，使之符合基本不等式的三個條件.

例2 (2020·全國卷Ⅲ(理))設(shè)a,b,c∈R，a+b+c=0，abc=1.

(1)證明：ab+bc+ca<0；

解答(1)∵(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=0，

∵abc=1,∴a,b,c均不為0，則a2+b2+c2>0，

(2)不妨設(shè)max{a,b,c}=a，由a+b+c=0,abc=1可知，a>0,b<0,c<0.

點(diǎn)評本題主要考查不等式的性質(zhì)以及基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題.

三、恒成立問題

對于含參數(shù)的不等式恒成立問題，常常將它轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題求解.常用的結(jié)論有：(1)任意x∈D，f(x)>m恒成立?f(x)min>m；(2)對任意x∈D，f(x)

點(diǎn)評本題考查絕對值不等式，考查不等式恒成立問題的解法，考查二次函數(shù)最值的求法，考查利用基本不等式求函數(shù)的最值.解題關(guān)鍵是如何把不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，屬中檔題.

四、實際問題

應(yīng)用基本不等式解決實際問題時，一般把要求最值的變量定義為因變量，根據(jù)實際問題抽象出函數(shù)的解析式后，利用基本不等式求出函數(shù)的最值，注意檢驗解是否在定義域內(nèi).

例4 (2017·江蘇)某公司一年購買某種貨物600噸，每次購買x噸，運(yùn)費(fèi)為6萬元/次，一年的總存儲費(fèi)用為4x萬元.要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲費(fèi)用之和最小，則x的值是____.

點(diǎn)評本題考查基本不等式的實際應(yīng)用，考查推理與運(yùn)算能力，屬中檔題.

五、與其它知識點(diǎn)交匯的問題

與其它知識點(diǎn)交匯的問題是高考的熱點(diǎn)，解決這類問題一般從這些知識點(diǎn)出發(fā)，建立變量之間的等量關(guān)系，再選用適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蠼?

例5 (2018·江蘇)在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c，∠ABC=120°，∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)D，且BD=1，則4a+c的最小值為____.

分析根據(jù)面積關(guān)系建立a,c的方程，再用基本不等式求解.

點(diǎn)評本題考查三角形的面積公式，考查基本不等式的應(yīng)用，利用常數(shù)代換法是解決本題的關(guān)鍵，屬中檔題.

A.4 B.8 C.16 D.32

分析根據(jù)雙曲線的漸近線方程求出點(diǎn)D，E的坐標(biāo)，根據(jù)△ODE的面積為8，可得ab的值，再結(jié)合基本不等式，即可求得答案.

點(diǎn)評本題主要考查雙曲線的性質(zhì)和漸近線方程，考查基本不等式的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是應(yīng)用a2+b2≥2ab建立雙曲線的焦距與△ODE的面積之間的關(guān)系，屬于中檔題.

從上述例子可以看出，應(yīng)用基本不等式解題要注意以下兩點(diǎn)：一是注意基本不等式成立的條件；二是合理構(gòu)造基本不等式中的和或積.

練習(xí)

1.(2020·海南)已知a>0，b>0，且a+b=1，則( ).

(1)如果不限定車型，l=6.05，則最大車流量為____輛/小時；

(2)如果限定車型，l=5，則最大車流量比(1)中的最大車流量增加____輛/小時.

5.(2020·全國卷Ⅱ(理))△ABC中，sin2A-sin2B-sin2C=sinBsinC.

(1)求A；(2)若BC=3，求△ABC周長的最大值.