高中立體幾何“存在型”探索性問題求解策略

楊 帆

(江蘇省海門中學(xué) 226100)

一、直接求解

“存在型”探索性問題雖然屬于形式多樣的復(fù)雜問題，但其中有些問題與我們所熟知的封閉性的問題相似，對于這類問題在解答時可以引導(dǎo)學(xué)生直接從題目所給的已知條件出發(fā)，從結(jié)果出發(fā)推導(dǎo)原因，進(jìn)行相關(guān)的理論邏輯推理從而獲得結(jié)論.

(2)若線段AE的長度為2，能否求解出二面角D-BF-C的余弦值.

解析(1)如下圖所示，過點D作DH⊥EF，垂點為H,將BH、GH分別連接,又因為已知平面AEFD和平面EBCF垂直，因此DH⊥平面EBCF,又因為EG在平面EBCF中,因此可得線段EG垂直于DH.

所以四邊形BGHE為正方形,同時可知線段EG和BH互相垂直.

因為線段BH和線段DH相較交于H,因此線段EG和平面DBH相互垂直.

又因為BD在平面DBH內(nèi),所以線段EG和線段BD互相垂直.

二、假設(shè)一推證一定論

同時學(xué)生也可以采用假設(shè)—推證—定論的方式解決一部分存在型探索性的數(shù)學(xué)問題.即：先提出一個與題干相矛盾的假設(shè)的存在，通過推理得出這個結(jié)論不正確最終得出所探索的問題的正確性，或是從正面利用演繹推理的方法證明所探索的問題的正確性.

柴油機(jī)電站在1月的煙氣產(chǎn)生量為330 m3/min，日產(chǎn)生量為Ve=475 200 m3/d，煙氣經(jīng)過保溫可達(dá)Te1=300℃，熱量交換后尾氣溫度取Te2=130℃，煙氣所含熱值通過公式（5）計算：

例2下圖為正方體棱長為1,BB1、AB的中點分別是M、N,B1C的中點是O,過O作直線OQ,使得OQ交AM于P,交CN于點Q.

(1)能否求出圖中線段PQ的長度；

(2)無限延展平面A1B,T是平面A1B中的一個不規(guī)則動點,T點距離直線DD1與距離P點的長度平方差為1,能否在此情況下嘗試建立一個直角坐標(biāo)系最終求解出動點T所構(gòu)成曲線的方程K.

(2)過T作TE⊥DD,過T作TF⊥AA1，DD1⊥TE，DD1∥AA1，所以AA1⊥平面TEF,故AA1⊥EF,所以EF∥AD.在Rt△TFE中,TF2=TE2-EF2=TE2-1=PT2.由此可得點T的軌跡實際上是以AA1為準(zhǔn)線，以P為焦點的一條拋物線.此時可以將以P點到AA1的垂線段的中點作為原點去建立一個直角坐標(biāo)系.由此可設(shè)拋物線的方程y2=2px(p>0).

三、先猜后證

對于一些特征較為明顯的存在性探索問題學(xué)生往往可以采用先猜后證的方式進(jìn)行求解.

解析由圖中信息我們不難猜測D為AC的中點，此時可以連結(jié)A1B，使得且A1B與AB1交于E,則E為A1B的中點.

因為BC1∥平面AB1D，DE為平面AB1D與平面A1BC的交線，所以BC1∥DE,由此就可以證明出點D確實是為AC的中點.

總而言之，“存在型”探索性問題并沒有學(xué)生想象的那么復(fù)雜，還有向量法等多種方法都可以應(yīng)用到立體幾何問題求解的過程當(dāng)中，本文旨在希望能夠通過分析相關(guān)求解思路給廣大學(xué)子帶來解題建議.