向量在高中數(shù)學(xué)解題中的有效應(yīng)用

潘 敏

(廣西百色祈福高級(jí)中學(xué)533000)

向量在解答高中數(shù)學(xué)習(xí)題中有著廣泛的應(yīng)用.因高中數(shù)學(xué)題型靈活多變，應(yīng)用向量解題的思路千差萬(wàn)別.為提高學(xué)生應(yīng)用向量解答數(shù)學(xué)習(xí)題的能力，應(yīng)做好向量基礎(chǔ)知識(shí)的講解，本文將結(jié)合具體的習(xí)題，展示向量的有效應(yīng)用.

一、用于解答向量習(xí)題

運(yùn)用向量知識(shí)解答相關(guān)的向量習(xí)題時(shí)應(yīng)根據(jù)問(wèn)題創(chuàng)設(shè)的情境合理的設(shè)出相關(guān)參數(shù)，結(jié)合向量的幾何運(yùn)算、坐標(biāo)運(yùn)算法則構(gòu)建參數(shù)之間的關(guān)系.同時(shí)還應(yīng)注重聯(lián)系所學(xué)的函數(shù)與方程知識(shí)，對(duì)問(wèn)題進(jìn)行巧妙的轉(zhuǎn)化，以達(dá)到順利解題的目的.如下題：

已知平面向量a、b、c，|a|=|b|=2，若(2c-a)·(c-b)=0，則c·b的最大值為( ).

∵a、b、c為平面向量，且|a|=|b|=2，不妨設(shè)b=(2，0)，a=(2cosα，2sinα)(α∈[0，2π])，c=(x，y)，則c·b=2x，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求x的最大值.

∵2c-a=(2x-2cosα，2y-2sinα)，c-b=(x-2，y)，

又∵(2c-a)·(c-b)=0

∴(2x-2cosα)(x-2)+(2y-2sinα)y=0，

整理得到：y2-ysinα+x2-x(cosα+2)+2cosα=0

要想該方程有解，則

Δ=(sinα)2-4x2+4x(cosα+2)-8cosα≥0，

令t=cosα，t∈[-1，1]，則4x2-4x(t+2)+t2+8t-1≤0，

二、用于解答三角形習(xí)題

運(yùn)用向量解答三角形相關(guān)的習(xí)題時(shí)不僅要注重向量幾何運(yùn)算法則的正確應(yīng)用，而且應(yīng)注意幾何知識(shí)，包括角度與角度的代換，線段與線段的代換，正弦與余弦定理等的靈活應(yīng)用，以順利破題.如下題：

又∵O為△ABC的外心，

∴AO=BO=CO，設(shè)θ1、θ2為AB和AO，AC和AO的夾角，

由正弦定理得到：

∴sinCcosB+sinBcosC=m，

三、用于解答立體幾何習(xí)題

空間向量是解答立體幾何習(xí)題的重要工具.利用空間向量解題時(shí)為提高運(yùn)算效率，應(yīng)注重選擇合適的角度建立空間直角坐標(biāo)系，而后根據(jù)題干給出的已知條件，通過(guò)計(jì)算準(zhǔn)確的找到相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，運(yùn)用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)行求解.如下題：

A.3 B.4 C.6 D.8

∵M(jìn)N=2，∴MN為球的直徑.

四、用于解答圓錐曲線習(xí)題

運(yùn)用向量解答圓錐曲線相關(guān)習(xí)題時(shí)既要根據(jù)給出的向量關(guān)系準(zhǔn)確的判斷角度、線段之間的隱含關(guān)系，又要注重運(yùn)用傳統(tǒng)的解題思路，注重根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用，通過(guò)對(duì)相關(guān)參數(shù)的巧妙轉(zhuǎn)化與應(yīng)用，順利的突破要求解的問(wèn)題.如下題：

A.-12 B.-14 C.-16 D.-18

向量在高中數(shù)學(xué)中占有重要地位.相關(guān)情境既可以圍繞向量知識(shí)單獨(dú)出題，也可以與其他知識(shí)融合起來(lái)設(shè)問(wèn).但是無(wú)論何種情境的習(xí)題，要求學(xué)生解題時(shí)具備靈活的思維，提高向量幾何運(yùn)算、坐標(biāo)運(yùn)算的應(yīng)用意識(shí).同時(shí)，做好向量在解題中的應(yīng)用總結(jié)，不斷的積累相關(guān)的應(yīng)用經(jīng)驗(yàn)與技巧，提高應(yīng)用水平.