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    端點效應解題舉隅

    2021-12-26 08:33:30蔣滿林
    數(shù)理化解題研究 2021年34期
    關(guān)鍵詞:連續(xù)型充分性端點

    蔣滿林

    (福建省古田縣第一中學 352200)

    導數(shù)含參數(shù)恒成立問題的常用方法是字母討論、分離參數(shù)等,但對于分類討論往往比較繁雜而半途而廢,分離參數(shù)對于分離函數(shù)的導數(shù)很難把握.利用端點函數(shù)值的特殊性,先得到必要條件,再證充分性,因其思路簡潔方法實效,我們把它稱為端點效應,下面以例示之,與大家交流.

    一、端點效應

    1.連續(xù)型端點效應

    例1(2017全國Ⅱ文21)設(shè)函數(shù)f(x)=(1-x2)ex.

    (1)略;

    (2)當x≥0時,f(x)≤ax+1,求a的取值范圍.

    解析(2)令g(x)=(1-x2)ex-ax-1(x≥0),g′(x)=(1-x2-x)ex-a,由于g(0)=0,

    所以必有g(shù)′(0)=1-a≤0,可得a≥1(必要條件),下面去證明a≥1滿足題意(充分性證明).

    當a≥1時,g′(x)=(1-x2-x)ex-a≤(1-x2-x)ex-1,記h(x)=(1-x2-x)ex-1(x≥0),h′(x)=(-x2-4x-1)ex<0,所以g′(x)≤0,g(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞減,g(x)≤g(0)=0.

    綜上所述,a的取值范圍為[1,+∞).

    評注所求參數(shù)為連續(xù)實數(shù)的端點效應我們稱之為連續(xù)型端點效應,連續(xù)型端點效應的解題步驟.

    (1)取端點或特殊點的函數(shù)值;

    (2)求出滿足參數(shù)的必要條件;

    (3)證明參數(shù)范圍滿足充分條件.

    2016年全國Ⅱ文20題等,也可以用此法解答.

    2.離散型端點效應

    下面去證k=3 滿足題意(充分性證明).

    當k=3時,g(x)=(x+1)[ln(x+1)-3x+1](x>0),g′(x)=ln(x+1)-1(x>0),令g′(x)=0,得x=e-1,g(x)在(0,e-1)上單調(diào)遞減,在(e-1,+∞)上單調(diào)遞增,g(x)≥g(e-1)=2e-3(e-1)=3-e>0.

    綜上所述,k=3滿足題意.

    評注所求參數(shù)為整數(shù)的端點效應我們稱之為離散型端點效應,離散型端點效應的解題步驟.

    (1)取端點或端點附近的特殊點如f(1),f(2),f(e)等;

    (2)求出滿足參數(shù)最值整數(shù)的必要條件;

    (3)證明參數(shù)的最值整數(shù)滿足充分條件.

    其中離散型端點效應,端點選點不唯一,只要便于計算又能確定參數(shù)整數(shù)的必要條件均可.

    3.二階型端點效應

    例3已知a∈R,函數(shù)f(x)=ex-ex-a(xlnx-x+1)的導函數(shù)為g(x).

    (1)略;(2)略;

    (3)若x≥1時,f(x)≥0恒成立,求a的最大值.

    評注原函數(shù)與一階導函數(shù)均應用端點效應,我們稱之為二階型端點效應,二階型端點效應的解題步驟.

    (1)原函數(shù)端點函數(shù)值為0;

    (2)一階導函數(shù)端點函數(shù)值為0;

    (3)取二階導函數(shù)端點或特殊點的函數(shù)值,求出滿足參數(shù)的必要條件;

    (4)證明參數(shù)范圍滿足充分條件.

    二、變式訓練

    例1 (2020年3月廈門市質(zhì)檢理21題)已知函數(shù)f(x)=aex+2e-x+(a-2)x(a∈R,e是自然對數(shù)的底數(shù)).

    (1)略;

    (2)當x≥0時,求f(x)≥(a+2)cosx,求a的取值范圍.

    解析(連續(xù)型端點效應)記g(x)=f(x)-(a+2)cosx=aex+2e-x+(a-2)x-(a+2)cosx(x≥0),g′(x)=aex-2e-x+(a-2)+(a+2)sinx(x≥0),由g(0)=a+2-(a+2)=0,g′(0)=a-2+a-2≥0,得a≥2(必要性),下證,a≥2成立(充分性).當a≥2時,x∈[0,π]時,g′(x)=aex-2e-x+(a-2)+(a+2)sinx≥2(ex-e-x)+(a-2)+(a+2)sinx≥0,g(x)≥g(0)=0,成立;當a≥2時,x∈[π,+∞)時,g′(x)=aex-2e-x+(a-2)+(a+2)sinx≥2(eπ-e-π)+(a-2)-(a+2)=2eπ-2e-π-4>0.

    綜上所述,a≥2成立.

    注:導函數(shù)中含有三角函數(shù)sinx,對x∈[0,π]與x∈[π,+∞)進行分段討論,這種對三角函數(shù)取值進行討論是近年考試的熱點,要引起大家的關(guān)注.

    (1)略;

    (2)若關(guān)于x的不等式F(x)≤mx-1 恒成立,求整數(shù)m的最小值.

    注:離散型端點效應,端點選點不唯一,如選h(e)≤0也可以.

    例3 若關(guān)于x的不等式ax2ex+xex+1≥ex在區(qū)間[0,+∞)上恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.

    注對所證不等式ax2ex+xex+1≥ex進行適度變形,轉(zhuǎn)化為等價的不等式,便于求導與計算,也是對導數(shù)證明試題的一種常用技能,平時應加強導數(shù)不等式等價變形的訓練.

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