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    立足問(wèn)題本質(zhì) 激發(fā)創(chuàng)新思維(上)
    ——導(dǎo)數(shù)題的求解思路探究

    2021-12-26 02:52:55潘梅耘
    關(guān)鍵詞:化簡(jiǎn)二階零點(diǎn)

    潘梅耘

    導(dǎo)數(shù)在研究復(fù)雜函數(shù)單調(diào)性時(shí),方法直觀,功能強(qiáng)大:能求斜率,求切線、求單調(diào)區(qū)間、比較大小、求極值,求值域、探索圖象分布等,從而能跟函數(shù)、解析幾何、不等式、數(shù)列等聯(lián)系,也使它成為新教材高考命題的熱點(diǎn).

    常規(guī)套路:簡(jiǎn)單粗暴地求導(dǎo),思路往往受阻,計(jì)算量大;

    創(chuàng)新選擇:選擇新角度,構(gòu)造新函數(shù);

    難點(diǎn):需要有敏銳的觀察力,數(shù)形結(jié)合、分類討論的能力及理論上嚴(yán)謹(jǐn)性的探究要求高,主要體現(xiàn)在構(gòu)造法、放縮法和反推法等的靈活運(yùn)用.

    不過(guò)一切問(wèn)題的本質(zhì)都是相通的,本文通過(guò)幾道導(dǎo)數(shù)題的剖析,以期揭示問(wèn)題的根源,激發(fā)思維的創(chuàng)新.

    一、兩次求導(dǎo),旨在單調(diào)

    例1已知函數(shù)f(x)=excosx?x,求函數(shù)f(x)在區(qū)間上的最值.

    本質(zhì)分析:導(dǎo)數(shù)正負(fù)性,函數(shù)單調(diào)性,極值端點(diǎn)比大小,函數(shù)最值可知曉.

    解析函數(shù)定義域f′(x)=ex(cosx?sinx)?1.

    一次求導(dǎo),無(wú)法判號(hào)

    令h(x)=ex(cosx?sinx)?1,

    構(gòu)造二階函數(shù)

    則h′(x)=ex(cosx?sinx?sinx?cosx)=?2exsinx.

    二次求導(dǎo)

    當(dāng)x∈,可得h′(x)≤0,即h(x)在遞減,

    根據(jù)二階導(dǎo)數(shù)正負(fù)性判斷一階導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性

    (思考一下,如果此時(shí)二階導(dǎo)數(shù)的正負(fù)性不能明顯確定,該怎么辦?)

    可得h(x)≤h(0)=f′(0)=0,則f(x)在遞減,

    得到一階導(dǎo)數(shù)的正負(fù)性就得到原函數(shù)的單調(diào)性

    所以f(x)max=f(0)=1,f(x)min=

    得到原函數(shù)的最值

    思維創(chuàng)新主導(dǎo)函數(shù)為超越型,“二次求導(dǎo)判號(hào)”,得函數(shù)單調(diào)性求最值.

    二、恒存一家,分合轉(zhuǎn)化

    例2已知函數(shù)f(x)=(2?a)(x?1)?2lnx(a∈R),對(duì)任意的恒成立,求a的最小值.

    本質(zhì)分析:不等式左右分,“全分半分可不分”,數(shù)形結(jié)合易理解,分類討論顯真功.

    解法一(變量全分離)

    變量分離構(gòu)造函數(shù)

    令l(x)=

    則l′(x)=

    一次求導(dǎo),無(wú)法判號(hào)

    構(gòu)造局部有效函數(shù)

    則m′(x)=

    所以m(x)在上為減函數(shù).

    二次求導(dǎo)判號(hào),得有效數(shù)單調(diào)性

    于是m(x)>m=2?2ln 2 >0,

    從而,l′(x)>0,

    判斷局部有效函數(shù)正負(fù)性即得一次求導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)性

    于是l(x)在上為增函數(shù),

    所以l(x)<=2?4ln 2.

    得原函數(shù)的增減性和上限

    故要a> 2?恒成立,只要a∈ [2?4ln 2,+∞),即a的最小值為2?4ln 2.

    得a的最小值

    解法二(變量半分離)

    因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=(2?a)(x?1)?2lnx(a∈R),對(duì)任意的x∈,f(x)>0恒成立,

    即(2?a)(x?1)?2lnx>0對(duì)任意的0

    條件具體化

    構(gòu)造雙函數(shù)

    所以函數(shù)y1=(x?1)圖象恒在y2=lnx,0

    圖象分布法

    可求過(guò)(1,0)作y=lnx切線為y=x?1,過(guò)(1,0)和直線斜率為2ln 2,

    圖象臨界位置

    數(shù)形結(jié)合

    所以a∈ [2?4ln 2,+∞),即a的最小值2?4ln 2.

    注意等號(hào)取舍

    注意本解法采用二次求導(dǎo)研究函數(shù)圖象,構(gòu)造函數(shù)研究其單調(diào)性,觀察其零點(diǎn)求解切點(diǎn)坐標(biāo),雖然缺少理論上的論證,但可作客觀題求解,并可為理論研究作向?qū)В?/p>

    解法三(變量不分離)

    因?yàn)閒(x)=(2?a)(x?1)?2lnx,x>0,

    所以f′(x)=(2?a)?,x>0.

    導(dǎo)數(shù)含參討論判號(hào)

    (1)若a≥2,則f′(x)< 0,f(x)=(2?a)(x?1)?2lnx在上遞減,

    優(yōu)先觀察恒號(hào)之情形

    (2)若a<2,則>0,f′(x)=

    由于x>0,2?a>0,

    故當(dāng)0

    確定可疑極點(diǎn)左、右單調(diào)性

    當(dāng)x>時(shí),f′(x)≥0,f(x)遞增.

    優(yōu)先考慮無(wú)極點(diǎn)之情形

    所以f(x)>得2?4ln 2 ≤a<2,合題意.

    利用單調(diào)性反推無(wú)解之情形

    觀察到f(1)=0,所以f<0,

    所以a

    綜上,a≥ 2?4ln 2,所以a的最小值為2?4ln 2.

    思維創(chuàng)新利用a0,很難直接求解a的范圍,結(jié)合單調(diào)性,就比較好說(shuō)明f(x)min=

    例3已知函數(shù)f(x)=x+xlnx,若k∈Z,且存在x>1,有k>成立,求k的最小值.

    解析存在x>1,有所以k>

    令g(x)=則g′(x)=

    構(gòu)造函數(shù)一次求導(dǎo),無(wú)法判號(hào)

    考慮分子h(x)=x?lnx?2,

    h′(x)=

    構(gòu)造有效函數(shù)二次求導(dǎo),能判號(hào)

    所以h(x)在(1,+∞)單調(diào)遞增.

    二階函數(shù)雖單調(diào),但不恒號(hào)

    由于h(3)=1?ln3 < 0,h(4)=2?ln 2 > 0,(想一想,3 和4 這兩個(gè)值是如何想到的呢?)

    由零點(diǎn)存在定理,?b∈ (3,4),使得h(b)=0 .

    零點(diǎn)理論確保隱零點(diǎn)的存在

    所以x∈(1,b)時(shí),h(x)< 0 ?g′(x)<0.

    同理,x∈b(,+∞)時(shí),g′(x)>0,

    所以g(x)在(1,b)單調(diào)遞減,在(b,+∞)單調(diào)遞增,

    反推一階導(dǎo)數(shù)的正負(fù)性

    故g(x)min=g(b)=

    由h(b)=0得b?lnb?2=0 ? lnb=b?2,

    最值隱零點(diǎn)表示

    可化簡(jiǎn)g(b)=b∈(3,4).

    又k>b,k∈Z,得k的最小值為4.

    化簡(jiǎn)限范圍,得整數(shù)參數(shù)最小值

    思維創(chuàng)新參變分離求最值,“零點(diǎn)理論保零點(diǎn),設(shè)而不求限范圍,隱零點(diǎn)關(guān)系表最值,化簡(jiǎn)求整得結(jié)論”,存恒本是同根生,“半分不分”自探真.

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