基于NSGA-II算法的鈦合金加工多目標(biāo)優(yōu)化

莊可佳，趙培翔，代 星

(1.武漢理工大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，湖北 武漢 430070;2.華中科技大學(xué) 數(shù)字制造裝備與技術(shù)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖北 武漢 430074)

隨著輕量化、整體化設(shè)計(jì)概念的推廣，鈦合金憑借其高比強(qiáng)度、高熱強(qiáng)度、強(qiáng)抗腐蝕性等優(yōu)良特性，被廣泛應(yīng)用于航空航天、船舶、化工等領(lǐng)域[1-2]。在鈦合金零件的生產(chǎn)加工過程中，加工效率和表面質(zhì)量一直是人們關(guān)注的重點(diǎn)，較高的切削效率有助于降低生產(chǎn)成本，減少加工時(shí)間，但是往往會(huì)導(dǎo)致工件的表面質(zhì)量降低，而隨著綠色制造的概念越來越深入人心，如何在確保表面質(zhì)量的同時(shí)提高切削效率，降低切削能耗已經(jīng)成為鈦合金零件加工的關(guān)鍵問題。由于切削參數(shù)是影響上述目標(biāo)的主要因素，因此以上問題可以轉(zhuǎn)化為對(duì)切削參數(shù)的優(yōu)化問題，它是一項(xiàng)具有挑戰(zhàn)性的工作。

切削參數(shù)一般包括切削速度、進(jìn)給速度、切削深度等，適當(dāng)選擇切削參數(shù)可確保產(chǎn)品質(zhì)量，延長刀具壽命，降低加工成本，降低功耗并提高生產(chǎn)效率[3-4]。切削參數(shù)的優(yōu)化問題一般需要先建立切削參數(shù)與目標(biāo)之間的關(guān)系模型，然后再借助上述模型和優(yōu)化算法實(shí)現(xiàn)參數(shù)的優(yōu)化。因此，在對(duì)切削參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化之前，需要明確切削參數(shù)與優(yōu)化目標(biāo)之間的關(guān)系。常用的建模方法有田口方法、響應(yīng)曲面法(response surface methodolog,RSM)和人工智能方法等。馬堯等[5]以TC25鈦合金材料為切削對(duì)象進(jìn)行了銑削實(shí)驗(yàn)，并運(yùn)用正交實(shí)驗(yàn)法分析了主軸轉(zhuǎn)速、每齒進(jìn)給量、軸向切深、徑向切深等切削參數(shù)對(duì)表面粗糙度的影響規(guī)律，建立了較為精確的表面粗糙度多元線性回歸預(yù)測模型。唐超蘭等[6]以主軸轉(zhuǎn)速、進(jìn)給速度、軸向進(jìn)給量等為實(shí)驗(yàn)因素對(duì)6061鋁合金進(jìn)行了銑削實(shí)驗(yàn)，并建立了銑削參數(shù)與表面粗糙度之間的反向傳播神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測模型，實(shí)驗(yàn)證明該模型具有較好的預(yù)測精度。

由于切削過程的復(fù)雜性，在實(shí)際加工條件下，對(duì)切削參數(shù)的優(yōu)化一般必須同時(shí)優(yōu)化幾個(gè)不同且相互矛盾的目標(biāo)。常用的優(yōu)化思路有兩種，一是利用加權(quán)求和或者灰色關(guān)聯(lián)分析等方法將多目標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)問題；二是同時(shí)考慮多個(gè)目標(biāo)，使用多目標(biāo)優(yōu)化算法來尋找能夠盡可能同時(shí)滿足多個(gè)條件的參數(shù)組合，它可以有效地確定多個(gè)最佳切削參數(shù)的值。Khan等[7]探究了進(jìn)給、切削速度、切削深度、切削條件對(duì)Ti-6Al-4V鈦合金材料車削加工過程中的比切削能、刀具磨損、表面粗糙度和材料去除率的影響規(guī)律，并使用灰度關(guān)聯(lián)分析法和響應(yīng)曲面法得出了最佳的切削參數(shù)組合。翁劍等[8]分別采用了MOEA/D(multi-objective evolutionary algorithm based on decomposition)、NSGA-II(non-dominated sorting genetic algorithm-II)、SPEA2(strength pareto evolutionary algorithm 2)、NSPSO(non-dominated sorting particle swarm optimizer)等多目標(biāo)優(yōu)化算法優(yōu)化了鈦合金插銑過程中的加工參數(shù)，最終發(fā)現(xiàn)NSGA-II方法優(yōu)化效果最好。在實(shí)際加工過程中，加工條件比較復(fù)雜，加工需求多種多樣，使用第一種思路并不能很好地應(yīng)對(duì)這些情況，因此目前使用多目標(biāo)優(yōu)化算法是解決加工參數(shù)優(yōu)化問題的趨勢。

筆者以常用航空材料TC4鈦合金作為實(shí)驗(yàn)材料設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)，測量了銑削過程中的切削功率和工件的表面粗糙度，使用支持向量機(jī)算法分別建立了切削參數(shù)與比切削能、切削參數(shù)與表面粗糙度之間的關(guān)系模型。最后以最小化比切削能和最小化比切削時(shí)間為目標(biāo)，表面粗糙度為約束條件，采用NSGA-II算法優(yōu)化切削參數(shù)，以達(dá)到提高加工效率，減少刀具損耗，保證產(chǎn)品質(zhì)量的目的。

1 實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

根據(jù)廠家推薦參數(shù)和經(jīng)驗(yàn)設(shè)計(jì)了實(shí)驗(yàn)的參數(shù)值，分別將切削速度V、每齒進(jìn)給fz、切削深度ap、切削寬度ae和切削長度L分為4個(gè)水平，具體水平設(shè)計(jì)如表1所示。本實(shí)驗(yàn)一共規(guī)劃了20組不同的切削參數(shù)組合，在每一組實(shí)驗(yàn)中，銑刀由右向左水平移動(dòng)設(shè)定的切削長度，并測量記錄切削過程中機(jī)床的功率值和切削完成后工件的表面粗糙度。為了更好地表征切削能耗和切削效率，分別采用比切削能(specific cutting energy consumption, SCEC)和比切削時(shí)間(specific cutting time, SCT)來描述這兩個(gè)目標(biāo)[9]，其計(jì)算表達(dá)式如式(1)-式(3)所示。

表1 切削參數(shù)設(shè)計(jì)

(1)

式中：Pcut為瞬時(shí)切削功率；tcut為切削時(shí)間；MRV為材料去除量。

(2)

MRV=tcut×MRR

(3)

式中，MRR為材料去除率。

針對(duì)鈦合金材料進(jìn)行了銑削實(shí)驗(yàn)研究，實(shí)驗(yàn)選用切削速度、每齒進(jìn)給、切削深度、切削寬度和切削長度共5個(gè)切削參數(shù)作為實(shí)驗(yàn)變量，測量了工件表面粗糙度和切削過程中的機(jī)床功率。實(shí)驗(yàn)在機(jī)型為VMP-30A的立式加工中心上進(jìn)行，所選用的工件材料為TC4，使用的刀具是來自Walter公司的四刃球頭硬質(zhì)合金銑刀。機(jī)床功率數(shù)據(jù)是通過Yokogawa公司的CW500功率測量計(jì)進(jìn)行采集的，工件表面粗糙度數(shù)據(jù)由Mitutoyo公司的SJ-210測量儀測量獲取。具體實(shí)驗(yàn)裝置如圖1所示。

圖1 實(shí)驗(yàn)裝置

2 預(yù)測模型與參數(shù)優(yōu)化

2.1 基于貝葉斯優(yōu)化調(diào)參的支持向量機(jī)建模

切削能耗與表面粗糙度的預(yù)測屬于回歸問題，ε-SVR(εsupport vector regression)是一種求解回歸問題的支持向量機(jī)算法，筆者使用這種算法分別構(gòu)建了比切削能與表面粗糙度的預(yù)測模型，其中使用的核函數(shù)為徑向基核函數(shù)。為了獲得最好的預(yù)測效果，需要找到ε-SVR模型里最合適的超參數(shù)C、g和ε[10]?；诮徊骝?yàn)證和網(wǎng)格搜索的方法最常被用來尋找ε-SVR模型的最優(yōu)超參數(shù)，這種方法類似于窮舉遍歷，如果網(wǎng)格間距設(shè)置過大，則很容易漏掉最優(yōu)參數(shù)組合，如果網(wǎng)格間距設(shè)置過小，則會(huì)導(dǎo)致計(jì)算量過大，尋優(yōu)時(shí)間過長，因此選擇合適的網(wǎng)格密度是比較困難的。為了避免這種情況，使用貝葉斯優(yōu)化法(bayesian optimization)代替網(wǎng)格搜索法來尋找ε-SVR模型的最優(yōu)超參數(shù)組合。貝葉斯優(yōu)化主要有兩個(gè)關(guān)鍵步驟，一是需要選擇一個(gè)先驗(yàn)函數(shù)(priors function)來表示被優(yōu)化函數(shù)的分布假設(shè), 任何貝葉斯方法都依賴于定義的先驗(yàn)分布；另一個(gè)是需要定義一個(gè)采集函數(shù)(acquisition function)，用于從模型后驗(yàn)分布中確定下一個(gè)需要評(píng)估的點(diǎn)[11-12]。

2.1.1 先驗(yàn)函數(shù)

目前最常用的先驗(yàn)函數(shù)是高斯過程(gaussian process)。高斯過程是多維高斯分布向無限維的擴(kuò)展，其中任意有限維組合都是高斯分布。高斯分布是由隨機(jī)變量的均值和協(xié)方差定義的隨機(jī)變量的分布，類似地，高斯過程是由函數(shù)f(x)的均值μ(x)和協(xié)方差函數(shù)k(x,x′)定義的函數(shù)分布：

f(x)～GP(μ(x),k(x,x′))

(4)

為了方便起見，在此假設(shè)先驗(yàn)平均值為零函數(shù)μ(x)=0；協(xié)方差函數(shù)k(x,x′)定義如下：

(5)

假定已知{(xi,fi)|i=1,2,…,t}，其中{fi=f(xi)|i=1,2,…,t}，函數(shù)值是從一個(gè)高斯分布N(0,K)獲得的，它的協(xié)方差矩陣K可以表示為：

(6)

假設(shè)通過訓(xùn)練數(shù)據(jù)擬合獲得了函數(shù)值{f1:t|x1:t}，對(duì)于一個(gè)新的樣本點(diǎn)xt+1的輸出ft+1，根據(jù)高斯過程的性質(zhì)可知，f1:t和ft+1的聯(lián)合分布如下所示：

(7)

其中，k可以由式(8)計(jì)算獲得：

k=[k(xt+1,x1)k(xt+1,x2) …k(xt+1,xt)]

(8)

通過計(jì)算可得ft+1的后驗(yàn)分布為：

(9)

μt(xt+1)=kTK-1f1:t

(10)

(11)

2.1.2 采集函數(shù)

采集函數(shù)的作用是選擇新的需要評(píng)估的樣本點(diǎn)，它的選擇需要綜合考慮利用(exploitation)和探索(exploration)兩個(gè)方面的影響。exploitation簡單來說就是盡量選擇當(dāng)前的最優(yōu)解周圍的點(diǎn)，這樣點(diǎn)的分布會(huì)出現(xiàn)一個(gè)密集區(qū)域，容易進(jìn)入局部最大；exploration簡單來說就是盡量探索未知的區(qū)域，這樣點(diǎn)的分布會(huì)盡可能的平均，避免陷入局部最優(yōu)解。筆者采用EI函數(shù)作為采集函數(shù)，表達(dá)式如下：

EI(x)=

(12)

其中，

(13)

式中：Ф(x)為正態(tài)累積分布函數(shù)；φ(x)為正態(tài)概率密度函數(shù)；f(x*)為現(xiàn)有的最優(yōu)樣本點(diǎn)的函數(shù)值；μ(x)為均值；σ(x)為標(biāo)準(zhǔn)差。

EI函數(shù)求的是未知點(diǎn)函數(shù)值比f(x*)大的期望。

2.1.3 貝葉斯優(yōu)化流程

貝葉斯優(yōu)化本質(zhì)上是求解未知目標(biāo)函數(shù)的全局最優(yōu)解的問題，它可以簡化為如下數(shù)學(xué)表達(dá)式：

(14)

式中：x為需要優(yōu)化的參數(shù)；f(x)為目標(biāo)函數(shù)。

算法流程如下：

(1)基于已知目標(biāo)數(shù)據(jù)集D={xi,yi=f(xi)|i=1,2,…,n}建立高斯過程回歸模型；

(2)根據(jù)EI函數(shù)獲取新的樣本點(diǎn)xn+1，在此過程中要權(quán)衡exploitation和exploration；

(3)獲取新樣本點(diǎn)處xn+1的目標(biāo)值yn+1，并將新的數(shù)據(jù){xn+1，yn+1}添加到數(shù)據(jù)集D中。

2.1.4 支持向量機(jī)建模

從20組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)中選取16組數(shù)據(jù)作為訓(xùn)練集，以它們的切削參數(shù)作為輸入特征，表面粗糙度和比切削能作為輸出值，分別構(gòu)建了兩個(gè)支持向量機(jī)模型，剩余的4組數(shù)據(jù)作為測試集，用來驗(yàn)證模型的精度。模型在訓(xùn)練過程中通過貝葉斯優(yōu)化的方法選取了表面粗糙度模型的參數(shù)C、g和ε，分別為14.458 624 95，1.621 481 99和0.000 001；選取了比切削能模型的參數(shù)C、g和ε，分別為2.666 113 73，0.142 565 95和0.001 098 96。圖2和圖3分別為表面粗糙度模型和比切削能模型在測試集上的預(yù)測效果圖。結(jié)果表明，表面粗糙度模型訓(xùn)練集與測試集誤差都非常小，測試集的平均相對(duì)誤差為2.04%；比切削能模型訓(xùn)練集個(gè)別樣本點(diǎn)誤差較大，但是整體誤差相對(duì)較小，測試集的平均相對(duì)誤差為6.25%，由此可見支持向量機(jī)模型可以很好地反映切削參數(shù)與目標(biāo)值之間的關(guān)系。

圖2 表面粗糙度模型(ε-SVR)的預(yù)測效果

圖3 比切削能模型(ε-SVR)的預(yù)測效果

2.2 求解Pareto前沿

使用基于Pareto解集的非支配排序遺傳算法[13]。在實(shí)際的切削加工中，復(fù)雜的工況和多種需求都決定了切削參數(shù)組合的選取不能單一，而NSGA-II可以很好地應(yīng)對(duì)這種情況，它通過求解非支配解集的方式提供多個(gè)優(yōu)選切削參數(shù)組合，可以滿足不同的技術(shù)需求。

材料去除率越大，比切削時(shí)間越小，則生產(chǎn)效率越高，另一方面考慮到減少能耗和系統(tǒng)穩(wěn)定性，比切削能越小越好。除此之外，零件加工還需要考慮表面質(zhì)量，根據(jù)不同的加工要求，表面粗糙度需要低于約定值，因此在這里把表面粗糙度作為一個(gè)約束條件。其優(yōu)化模型如下：

(15)

S.t.

45≤V≤60 m/min10≤ap≤16 mm0.1≤ae≤0.4 mm0.04≤fz≤0.07 mm/zRa≤1.2 μm

(16)

由于存在約束條件，因此不能使用無約束的NSGA-II算法進(jìn)行求解。對(duì)于這種情況，可以采用帶約束的支配關(guān)系來處理。在存在約束的情況下，每一個(gè)解都可能可行或不可行，對(duì)于一個(gè)解x，若其滿足約束條件，則稱該解為可行解，若不滿足，則稱之為不可行解。因此，最多可能存在3種情況：①兩個(gè)解都是可行的；②一個(gè)解可行，另一個(gè)不可行；③兩個(gè)解都不可行。對(duì)于單目標(biāo)優(yōu)化來說，當(dāng)遇到上述3種情況時(shí)，可以分別采用以下準(zhǔn)則來確定應(yīng)該選擇哪個(gè)解：

(1)選擇具有更好的適應(yīng)度值的解；

(2)選擇可行解；

(3)選擇具有較小的約束違反值的解。

約束違反值可以描述一個(gè)解對(duì)約束條件的違反程度，當(dāng)約束條件中的不等式轉(zhuǎn)化為gi(x)≤0，等式轉(zhuǎn)化為hj(x)=0時(shí)，則一個(gè)解x的約束違反值可以描述如下：

(17)

其中，式(17)中的gi(x)≤0時(shí)，則=0，否則=|gi(x)|。顯然，對(duì)于可行解來說，約束違反值為零，而對(duì)于不可行解來說，其約束違反值較小的更符合選擇的要求。結(jié)合以上所述，多目標(biāo)優(yōu)化問題的約束支配關(guān)系可以重新定義，對(duì)于任意兩個(gè)解i，j來說，i約束支配j應(yīng)該滿足以下一個(gè)或任意一個(gè)條件：

(1)i是可行解，而j是不可行解；

(2)i，j都是不可行解，但是i的約束違反值小于j的約束違反值；

(3)i，j都是可行解，但是i支配j。

這種約束支配原則可以使得任何可行解都比任何不可行解具有更好的非支配等級(jí)，而當(dāng)兩個(gè)不可行解對(duì)比時(shí)，約束違反程度較小的解排名更高，排序完成之后根據(jù)其非支配級(jí)別對(duì)所有解進(jìn)行排序。這樣對(duì)非支配原則的這種修改不會(huì)改變NSGA-II算法的計(jì)算復(fù)雜性。

根據(jù)以上原則添加了NSGA-II算法的約束項(xiàng)，種群規(guī)模設(shè)置為100，進(jìn)化代數(shù)設(shè)置為150代。圖4為Pareto最優(yōu)解集，X軸為比切削能，Y軸為比切削時(shí)間。從圖4可知，在Pareto前沿上，當(dāng)一個(gè)響應(yīng)改變時(shí)，另一個(gè)響應(yīng)也會(huì)發(fā)生變化。當(dāng)比切削時(shí)間增加時(shí)，相應(yīng)的比切削能會(huì)隨之降低。具體的切削參數(shù)組合的選擇需要根據(jù)實(shí)際加工情況來決定。

圖4 Pareto最優(yōu)前沿

為了驗(yàn)證優(yōu)化的效果，選取實(shí)驗(yàn)中材料去除量較大的一組作為實(shí)驗(yàn)對(duì)比項(xiàng)與優(yōu)化后的Pareto最優(yōu)解進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果如表2所示。從表2可知，最優(yōu)切削參數(shù)對(duì)應(yīng)的比切削能和比切削時(shí)間都較小，這就表明了通過優(yōu)化算法選取的最佳切削參數(shù)可以大幅提高切削效率并能減少機(jī)床的能量消耗。

表2 初始實(shí)驗(yàn)參數(shù)與選取的Pareto最優(yōu)解對(duì)比

3 結(jié)論

以鈦合金加工過程為研究對(duì)象，基于實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)和參數(shù)尋優(yōu)方法建立了支持向量機(jī)模型，最后采用帶約束的NSGA-II算法實(shí)現(xiàn)了鈦合金加工過程中的加工參數(shù)優(yōu)化，主要研究內(nèi)容如下：

(1)使用切削速度、切削深度、每齒進(jìn)給、切削寬度和切削長度5個(gè)切削參數(shù)設(shè)計(jì)了五因素四水平實(shí)驗(yàn)，并測量了實(shí)驗(yàn)過程中機(jī)床的切削功率和工件的表面粗糙度；

(2)基于實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，分別建立了比切削能和表面粗糙度的支持向量機(jī)模型，在建立模型過程中，使用貝葉斯優(yōu)化方法尋找支持向量機(jī)模型的最佳模型參數(shù)。貝葉斯優(yōu)化方法能避免常用尋參方法(網(wǎng)格搜索法)的網(wǎng)格參數(shù)的盲目選擇，同時(shí)還能保證較好的參數(shù)尋優(yōu)能力。最終結(jié)果顯示所構(gòu)建的支持向量機(jī)模型具有良好的預(yù)測能力；

(3)以最大化切削效率和最小化切削能耗為目標(biāo)，以表面粗糙度為約束條件，利用NSGA-II算法進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化，獲取了多組最優(yōu)切削參數(shù)組合。將優(yōu)化后的切削參數(shù)組合與實(shí)驗(yàn)初始切削參數(shù)組合進(jìn)行對(duì)比，發(fā)現(xiàn)優(yōu)化后的結(jié)果能夠在保證表面質(zhì)量的情況下，提高切削效率并減少切削能耗。