基于二進(jìn)小波的多閾值圖像去噪方法

劉美琪 吐?tīng)柡榻?阿不都克力木

摘要：在D.L.Donoho等人提出的閾值圖像去噪的基礎(chǔ)上，提出了一種基于二進(jìn)小波的多閾值去噪算法。針對(duì)傳統(tǒng)軟硬閾值函數(shù)的缺陷，本文提出了一個(gè)新的閾值函數(shù)，并給出了通用閾值的一種改進(jìn)形式，為分析此方法的去噪性能，對(duì)同一圖像疊加不同水平的高斯噪聲的情況進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)。相比傳統(tǒng)的閾值去噪算法，改進(jìn)的算法不僅改進(jìn)了硬閾值函數(shù)在閾值處不連續(xù)的缺點(diǎn)，而且克服了軟閾值模型中原系數(shù)與經(jīng)過(guò)閾值處理后的系數(shù)之間有恒定偏差的缺點(diǎn)。通過(guò)實(shí)驗(yàn)仿真，在圖像去噪中具有更高的信噪比，取得了更好的視覺(jué)效果，具有更好的實(shí)用性。

關(guān)鍵詞：二進(jìn)小波變換;小波系數(shù);多閾值;峰值信噪比中圖分類(lèi)號(hào)：TP311? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1009-3044（2021）29-0102-03

在圖像的生成和傳輸過(guò)程中經(jīng)常會(huì)被各種噪聲干擾和影響，因而導(dǎo)致圖像的質(zhì)量有所降低，在進(jìn)行圖像邊緣檢測(cè)和圖像分割過(guò)程中，圖像由于存在噪聲造成圖像信噪比下降，這不僅對(duì)圖像的主觀(guān)質(zhì)量造成影響，而且對(duì)后續(xù)的圖像處理也造成不便，因此為了更好地抑制噪聲和改善圖像質(zhì)量，必須對(duì)圖像進(jìn)行去噪處理[1-3]。

由于小波變換的多分辨率及其能量集中特性使之成為圖像去噪領(lǐng)域研究的一個(gè)熱點(diǎn)。目前常用的濾波方法有中值濾波、維納濾波、小波軟硬閾值濾波法等。在傳統(tǒng)的去噪方法中有著保護(hù)圖像特征和抑制噪聲之間的矛盾[4]。而隨著小波理論的發(fā)展，不同的小波閾值去噪方法被許多學(xué)者提出，文獻(xiàn)[5-6]對(duì)所有系數(shù)采用同一閾值，而沒(méi)有考慮不同尺度小波系數(shù)之間的關(guān)系，而且該方法中使用的正交小波變換缺乏平移不變性，會(huì)容易使去噪后的圖像出現(xiàn)Gibbs效應(yīng)。文獻(xiàn)[7]針對(duì)硬閾值函數(shù)在閾值處不連續(xù)的缺點(diǎn)，提出一個(gè)新的閾值函數(shù)，但效果沒(méi)有很明顯，重構(gòu)后圖像與原圖也不是很逼近。

本文引入具有平移不變性的二進(jìn)小波變換，并對(duì)不同尺度的系數(shù)采用不同的閾值，這充分考慮了小波系數(shù)之間的相關(guān)性，而且提出新的閾值函數(shù)，不僅改進(jìn)了硬閾值函數(shù)在閾值處不連續(xù)的缺點(diǎn)，而且克服了軟閾值模型中原系數(shù)與經(jīng)過(guò)閾值處理后的系數(shù)之間有恒定偏差的缺點(diǎn)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，該方法較好地實(shí)現(xiàn)了圖像的去噪。

1二進(jìn)小波變換

二進(jìn)小波變換是在連續(xù)小波變換的基礎(chǔ)上對(duì)尺度因子進(jìn)行二進(jìn)制離散而保持平移因子連續(xù)變化得到的一種半離散小波變換[8-9]。二進(jìn)小波變換沒(méi)有進(jìn)行采樣操作，因此其具有平移不變性。在圖像去噪等眾多領(lǐng)域中平移不變性十分重要，它很好地保證了圖像原來(lái)重要細(xì)節(jié)信息的位置在二進(jìn)小波變換域中不會(huì)發(fā)生較大偏移，非常有效地避免了非線(xiàn)性變換造成的視覺(jué)形變[10]。在實(shí)際應(yīng)用中，幾乎都是在圖像取離散的形式下進(jìn)行圖像處理的，因此引進(jìn)二進(jìn)小波變換的離散算法很有必要，Mallat在二進(jìn)完全重構(gòu)條件下構(gòu)造了一類(lèi)可實(shí)現(xiàn)快速二進(jìn)小波變換的àtrous算法，它與Mallat算法具有相同的算法結(jié)構(gòu)。將一種改進(jìn)形式的一維àtrous算法[9]推廣得到如下二維àtrous算法[11]，用于圖像的分解與重構(gòu)。

定理1：二進(jìn)小波分解與重構(gòu)。

二進(jìn)小波分解公式：

2二進(jìn)小波濾波器

為了應(yīng)用àtrous算法對(duì)圖像進(jìn)行分解和重構(gòu)，需要構(gòu)造滿(mǎn)足二進(jìn)小波重構(gòu)條件的二進(jìn)小波濾波器來(lái)達(dá)到較好的圖像處

理效果。下面給出二進(jìn)小波濾波器的定義：

定理2：若分解濾波器（h，g）和重構(gòu)濾波器（，）的Fourier變換滿(mǎn)足二進(jìn)小波重構(gòu)條件?（ω）（ω）+ ?（ω）（ω）= 1，則稱(chēng){h，g，，}為二進(jìn)小波濾波器。

本文采用T.Abdukirim構(gòu)造的B-樣條二進(jìn)小波濾波器[1]：

低通濾波器：

高通濾波器：（ω）= （-1）τ e-i 2 ω （sin（ω ））r，

其中τ ={?????? r =2n?? r =2n +1

3閾值函數(shù)去噪

在閾值去噪的過(guò)程中，閾值函數(shù)是對(duì)系數(shù)進(jìn)行不同處理的策略。硬閾值函數(shù)較好地保留了圖像邊緣等特征，但會(huì)伴隨振鈴效應(yīng)等視覺(jué)失真現(xiàn)象，而軟閾值函數(shù)處理得相對(duì)平滑，但會(huì)造成邊緣模糊現(xiàn)象[5]。

針對(duì)二者的缺點(diǎn)，提出一種新的閾值函數(shù)：

觀(guān)察該閾值函數(shù)模型可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)α 等于π 時(shí)，該模型的作用與軟閾值模型相當(dāng);當(dāng)閾值λ 很小時(shí)，該模型的作用與軟閾值模型相當(dāng)。可見(jiàn)改進(jìn)的閾值函數(shù)是介于軟硬閾值函數(shù)之間的一個(gè)靈活選擇。改進(jìn)后的算法不僅解決了硬閾值函數(shù)在閾值處不連續(xù)的缺點(diǎn)，而且當(dāng)時(shí)是高階可導(dǎo)的，便于進(jìn)行各種數(shù)學(xué)處理。且隨著的增大，逐漸接近，克服了軟閾值模型中與之間有恒定偏差的缺點(diǎn)。

新閾值函數(shù)的連續(xù)性、可導(dǎo)性、漸近性分析如下（這里f（x）代替新閾值函數(shù)中的，x代替新閾值函數(shù)中的）。

①連續(xù)性分析：

lim f（x）= limsgn（x） =0，

lim f（x）= 0，

即lim f（x）= lim f（x） ，f （x）在x =λ 連續(xù)。

②可導(dǎo)性分析：

?f?? =1 （λ+ λcosα）- ，?f?? =0，

當(dāng)α= π時(shí)，?? =??? 新的閾值函數(shù)滿(mǎn)足可導(dǎo)性。

③漸近性分析：

同樣x <0時(shí)，有f（x）→ 1（x →-∞）。

同時(shí)，

f（x）- x = sgn（x）[（x +λcosα）（x -λ）]12- x →0（x →∞） ，

所以改進(jìn)的閾值模型以y = x為漸近線(xiàn)。

大量研究表明，通用閾值具有對(duì)小波系數(shù)“過(guò)扼殺”的傾向，將小于閾值的系數(shù)全部置為0可能會(huì)丟失部分表示圖像信息的系數(shù)[11]。

通用閾值[12]：λ= σ ，通用閾值的一種改進(jìn)形式：

其中，σ為噪聲方差，N為圖像大小。隨著尺度j 的增大，λj的值逐漸減小，使其與噪聲在小波變換各尺度上的傳播特性相一致。其中σ可取σ2= median| d，k |/0.6754。

二進(jìn)小波變換的閾值去噪算法如下：

①圖像的二進(jìn)小波分解：對(duì)含噪圖像 f（m，n）（m，n =1，2，...，N），選擇合適的小波濾波器用二進(jìn)小波分解公式進(jìn)行J層分解，得到一個(gè)低頻系數(shù)aJ，m，n和一組高頻系數(shù)d，m，n （i =1，2，3）;

②高頻系數(shù)的閾值處理：將高頻系數(shù) ，取閾值函數(shù)對(duì)其處理，得到估計(jì)系數(shù)d?ji，m，n （i =1，2，3）;

③圖像的二進(jìn)小波重構(gòu)：將估計(jì)系數(shù)聯(lián)合低頻系數(shù)aJ，m，n用二進(jìn)小波重構(gòu)公式進(jìn)行重構(gòu)得到去噪后的圖像.

4實(shí)驗(yàn)仿真與分析

實(shí)驗(yàn)采用大小為240×320的圖像belmont2作為測(cè)試對(duì)象，對(duì)其疊加不同水平的 Gaussian 噪聲，采用T.Abdukirim構(gòu)造的

B-樣條二進(jìn)小波濾波器[1]：

對(duì)圖像進(jìn)行分解，對(duì)分解后的高頻系數(shù)分別采用傳統(tǒng)的軟、硬閾值以及本文提出的多閾值去噪方法進(jìn)行閾值化。采用峰值信噪比（PSNR）作為去噪效果的客觀(guān)評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，計(jì)算公式

圖1為噪聲水平為20的圖像情況，其中（a）為原圖像，（b）為含噪圖像，（c）為硬閾值去噪圖像，（d）為軟閾值去噪圖像，（e）為本文方法去噪后圖像。

從圖1可以對(duì)比發(fā)現(xiàn)，改進(jìn)的閾值函數(shù)去噪效果要比軟硬閾值函數(shù)去噪效果要好，且用二進(jìn)小波變換處理圖像比用正交小波變換處理圖像更有效地解決了圖像的Gibbs效應(yīng)，且從數(shù)據(jù)對(duì)比可以看出，改進(jìn)的閾值函數(shù)的信噪比PSNR都大于軟硬閾值的PSNR。另外去噪的處理效果和計(jì)算結(jié)果都與閾值函數(shù)中的閾值設(shè)置有關(guān)，且從圖中可以看出對(duì)不同尺度使用不同閾值的處理效果要比在不同尺度使用同一閾值效果要好，如果閾值設(shè)置適中，其去噪性能也會(huì)有不同程度的提高。

5結(jié)束語(yǔ)

該文針對(duì)圖像去噪中的多閾值去噪方法進(jìn)行研究，分析了傳統(tǒng)閾值去噪的缺陷，并在已研究的基礎(chǔ)上提出一種新的基于二進(jìn)小波變換的多閾值去噪方法，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，該方法比傳統(tǒng)的閾值去噪方法有更好的效果。如何根據(jù)小波分解后三個(gè)高通部分的特點(diǎn)為其設(shè)置不同的閾值函數(shù)進(jìn)行圖像去噪，這將有待進(jìn)一步的研究。

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【通聯(lián)編輯：李雅琪】