時(shí)滯多智能體系統(tǒng)的事件觸發(fā)一致性

王雪兒，羅毅平

（湖南工程學(xué)院 電氣與信息工程學(xué)院，湘潭 411104）

0 前言

多智能體系統(tǒng)的協(xié)同控制因其在實(shí)際生活中廣泛的應(yīng)用，而受到許多學(xué)者的關(guān)注，成為當(dāng)下熱門的研究課題.其應(yīng)用包括移動機(jī)器人編隊(duì)控制［1］，災(zāi)區(qū)多機(jī)器人救援系統(tǒng)［2］，無線傳感器網(wǎng)絡(luò)［3］，分布式車輛編隊(duì)控制［4-5］，微型衛(wèi)星群同步研究等［6］.

一致性是多智能體系統(tǒng)協(xié)同控制中比較重要的問題，近年來已成為該領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)，相關(guān)的研究可見文獻(xiàn)［7-9］.

然而在上述的文獻(xiàn)中均未考慮時(shí)滯對多智能體系統(tǒng)的影響，由于各個(gè)智能體之間的信息交互會產(chǎn)生時(shí)滯，時(shí)滯會破壞系統(tǒng)的性能而導(dǎo)致系統(tǒng)的不穩(wěn)定.所以，在多智能體系統(tǒng)一致性研究中，時(shí)滯大多都會予以考慮.因此，研究時(shí)滯對多智能體系統(tǒng)一致性的影響具有重要的現(xiàn)實(shí)意義.文獻(xiàn)［10］研究了基于延遲采樣數(shù)據(jù)的多智能體系統(tǒng)的一致性問題，提出了基于延遲采樣數(shù)據(jù)的觀測器輸出反饋控制器.文獻(xiàn)［11］針對一類具有不確定性和外部干擾的輸入時(shí)滯多智能體系統(tǒng)，提出了一種魯棒反饋控制器，以保證系統(tǒng)的一致性，文獻(xiàn)［12］研究了具有輸入故障和時(shí)變時(shí)滯的多智能體系統(tǒng)的一致性問題.

在上述提到的文獻(xiàn)中，各個(gè)智能體之間只能通過不斷地進(jìn)行信息交互，使得系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)一致.然而，在實(shí)際應(yīng)用中，許多時(shí)候能提供給各個(gè)智能體的能量是有限的，而智能體又被要求不斷地進(jìn)行狀態(tài)采樣、數(shù)據(jù)傳輸和控制器更新等.所以，這種連續(xù)采樣機(jī)制會降低控制器的使用壽命.于是有人提出事件觸發(fā)控制，在使用事件觸發(fā)控制技術(shù)的系統(tǒng)中，只有滿足相應(yīng)的事件觸發(fā)條件，系統(tǒng)才會進(jìn)行信息傳輸和調(diào)整控制信號.相比之下，事件觸發(fā)控制可以進(jìn)一步更有效地利用資源和減少控制器的損耗.因此，事件觸發(fā)控制受到了學(xué)者們極大的關(guān)注.迄今為止，在針對設(shè)計(jì)事件觸發(fā)控制器實(shí)現(xiàn)多智能體系統(tǒng)的一致性的問題上，有許多學(xué)者對此做了一系列的研究.如Zhang等［13］研究了一類單積分器多智能體系統(tǒng)的一致問題，提出了兩種新的分布式事件觸發(fā)控制方案，減少了控制器的更新頻率和通信負(fù)載.針對二階多智能體系統(tǒng)，文獻(xiàn)［14］通過利用分布式事件觸發(fā)策略，實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的一致性.Liu等［15］考慮了一類具有交換網(wǎng)絡(luò)的多智能體系統(tǒng)基于事件觸發(fā)控制的領(lǐng)導(dǎo)者-跟隨一致性問題.

上述關(guān)于多智能體一致性控制的研究主要是考慮漸進(jìn)一致，但在實(shí)際工程應(yīng)用中，往往需要多智能體系統(tǒng)在有限時(shí)間內(nèi)就實(shí)現(xiàn)一致，而且有限時(shí)間一致具有更強(qiáng)的魯棒性和抗干擾性等良好性能.因此，多智能體系統(tǒng)的有限時(shí)間一致性控制研究已成為近年來的一個(gè)研究熱點(diǎn).然而，在上述針對有限時(shí)間的研究中，收斂時(shí)間依賴于初始狀態(tài)，所以收斂時(shí)間可能會隨著初始條件的增加而無限制地增大，同時(shí)在實(shí)際應(yīng)用中，可能會出現(xiàn)初始狀態(tài)無法提前預(yù)知的情況，那么上述的這些研究結(jié)果將不再有效.為了解決上述多智能體系統(tǒng)有限時(shí)間一致性的局限性，即可以在不考慮初始狀態(tài)的情況下，設(shè)計(jì)系統(tǒng)能夠在有限時(shí)間內(nèi)實(shí)現(xiàn)一致性的控制方法.于是，多智能體系統(tǒng)固定時(shí)間一致性問題的研究就成了一個(gè)重要的課題.

目前也有一些學(xué)者研究多智能體系統(tǒng)的固定時(shí)間一致性問題.如文獻(xiàn)［16］針對一階多智能體系統(tǒng)，基于未知的非線性動力學(xué)特性，研究了一階多智能體系統(tǒng)的固定時(shí)間一致性問題.Wang等［17］研究了一類針對通信拓?fù)涞囊浑A非線性多智能體系統(tǒng)的固定時(shí)間一致性問題.上述文獻(xiàn)均沒有考慮時(shí)滯，而研究關(guān)于時(shí)滯多智能體系統(tǒng)的固定時(shí)間一致性問題的成果不多.還有許多問題值得更進(jìn)一步的探討.受以上分析研究的啟發(fā)，本文研究了基于事件觸發(fā)策略的一階時(shí)滯多智能體系統(tǒng)的固定時(shí)間一致性問題.本文的創(chuàng)新點(diǎn)如下：

（1）研究了基于事件觸發(fā)控制的具有時(shí)滯的非線性多智能體系統(tǒng)的固定時(shí)間一致性問題.

（2）設(shè)計(jì)了一個(gè)分布式事件觸發(fā)控制器，應(yīng)用李亞普諾夫函數(shù)等方法，獲得了基于事件觸發(fā)控制的具有時(shí)滯的多智能體系統(tǒng)的固定時(shí)間一致性的充分條件.

（3）對每個(gè)智能體設(shè)計(jì)了事件觸發(fā)條件，只有當(dāng)事件觸發(fā)條件滿足時(shí)，各個(gè)智能體才會向其相鄰的智能體傳輸信息，這樣不要求各個(gè)智能體之間進(jìn)行連續(xù)通信，降低了能耗和通信帶寬，證明了在此事件觸發(fā)控制器的作用下系統(tǒng)能在固定時(shí)間實(shí)現(xiàn)一致，同時(shí)證明了這種觸發(fā)機(jī)制能避免芝諾行為.

1 準(zhǔn)備和問題陳述

1.1 準(zhǔn)備

下面的符號將貫穿本文，Rn和R n×n分別表示n維的歐幾里德空間，以及n×n維的實(shí)矩陣，λmax(x)和λmin(x)代表x的最大和最小特征值，1n表示元素全為1的n維列向量，I N表示N維單位矩陣.對于向量s=(s1,...,s n)T∈R n，同時(shí)，我們有這樣的定義.另外，diag(...)表示塊對角矩陣，sign(.)表示符號函數(shù).用一個(gè)無向圖G=(V,E,A)來表示一個(gè)多智能體系統(tǒng)，V={v1,...,v N}表示節(jié)點(diǎn)集，E?V×V是表示智能體之間信息交換的邊集，A=(a ij)N×N是加權(quán)鄰接矩陣，如果(v j,v i)∈E，a ij＞0，表示智能體i可以接收到智能體j的信息，否則，a ij=0.智能體i的鄰居的個(gè)數(shù)可以表示為.節(jié)點(diǎn)v i的度可以表示為，同時(shí)，無向圖G的度矩陣可以表示為，定義拉普拉斯矩陣且j≠i.

對于一個(gè)連通的無向圖G而言，拉普拉斯矩陣L只有一個(gè)特征值0，對應(yīng)的一個(gè)特征向量是1n，同時(shí)可以得到，并且有

定義1［18］假設(shè)原點(diǎn)是系統(tǒng)的平衡點(diǎn)

其中f(t,x(t)):R+×R N→R N是一個(gè)未知的非線性函數(shù).如果f(t,x(t))是不連續(xù)的，（1）的解可以理解為Filippov解［19］.

如果系統(tǒng)是李雅普諾夫穩(wěn)定的，則系統(tǒng)（1）的原點(diǎn)可以說是全局固定時(shí)間穩(wěn)定的.即存在一個(gè)收斂時(shí)間T(x0)＞0，使得任意解x(t,x0)在收斂時(shí)間T(x0)內(nèi)達(dá)到平衡.

定義2［18］如果系統(tǒng)（1）是全局有限時(shí)間穩(wěn)定的，且T是有界的，則系統(tǒng)（1）的原點(diǎn)是固定時(shí)間穩(wěn)定的.?Tmax＞0，使得對于任何初始狀態(tài)T≤Tmax.

注記1：一個(gè)系統(tǒng)能否在有限時(shí)間穩(wěn)定是與初始條件有關(guān)的，而一個(gè)系統(tǒng)能否在固定時(shí)間穩(wěn)定與初始條件無關(guān).具體的說明可以參考文獻(xiàn)［20］.

定義3［21］如果對于給定的任何初始值x i(0),i=1,2,...,N，都存在一個(gè)與初始值有關(guān)的正數(shù)T以及固定的常數(shù)Tmax＞0，且T≤Tmax，對于任意的i,j=1,2,...,N，有：

則稱閉環(huán)系統(tǒng)達(dá)到固定時(shí)間一致性.

引理1［22］假設(shè)x1,x2,...,x n≥0,0＜p≤1，q＞1，可以得到：

引理2［18］如果存在一個(gè)連續(xù)的徑向無界函數(shù)V(t)使得式（1）的任意解x(t)都滿足，使得：

其中a,b＞0，α∈(0,1)，β∈(1,+∞)，可以達(dá)到固定時(shí)間穩(wěn)定.收斂時(shí)間T滿足T≤Tmax=

1.2 問題陳述

假設(shè)一個(gè)由N個(gè)多智能體組成的多智能體系統(tǒng)，其中第i個(gè)智能體的動態(tài)可以被如下描述：

其中x i(t)∈R n表示智能體i的狀態(tài)，u i(t)∈Rn表示智能體i的控制輸入，A，A d是合適維數(shù)的常數(shù)矩陣，d是常數(shù)時(shí)滯，f(·)∈Rn為非線性函數(shù).

注記2：模型（2）考慮的智能體動力方程本身包含固有時(shí)滯，輸入也包含時(shí)滯.為了方便計(jì)算，假設(shè)系統(tǒng)所包含的固有時(shí)滯和輸入時(shí)滯是相同的.當(dāng)然，也可以不同，而且還可以是時(shí)變時(shí)滯.但是，無論是哪種形式，其研究方法是相同的.與文獻(xiàn)［23］相比，模型（2）考慮了非線性項(xiàng)，而文獻(xiàn)［23］只考慮了輸入時(shí)滯.

假設(shè)1存在非負(fù)常數(shù)η，非線性函數(shù)f滿足：

假設(shè)2在系統(tǒng)（2）中，無向通信圖G是連通的.

2 主要結(jié)果

在本小節(jié)中，研究基于事件觸發(fā)機(jī)制的多智能體系統(tǒng)的固定時(shí)間一致性問題，設(shè)計(jì)智能體i的控制器如下：

其中k1，k2，k3為控制增益且均為正數(shù)，表示智能體i的最近一次事件觸發(fā)時(shí) 刻，表示智能體j的最近一次事件觸發(fā)時(shí)刻，智能體i利用采樣信息更新控制輸入的時(shí)刻為

在這里，y i(t)被定義為：

其中：

注記3：為讓系統(tǒng)在固定時(shí)間內(nèi)實(shí)現(xiàn)一致性，文獻(xiàn)［24］、［25］采用的是連續(xù)時(shí)間控制器.與之相比，本文所提出的事件觸發(fā)控制器可以減少能量消耗和磨損.

將測量誤差定義為如下的形式：

u i(t)又可以寫成：

同時(shí)，智能體i在下一次事件觸發(fā)時(shí)刻的判定如下：

在判定條件（8）中，函數(shù)g i(t)可稱為事件觸發(fā)函數(shù)：

在（9）式中，ξ∈(0,1)是觸發(fā)參數(shù)，將在后面做出相應(yīng)的選擇.

定理1考慮一般的多智能體系統(tǒng)，對于具有通信拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)G且為連通無向圖的多智能體網(wǎng)絡(luò)，事件觸發(fā)函數(shù)設(shè)計(jì)如下：

若（10）式成立，則多智能體系統(tǒng)（2）在任意初始條件下均能實(shí)現(xiàn)固定時(shí)間一致性.

此外，收斂時(shí)間可以由下列等式來估計(jì)：

證明：對等式（5）進(jìn)行求導(dǎo)，可以得到：

構(gòu)造李亞普洛夫函數(shù)如下：

同時(shí)我們可以得到：

然后，再對等式（12）進(jìn)行求導(dǎo)，結(jié)合引理1和等式（7），我們可以得到：

根據(jù)引理2，我們可以得到在固定時(shí)間內(nèi)V(t)→0，且收斂時(shí)間T滿足：

當(dāng)V(t)=0,?t≥T時(shí)，x i(t)=x j(t)，這表明多智能體系統(tǒng)可以在固定時(shí)間內(nèi)實(shí)現(xiàn)一致.定理1的證明完成.

注記4：與文獻(xiàn)［26］相比，本文采用了一個(gè)新的事件觸發(fā)機(jī)制，讓系統(tǒng)不僅能在固定時(shí)間內(nèi)實(shí)現(xiàn)一致，還考慮了時(shí)滯對系統(tǒng)的影響.其次，設(shè)計(jì)的是一個(gè)分布式事件觸發(fā)控制策略，在該控制策略下，系統(tǒng)中每個(gè)智能體的事件觸發(fā)條件的判定僅依賴于其自身及鄰居節(jié)點(diǎn)的局部狀態(tài)信息，無須考慮系統(tǒng)的全局狀態(tài)信息.因此，與文獻(xiàn)［27］中提出的集中式事件觸發(fā)共識算法相比，本文所采用的分布式事件觸發(fā)控制策略能夠顯著地減少智能體之間的數(shù)據(jù)傳輸，可以較大程度地減少網(wǎng)絡(luò)中的通信量，提高能量的利用率.

推論1對于下面所給的多智能體系統(tǒng)

該系統(tǒng)是具有通信拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)G且為連通無向圖的多智能體網(wǎng)絡(luò)，事件觸發(fā)函數(shù)設(shè)計(jì)如下：

此外，收斂時(shí)間可以由下列等式來估計(jì)：

定理2考慮具有事件觸發(fā)控制協(xié)議（3）和觸發(fā)函數(shù)（9）的多智能體系統(tǒng)，將不會存在芝諾行為.

證明：首先，可以得到：

從（15）式中，可以得到：

同時(shí)由事件觸發(fā)條件（8），智能體i在g i(t)=0之前，不會觸發(fā)下一個(gè)事件.

其中：

上述（17）式可以變成：

證明完成.

3 數(shù)值仿真

本節(jié)將通過數(shù)值仿真來驗(yàn)證本文結(jié)論的有效性.

考慮具有5個(gè)智能體的多智能體系統(tǒng)（2），該系統(tǒng)的所有非零連接權(quán)值均為1，通信拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)如圖1所示.設(shè)控制增益k1=2，k2=4，k3=0.5，觸發(fā)參數(shù)ξ=0.6，常數(shù)時(shí)滯d=0.01，γ=1.8.拉普拉斯矩陣L和其他系統(tǒng)參數(shù)如下：

圖1 無向拓?fù)鋱D

圖2 x i1(i=1,2,3,4,5)的狀態(tài)軌跡

圖3 x i2(i=1,2,3,4,5)的狀態(tài)軌跡

圖4 x i3(i=1,2,3,4,5)的狀態(tài)軌跡

圖5 觸發(fā)間隔

圖6 控制輸入ui2的演化過程

圖7 控制輸入u i的演化過程

圖8 測量誤差

4 結(jié)束語

本文研究了基于事件觸發(fā)控制的時(shí)滯多智能體系統(tǒng)的固定時(shí)間一致性問題，設(shè)計(jì)了分布式事件觸發(fā)策略，給出了每個(gè)智能體的觸發(fā)條件，這種方法能夠降低系統(tǒng)的能耗和控制器更新頻率.同時(shí)，所提出的事件觸發(fā)控制策略可以保證任何初始條件下的收斂時(shí)間.然后應(yīng)用李亞普諾夫函數(shù)等方法，獲得了基于事件觸發(fā)控制的具有時(shí)滯的多智能體系統(tǒng)的固定時(shí)間一致性的充分條件，證明了該事件觸發(fā)控制能夠避免芝諾行為.最后進(jìn)行了數(shù)值仿真，驗(yàn)證了理論分析的正確性.本文研究的是針對一階多智能體系統(tǒng)的固定時(shí)間一致性問題.由于二階系統(tǒng)以及系統(tǒng)中含有干擾等因素的一致性問題比一階系統(tǒng)的一致性問題更復(fù)雜，因此本文提出的方法不能直接用于處理這些問題.我們下一步的研究工作包括二階和具有不確定性的多智能體系統(tǒng)的保成本一致性問題.