拉普拉斯變換在卡方分布中的應(yīng)用

劉芝秀，賴伊清

拉普拉斯變換在卡方分布中的應(yīng)用

劉芝秀，賴伊清

（南昌工程學(xué)院 理學(xué)院，江西 南昌 330099）

本文利用拉普拉斯變換作為概率分布的特征函數(shù)，重新導(dǎo)出了卡方密度函數(shù), 并給出了計算卡方分位數(shù)的一種新算法，該算法可用于計算自由度為4的任意卡方分位數(shù)，基于自由度為4的任意卡方分位數(shù)的計算進而改進了教學(xué)評估的一種手段，即提高了五等級評價標(biāo)準(zhǔn)下學(xué)生成績占比異常情況的抽檢效率。

拉普拉斯變換; 卡方分布; 卡方分位數(shù); 自由度; 教育質(zhì)量評估

本文即基于這一思考，用拉普拉斯變換作為分布函數(shù)的特征函數(shù)，同時給出了計算自由度為4的任意卡方分位數(shù)的算法，并進而應(yīng)用它緩解了教學(xué)管理與評估過程中關(guān)于提高五等級評價標(biāo)準(zhǔn)下學(xué)生成績占比異常情況抽檢的效率問題。

1 技術(shù)預(yù)備

利用拉普拉斯變換的性質(zhì)可以很方便的計算如下兩個常見函數(shù)的拉普拉斯變換。

接下來是本文還需要的拉氏變換的卷積定義與性質(zhì)、唯一性性質(zhì)和積分性質(zhì)。

2 卡方密度函數(shù)的證明

有了以上的準(zhǔn)備就可以用新的方法重新推導(dǎo)卡方密度函數(shù)。

而由(2.1)式可得

又根據(jù)性質(zhì)2.1知

3 卡方分位數(shù)的計算

由性質(zhì)2.3知

即

4 在教學(xué)評估技術(shù)中的應(yīng)用

下面指出上述內(nèi)容在教學(xué)管理與評估過程中的應(yīng)用。教育的方式和內(nèi)容需要與時俱進的穩(wěn)步改革與創(chuàng)新才能保持其先進性，例如面對新工科人才培養(yǎng)目標(biāo)，協(xié)同開展 STEM 教育就是一個值得探索嘗試的教學(xué)模式[6]；在新冠疫情的影響下，采用線上教學(xué)，提高教學(xué)的信息技術(shù)水平，設(shè)計好線上教學(xué)對保證教學(xué)質(zhì)量顯得尤其重要[7]；在“課程思政”理念的引領(lǐng)下,如何將思政元素恰當(dāng)?shù)娜谌胝n堂教學(xué)在為國家培養(yǎng)優(yōu)秀人才方面具有深遠意義[8]。另一方面，在教學(xué)改革和實踐過程中不能離開對教育教學(xué)質(zhì)量的管理與評估[9-10]，通常教學(xué)管理與評估部門會根據(jù)往年的教學(xué)情況和當(dāng)年的教學(xué)質(zhì)量目標(biāo)，制定一個內(nèi)部的教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測標(biāo)準(zhǔn)，從而可以采取科學(xué)合理的檢查與督導(dǎo)行動。教學(xué)質(zhì)量的評估仍然以課程考核為最基本的手段，經(jīng)驗事實告訴我們，學(xué)生的成績總是參差不齊，但具有一定的統(tǒng)計規(guī)律性，考試題目缺乏區(qū)分度、教師的教學(xué)工作不到位、學(xué)生的學(xué)風(fēng)較差等等因素都會造成學(xué)生成績分布與正常預(yù)期目標(biāo)分布有較大的偏差。教學(xué)管理與評估部門面對著眾多的待檢課程，但卻又僅有較少的專家力量能夠進行課程考核和教學(xué)質(zhì)量的檢查與督導(dǎo)，有限的專家資源應(yīng)該重點投放到哪些課程的檢查和督導(dǎo)之中就成了一個首先要解決的問題，自然的，應(yīng)將專家力量重點投放到學(xué)生考核成績占比異常的課程之中。

操作實驗如下：

表1 常見卡方分布表 (此處)

僅在卡方分布表所給的分位數(shù)下，可能出現(xiàn)要么全部課程都通過檢驗，要么全部課程都通不過檢驗，而這一技術(shù)問題正可利用前面提出的任意分位數(shù)計算方法進行解決。

表2 課程A卡方統(tǒng)計量計算結(jié)果

表3 課程B卡方統(tǒng)計量計算結(jié)果

表4 課程C卡方統(tǒng)計量計算結(jié)果

import math

x=0.5 #x為牛頓迭代法的初始點，運算的最終結(jié)果為分位數(shù)

for i in range(1,100): #此處循環(huán)100次，可以修改循環(huán)次數(shù)或用誤差控制循環(huán)次數(shù)x=x-((x/2+1) *(math.e**(-x/2))-a)/((-x/2)*(math.e**(-x/2))) #牛頓迭代公式print(x)

表5 補充的卡方分布表（含常見卡方分布表不能查閱的分位數(shù)）

根據(jù)表2至表5可知，在置信水平為98%的情況下可以認(rèn)為課程A和C符合預(yù)期估計，課程B明顯不符合預(yù)期；在置信水平為85%的情況下可以認(rèn)為課程C符合預(yù)期估計，課程 A和B不符合預(yù)期；在置信水平為75%的情況下可以認(rèn)為課程A、B、C均不符合預(yù)期估計。相應(yīng)的決策是，如果只有一組專家可以只檢查課程B，如果有兩組專家可以檢查課程 A和B，如果有三組專家則可以檢查課程A、B、C。

學(xué)生成績占比異常檢驗采用更多分組仍然可行，不同的只是卡方檢驗統(tǒng)計量的自由度，上述方法仍然是實際有效的。當(dāng)然確定重點檢查課程的具體方法有多種，甚至可以直接對卡方統(tǒng)計量大小進行排序而得，統(tǒng)計量越大的課程越應(yīng)該被重點檢查和督導(dǎo)，但習(xí)慣上我們希望給出一個較全面的回答，即在一定置信水平下所采取的行動，這樣更加量化了教學(xué)管理行為的科學(xué)性。

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O177.6

A

1672-1047（2021）06-0131-04

10.3969/j.issn.1672-1047.2021.06.34

2021-11-01

江西省教育廳科技項目“正規(guī)族和整函數(shù)動力系統(tǒng)”（GJJ180944）；江西省教育廳科技項目“層次分析法經(jīng)驗矩陣的一致性檢驗與調(diào)整及其應(yīng)用研究”（GJJ190963）；江西省高校人文社科項目“應(yīng)用型本科院校學(xué)生學(xué)習(xí)力培養(yǎng)策略研究——基于STEM教育視角”（JY18233）。

劉芝秀，女，四川自貢人，碩士，講師。研究方向：應(yīng)用數(shù)學(xué)。

[責(zé)任編輯：張克新]