2021年諾貝爾物理學(xué)獎：復(fù)雜系統(tǒng)科學(xué)的新紀(jì)元

樊京芳，金瑜亮

①北京師范大學(xué)，北京 100875；②中國科學(xué)院理論物理研究所，北京 100190；③中國科學(xué)院大學(xué)，北京100049

1991年，諾貝爾獎委員會給物理學(xué)家de Gennes的頒獎詞里提到“復(fù)雜性”(complexity)一詞。復(fù)雜系統(tǒng)科學(xué)經(jīng)過30年迅速發(fā)展，研究對象已經(jīng)超過單純的物理體系，涵蓋了從玻璃到氣候、地球等廣泛復(fù)雜系統(tǒng)。2021年的諾貝爾物理學(xué)獎頒發(fā)給3位在復(fù)雜系統(tǒng)科學(xué)方面獲得杰出成就的科學(xué)家，說明該領(lǐng)域的研究已經(jīng)獲得學(xué)術(shù)界的重視，甚至有可能引發(fā)自然科學(xué)的變革，標(biāo)志著一個新紀(jì)元的開端。

1 地球系統(tǒng)科學(xué)

地球作為一個復(fù)雜的自適應(yīng)系統(tǒng)，從組成結(jié)構(gòu)上看主要包括大氣圈、水圈、冰凍圈、巖石圈和生物圈5大圈層。同時，各個圈層之間和內(nèi)部具有高度的非線性相互作用和反饋回路(圖1)[1]。實(shí)際上每個圈層本身也可以被視為一個獨(dú)立的復(fù)雜體系，并可以進(jìn)一步分解為更專業(yè)的子系統(tǒng)。然而，隨著對地球系統(tǒng)多組分之間物理、化學(xué)、生物以及人類相互作用的日益了解，人們意識到應(yīng)該將地球系統(tǒng)作為一個整體看待。這些研究和其結(jié)果產(chǎn)生出一門新的學(xué)科——地球系統(tǒng)科學(xué)。正如汪品先院士所言，“地球系統(tǒng)科學(xué)不應(yīng)當(dāng)理解為各門地球科學(xué)的疊加，而是探索其圈層相互作用，整合其各種學(xué)科，將地球作為一個完整系統(tǒng)來研究的學(xué)問”[2]。

圖1 地球復(fù)雜系統(tǒng)示意圖[1]

地球系統(tǒng)科學(xué)是一門基于觀測的實(shí)驗(yàn)學(xué)科，依賴于技術(shù)、儀器和全球合作。全球尺度上長期連續(xù)的觀測僅僅有60年左右的歷史，最早可以追溯到1957年10月4日蘇聯(lián)成功發(fā)射世界首顆人造衛(wèi)星之時。隨后，美國于1958年1月31日將“探險者一號”衛(wèi)星送上太空。衛(wèi)星、遙感和測繪是地球系統(tǒng)科學(xué)產(chǎn)生的前提，有了遙感技術(shù)才有全球視野。1999年德國物理學(xué)家Hans Joachim Schellnhuber甚至把遙感技術(shù)的發(fā)明比作“第二次哥白尼式革命”。第一次是依靠望遠(yuǎn)鏡，哥白尼在《天體運(yùn)行論》提出的“日心說”挑戰(zhàn)了當(dāng)時人們深信不疑的“地心說”；第二次依靠遙感技術(shù)從太空看地球，從而產(chǎn)生“地球系統(tǒng)科學(xué)”[3]。他進(jìn)一步指出，地球系統(tǒng)可以用一個簡短的數(shù)學(xué)形式來描述E=(N,H)，其中N指的是自然因素，H代表的是人類的驅(qū)動因素。

伴隨著地球系統(tǒng)科學(xué)的發(fā)展，20世紀(jì)80年代后相繼成立四大全球環(huán)境變化計劃，為研究全球氣候變化提供了合作的國際框架。四大全球環(huán)境變化計劃為：世界氣候研究計劃(WCRP,World Climate Research Programme) ；政府間氣候變化專門委員會(IPCC, Intergovernmental Panel on Climate Change)；國際地圈生物圈計劃(IGBP,International Geosphere-biosphere Programme)和國際全球環(huán)境變化人文因素計劃(IHDP, International Human Dimensions Programme)。2001年，四大全球環(huán)境變化計劃聯(lián)手成立了地球系統(tǒng)科學(xué)聯(lián)盟(ESSP, Earth System Science Partnership)，對地球系統(tǒng)進(jìn)行集成研究。該聯(lián)盟著重研究糧食、碳、水、人類安全等四大關(guān)乎人類生計與生存的關(guān)鍵可持續(xù)性問題，主要目的是綜合研究地球系統(tǒng)變化及其對全球的可持續(xù)性影響。

諾貝爾物理學(xué)委員會主席Thors Hans Hansson曾說：“今年獲獎的研究表明，我們關(guān)于氣候的知識，是基于對觀測的嚴(yán)格分析，建立在堅(jiān)實(shí)的科學(xué)基礎(chǔ)之上的?！逼渲小皥?jiān)實(shí)的科學(xué)基礎(chǔ)”體現(xiàn)在氣候模式的發(fā)展上。

1.1 氣候模式(climate model)

目前，氣候模式是研究地球復(fù)雜系統(tǒng)尤其是氣候系統(tǒng)時最重要的研究工具，被廣泛應(yīng)用于預(yù)報天氣、理解氣候和預(yù)測氣候變化等方面。氣候模式的研究方法是建立包含復(fù)雜的動力學(xué)及熱力學(xué)過程和物理化學(xué)過程的數(shù)學(xué)模型，并基于觀測數(shù)據(jù)來模擬和預(yù)測氣候系統(tǒng)的演化。氣候模式不僅可以分析和理解一些氣候現(xiàn)象及整個地球氣候系統(tǒng)的物理學(xué)機(jī)制，還可以模擬和預(yù)測在氣候變化背景下氣候系統(tǒng)的演化方向等。

氣候模式的開發(fā)依賴于經(jīng)典物理學(xué)、計算數(shù)學(xué)、計算機(jī)科學(xué)和大氣動力學(xué)等學(xué)科的發(fā)展。真鍋淑郎(Syukuro Manabe)和克勞斯·哈塞爾曼(Klaus Hasselmann)就是因“對地球氣候建立物理模型、量化可變性并可靠地預(yù)測全球變暖”共同分享了2021年諾貝爾物理學(xué)獎一半的獎金。

氣候模式是研究氣候的理論體系，當(dāng)前的氣候模式可分為能量平衡模式(energy-balance model)、輻射對流模式(radiative-convective model)、統(tǒng)計動力模式(statistical-dynamical model)和一般環(huán)流模式(general circulation model)四大類(圖2)。

圖2 氣候模式的分類[4]

(1)能量平衡模式是最簡單的氣候模式，從能量平衡方程出發(fā)研究不同物理因子(如二氧化碳)、反照率等的作用。該模式通常采用兩種簡單形式：零維模型，即地球作為一個點(diǎn)；一維模型，即考慮溫度在緯度上的差別。在一維模型中，每個緯度帶可由以下方程來描述：

其中：S(Φ)是緯度為Φ的年平均輻射強(qiáng)度；α(Φ)是對應(yīng)的反照率，當(dāng)T<-10°C時α=0.62，否則α=0.30；c指的是水平傳熱系數(shù)(3.81 W·m-2·K-1)；T(Φ)是緯度為Φ的地表溫度，代表全球平均地表溫度；A和B是控制長波輻射損耗的參數(shù)(A=204.0 W·m-2，B=2.17 W·m-2·K-1)。值得注意的是，在一些更復(fù)雜的能量平衡模型中還要考慮大氣和海洋之間的能量轉(zhuǎn)移。

(2)輻射對流模式，考慮一維的溫度垂直分布，常作為更復(fù)雜的模式的一部分，主要研究不同輻射過程的相互作用。該模式可以研究溫室氣體(如二氧化碳)對全球地表溫度的響應(yīng)，其數(shù)學(xué)方程簡單描述為：

3個分式分別代表大氣頂層(上式)、云層(中式)和地表(下式)的能量平衡方程。其中，ac、αc、ε和αg代表云的短波吸收率、反照率、紅外發(fā)射率和表面反照率，σ是Stefan-Boltzmann常數(shù)。輻射對流模式包含有關(guān)整個大氣輻射通量的信息，包括太陽輻射通量、云量和陸地。

(3)統(tǒng)計動力模式考慮緯圈平均，對大型渦旋輸送參數(shù)化用來研究不同物理因子如二氧化碳、太陽常數(shù)等的作用。

(4)一般環(huán)流模式標(biāo)志著氣候建模的一個真正概念上的突破，是最為完善的氣候模式。一般環(huán)流模型詳細(xì)研究不同物理因子如海溫、二氧化碳、太陽常數(shù)、陸面反照率等的作用，通常需要求解旋轉(zhuǎn)球體的納維-斯托克斯方程。三維的一般環(huán)流模型需要求解由動量守恒、質(zhì)量守恒、能量守恒的微分方程和理想氣體方程組成的方程組：

1.2 真鍋淑郎及其開創(chuàng)性貢獻(xiàn)

真鍋淑郎(圖3)出生于1931年，1953年從東京大學(xué)理學(xué)部地球物理學(xué)科畢業(yè)后繼續(xù)在本校攻讀數(shù)學(xué)物理專業(yè)，1958年獲得理學(xué)博士學(xué)位。他畢業(yè)后于同年去美國氣象局的總循環(huán)研究部門(即現(xiàn)在的美國地球物理流體動力學(xué)實(shí)驗(yàn)室(GFDL))工作。1997—2001年，真鍋在日本的全球變化前沿研究系統(tǒng)中擔(dān)任全球變暖研究部主任。2002年，他作為普林斯頓大學(xué)大氣與海洋科學(xué)計劃的客座研究合作伙伴回到美國，目前在普林斯頓大學(xué)擔(dān)任高級氣象學(xué)家。他曾經(jīng)獲得2015年的本杰明·富蘭克林獎?wù)潞?018年的克拉福德獎。

圖3 2018年在克拉福德獎頒獎典禮上的真鍋淑郎

真鍋淑郎致力于研究和開發(fā)基于計算機(jī)的氣候模式，因建立使預(yù)測全球變暖成為可能的真鍋模型而聞名。1967年，真鍋淑郎和Wetherald首次開發(fā)出一維輻射對流模式[5]，把空氣團(tuán)因?qū)α鞫a(chǎn)生的垂直輸送和水蒸氣的潛熱納入其中，用來研究二氧化碳水平增加將如何導(dǎo)致氣溫升高。該模型顯示，大氣中二氧化碳濃度升高導(dǎo)致地球表面和對流層的溫度也隨之升高，而平流層的溫度隨之降低。他們進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)氧和氮對地表溫度的影響可忽略不計，而二氧化碳的影響很明顯：當(dāng)二氧化碳水平翻倍時，全球溫度上升超過2 ℃(圖4)。他們的工作也為建立更復(fù)雜的氣候模式奠定了基礎(chǔ)。

圖4 真鍋氣候模式揭示了大氣溫度、高度和二氧化碳濃度的關(guān)系[5]

此外，真鍋還發(fā)展了一個理想海陸分布下墊面的三維大氣環(huán)流模式，并模擬二氧化碳加倍情景時氣候的變化[6]。根據(jù)他的模擬，二氧化碳濃度若增加一倍(自300 ppm增至600 ppm，1 ppm=10-6)，全球平均溫度將上升2.93℃。這一結(jié)論為日后IPCC的第一次評估報告提供了重要論據(jù)。1969年真鍋淑郎和Bryan開發(fā)出首個海洋-大氣耦合環(huán)流模式用于對氣候進(jìn)行模擬，該模式可以研究十年到百年時間尺度的氣候演化[7]。

1.3 克勞斯·哈塞爾曼及其開創(chuàng)性貢獻(xiàn)

1931年10月25日哈塞爾曼(圖5)生于魏瑪共和國時期的漢堡，父親埃爾溫·哈塞爾曼是經(jīng)濟(jì)學(xué)家、記者兼出版商。1934年，希特勒掌權(quán)德國，哈塞爾曼舉家搬到英國倫敦北部的韋林花園市。1950年哈塞爾曼進(jìn)入漢堡大學(xué)學(xué)習(xí)物理和數(shù)學(xué)，1955年獲得物理學(xué)與數(shù)學(xué)學(xué)士學(xué)位，1957年在哥廷根大學(xué)和馬克斯·普朗克流體動力學(xué)研究所獲得物理學(xué)博士學(xué)位。1964—1975年擔(dān)任漢堡大學(xué)地球物理研究所所長兼理論地球物理學(xué)教授，1975年2月至1999年12月任漢堡馬克斯·普朗克氣象研究所創(chuàng)始所長，1988年1月至1999年11月任德國氣候計算中心科學(xué)主任。哈塞爾曼的研究課題包括氣候動力學(xué)、隨機(jī)過程、海浪、遙感和綜合評估研究等，后期他的研究興趣主要集中在量子場論。

圖5 克勞斯·哈塞爾曼(圖片來自MPI)

除了這次的諾貝爾物理學(xué)獎外，哈塞爾曼獲獎無數(shù)，包括1971年美國氣象學(xué)會斯沃卓普獎?wù)?Sverdrup Medal)、1997年皇家氣象學(xué)會西蒙斯紀(jì)念獎?wù)?Symons Memorial Medal)、2002年歐洲氣象物理學(xué)會威廉·皮耶克尼斯獎?wù)潞?009年BBVA基金會知識前沿獎(氣候變化方向)等。

氣候模式研究的是氣象觀測量的統(tǒng)計平均(例如平均值、標(biāo)準(zhǔn)偏差等)，可以預(yù)測某地某時的平均溫度或降雨量，但是無法告訴你某地某時的天氣會怎么樣。盡管天氣是一個典型的混沌系統(tǒng)，但如何才能建立能夠預(yù)測未來數(shù)十年、甚至數(shù)百年的可靠氣候模式呢？在真鍋淑郎的研究[5]發(fā)表約10年后，克勞斯·哈塞爾曼受愛因斯坦有關(guān)布朗運(yùn)動理論的啟發(fā)，創(chuàng)建了一個將天氣和氣候相關(guān)聯(lián)的模型——隨機(jī)氣候模式(stochastic climate models)回答了這一問題[8]。

哈塞爾曼將混亂變化的天氣現(xiàn)象作為快速變化的噪聲納入計算，并證明這種噪聲是如何影響宏觀的氣候變化的，從而為長期氣候預(yù)報奠定堅(jiān)實(shí)的科學(xué)基礎(chǔ)。他將宏觀的氣候因素(如海洋)y和介觀的天氣變化(如大氣)x之間的相互影響簡化成如下方程：

其中所有xi的特征演化時間尺度遠(yuǎn)小于yi的，后者表征“緩慢”的大尺度氣候觀測值的演化。在不失一般性的情況下，我們將x和y視為標(biāo)量變量，就快速變量而言x=+x*，其中為y狀態(tài)下x的條件平均值。因?yàn)閤比y的狀態(tài)變化得更快，所以，

假設(shè)快速變量x*(t)的變化可以近似為白噪聲，其中<ξ(t)ξ(t')> =δ(tt')，幅度取決于慢變量σ(y)的狀態(tài)，于是該確定性動力學(xué)就可以解釋為勢U(y)的一階導(dǎo)數(shù)。這樣我們就可以主要關(guān)注y(t)的變化規(guī)律的朗之萬方程：

對于氣候系統(tǒng)，通過朗之萬方程推導(dǎo)出Fokker-Planck方程，有助于進(jìn)一步研究系統(tǒng)在給定狀態(tài)、給定時間時的概率。此外，對朗之萬方程求解可以得到一個重要的關(guān)系：即漲落耗散關(guān)系。這意味著我們可以通過噪聲天氣x的強(qiáng)度計算出宏觀氣候的漲落。

通過隨機(jī)氣候模式，哈塞爾曼還開發(fā)出可識別人類對氣候系統(tǒng)影響的方法，分離出自然噪聲和人類活動噪聲的影響。他發(fā)現(xiàn)，氣候模式以及觀測和理論考量，均包含了有關(guān)噪聲和信號特性的充分信息。例如，太陽輻射、火山爆發(fā)或溫室氣體的濃度變化會留下獨(dú)特的信號和印記被分離出來。 圖6展示了哈塞爾曼隨機(jī)氣候模式可以用來識別氣候變化中人類活動的指紋。從科學(xué)上進(jìn)一步證實(shí)，人為原因產(chǎn)生的二氧化碳排放導(dǎo)致了全球變暖的結(jié)論。

圖6 哈塞爾曼隨機(jī)氣候模式用來識別氣候變化中人類活動的指紋[9]

2 帕里西與自旋玻璃理論

喬治·帕里西(圖7) 因其“發(fā)現(xiàn)了從原子到行星尺度的物理系統(tǒng)中無序和漲落的相互影響”而獲得2021年諾貝爾物理學(xué)獎，并分享其中一半的獎金。帕里西最著名的工作是給出Sherrington-Kirkpatrick(SK)自旋玻璃模型的嚴(yán)格解，其他重要工作包括部分子密度的QCD演化方程(也稱為Altarelli-Parisi方程或者DGLAP方程)、描述界面生長的動力學(xué)標(biāo)度的Kardar-Parisi-Zhang(KPZ)方程、鳥群中的渦動等。

圖7 意大利物理學(xué)家喬治·帕里西(圖片來自Morning Express)

2.1 帕里西其人

帕里西1948年8月4日出生于意大利羅馬，1970年畢業(yè)于羅馬大學(xué)，導(dǎo)師為尼古拉·卡比博(Nicola Cabibbo)。之后他在意大利弗拉斯卡蒂國家實(shí)驗(yàn)室、美國哥倫比亞大學(xué)、法國高等研究院、巴黎高等師范學(xué)院以及羅馬第二大學(xué)、第一大學(xué)等地工作。1980年帕里西在中國科學(xué)院理論物理研究所擔(dān)任客座教授，并與吳詠時教授合作發(fā)表論文[10]。有意思的是，帕里西的導(dǎo)師卡比博曾與諾貝爾獎擦肩而過，2008年諾貝爾物理學(xué)獎獲得者、日本科學(xué)家小林誠和益川敏英的工作是對卡比博早年研究(卡比博-小林-益川矩陣)的推廣。這一遺憾最終由他的學(xué)生帕里西彌補(bǔ)。

由于在物理學(xué)多個領(lǐng)域的重要貢獻(xiàn)，帕里西獲得榮譽(yù)無數(shù)。獲得的重要獎項(xiàng)包括1992年的玻爾茲曼獎、1999年的狄拉克獎、2002年的費(fèi)米獎、2005年的海涅曼數(shù)學(xué)物理獎、2021年的沃爾夫獎等。在獲得2021年的諾貝爾物理學(xué)獎后，可以說帕里西幾乎獲得物理學(xué)領(lǐng)域重要獎項(xiàng)的“大滿貫”。此外，帕里西還是意大利猞猁之眼國家科學(xué)院、法國科學(xué)院、美國國家科學(xué)院的院士，并在2018—2021年擔(dān)任意大利猞猁之眼國家科學(xué)院院長。

帕里西才思敏捷，具有天才式的跳躍性思維，他興趣廣泛、為人和善且幽默。當(dāng)被問到是否曾經(jīng)預(yù)料會得諾貝爾獎時，帕里西用統(tǒng)計物理學(xué)家特有的方式回答：“我知道這一概率不是零?！迸晾镂餮芯康膯栴}涉及物理學(xué)的多個領(lǐng)域，他和很多物理學(xué)家都有過合作(圖8)。

圖8 帕里西在他70歲生日研討會上收到的禮物(印有他的317位合作者名字的海報)

2.2 無序體系

要理解帕里西在“無序材料和隨機(jī)過程理論中的革命性貢獻(xiàn)”，需要先了解什么是無序系統(tǒng)。讓我們來看兩個典型的無序系統(tǒng)的例子。

(1)結(jié)構(gòu)玻璃。自然界中的物質(zhì)通常有氣相、液相和固相三種物相，例如水(H2O)的三相分別為水蒸氣、(液態(tài))水和冰。液體通過降溫可以形成固體(例如水結(jié)冰)。一般情況下，這種過程形成的固體為晶體。晶體與液體在分子的微觀排列上有本質(zhì)的不同：液體中分子的排列是無序的，而晶體中分子則按照一定的規(guī)則排列成有序的晶體結(jié)構(gòu)(圖9左)。有些液體如果降溫的速率足夠快，則會形成“無序”的固體(圖9右)，亦稱(結(jié)構(gòu))玻璃(之所以叫結(jié)構(gòu)玻璃，是為了區(qū)分下文的自旋玻璃)。例如，石英玻璃正是通過對高溫下熔融的二氧化硅液體淬火(快速降溫)制備得到。有意思的是，在一些特殊的實(shí)驗(yàn)條件下，水在極低溫(遠(yuǎn)低于零度)下也可以形成無定形冰(或稱玻璃態(tài)水)[11]。與普通的、“有序”的冰不同，無定形冰中水分子的排列是無序的。

圖9 晶體(左)和結(jié)構(gòu)玻璃(右)

(2)自旋玻璃。物理系統(tǒng)中的無序，不但可以出現(xiàn)在微觀粒子的排列中，也可以出現(xiàn)在相互作用中。自旋玻璃就是對應(yīng)于后者的一個典型體系。帕里西對于自旋玻璃模型有過很形象的描述[12]：在很多文學(xué)作品中(例如莎士比亞的戲劇)人物之間有著錯綜復(fù)雜的關(guān)系，為了對此建立數(shù)學(xué)模型，不妨用Jij來表示i、j兩者之間的關(guān)系，Jij=1表示兩者為朋友，Jij=1表示兩者為敵人。假設(shè)所有人分成了兩派，每個人(Si表示)必須選擇其中之一站隊(duì)(Si=+1或-1)。對于有N個人的關(guān)系網(wǎng)絡(luò)，可以用H來描述所有人的舒適程度(物理上稱為哈密頓量)，即

對于復(fù)雜的人際關(guān)系，可以進(jìn)一步假設(shè)Jij是隨機(jī)的，且取+1或-1的概率各為50%。在這些條件下，式(7)就是一個自旋玻璃模型。如果Jij是 一個常數(shù)(Jij=1)，式(7)就對應(yīng)了著名的Ising模型。

自旋玻璃模型最早由Edwards和Anderson在1975年提出，簡稱EA模型[13]。在EA模型中，自旋相互作用網(wǎng)絡(luò)是規(guī)則的晶格，而且只有近鄰的自旋之間才有相互作用。如果自旋之間是無限長程相互作用的，或者說式(7)里面的每個自旋都與其他N-1個自旋作用，那么式(7)就變成一個平均場自旋玻璃模型(SK模型)[14]。

2.3 自旋玻璃與阻挫

式(7)的自旋玻璃模型是描述無序材料最基本的數(shù)學(xué)模型。例如，對于隨機(jī)摻雜的合金來說，Si代表每個原子具有的自旋，Jij則代表自旋之間的相互作用。由于自旋之間的距離是隨機(jī)的，它們之間的相互作用Jij也具有隨機(jī)漲落。

自旋玻璃中一個重要的問題是找到能夠最小化H的所有{S1,S2…SN}的解。從計算復(fù)雜度理論的角度來看，這是一個NP完備(NP-complete)問題。這就意味著，隨著N的增大，即使對于最好的算法來說，計算所花的時間也會指數(shù)級exp(cN)增長，其中c為常數(shù)。這從算法的角度體現(xiàn)了求解自旋玻璃問題的難度。

帕里西的重要貢獻(xiàn)之一是基于統(tǒng)計物理的方法(復(fù)本理論replica theory)精確求解SK模型[15]，得出H的極小值為-0.7633N3/2。有意思的是，這個結(jié)果表明在人際關(guān)系網(wǎng)絡(luò)問題中，如果每個人在選擇站隊(duì)的時候都足夠聰明，使得所有人的舒適程度最大(H最小)，那么最終平均每個人的朋友只會比敵人多0.3817N1/2(如果N=108，這個數(shù)字是4)！如果用最簡單的方式——擲硬幣決定站隊(duì)的話，這個數(shù)字是0(朋友和敵人一樣多)。

出現(xiàn)上面兩種現(xiàn)象(求解時間指數(shù)增長；最優(yōu)解接近于隨機(jī)選擇結(jié)果)的原因是自旋玻璃中存在大量的“阻挫”(frustration)。如圖10所示(N=3為例)，如果式(7)中任何的Jij=1，那么所有的自旋無論取+1(向上)還是-1(向下)都使H最小；如果有一個Jij=1，那么就不存在一個使得所有自旋都“舒服”的狀態(tài)。這種阻挫的數(shù)量隨著N的增大迅速增多。阻挫的存在是自旋玻璃模型復(fù)雜性的本質(zhì)原因。

圖10 阻挫(黑邊表示Jij =1；紅邊表示Jij =1)

2.4 復(fù)本方法與自旋玻璃相變

根據(jù)統(tǒng)計物理，為了理解一個微觀物理模型的宏觀性質(zhì)，我們需要先根據(jù)其哈密頓量計算配分函數(shù)Z，然后再計算自由能F=-kBTlnZ，其中kB和T分別代表玻爾茲曼常數(shù)和溫度。在式(7)中，相互作用{Jij}是預(yù)先隨機(jī)給定的，叫淬火無序(quenched disorder)。與普通的系統(tǒng)不同，自旋玻璃模型的配分函數(shù)依賴于相互作用{Jij} ，因而其自由能需要對不同的{Jij} 做平均：

其中[lnZ]表示對淬火無序的平均。式(8)中淬火自由能(quenched free-energy)Fquench直接計算是非常困難的。然而，如果能夠?qū)⒆銎骄腿?shù)的順序交換，所對應(yīng)的退火自由能(annealed freeenergy)Fanneal就比較容易計算：

為了克服這個問題，Edwards和Anderson[13]提出一種復(fù)本技巧(replica trick)，即通過等式

把計算淬火自由能轉(zhuǎn)換成計算退火自由能。物理上，式(10)意味著對同一系統(tǒng)做n個相互獨(dú)立的復(fù)本，然后考慮所有復(fù)本的總自由能。當(dāng)然，根據(jù)式(10)，最終需要讓復(fù)本的個數(shù)n趨于零，這意味著在計算中需要把n從整數(shù)延拓到實(shí)數(shù)。

朗道相變理論認(rèn)為相變由序參量表征，帕里西基于復(fù)本的思想提出自旋玻璃模型需要考慮所謂的交疊序參量(overlap order parameter)：

一般情況下，qαβ是一個n×n的矩陣，稱為交疊矩陣(overlap matrix)。按照鞍點(diǎn)方法(saddlepoint method)，計算自由能需要找到一個qαβ矩陣使得自由能函數(shù)取極值(一階導(dǎo)數(shù)為零)。這意味著要求解n×(n-1)/2個方程(qαβ矩陣是對稱的)，而直接解析求解這么多方程基本是不可能的，理論上必需要假設(shè)qαβ的形式來簡化計算。最簡單的假設(shè)是復(fù)本對稱(replica symmetry)，即交換復(fù)本不會改變qαβ矩陣。在復(fù)本對稱假設(shè)下，只有一個獨(dú)立序參量(圖11)，即

圖11 交疊矩陣：(a)復(fù)本對稱；(b)一階復(fù)本對稱破缺；(c)二階復(fù)本對稱破缺

基于復(fù)本對稱假設(shè)的計算表明，自旋玻璃的序參量q在某一溫度Tc之上為零，Tc之下大于零。因此，體系在Tc處發(fā)生“自旋玻璃相變”。

2.5 復(fù)本對稱性破缺與帕里西解

基于復(fù)本對稱假設(shè)的理論雖然可以給出自旋玻璃相變，但是其本身存在不自洽之處。復(fù)本對稱理論得到的熵在零溫極限下為負(fù)數(shù)，S(0)≈-0.17，而根據(jù)熵的微觀定義(熵等于微觀構(gòu)型數(shù)的對數(shù))，離散變量體系的熵不可能為負(fù)，因而復(fù)本對稱的假設(shè)會導(dǎo)致“負(fù)熵災(zāi)難”。另外，de Almeida和Thouless[16]發(fā)現(xiàn)(AT相變)，在低溫下復(fù)本對稱解并不穩(wěn)定(自由能函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)會出現(xiàn)負(fù)值)。

為了克服這些問題，自然地我們可以假設(shè)交疊矩陣并非所有元素都相等，即(12)式不成立，也即低溫下會發(fā)生復(fù)本對稱性破缺，最簡單的破缺方式是一階復(fù)本對稱性破缺：假設(shè)在自旋玻璃相中復(fù)本會組織成多個集團(tuán)，集團(tuán)內(nèi)的復(fù)本之間qαβ值為q1，集團(tuán)間的復(fù)本間的qαβ值為q0(圖11)。一階復(fù)本對稱破缺理論(K=1)可以一定程度上修正負(fù)熵災(zāi)難，給出S(0) ≈ -0.01。但是零溫下的熵還是負(fù)的，而且給出的解在低溫下也不穩(wěn)定。當(dāng)然，我們還可以進(jìn)一步假設(shè)二階(K=2)、三階(K=3)復(fù)本對稱破缺(圖11)……

1980年左右，帕里西意識到只有全復(fù)本對稱破缺(K=∞)理論才會給出SK模型在低溫下的正確解[12,15]。全復(fù)本對稱破缺理論不但完美解決了負(fù)熵災(zāi)難，給出S(0)=0，而且與模擬的結(jié)果吻合很好。另外，帕里西的解在數(shù)學(xué)上非常優(yōu)美，其對應(yīng)的交疊矩陣具有超度量性(ultrametric)，即對于任意3個復(fù)本兩兩配對形成的3個交疊量(q1,q2,q3)只能出現(xiàn)兩種情形：三者相等(等邊三角形q1=q2=q3)，或者兩者相等且小于第三者(等腰三角形q1>q2且q2=q3)。超度量性是三角不等關(guān)系(兩邊之和大于第三邊)的一種強(qiáng)化版本。超度量性也意味著在自旋玻璃相中，微觀構(gòu)型以樹的形式組織具有分形(fractal)特征(圖12)。

圖12 具有超度量性的樹

2.6 帕里西解的廣泛應(yīng)用

幾十年后帕里西提出的SK自旋玻璃模型的解被數(shù)學(xué)家嚴(yán)格證明。無序體系的性質(zhì)極其復(fù)雜，很多科學(xué)家都致力于理解這些復(fù)雜性質(zhì)。如果說自旋玻璃模型為實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)提供了一個出發(fā)點(diǎn)，那么帕里西解則是其理論上的基石。目前，帕里西的理論已被廣泛地應(yīng)用在無序體系的各類問題中，包括玻璃化轉(zhuǎn)變[17]、顆粒物質(zhì)的非平衡相變[17]、優(yōu)化問題[12]、物種的進(jìn)化[12]、人腦的建模[12]、機(jī)器學(xué)習(xí)模型[18]以及引力理論[19]等。正如諾貝爾物理學(xué)獎評委會所說，帕里西的工作表明：“如果不正確地考慮無序、噪聲以及可變性，那么決定論將只是一種幻像”。