基于DCT的廣義指數(shù)閾值衰減凸集投影算法在位場數(shù)據(jù)補(bǔ)空中的應(yīng)用

艾寒冰，王彥國

(東華理工大學(xué) 地球物理與測控技術(shù)學(xué)院，江西 南昌 330013)

0 引言

在野外重磁數(shù)據(jù)采集過程中，常會遇到沼澤、河流、水庫或斷崖等惡劣環(huán)境，導(dǎo)致數(shù)據(jù)無法采集，使得一部分?jǐn)?shù)據(jù)空缺，不利于后期數(shù)據(jù)處理與解釋。目前，解決這一問題的主要措施是進(jìn)行數(shù)據(jù)網(wǎng)格插值，較為常用的有克里金插值法[1]、最小曲率法[2]、等效源法[3]、線性插值法[4]等，不過這些方法的數(shù)據(jù)補(bǔ)空精度較低[5]。王萬銀等[6]引入最小曲率插值方法，給出了其差分迭代格式，并討論了相關(guān)技術(shù)措施，驗證了該方法精度明顯高于常規(guī)余弦插值法，但方法受給定初值影響較大；王明等[7]把位場數(shù)據(jù)插值類比成熱流傳導(dǎo)的過程，進(jìn)而提出了基于熱傳導(dǎo)模型的位場網(wǎng)格數(shù)據(jù)補(bǔ)空方法，并驗證該法比最小曲率法插值效果更優(yōu)；閆浩飛等[5]采用基于線性閾值衰減的凸集投影算法(POCS)進(jìn)行位場數(shù)據(jù)補(bǔ)空，該方法相對常規(guī)插值方法具有更高的數(shù)據(jù)補(bǔ)空精度；曾小牛等進(jìn)一步將該方法進(jìn)行推廣，提出了基于凸集投影算法的重力數(shù)據(jù)擴(kuò)充、下延一體化方法[8]和重力同時填充擴(kuò)邊和去噪方法[9]，有效地改善了常規(guī)分步驟進(jìn)行插值、擴(kuò)邊、下延和去噪的問題，獲得了良好的處理效果。

本文在凸集投影算法數(shù)據(jù)補(bǔ)空精度高基礎(chǔ)上，結(jié)合離散余弦變換(DCT)能量聚集度高及消耗內(nèi)存小的優(yōu)點，并在Gao等[10]、張華等[11]在地震數(shù)據(jù)補(bǔ)空的研究基礎(chǔ)上，提出了基于DCT的廣義指數(shù)閾值衰減POCS算法，用于重磁數(shù)據(jù)的高質(zhì)量補(bǔ)空工作。

1 理論基礎(chǔ)

凸集投影算法廣泛用于圖像修復(fù)，該方法將所有圖像約束表示為希爾伯特空間中的一系列閉合凸集Ci(i=1,2,3,…,m)，然后將任意初始值x迭代投影到投影算子H下的所有閉合凸集的交點上。將位于交點邊界上的最終投影點作為最優(yōu)解，其原理如圖1所示，POCS迭代過程表達(dá)式為：

圖1 POCS算法原理[10]

xk+1=HmHm-1…H1xk,k=0,1,…,K。

(1)

基于DCT的數(shù)據(jù)補(bǔ)空凸集投影理論公式：

Dk=Dobs+MC-1TkCDk-1,k=1,2,3,…,K，

(2)

式中：K是總迭代次數(shù)；Dobs(x,y)是含缺失數(shù)據(jù)的原始觀測數(shù)據(jù)；Dk代表第k次迭代補(bǔ)空的數(shù)據(jù)；C和C-1代表二維離散余弦正、反變換；M是采樣矩陣，其與輸入數(shù)據(jù)維度相同，如果某點值為0，代表該點有數(shù)據(jù)，無需插值，反之為1，則代表該點需要進(jìn)行插值計算；Tk是門限值矩陣，可表示為：

(3)

式中：pk是第k次迭代閾值，Sk是第k次的DCT變換譜。

Abma[13]給出的線性閾值衰減形式為：

(4)

本文給出的廣義指數(shù)閾值衰減形式為：

(5)

式中：Para為控制衰減速度的參數(shù)，當(dāng)Para=1時為Gao等[10]提出的閾值衰減情況，當(dāng)Para=0.5時即為張華等[11]提出的閾值衰減形式。

凸集投影算法進(jìn)行數(shù)據(jù)補(bǔ)空的基本流程為：對原始輸入數(shù)據(jù)采用DCT處理，給定一個閾值，使得變換譜中振幅大于等于這個閾值時保留，振幅低于這個閾值則充零代替，然后對該數(shù)據(jù)進(jìn)行反離散余弦變換乘以采樣矩陣，最后將其與原始待補(bǔ)空數(shù)據(jù)疊加，而在下一次迭代計算時，減小閾值重復(fù)上述操作，直到達(dá)到結(jié)束迭代計算的條件。本算法需要實現(xiàn)對不規(guī)則數(shù)據(jù)網(wǎng)格化，以滿足DCT變換的需要，算法的關(guān)鍵在于選擇合適的稀疏變換和閾值衰減方式，其工作流程圖見圖2。

圖2 基于DCT的POCS數(shù)據(jù)補(bǔ)空流程

2 模型試驗

為了驗證指數(shù)閾值衰減凸集投影算法在位場中的應(yīng)用效果及優(yōu)越性，建立了一個由參數(shù)不同的4個模型體產(chǎn)生的疊加重力異常進(jìn)行試算，使用的模型體參數(shù)如表1所示，模擬測區(qū)面積為500 m×500 m，點距與線距均為10 m。圖3是完整的疊加重力異常，其中黃色虛線所圈部分為地質(zhì)體邊緣在地面的正投影，粉紅色鋸齒圈出區(qū)域為待補(bǔ)空部位。

表1 模型參數(shù)

圖4展示了Surfer軟件中4種常用的插值算法所獲得的數(shù)據(jù)補(bǔ)空結(jié)果及其與圖3的殘差情況?？梢钥闯觯械某Ｒ?guī)插值算法都在模型體1處存在等值線的間斷，尤其反距離加權(quán)平均法的最為明顯，最小曲率法的等值線畸變最不明顯，但最小曲率法的殘差值最大，其次是反距離加權(quán)法的。另外，常規(guī)插值方法的殘差均在原始數(shù)據(jù)的正異常處為負(fù)值，而負(fù)異常處為正值，這表明了補(bǔ)空的數(shù)據(jù)沒有達(dá)到真實值的幅度。表2給出了4種方法的插值均方根誤差(RMS)，可以看出，反距離加權(quán)法的數(shù)據(jù)補(bǔ)空精度最差，其次是最小曲率法，二者誤差是克里金法和徑向基函數(shù)法的2倍左右。

圖3 組合模型產(chǎn)生的重力異常及缺失部位(粉色部分)

a、b—克里金法插值及殘差；c、d—徑向基函數(shù)法插值及殘差；e、f—反距離加權(quán)法插值及殘差；g、h—最小曲率法及殘差

表2 不同常規(guī)插值方法的數(shù)據(jù)補(bǔ)空誤差

為了了解線性閾值及指數(shù)閾值衰減凸集投影與總迭代次數(shù)關(guān)系，圖5繪制了不同模式下的凸集投影方法數(shù)據(jù)補(bǔ)空誤差與最大迭代次數(shù)K關(guān)系曲線?？梢钥闯?，無論是線性衰減，還是不同參數(shù)的指數(shù)衰減，數(shù)據(jù)補(bǔ)空誤差均是隨著總迭代次數(shù)K增加而逐漸減小，不過指數(shù)衰減的速率要明顯大于線性衰減，其中Para=0.5時衰減速率最快。線性閾值衰減方式POCS算法基本收斂在0.070 mGal，指數(shù)閾值衰減基本收斂在0.030 mGal，不過指數(shù)閾值衰減的誤差隨著迭代次數(shù)變化呈現(xiàn)出了一定的波動性。對比圖5與表2可以看出，線性閾值衰減、指數(shù)閾值衰減凸集投影算法的數(shù)據(jù)補(bǔ)空精度分別是常規(guī)方法效果最好的徑向基函數(shù)法的1.6倍和4.5倍，這表明了采用基于指數(shù)閾值衰減的凸集投影算法能夠獲得更好的數(shù)據(jù)補(bǔ)空效果。

圖5 線性及指數(shù)閾值衰減凸集投影算法的理論數(shù)據(jù)補(bǔ)空誤差與總迭代次數(shù)K關(guān)系曲線

圖6則是基于線性與指數(shù)閾值衰減的POCS算法迭代800次數(shù)據(jù)補(bǔ)空后的重力異常及其與圖3的殘差，可以看出，無論線性閾值，還是不同參數(shù)指數(shù)閾值POCS法處理后的重力異常等值線均較圓滑，并不存在明顯的等值線畸變情況。從殘差圖中可以看出，POCS算法的殘差在原始數(shù)據(jù)表現(xiàn)為正異常區(qū)域內(nèi)為正值，而負(fù)異常區(qū)為負(fù)值，這恰于常規(guī)插值方法數(shù)據(jù)補(bǔ)空的殘差是相反的，也就是說，基于POCS算法的數(shù)據(jù)補(bǔ)空的幅值略大于實際數(shù)據(jù)的。

a、b—線性閾值插值及殘差；c、d—指數(shù)閾值(Para=0.5)及殘差；e、f—指數(shù)閾值(Para=1)及殘差；g、h—指數(shù)閾值(Para=2)及殘差

為了進(jìn)一步證實本文算法的有效性，對理論重力異常(圖3)添加了30%隨機(jī)噪聲(圖7)，然后再對含噪重力異常進(jìn)行了數(shù)據(jù)缺失處理(圖7粉色部位)。圖8是4種常用插值方法獲得的含噪重力數(shù)據(jù)補(bǔ)空結(jié)果及其與無噪聲重力異常的殘差，表3給出了4種插值方法的誤差。對比表3與表2可以看出，相對無噪聲時，含噪數(shù)據(jù)的常規(guī)插值方法補(bǔ)空誤差有所增加，不過規(guī)律基本保持，還是反距離加權(quán)法的誤差最大，最小曲率法次之。從圖8可以看出，4種常規(guī)插值方法獲得的補(bǔ)空數(shù)據(jù)仍在在模型體1位置存在等值線的畸變情況，另外還可以看出插值區(qū)域的噪聲水平與周邊數(shù)據(jù)噪聲水平明顯不一致，補(bǔ)空區(qū)的等值線更加圓滑些。

圖7 圖3添加30%隨機(jī)噪聲后的重力異常及缺失部位

a、b—克里金法插值及殘差；c、d—徑向基函數(shù)法插值及殘差；e、f—反距離加權(quán)法插值及殘差；g、h—最小曲率法及殘差

表3 不同常規(guī)插值方法對含噪重力異常的數(shù)據(jù)補(bǔ)空誤差

圖9是線性及指數(shù)閾值衰減POCS算法的補(bǔ)空的關(guān)系曲線。可以看出，線性閾值衰減POCS法的補(bǔ)空數(shù)據(jù)仍然是隨著總迭代次數(shù)的增加而減小，基本收斂在0.137 mGal，但不同para時的指數(shù)閾值衰減POCS法數(shù)據(jù)插值誤差則是隨著迭代增加，先減小后增加，最終基本收斂在0.272 mGal處，推測是誤差增加是由于噪聲的反復(fù)重建導(dǎo)致的。圖10可以看出，線性閾值衰減的POCS法(圖10a)也在模型體1處產(chǎn)生了明顯的等值線間斷情況，補(bǔ)空區(qū)內(nèi)的異常同樣較為光滑，與殘差圖(圖10b)仍是南、北兩側(cè)為大面積的正差值，而中部則整體表現(xiàn)為大面積數(shù)據(jù)與無噪聲理論值之間均方誤差與總迭代次數(shù)K的負(fù)差值，這表明含噪數(shù)據(jù)進(jìn)行補(bǔ)空時，線性閾值衰減的POCS法數(shù)據(jù)填充的誤差主要是數(shù)據(jù)未真實恢復(fù)引起的。指數(shù)閾值衰減的POCS法(圖10c、e、g)補(bǔ)空的數(shù)據(jù)明顯也存在著局部的波動，即含有一定的噪聲，殘差圖(圖10d、f、h)則是正負(fù)異常間隔出現(xiàn)，即認(rèn)為主要誤差是由噪聲干擾引起的。

圖9 含噪聲時凸集投影算法的數(shù)據(jù)補(bǔ)空誤差與總迭代次數(shù)K關(guān)系曲線

a、b—線性閾值插值及殘差；c、d—指數(shù)閾值(Para=0.5)及殘差；e、f—指數(shù)閾值(Para=1)及殘差；g、h—指數(shù)閾值(Para=2)及殘差

3 應(yīng)用實例

為了檢驗本文算法的實際資料處理能力，對黑龍江嫩北農(nóng)場布格重力異常進(jìn)行挖空與數(shù)據(jù)補(bǔ)空處理。圖11是網(wǎng)格密度500 m×250 m的布格重力異常，布格重力異?？傉`差為0.018 mGal。由于該區(qū)中部NWW流向的科洛河在汛期時河床較寬，最寬處可達(dá)1 km，汛期時重力數(shù)據(jù)將無法采集，故這里對科洛河的大致流域區(qū)域進(jìn)行了數(shù)據(jù)挖空處理(圖11粉色部位)。

圖11 黑龍江嫩北農(nóng)場布格重力異常及缺失部位(粉色部分)

圖12是理論模型測試所提及的4種常用插值方法處理的結(jié)果及其殘差分布，可以看到，這4種插值方法數(shù)據(jù)補(bǔ)空結(jié)果基本一致，很難看出彼此差異，且等值線畸變現(xiàn)象也難以直接顯示，其主要原因是挖空區(qū)域?qū)挾葍H為2～3個點距。從殘差圖上可以看出，補(bǔ)空數(shù)據(jù)與實際數(shù)據(jù)的殘差仍是大面積的正、負(fù)值，即誤差具有一定的范圍，這顯然不利于后期數(shù)據(jù)處理與解釋。表4是的4種常規(guī)插值方法的數(shù)據(jù)補(bǔ)空誤差，可以看出，徑向基函數(shù)法的數(shù)據(jù)補(bǔ)空誤差最小，其次是最小曲率法和克里金法，反距離加權(quán)法的誤差仍是最大，不過所有常規(guī)方法的數(shù)據(jù)補(bǔ)空誤差均遠(yuǎn)大于布格重力異常的總誤差，也就是說補(bǔ)空數(shù)據(jù)質(zhì)量較差。

表4 不同常規(guī)方法對實際資料進(jìn)行數(shù)據(jù)補(bǔ)空的誤差

a、b—克里金法插值及殘差；c、d—徑向基函數(shù)法插值及殘差；e、f—反距離加權(quán)法插值及殘差；g、h—最小曲率法及殘差

圖13給出了基于線性、不同參數(shù)Para指數(shù)閾值衰減POCS算法數(shù)據(jù)補(bǔ)空均方根誤差與總迭代次數(shù)K的關(guān)系曲線，可以看出，無論是線性、還是不同參數(shù)的指數(shù)閾值衰減，POCS算法數(shù)據(jù)重建誤差均隨著K增加而逐漸減小，線性閾值衰減POCS算法的誤差基本收斂于0.149 mGal，遠(yuǎn)高于布格重力異常總誤差，即線性閾值衰減的POCS算法重建的數(shù)據(jù)質(zhì)量也較低；指數(shù)閾值衰減POCS算法的誤差收斂于0.008 mGal，則低于布格重力異?？傉`差，重建數(shù)據(jù)質(zhì)量較高，重建數(shù)據(jù)完全可以替代真實數(shù)據(jù)。圖14給出了Para=0.5時指數(shù)閾值衰減POCS法的處理結(jié)果以及殘差分布，殘差圖中顯示了缺失數(shù)據(jù)寬度較小的西北側(cè)基本為0，而補(bǔ)空區(qū)較寬的東南側(cè)基本是正負(fù)異常間隔出現(xiàn)，且數(shù)據(jù)幅值較小，這體現(xiàn)出了本文方法在數(shù)據(jù)補(bǔ)空方面的優(yōu)勢。

圖13 不同衰減方式POCS補(bǔ)空的誤差與總迭代次數(shù)K的關(guān)系曲線

a—指數(shù)閾值(Para=0.5)數(shù)據(jù)補(bǔ)空結(jié)果；b—與實測數(shù)據(jù)的殘差(K=6500)

4 結(jié)論

針對缺失的重磁數(shù)據(jù)需要有效恢復(fù)的問題，本文采用了基于DCT的廣義指數(shù)閾值衰減凸集投影算法進(jìn)行數(shù)據(jù)補(bǔ)空工作。通過模型分析與實例應(yīng)用，證實了基于指數(shù)閾值衰減的凸集投影算法在數(shù)據(jù)補(bǔ)空中存在補(bǔ)空精度高及補(bǔ)空痕跡小的優(yōu)點，另外補(bǔ)空數(shù)據(jù)還能與實際數(shù)據(jù)噪聲含量保持一致。