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    用“圓心線的方法”解決帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題

    2021-12-23 06:36:10李建海
    數(shù)理化解題研究 2021年34期
    關(guān)鍵詞:中垂線大類圓心

    李建海

    (河北省張家口市第四中學(xué) 075000)

    帶電粒子在有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題比較常見(jiàn),是高考中的高頻考點(diǎn).該題型既能夠考察學(xué)生物理建模的能力、還能夠考察學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決物理問(wèn)題的能力.特別是與之結(jié)合的臨界問(wèn)題,難度往往較大.一些教參和文章中討論的方法可操作性不強(qiáng),本文就該類問(wèn)題再做一些嘗試.

    一、試題的命制

    關(guān)于帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)的考題,可謂是??汲P拢还芸碱}如何變化,大體可分為兩類:一類是速度方向與某一特定邊界夾角已知,即速度方向已知,但大小并不確定;一類是速度大小相等,方向分布在某一范圍內(nèi).當(dāng)然,從題目的命制來(lái)說(shuō),這只是兩個(gè)大類,單純給定這樣的設(shè)定,其條件并不完備,常常需要再補(bǔ)充“粒子通過(guò)磁場(chǎng)中的某一點(diǎn)或與某一邊界相垂直或相切”等條件,如圖1,這樣的組合就構(gòu)成了形形色色的試題.

    圖1

    二、現(xiàn)行方法評(píng)價(jià)

    大多數(shù)教學(xué)參考書(shū)給出的解題方法如下:第一大類中,如果要求過(guò)某個(gè)點(diǎn),相當(dāng)于已知了弦,通過(guò)做弦中垂線和速度垂線交點(diǎn),該交點(diǎn)即為圓心;如果軌跡與某一邊界相切,通過(guò)做該邊界與速度的角平分線,角平分線和速度垂線的交點(diǎn)即為圓心.不少文章還提出了“縮放圓”的方法.

    對(duì)于第二大類,教學(xué)參考書(shū)中并沒(méi)有給出相應(yīng)的解題方法,不少文章提出了“動(dòng)態(tài)圓”的方法.

    這些方法其實(shí)叫做資源包更準(zhǔn)確,看似能夠解決相應(yīng)的問(wèn)題,但是并沒(méi)有共性,一題一法,對(duì)于復(fù)習(xí)備考的學(xué)生來(lái)說(shuō),無(wú)疑是很大的負(fù)擔(dān).“縮放圓”和“動(dòng)態(tài)圓”在具體解題中的操作性并不強(qiáng),做角平分線耗時(shí)較長(zhǎng),與高考考場(chǎng)上快捷、可操作性強(qiáng)的需要相沖突.

    三、該類問(wèn)題的突破點(diǎn)

    該類問(wèn)題的突破點(diǎn),歸根到底就一個(gè),那就是快速確定軌跡圓的圓心.兩種題型,為了統(tǒng)一,可以提出“圓心線”的概念.圓心線即為一系列不確定圓的圓心的集合.第一大類中速度垂線即為圓心線,如圖2;第二大類中以入射點(diǎn)為圓心,粒子軌跡半徑為半徑的圓即為圓心線,如圖3.如果速度分布在90°范圍內(nèi),圓心線為1/4圓,如果速度分布在180°范圍內(nèi),圓心線為半圓.

    圖2 圖3

    有了圓心線的概念,這樣在解決具體問(wèn)題中只需根據(jù)半徑相等的特征在“圓心線”上找出大致的圓心即可.這樣做的效果是快捷、便于操作、通用性強(qiáng),從而學(xué)生負(fù)擔(dān)小.

    第一大類中,過(guò)確定點(diǎn)A、與邊界垂直和與邊界相切找圓心的方法如圖4所示.找圓心時(shí)把握兩點(diǎn),一是在圓心線上,二是半徑相等.若要求過(guò)某一確定點(diǎn),可以通過(guò)肉眼找一個(gè)大致的圓心,也可以做弦的中垂線,其實(shí)即使是做弦的中垂線,實(shí)際操作中也并非是用尺規(guī)作圖,也是做了一個(gè)大致的中垂線,圖4(a);若要求與某一邊界相垂直,圓心為圓心線和該邊界的交點(diǎn),圖4(b);若要求與某一邊界相切,根據(jù)半徑相等這一特征,同時(shí)找切點(diǎn)和圓心,圖4(c).

    圖4

    第二大類中,過(guò)確定點(diǎn)A、與邊界垂直和與邊界相切找圓心的方法如圖5所示.方法與解決第一大類的方法一致.這樣一來(lái),“在圓心線上找圓心”便成了通用的方法,便于掌握.

    圖5

    四、例題解析

    圖6 圖7

    第2問(wèn),屬于第二大類但附加條件并不明確,先做出圓心線.在給定速度大小的問(wèn)題中,粒子的運(yùn)動(dòng)時(shí)間除了可以由圓心角反映,還可以由弦長(zhǎng)反映.這樣一來(lái),臨界條件可由與第1問(wèn)中等長(zhǎng)的弦OP確定,也就是以O(shè)為圓心,OP長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓,正好與磁場(chǎng)邊界交與M、N兩點(diǎn),如圖8(a).進(jìn)而該問(wèn)題演化成軌跡過(guò)M點(diǎn)或N.在圓心線上找出圓心即可,如圖8(b)、圖8(c).

    圖8

    第3問(wèn),看似找不出附加條件,這個(gè)時(shí)候需在圓心線上找?guī)讉€(gè)圓進(jìn)行嘗試,嘗試后發(fā)現(xiàn)與右側(cè)邊界相切的軌跡時(shí)間最長(zhǎng).

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