激勵(lì)頻率影響下的松動(dòng)故障轉(zhuǎn)子非線性分析

劉桂珍，袁聰聰，陳正道，于 影，聞邦椿

（1.佳木斯大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，黑龍江佳木斯154007；2.東北大學(xué)機(jī)械工程與自動(dòng)化學(xué)院，遼寧沈陽(yáng)110819）

支座松動(dòng)故障是旋轉(zhuǎn)機(jī)械中危害較大的一種常見(jiàn)故障。松動(dòng)故障會(huì)導(dǎo)致旋轉(zhuǎn)機(jī)械產(chǎn)生周期性的被抬起、系統(tǒng)剛度發(fā)生變化并伴隨周期性的碰摩。當(dāng)松動(dòng)量超過(guò)一定限度時(shí)，旋轉(zhuǎn)機(jī)械將會(huì)產(chǎn)生運(yùn)行故障甚至造成災(zāi)難性的事故?？梢?jiàn)，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的支座松動(dòng)直接關(guān)系到轉(zhuǎn)子的動(dòng)態(tài)平衡與運(yùn)行穩(wěn)定性。因此，分析支座松動(dòng)故障對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的安全運(yùn)行具有重要意義。

目前對(duì)松動(dòng)故障的研究，都是基于分段線性力學(xué)模型基礎(chǔ)上進(jìn)行的。聞邦椿等［1］采用諧波平衡法分析得到了支承間隙系統(tǒng)的等效剛度；Goldman等［2］對(duì)具有支座松動(dòng)故障轉(zhuǎn)子的同頻、倍頻及分頻振動(dòng)進(jìn)行了分析研究；Ji 等［3］用多尺度法分析了帶有支座松動(dòng)的轉(zhuǎn)子-軸承自治系統(tǒng)的振動(dòng)特性，揭示了穩(wěn)態(tài)響應(yīng)中如何判斷分岔點(diǎn)的出現(xiàn)問(wèn)題；Lee等［4-5］用傳遞矩陣法和諧波平衡法分析了支撐在線性和非線性軸承上的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)；段吉安等［6］考慮當(dāng)發(fā)生松動(dòng)故障時(shí)系統(tǒng)受到的周期性沖擊作用，建立了松動(dòng)故障的非線性力學(xué)模型，并分析了沖擊作用對(duì)系統(tǒng)的影響；褚福磊等［7-8］應(yīng)用現(xiàn)代非線性動(dòng)力學(xué)理論，分析了帶有一端支座松動(dòng)故障的簡(jiǎn)單轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)的復(fù)雜運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象，討論了轉(zhuǎn)速變化時(shí)系統(tǒng)的多種形式的周期、擬周期和混沌運(yùn)動(dòng)，指出這類(lèi)系統(tǒng)的某些周期運(yùn)動(dòng)的映射點(diǎn)結(jié)構(gòu)具有慢變的特性；廖明夫等［9］利用進(jìn)動(dòng)分析方法，通過(guò)比較進(jìn)動(dòng)比函數(shù)在較大的轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)的明顯變化，對(duì)支座松動(dòng)故障進(jìn)行了診斷研究，并通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了這種分析方法的有效性；文獻(xiàn)［10-11］針對(duì)不同的對(duì)象，從不同的角度對(duì)基礎(chǔ)松動(dòng)問(wèn)題進(jìn)行了有效的診斷分析。

本文以轉(zhuǎn)子系統(tǒng)具有支座松動(dòng)故障為研究背景，利用拉格朗日方程建立了非穩(wěn)態(tài)油膜力作用下的轉(zhuǎn)子-定子-軸承系統(tǒng)松動(dòng)故障的6 質(zhì)量、12 自由度的非線性動(dòng)力學(xué)模型，應(yīng)用數(shù)值分析研究了當(dāng)激勵(lì)頻率作為唯一控制參數(shù)時(shí)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的響應(yīng)，所得結(jié)論為該類(lèi)轉(zhuǎn)子的故障診斷和系統(tǒng)的安全運(yùn)行提供理論依據(jù)。

1 力學(xué)模型與微分方程

1.1 拉格朗日方程描述

設(shè)有n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系，受完整的理想約束，具有N個(gè)自由度，其位置可由N個(gè)廣義坐標(biāo)方程來(lái)確定。則有

式中：L為拉格朗日函數(shù)，L=T-V，其中T為系統(tǒng)的動(dòng)能函數(shù)，V為系統(tǒng)的勢(shì)能函數(shù)；R為與系統(tǒng)阻尼相對(duì)應(yīng)的耗散函數(shù)；Qi為作用在系統(tǒng)上的廣義力；qi為系統(tǒng)獨(dú)立的廣義坐標(biāo)；N為系統(tǒng)的總自由度個(gè)數(shù)。

1.2 非穩(wěn)態(tài)油膜力模型［12］

非線性油膜力模型采用短軸承假設(shè)下的Capone 非線性油膜力模型，該模型有較好的精度和收斂性。在短軸承油膜力假設(shè)條件下的無(wú)量綱雷諾方程為

式中：h為無(wú)量綱油膜厚度為油膜厚度，C為軸承徑向間隙）；z為無(wú)量綱軸向位移，z=為軸向位移）；p為無(wú)量綱油膜壓力，p=為油膜壓力，μ為油膜黏性系數(shù)）；x、y分別為無(wú)量綱軸頸中心x、y方向的位移分別為無(wú)量綱軸頸中心x、y方向上的速度分量。

由式（2）可得無(wú)量綱油膜壓力為

式中：D為軸承直徑。

無(wú)量綱非線性油膜力最終可以表示為

1.3 力學(xué)模型

帶有兩端支座松動(dòng)故障的轉(zhuǎn)子-定子-軸承系統(tǒng)如圖1 所示。假定系統(tǒng)中兩端支座同時(shí)出現(xiàn)松動(dòng)，軸頸兩端由相同的油膜軸承支撐，設(shè)δ為軸頸與軸承間的平均間隙，O1為轉(zhuǎn)盤(pán)的幾何中心，Oc為轉(zhuǎn)盤(pán)的質(zhì)心，m1為轉(zhuǎn)盤(pán)處的等效集中質(zhì)量，O2、O3分別為兩端軸頸的幾何中心，O4、O5分別為兩端軸承的幾何中心。兩端軸承支座質(zhì)量相等，即m2=m6，兩端軸頸在軸承處的等效集中質(zhì)量相等，即m4=m5，定子支座質(zhì)量為m3。

圖1 轉(zhuǎn)子-定子-軸承系統(tǒng)松動(dòng)故障的動(dòng)力學(xué)模型Fig.1 The dynamics model of rotor-stator-bearing system with looseness fault

假設(shè)圓盤(pán)與軸頸之間為無(wú)質(zhì)量彈性軸，k1為轉(zhuǎn)軸剛度系數(shù)，k2為軸承支撐剛度系數(shù)，k3為定子基礎(chǔ)剛度系數(shù)，kr為軸承座與基礎(chǔ)之間的等效剛度，ksz、ksy分別為松動(dòng)端左、右軸承座的分段剛度，單位為N?m-1；c1為轉(zhuǎn)軸阻尼系數(shù)，c2為軸承支撐處的結(jié)構(gòu)阻尼系數(shù)，c3為基礎(chǔ)對(duì)定子的阻尼系數(shù)，csz、csy分別為松動(dòng)端左、右軸承座的分段阻尼，單位為N·s·m-1。

1.4 運(yùn)動(dòng)微分方程

設(shè)盤(pán)心O1和軸頸中心O2、O3的位移分別為（x1，y1）、（x2，y2）、（x6，y6），ω為軸的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度，e為不平衡量，μ為油黏度，R為軸頸半徑，L為軸頸長(zhǎng)，F(xiàn)xz、Fyz和Fxy、Fyy分別為左、右兩端軸承受到的油膜力。

根據(jù)拉格朗日方程，對(duì)圖1 建立具有兩端松動(dòng)故障的轉(zhuǎn)子-定子-軸承系統(tǒng)的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程組：

當(dāng)松動(dòng)發(fā)生時(shí)，設(shè)松動(dòng)的最大無(wú)量綱間隙值為δ1，分段線性表示為

2 數(shù)值模擬

運(yùn)用4 階Runge-Kutta 法對(duì)數(shù)值進(jìn)行求解，在計(jì)算中為了能夠較快地得到穩(wěn)定解，應(yīng)將步長(zhǎng)選得盡量小且周期足夠多。

為了保證解的收斂性并減小計(jì)算誤差，計(jì)算中需要選用較小的時(shí)間步長(zhǎng)，同時(shí)為了能記錄到振動(dòng)的穩(wěn)定解和消除瞬態(tài)響應(yīng)的影響，略去前2 000個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，取后4 500個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)。計(jì)算軌跡圖時(shí)取10~20個(gè)周期。設(shè)系統(tǒng)的參數(shù)為m1=4.0 kg，m2=m6=32.1 kg，m3=50.0 kg，m4=m5=20.0 kg；R=25 mm，δ2=0.2 mm，b=0.1 mm，e=0.1 mm，μ=0.018 Pa·s，c1=1 050 N·s/m，c2=2 100 N·s/m，c3=2 100 N·s/m；k1=2.5×105N/m，k2=2.5×105N/m，k3=2.5×107N/m，ks1z=1.0×106N/m，ks2z=20.0×106N/m，ks1y=5.0×106N/m，ks2y=10.0×106N/m；cs1z=1 500 N·s/m，cs2z=1 500 N·s/m，cs1y=1 500 N·s/m，cs2y=1 500 N·s/m，c43=350 N·s/m，δ1z=0.01 mm，δ1y=0.01 mm，軸承有效長(zhǎng)度L=12 mm。

非穩(wěn)態(tài)油膜力作用下的松動(dòng)故障轉(zhuǎn)子系統(tǒng)以激勵(lì)頻率作為唯一控制參數(shù)時(shí)的分岔圖如圖2所示，可以發(fā)現(xiàn)，隨著激勵(lì)頻率的變化，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)存在周期1、擬周期、周期4和混沌等多種非線性運(yùn)動(dòng)形式。

圖2 激勵(lì)頻率ω變化時(shí)y1和y2的分岔圖Fig.2 The bifurcation diagrams with ω changing of y1 and y2

由于分岔圖無(wú)法辨別出擬周期運(yùn)動(dòng)和混沌運(yùn)動(dòng)，結(jié)合分岔圖所對(duì)應(yīng)不同激勵(lì)頻率下的龐加萊映射圖作進(jìn)一步深入研究，得出系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)軌跡如下：

當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)角速度ω=90 rad/s 時(shí)，Poincare 映射點(diǎn)為一個(gè)封閉的曲線，表明此時(shí)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)處于擬周期運(yùn)動(dòng)；當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)角速度ω=100 rad/s 時(shí)，Poincare 映射點(diǎn)為分布在一定區(qū)域上的不可數(shù)點(diǎn)集，表明此時(shí)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)處于混沌運(yùn)動(dòng)；當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)角速度ω=120 rad/s時(shí)，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)處于擬周期運(yùn)動(dòng)；當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)角速度ω在（150，210）rad/s時(shí)，Poincare映射點(diǎn)為1個(gè)孤立點(diǎn)，表明此時(shí)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)處于P-1運(yùn)動(dòng)；當(dāng)ω=240 rad/s時(shí)，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)處于擬周期運(yùn)動(dòng)；當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)角速度ω在（270，300）rad/s 時(shí)，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)處于P-1 運(yùn)動(dòng)；當(dāng)ω在（330，450）rad/s時(shí)，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)處于擬周期運(yùn)動(dòng)；當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)角速度ω=500 rad/s時(shí)，Poincare映射點(diǎn)為4個(gè)孤立點(diǎn)，表示此時(shí)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)處于P-4運(yùn)動(dòng)；當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)角速度ω在（550，1 000）rad/s 時(shí)，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)處于混沌運(yùn)動(dòng)。

在其他參數(shù)保持不變、把激勵(lì)頻率作為唯一控制參數(shù)時(shí)，結(jié)合圖2 所示的分岔圖和不同激勵(lì)頻率下的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的Poincare 截面圖，可以發(fā)現(xiàn)隨著激勵(lì)頻率的變化，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)存在周期1、周期4、擬周期和混沌等多種非線性運(yùn)動(dòng)。研究結(jié)果表明，當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)角速度ω在（90，1 000）rad/s 區(qū)間變化時(shí)，系統(tǒng)經(jīng)歷了“擬周期運(yùn)動(dòng)→混沌運(yùn)動(dòng)→擬周期運(yùn)動(dòng)→P-1 運(yùn)動(dòng)→擬周期運(yùn)動(dòng)→P-1 運(yùn)動(dòng)→擬周期運(yùn)動(dòng)→P-4運(yùn)動(dòng)→混沌運(yùn)動(dòng)”的復(fù)雜過(guò)程。

3 結(jié)論

通過(guò)對(duì)松動(dòng)故障轉(zhuǎn)子系統(tǒng)隨激勵(lì)頻率變化的研究，得出以下結(jié)論：

（1）在非穩(wěn)態(tài)油膜力作用下，轉(zhuǎn)子-定子-軸承系統(tǒng)出現(xiàn)松動(dòng)故障時(shí)，松動(dòng)故障轉(zhuǎn)子系統(tǒng)表現(xiàn)出對(duì)激勵(lì)頻率變化具有極高的敏感性，系統(tǒng)在頻率小幅變化下呈現(xiàn)周期1、擬周期、周期4、混沌等多種復(fù)雜運(yùn)動(dòng)，最后經(jīng)過(guò)周期4分岔進(jìn)入混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。

（2）當(dāng)支座發(fā)生松動(dòng)時(shí)，支座的相軌跡呈現(xiàn)出特殊的形狀，這為有效識(shí)別轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)的支座松動(dòng)故障提供了理論依據(jù)。