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    稀疏規(guī)則庫模糊插值推理的模糊結(jié)構(gòu)元算法

    2021-12-21 07:32:32薛勝寒郭嗣琮
    關(guān)鍵詞:推理方法模糊集插值

    薛勝寒,郭嗣琮

    (1. 遼寧工程技術(shù)大學(xué) 理學(xué)院,遼寧 阜新 123000;2. 遼寧工程技術(shù)大學(xué) 智能工程與數(shù)學(xué)研究院,遼寧 阜新 123000)

    0 引言

    模糊推理的合成推理方法(Compositional Rule of Inference,CRI)是由ZADEH L A于1973年的提出[1],它不僅是模糊系統(tǒng)控制重要的理論基礎(chǔ),還廣泛應(yīng)用在故障檢測、醫(yī)療診斷、自動(dòng)駕駛、金融分析、風(fēng)險(xiǎn)預(yù)測等領(lǐng)域,發(fā)揮著越來越重要作用.

    在稀疏規(guī)則庫條件下,推理規(guī)則前件因素的狀態(tài)域不能被規(guī)則庫的前件狀態(tài)所覆蓋的時(shí)候,即規(guī)則前件的隸屬函數(shù)之間就會(huì)出現(xiàn)空隙,因而,由于缺少相應(yīng)的推理依據(jù)使得傳統(tǒng)的模糊推理方法遇到困難.在此基礎(chǔ)上,KOCZY L和HIROTA K[2]最早提出了KH線性插值推理方法,解決了模糊規(guī)則庫呈稀疏狀態(tài)下的模糊推理問題.但眾多學(xué)者發(fā)現(xiàn)KH線性插值推理方法并不能保證最后推理結(jié)果的隸屬函數(shù)是一個(gè)正規(guī)凸集,于是,提出了很多改進(jìn)的插值推理方法.王天江[3]等提出了相似插值推理方法,該方法基于隸屬函數(shù)圍成的圖形,更具有直觀性.WANG Baowen[4]等提出了Lagrange插值推理方法,基于各種類型的函數(shù)有著不同的計(jì)算公式,雖計(jì)算簡便,但推導(dǎo)較復(fù)雜.HUANG Zhiheng[5]等提出的重心插值推理方法,通過確定隸屬函數(shù)的重心、位移參數(shù)與尺度參數(shù)進(jìn)行推理,是目前被研究較多的方法.除此之外,劉文遠(yuǎn)[6]等提出了基于核集與相似性的模糊插值推理方法.文獻(xiàn)[7]~文獻(xiàn)[9]提出了基于排序和相似度度量的自適應(yīng)模糊插值.

    由于在模糊推理實(shí)際應(yīng)用中,各因素狀態(tài)幾乎都是實(shí)數(shù)變量,因素所表現(xiàn)的模糊狀態(tài)也都是模糊數(shù).受以上研究啟發(fā),基于筆者提出結(jié)構(gòu)元理論[10],提出新的稀疏規(guī)則庫插值推理方法.該方法在保證推理結(jié)果正規(guī)性與凸性的基礎(chǔ)上,避免了用α-截集方法求得結(jié)果,并使得推理運(yùn)算更為簡便.

    1 預(yù)備知識

    1.1 KH插值推理方法

    已知的推理規(guī)則是模糊推理的依據(jù),規(guī)則越豐富,對給定小前提的推理結(jié)論越容易產(chǎn)生.稀疏模糊規(guī)則庫就是推理前件因素不能覆蓋整個(gè)前提論域,以如下的模糊推理為例.

    規(guī)則1 如果天氣溫度是熱的,則電風(fēng)扇是暢銷的.

    規(guī)則2 如果天氣溫度是涼的,則電風(fēng)扇是滯銷的.

    小前提 現(xiàn)在的天氣溫度是正常的 結(jié)論 則電風(fēng)扇是?

    上述的推理可以表述為

    式中,A1,A2,A′為論域X上的一組有序模糊集,B1,B2,B′為論域Y上的有序模糊集,有A′≠A1,A′≠A2且A1<A′<A2.

    當(dāng)小前提與已知規(guī)則的前件沒有重疊部分時(shí),稱推理規(guī)則是稀疏的,傳統(tǒng)的模糊推理方法無法產(chǎn)生出結(jié)論,KOCZY和HIROTA[2]提出的KH線性插值推理方法就是試圖解決這類問題.

    所謂線性插值推理,就是按照模糊集距離的比例關(guān)系,來確定推理結(jié)論B′的方法.

    假定論域X上的兩個(gè)模糊集A1和A2有序關(guān)系A(chǔ)1<A2,A1和A2的α-截集(α∈[0,1])A1α和A2α之間的的上限距離dL和下限距離dU分別定義為

    根據(jù)模糊集分解定理,式(2)被重寫為

    將式(3)、式(4)分別代入到式(5)、式(6)中得

    然而,在一些情況下,由此得到的推理結(jié)論B′不是一個(gè)正規(guī)凸模糊集,見圖1.

    圖1 KH插值推理方法不合理的結(jié)論 Fig.1 unreasonable conclusions of KH interpolation inference method

    1.2 模糊結(jié)構(gòu)元與模糊數(shù)

    定義1設(shè)E是實(shí)數(shù)域R上的模糊集,其隸屬函數(shù)記為E(x),x∈R.若滿足下述性質(zhì).

    (2)當(dāng) -∞<x<-1 且1 <x<+∞時(shí),E(x)=0.

    (3)在區(qū)間[-1,0)上,E(x)是單增右連續(xù)函數(shù),在區(qū)間(0,1]上E(x)是單降左連續(xù)函數(shù),則稱模糊集E為R上的模糊結(jié)構(gòu)元[10].

    若滿足E(x)=E(-x),則稱E為R上的對稱型模糊結(jié)構(gòu)元.

    稱模糊集E為三角結(jié)構(gòu)元,若具有隸屬函數(shù)

    定理1(局部映射原理)設(shè)E是R上的任意模結(jié)構(gòu)元,具有隸屬函數(shù)E(x),又設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,1]上是單調(diào)有界的,(x)是f(x)的延拓集值函數(shù),則(E)是R上有界閉模糊數(shù),且(E)的隸屬函數(shù)為E(f-1(x)),這里f-1(x)是f(x)關(guān)于變量x和y的輪換對稱函數(shù)(若f(x)是連續(xù)嚴(yán)格單調(diào)的,則f-1(x)是f(x)的反函數(shù)).在不引起混淆的情況下,記(x)為f(x)[10].

    定理2(模糊數(shù)的結(jié)構(gòu)元表現(xiàn)定理)對于給定的正則模糊結(jié)構(gòu)元E和任意的有界閉模糊數(shù)A,總存在一個(gè)在[-1,1]上的單調(diào)有界函數(shù)f,使得A=f(E)[10].

    在模糊插值推理中,常用三角模糊數(shù)與梯形模糊數(shù),下面具體給出它們的結(jié)構(gòu)元表達(dá)形式.

    (1)A=f(E)是對稱三角模糊數(shù),取E為三角結(jié)構(gòu)元,f(x)為 用特征點(diǎn)法表示A,記A=(α0,α1,α2),見圖2(a),則a=α1,b=α1-α0.

    圖2 三角形與梯形模糊數(shù)的特征點(diǎn) Fig.2 characteristic points of triangle and trapezoid fuzzy numbers

    (2)A=f(E)是非對稱三角模糊數(shù),取E為三角結(jié)構(gòu)元,f(x)表達(dá)為

    用特征點(diǎn)法表示A,記A=(α0,α1,α2),見圖2(a),則

    (3)A=f(E)是梯形模糊數(shù),取E為三角結(jié)構(gòu)元,f(x)表達(dá)為

    若a<c,b=d,A=f(E)為對稱梯形模糊數(shù);若a<c,b≠d,A=f(E)為非對稱梯形模糊數(shù).

    用特征點(diǎn)法表示A,記A=(α0,α1,α2,α3),見圖2(b),則a=α1,b=α1-α0,c=α2,d=α3-α2.

    2 基于結(jié)構(gòu)元方法的模糊插值推理

    由于推理結(jié)果B′對應(yīng)的單調(diào)函數(shù)恒是遞增的,所以基于結(jié)構(gòu)元理論的模糊插值推理方法保證了推理結(jié)論隸屬函數(shù)的凸性與正規(guī)性.將模糊數(shù)的運(yùn)算利用結(jié)構(gòu)元理論轉(zhuǎn)換為單調(diào)函數(shù)的運(yùn)算,無需分別求上限距離與下限距離,并且避免了用α-截集的方法求得結(jié)果,簡便了推理運(yùn)算.

    在模糊插值推理中,推理規(guī)則前件與后件模糊集A與B常為語言變量值,且這些語言變量多用實(shí)數(shù)域中的模糊數(shù)進(jìn)行表示,下面給出具體算法的描述.

    2.1 模糊數(shù)的線性運(yùn)算與距離

    由模糊結(jié)構(gòu)元理論知[9],設(shè)E是一個(gè)模糊結(jié)構(gòu)元,f(x)和g(x)是[-1,1]上兩個(gè)同序單調(diào)函數(shù),使得模糊數(shù)A=f(E),B=g(E),則有

    例1設(shè)A,B為對稱三角模糊數(shù),選取三角模糊結(jié)構(gòu)元E,模糊數(shù)A,B可用結(jié)構(gòu)元E線性表達(dá),即存在實(shí)數(shù)a1,b1,a2,b2,使得A=a1+b1E,B=a2+b2E,則

    基于結(jié)構(gòu)元理論,定義一種模糊數(shù)距離.

    定義2設(shè)E是一個(gè)模糊結(jié)構(gòu)元,f(x)和g(x)是 [-1,1]上兩個(gè)同序單調(diào)函數(shù),使得模糊數(shù)A=f(E),B=g(E),定義模糊數(shù)A,B的距離為

    式中,D= max{f(1),g(1)} - min{f(-1),g(-1)}為f(x)和g(x)域值.

    容易證明,式(17)滿足距離的3條公理,此處證略.

    取E為三角結(jié)構(gòu)元,可以得到模糊插值推理中常用的三角模糊數(shù)與梯形模糊數(shù)距離公式.

    (1)設(shè)A=f(E),B=g(E)為對稱三角模糊數(shù),

    其中f(x)=a1+b1x,g(x)=a2+b2x,這里a1,b1,a2,b2為實(shí)數(shù),b1>0,b2>0,則模糊數(shù)A,B的距離為

    式中,D= max{(a1+b1),(a2+b2)} - min{(a1-b1),(a2-b2)}.

    (2)設(shè)A=f(E),B=g(E)是非對稱三角模糊數(shù),

    式中,a1,b1,a2,b2,c1,c2為實(shí)數(shù),b1>0,b2>0,c1>0,c2>0,則模糊數(shù)A,B的距離為

    (3)設(shè)A=f(E),B=g(E)是梯形模糊數(shù),

    式中,a1,b1,a2,b2,c1,c2,d1,d2為實(shí)數(shù),a1≤c1,a2≤c2,b1≥0,b2≥0,d1≥0,d2≥0,則模糊數(shù)A,B距離為

    2.2 單維插值推理

    給定式(1)的推理模型,其中,A1,A2,A′和B1,B2,B′分別為推理前件論域X和結(jié)論論域Y上的模糊數(shù),且A1<A′<A2.

    取三角結(jié)構(gòu)元E,隸屬函數(shù)見式(9),模型中模糊數(shù)可表示為A1=f1(E),A2=f2(E),A′=f0(E),B1=g1(E),B2=g2(E).在式(18)至式(20)中,根據(jù)模糊數(shù)的類型選取對應(yīng)的公式,求出小前提與各規(guī)則前件的距離.根據(jù)兩個(gè)模糊規(guī)則之間的線性插值定義為

    可得

    由式(14)可知,式(21)可轉(zhuǎn)化為對應(yīng)單調(diào)函數(shù)的運(yùn)算

    于是有

    則B′=g0(E),具有隸屬函數(shù)

    2.3 多維插值推理

    上述方法可推廣到多維插值推理模型中.假設(shè)推理前件存在m個(gè)推理變量fk(k=1,…,m),推理后件為一個(gè)結(jié)論變量v,已知n條由數(shù)據(jù)挖掘等方法得到的推理規(guī)則.變量fk與變量v的狀態(tài)集為實(shí)數(shù)集合Xk與Y,Ak’與Aki(k=1,…,m;i=1,…,n)為Xk上的模糊數(shù),B’與Bi=(i=1,…,n)為Y上的模糊數(shù).

    多維模糊插值推理結(jié)構(gòu)寫成如下推理形式.

    規(guī)則1 若f1是A1n且f2是A21且…且fm是Am1,

    則v是B1.

    規(guī)則2 若f1是A12且f2是A22且…且fm是Am2,

    則v是B2.

    ……

    規(guī)則n若f1是A1n且f2是A2n且…且fm是Amn,則v是Bn.

    小前提 若f1是 1A′且f2是 2A′且…且fm是mA′,結(jié)論g是B′.

    將其簡寫為

    特別說明的是,在推理模型中不存在前件相同而結(jié)果不同的推理規(guī)則.

    取三角結(jié)構(gòu)元E,則推理模型中的模糊數(shù)可表示為Aki=fki(E),Ak0=fk0(E),Bi=gi(E),B′=g0(E)分別計(jì)算小前提與各條規(guī)則推理前件距離di(i=1,···,n).

    先求前件中每個(gè)變量取值之間的距離

    再求

    式中,

    為第k個(gè)前件變量fk的域值.

    給定閾值τ,選出距離小于τ的s(2≤s≤n)條規(guī)則進(jìn)行下一步驟的計(jì)算.

    記距離小于τ的s條規(guī)則為R1,…,Ri,…,Rs,利用第一步求得的小前提與各條規(guī)則推理前件的距離di,計(jì)算Aki的權(quán)重kiw′∈[0,1].權(quán)重計(jì)算方法如下

    計(jì)算插值推理結(jié)論

    式中,

    3 算例

    下面以對稱三角模糊數(shù)為例,說明多維插值推理方法的計(jì)算過程.設(shè)推理規(guī)則見表1.

    表1 已知規(guī)則 Tab.1 known rules

    取三角結(jié)構(gòu)元E,利用模糊數(shù)的結(jié)構(gòu)元表示方法,表1所示的推理規(guī)則也可以表示為表2形式.

    表2 已知規(guī)則的結(jié)構(gòu)元表示 Tab.2 structural element representations of known rules

    其結(jié)構(gòu)元表示為

    利用式(17),得到小前提與各條規(guī)則推理前件的距離分別為d1=0.282 2,d2=0.143 0,d3=0.315 6,這里取τ=0.3,則距離小于τ規(guī)則為2條,分別為規(guī)則1與規(guī)則2.

    根據(jù)式(29)計(jì)算后件B1,B2的權(quán)重為

    則推理的結(jié)論為

    用特征點(diǎn)法表示為B′=(7.4,8.2,9.0).

    4 結(jié)論

    (1)基于模糊結(jié)構(gòu)元理論定義了新的模糊數(shù)距離公式,構(gòu)造了單變量與多變量的稀疏規(guī)則庫插值推理方法.

    (2)給出多變量情況下的算例,證明該方法保證了推理結(jié)果的正規(guī)性與凸性,避免了用α-截集的方法求得推理結(jié)論,簡化了推理運(yùn)算,并降低了推理運(yùn)算的復(fù)雜度.

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