低頻振動(dòng)隔離和能量采集雙功能超材料1)

趙 龍 陸澤琦 丁 虎 陳立群

(上海大學(xué)力學(xué)與工程科學(xué)學(xué)院，上海 200444)

(上海大學(xué)上海市能源工程力學(xué)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200444)

(上海市應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)研究所，上海 200072)

引言

超材料是一種具有人工周期性設(shè)計(jì)的復(fù)合材料，它具有天然材料所不具備超常物理特性[1-4].例如，由亞波長(zhǎng)結(jié)構(gòu)組成的聲學(xué)超材料具有可以抑制聲波或彈性波傳播的帶隙[5].超材料的應(yīng)用主要包括機(jī)械波衰減[6-8]、低頻隔振[9-11]和能量采集[12-13]等.實(shí)際的工程中，如一些特殊工況下(飛行器帆板、飛機(jī)機(jī)翼的支撐板等)不僅需要對(duì)特定頻率范圍內(nèi)的振動(dòng)進(jìn)行隔離，而且需要將有害振動(dòng)產(chǎn)生的能量轉(zhuǎn)換為電能，以達(dá)到檢測(cè)傳感器供能的目的.因此，本文研究的重點(diǎn)是設(shè)計(jì)振動(dòng)隔離和能量采集相結(jié)合的雙功能超材料，在隔振的同時(shí)，把有害的振動(dòng)能量轉(zhuǎn)換為可用于電力設(shè)備的更有用的電能[14-16].然而到目前為止，關(guān)于振動(dòng)隔離和能量采集相結(jié)合的雙功能超材料[17-19]的研究很少.

由于低頻處的振動(dòng)對(duì)工程構(gòu)件的損耗最大，所以低頻振動(dòng)隔離問題一直是許多學(xué)者研究的熱點(diǎn).最近，Yu 等[20]報(bào)道了Timoshenko 梁與局部諧振器的橫向振動(dòng)試驗(yàn)，并實(shí)現(xiàn)了其橫向振動(dòng)的隔離.EIBorgi 等[21]對(duì)具有多個(gè)共振頻率的超材料進(jìn)行了試驗(yàn)，擴(kuò)大了隔振頻率范圍.Hao 等[22]設(shè)計(jì)了彎曲波激勵(lì)下的多跨超材料梁，這拓寬了帶隙的頻率范圍，表明隔振性能有所改善.Park 和Jeon[23]提出了一種用于橫波的具有寬低頻帶隙的錐形超材料梁，它改善了寬帶和低頻特性.Li 和Wang[24]將多個(gè)諧振器放置在一個(gè)雙周期排列的系統(tǒng)中，以在低頻范圍內(nèi)構(gòu)建具有指數(shù)縱波隔離帶隙的超材料.Sharma 和Sun[25]研究了低頻波在具有周期性嵌入諧振器的夾層梁中的傳播行為，發(fā)現(xiàn)了帶隙之間的相互作用，從而進(jìn)一步拓寬了帶寬.Wang 等[26]在Euler-Bernoulli 梁中放置橫向局部諧振器，以產(chǎn)生多個(gè)橫向帶隙，從而抑制橫波的傳播.Hu 等[27]交替地將固有頻率不同但質(zhì)量相同的周期諧振器連接到梁上，并通過調(diào)整頻率間隔來減少振動(dòng)的傳播，從而獲得寬帶隔離范圍.然而，將低頻振動(dòng)從超材料主體上轉(zhuǎn)移到諧振器之后，振動(dòng)的能量并未對(duì)其進(jìn)行回收利用.

目前，對(duì)于超材料的研究，考慮到實(shí)際工程應(yīng)用中的環(huán)境，許多學(xué)者設(shè)計(jì)了具有多個(gè)功能相結(jié)合的超材料.Li 等[28]通過將非球形納米顆粒植入圓柱形結(jié)構(gòu)中，設(shè)計(jì)了一種用于熱隱身和電隱身的雙功能超材料.Shen 等[29]通過將形狀記憶合金和各向同性材料組裝在一起，設(shè)計(jì)了一種用于熱斗篷和聚光器的雙功能超材料.Maldovan[30]設(shè)計(jì)的熱聲超材料成功地實(shí)現(xiàn)了波隔離和熱流導(dǎo)向功能.Sugino 和Erturk[31]在超材料懸臂梁振子上黏貼壓電片實(shí)現(xiàn)了對(duì)振動(dòng)的能量采集.

受上述研究的啟發(fā)，為了在低頻隔振的同時(shí)，對(duì)隔離的振動(dòng)能量進(jìn)行采集，本文設(shè)計(jì)一種低頻振動(dòng)隔離和能量采集的雙功能超材料，將有害振動(dòng)產(chǎn)生的能量轉(zhuǎn)化為電能為無線傳感器等低功耗電器供電.將固接了感應(yīng)線圈的滑動(dòng)球擺周期性陣列在基體梁上的球形磁腔內(nèi)，以實(shí)現(xiàn)振動(dòng)隔離和能量采集的統(tǒng)一.首先建立了雙功能超材料梁在橫向激勵(lì)下的動(dòng)力學(xué)方程，應(yīng)用Bloch’s 定理得到了超材料的能帶關(guān)系，對(duì)其進(jìn)行有限元分析，并設(shè)計(jì)了橫向激勵(lì)超材料的試驗(yàn)，驗(yàn)證了超材料的帶隙內(nèi)振動(dòng)隔離特性;最后，對(duì)二維雙功能超材料的低頻振動(dòng)隔離和能量采集性能進(jìn)行了研究.

1 雙功能超材料梁的設(shè)計(jì)

本節(jié)對(duì)雙功能超材料梁進(jìn)行建模和分析，通過將帶有球型空腔的梁基體與帶能量采集功能的球擺型諧振器相耦合，以實(shí)現(xiàn)低頻隔振和能量采集的功能性統(tǒng)一.雙功能超材料梁的示意圖如圖1(a)所示，附加的帶有能量采集功能諧振器如圖1(b)所示.將帶有能量采集功能的球擺型諧振器被放置在具有周期性排列球形腔的超材料梁上，當(dāng)彈性波在雙功能超材料中傳播時(shí)，會(huì)在諧振器處產(chǎn)生局域共振現(xiàn)象，從而阻止彈性波的傳播，實(shí)現(xiàn)振動(dòng)的隔離.當(dāng)超材料梁受到激勵(lì)時(shí)，滑動(dòng)小球在球腔內(nèi)表面來回滑動(dòng)，同時(shí)驅(qū)動(dòng)感應(yīng)線圈切割磁場(chǎng)，產(chǎn)生電能.

圖1 (a) 雙功能超材料模型圖;(b)帶能量采集功能諧振器模型圖Fig.1 (a) View of the dual-functional metamaterial;(b) a spherical pendulum energy harvester

本文所研究超材料的主要部分是一個(gè)無限長(zhǎng)梁，當(dāng)高長(zhǎng)比小于1∶5 的梁受到橫向激勵(lì)時(shí)，需要考慮橫截面中性軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的影響.如圖2 所示，超材料梁的典型晶胞單元在本研究中可以等效為Timoshenko 梁.

將超材料梁等效Timoshenko 梁，l為梁?jiǎn)卧L(zhǎng)度，A為梁截面面積，I為梁截面轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，ρ 為梁材料的密度，E為梁的拉伸彈性模量，G為梁的剪切彈性模量.如圖2 所示，截面中性軸的橫向位移隨時(shí)間變化t表示為w(x，t)，梁截面剪切角隨時(shí)間t的變化表θf(示x，t為) γ(x，t)，表示超材料梁的總彎曲變形角為

圖2 超材料典型單胞的微元分析圖Fig.2 The infinitesimal analysis of Timoshenko beams

式中，M(x，t) 為作用在梁截面上的彎矩，Q(x，t) 為作用在梁截面上的剪應(yīng)力，β為剪切彈性模量(梁截面為矩形，即).

根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理和動(dòng)量定理，可得梁?jiǎn)卧膭?dòng)力學(xué)方程為

式(2) 為關(guān)于梁橫向位移w(x，t) 和軸線轉(zhuǎn)角θ(x，t)的二階偏微分方程組，對(duì)其進(jìn)行化簡(jiǎn)可以得到只用截面橫向位移w(x，t) 描述基體梁的動(dòng)力學(xué)方程為

將球擺型諧振器附加進(jìn)基體梁形心位置(x=l/2)，可以看出附加的球擺型諧振器受到基體梁的水平位移激勵(lì)為xe=w(x，t)|x=l/2，如圖3 所示，利用拉格朗日方程可以得到球擺諧振器的動(dòng)力學(xué)方程.

圖3 球擺型諧振器模型Fig.3 A spherical pendulum resonator

式中，L=T-U，T是動(dòng)能，U是勢(shì)能.

將圖3 中球腔質(zhì)心O所在的水平面為零勢(shì)能面，則滑動(dòng)小球的動(dòng)能T、勢(shì)能U分別為

將式(5)代入拉格朗日方程，得到球擺諧振器的動(dòng)力學(xué)方程為

將能量采集裝置附加到球擺型諧振器中，可以得到球擺型能量采集器.根據(jù)基爾霍夫定律，得到具有能量采集功能的球擺型諧振器的動(dòng)力學(xué)方程為

式中，B為磁感應(yīng)強(qiáng)度;i(t) 為感應(yīng)線圈中產(chǎn)生的電流;R為能量采集線圈中的電阻;Lind為電感強(qiáng)度;Lcoil為感應(yīng)線圈的長(zhǎng)度.

基于牛頓第二定律，將基體梁中空腔質(zhì)量等效為負(fù)質(zhì)量，則附加球擺諧振器的超材料梁?jiǎn)卧膭?dòng)力學(xué)方程為

式中，R1(t)+R2(t) 為球擺型諧振器與超材料梁?jiǎn)卧黧w之間的相互作用力(R1(t) 為超材料梁球型空腔質(zhì)量的等效負(fù)質(zhì)量與梁主體之間的相互作用力，R2(t)為諧振質(zhì)量與梁主體之間的相互作用)，δ(x-l)是狄利克雷函數(shù);相互作用力分別為

式中，θi為超材料梁受到橫向激勵(lì)時(shí)，球擺與單元內(nèi)平衡位置的夾角.

聯(lián)立球擺型諧振器的動(dòng)力學(xué)方程可得到典型超材料單元的控制方程

根據(jù)基爾霍夫定律，具有能量采集功能的雙功能超材料梁的動(dòng)力學(xué)方程為

對(duì)未知量進(jìn)行Fourier 展開，并利用Bloch's 定理將其設(shè)為

式中，ω為振動(dòng)頻率，q為x方向的波矢量，本文將一維向量q寫成標(biāo)量形式.

上述應(yīng)用于簡(jiǎn)諧彎曲彈性波通過雙功能超材料梁?jiǎn)卧目刂品匠炭蓪憺?/p>

對(duì)方程(13)積分后，可以用歐拉公式化簡(jiǎn)可以得到

控制方程的系數(shù)矩陣可以寫成

通過求解上式的系數(shù)項(xiàng)，使系數(shù)行列式為零，可得到頻率ω與波矢量q的關(guān)系，即本文所研究的雙功能超材料梁的能帶結(jié)構(gòu)關(guān)系.

2 有限元分析

本文利用有限元方法分析了附加局部諧振器的雙功能超材料梁的動(dòng)力學(xué)特性.圖4 表示了附加諧振器單元有限元模型.本研究計(jì)算得到了由8 個(gè)局部諧振腔單元組成的雙功能超材料梁的能帶結(jié)構(gòu)和頻率響應(yīng)函數(shù)曲線，有限元模型如圖5 所示.在有限元的環(huán)境下，對(duì)雙功能超材料梁的中間位置施加恒定加速度的諧波激勵(lì)，在梁的另一端設(shè)置探針對(duì)端部的響應(yīng)進(jìn)檢測(cè).

圖4 附加諧振器單元有限元模型Fig.4 Finite element model of unit cell

圖5 附加諧振器超材料梁有限元模型Fig.5 Finite element model of metamaterial beam

圖5 中五角星標(biāo)記位置為激勵(lì)位置，圓點(diǎn)標(biāo)記位置為監(jiān)測(cè)點(diǎn)位置.

在有限元環(huán)境下，超材料的頻率響應(yīng)函數(shù)矩陣表示為

式中，M，C，K為離散有限雙功能超材料梁的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣.i為無限周期超材料梁中的單元數(shù).p和F分別表示位移矢量和力矢量.采用有限元分析方法對(duì)模型進(jìn)行求解，計(jì)算超材料梁另一端的動(dòng)態(tài)響應(yīng)數(shù)據(jù)，得到梁的頻率響應(yīng).

3 結(jié)果和討論

本節(jié)比較了有無附加帶能量收集裝置球擺型諧振器時(shí)雙功能超材料梁的低頻隔振性能.為了更好的控制超材料帶隙的頻率范圍，還討論了雙功能超材料單胞參數(shù)對(duì)帶隙的影響，對(duì)雙功能超材料的輸出電壓進(jìn)行了研究.表1 為雙功能超材料的物理參數(shù).

表1 雙功能超材料物理參數(shù)Table 1 Parameters of a dual-functional metamaterial

3.1 有無附加諧振器對(duì)超材料帶隙特性的影響

為了研究在超材料梁中附加諧振器對(duì)其帶隙和振動(dòng)特性的影響，本節(jié)對(duì)比有無球擺型諧振器超材料梁的能帶結(jié)構(gòu)和幅頻響應(yīng)曲線.對(duì)于有限周期數(shù)的超材料，當(dāng)周期數(shù)很大時(shí)，帶隙的起始頻率和結(jié)梁頻率趨向于帶隙的理論值，這為用有限周期超材料替代無限周期超材料的研究提供了基礎(chǔ).

圖6(a)顯示了附加諧振器超材料梁的能帶結(jié)構(gòu)和幅頻響應(yīng)曲線.在0～ 120 Hz 范圍內(nèi)，存在Bragg 帶隙(37～ 66 Hz)和低頻處的局域共振帶隙(7～ 9 Hz)，在幅頻響應(yīng)圖中，帶隙相應(yīng)頻率范圍的振動(dòng)響應(yīng)被明顯抑制.圖6(b)表示了在相同物理參數(shù)下，沒有附加諧振器超材料梁的能帶結(jié)構(gòu)和幅頻響應(yīng)曲線.可以明顯的看出在0～ 140 Hz 的頻率范圍內(nèi)存在一個(gè)Bragg 帶隙(79～ 92 Hz)，在帶隙頻率范圍內(nèi)的響應(yīng)明顯小于帶隙頻率外的響應(yīng)，因此只含有陣列球型空腔的超材料也可以有效地對(duì)振動(dòng)進(jìn)行抑制.

圖6 超材料梁的能帶結(jié)構(gòu)與幅頻響應(yīng)對(duì)比Fig.6 Band-gaps and amplitude-frequency response of metamaterial

圖6 超材料梁的能帶結(jié)構(gòu)與幅頻響應(yīng)對(duì)比(續(xù))Fig.6 Band-gaps and amplitude-frequency response of metamaterial(continued)

通過對(duì)比圖6(a)和圖6(b)可以看出，無限周期數(shù)超材料的帶隙頻率與有限周期數(shù)超材料振動(dòng)抑制頻率范圍基本一致，說明振動(dòng)的衰減現(xiàn)象是由于帶隙行為引起的.理論上，振動(dòng)可以在帶隙的頻率范圍內(nèi)被完全隔離.然而，幅頻響應(yīng)的結(jié)果表明，振動(dòng)仍然是傳播的.這是因?yàn)槔碚撋铣牧系闹芷诮Y(jié)構(gòu)是無限的，這里通過8 個(gè)單元模擬得到頻率響應(yīng)，所以在實(shí)際的工程應(yīng)用中，帶隙內(nèi)的有害振動(dòng)可以顯著降低，但不會(huì)完全被隔離.一般情況下，在超材料中附加球擺型諧振器可以明顯的降低Bragg 帶隙的頻率范圍，中心頻率從85.5 Hz 降為51.5 Hz，拓寬隔振帶寬.在較低的頻率范圍內(nèi)，由于球擺型諧振器的共振，會(huì)產(chǎn)生一個(gè)較窄的局域共振帶隙(7～ 9 Hz).綜上所述，附加球擺型諧振器可以增大隔振帶隙頻率范圍.同時(shí)，附加了諧振器超材料梁的響應(yīng)顯著減小.通過對(duì)附加諧振器和沒有附加諧振器的能帶結(jié)構(gòu)和幅頻響應(yīng)的對(duì)比，發(fā)現(xiàn)球擺型諧振器的加入可以在低頻范圍內(nèi)形成了一個(gè)局域共振帶隙，提高了超材料梁在低頻處的隔振性能.

3.2 超材料幾何參數(shù)研究

本文還討論了超材料單胞的幾何參數(shù)，如圖7所示，分別為單胞的尺寸(m)、諧振小球的尺寸(本質(zhì)上是質(zhì)量/kg)和球型空腔的尺寸(m)對(duì)超材料梁隔振帶隙頻率范圍的影響.

圖7 幾何參數(shù)對(duì)帶隙的影響Fig.7 Effects of geometric parameters on band gap

圖7(a)顯示了單胞尺寸對(duì)超材料帶隙頻率范圍的影響.當(dāng)彎曲波在超材料梁中傳播時(shí)，對(duì)低頻處局域共振帶隙的影響不大，其中心頻率保持在8 Hz 左右，帶隙寬度為3 Hz;對(duì)于高頻處的Bragg 帶隙，其中心頻率從90 Hz 降低到21.5 Hz，帶寬從4 Hz 拓寬到23 Hz.圖7(b)顯示了諧振質(zhì)量對(duì)帶隙頻率范圍的影響.諧振質(zhì)量對(duì)低頻處局域共振帶隙調(diào)節(jié)能力更強(qiáng)，帶隙中心頻率從37 Hz 降低到5.5 Hz，使其具有更好的低頻隔振性能，帶寬始終保持在4 Hz 左右;對(duì)于高頻處的Bragg 帶隙，帶寬從25 Hz 拓寬到30 Hz，帶隙的中心頻率從67.5 Hz 降低到49 Hz.因此，附加諧振器可以降低Bragg 帶隙的中心頻率并拓寬帶隙寬度，提高超材料梁的低頻隔振性能.圖7(c)表示了空腔尺寸對(duì)超材料帶隙頻率范圍的影響.超材料的空腔尺寸對(duì)低頻處的局域共振帶隙影響不大，中心頻率始終為8.3 Hz，帶隙寬度為2.5 Hz;對(duì)于高頻處的Bragg 帶隙，通過增大空腔尺寸，帶寬從34 Hz降低為24 Hz，帶隙的中心頻率從62 Hz 降低到48 Hz，削弱了Bragg 帶隙的隔振性能.

3.3 能量輸出特性

本節(jié)討論附加諧振器的雙功能超材料的能量采集特性.通過有限元計(jì)算得到了諧振器中滑動(dòng)小球的位移，根據(jù)電磁感應(yīng)定律，在第i個(gè)諧振器中產(chǎn)生的輸出電壓為

將有限元計(jì)算得到不同位置處諧振器中滑動(dòng)小球位移代入式(17)，可以得到如圖8 所示的輸出電壓曲線.

圖8 為不同位置處諧振器的輸出電壓曲線，黑色實(shí)線為在激振點(diǎn)附近(圖5 中五角星)處諧振器的輸出電壓曲線，藍(lán)色點(diǎn)劃線為遠(yuǎn)離激振點(diǎn)(圖5 中圓點(diǎn)) 處的諧振器的輸出電壓曲線.從圖8 中可以看出，電壓輸出響應(yīng)在7～ 10 Hz 的頻率范圍內(nèi)產(chǎn)生一個(gè)峰值，電壓值達(dá)到了0.280 6 V，這與球擺型諧振器的共振頻率范圍接近.因此，附加球擺型諧振器的超材料梁由于諧振器共振產(chǎn)生局域共振帶隙，在局域共振帶隙的頻率范圍內(nèi)，超材料基體梁的振動(dòng)被轉(zhuǎn)移到諧振器中球擺上，帶動(dòng)線圈做切割磁感線運(yùn)動(dòng)，將機(jī)械能轉(zhuǎn)化為電能，同時(shí)減弱基體梁的振動(dòng)強(qiáng)度.在局域共振帶隙的頻率范圍內(nèi)，靠近激振點(diǎn)處諧振器的輸出電壓曲線出現(xiàn)了峰值，遠(yuǎn)離激振點(diǎn)處諧振器的電壓曲線并沒有出現(xiàn)峰值驗(yàn)證了激振點(diǎn)附近處的能量集中結(jié)論.因?yàn)槌牧蠋额l率內(nèi)的振動(dòng)隔離效果和梁基體的阻尼耗散作用，在遠(yuǎn)離激勵(lì)點(diǎn)處的諧振器的能量輸出要比激振點(diǎn)附近諧振器的能量輸出低兩個(gè)量級(jí)乃至更多.在Bragg 帶隙的頻率范圍內(nèi)，振動(dòng)主要局限在基體梁中，所以在諧振器中球擺的振動(dòng)被抑制，采集到的電壓輸出響應(yīng)穩(wěn)定.

圖8 不同位置諧振器的輸出電壓曲線Fig.8 Output voltage curve of resonator at different positions

4 試驗(yàn)驗(yàn)證

為了驗(yàn)證附加諧振器超材料梁的低頻局部共振帶隙和Bragg 帶隙，本文采用橡膠作為超材料梁的基體，并將滑動(dòng)球擺置于球形腔內(nèi)形成球擺型諧振器.對(duì)超材料梁進(jìn)行諧波激勵(lì)，以研究其在帶隙頻率范圍內(nèi)的振動(dòng)隔離特性.試驗(yàn)所用儀器如表2 所示，附加球擺型諧振器超材料梁的物理參數(shù)與表1 一致.

表2 試驗(yàn)儀器Table 2 Experiment instruments

圖9 為橫向激勵(lì)下附加球擺型諧振器超材料梁的試驗(yàn)照片.在試驗(yàn)中，利用兩根多節(jié)的長(zhǎng)棉線將超材料梁吊起，以模擬自由邊界條件.為了避免超材料梁在振動(dòng)時(shí)產(chǎn)生的彎矩，本文將激勵(lì)點(diǎn)設(shè)置在超材料梁的中間位置，以抵消彎矩的影響.超材料梁與能產(chǎn)生諧波激勵(lì)的激振器固接.激振器對(duì)激振位置施加一個(gè)a=0.1g的恒定加速度激勵(lì)，在激振器上放置一個(gè)反饋加速度傳感器形成閉環(huán)，使諧波激勵(lì)更為穩(wěn)定，激勵(lì)位置和響應(yīng)位置的加速度響應(yīng)由兩個(gè)加速度傳感器記錄.

圖9 橫向激勵(lì)下超材料梁試驗(yàn)照片F(xiàn)ig.9 photograph of the transverse excited metamaterial beam

圖10 為橫向激勵(lì)下超材料梁的掃頻曲線.從圖中可以看出，在6～ 10 Hz 的低頻范圍內(nèi)產(chǎn)生了由于諧振器共振引起的局域共振帶隙，在該帶隙的頻率范圍內(nèi)，抑制了加速度響應(yīng)，抑制效果達(dá)到了0.0311g;在38～ 47 Hz 的頻率范圍存在隔振帶隙，該范圍內(nèi)的加速度響應(yīng)也明顯被抑制，抑制效果達(dá)到0.052 2g.與超材料的能帶結(jié)構(gòu)對(duì)比可以發(fā)現(xiàn)，掃頻試驗(yàn)中產(chǎn)生的隔振帶隙與有限元計(jì)算得到的帶隙頻率范圍相一致.

圖10 橫向激勵(lì)下超材料梁的掃頻曲線Fig.10 Sweep curve of metamaterial beam under transverse excitation

為了可以定量的反映超材料梁的隔振效率，引入帶隙內(nèi)振動(dòng)隔離效率

式中，AE為激勵(lì)點(diǎn)處的加速度;AR為響應(yīng)點(diǎn)的加速度.

圖11(a)為橫向激勵(lì)下超材料梁在7.3 Hz 時(shí)的時(shí)域響應(yīng)，試驗(yàn)時(shí)選取局域共振帶隙頻率范圍內(nèi)隔振效果最好的頻率(7.3 Hz)進(jìn)行駐留，通過該頻率下時(shí)域響應(yīng)可以看出，振動(dòng)響應(yīng)明顯被抑制，且處于一個(gè)穩(wěn)定的振動(dòng)隔離狀態(tài).圖11(b)為橫向激勵(lì)下超材料梁在38.5 Hz 頻率下的時(shí)域響應(yīng)，在Bragg 隔振帶隙的頻率范圍內(nèi)選取隔振效果最好的頻率(38.5 Hz)進(jìn)行駐留，通過該頻率下的時(shí)域響應(yīng)可以看出端部響應(yīng)被明顯抑制.表3 為超材料隔振帶隙內(nèi)的振動(dòng)隔離效率，從表中可以看出橫向激勵(lì)下該超材料梁在局域共振頻率范圍內(nèi)的振動(dòng)隔離效率達(dá)到了59.54%，在Bragg 帶隙內(nèi)的振動(dòng)隔離效率達(dá)到了49.39%.因此，對(duì)該附加球擺型諧振器的超材料梁的試驗(yàn)顯示其具有良好的振動(dòng)隔離特性.

表3 帶隙內(nèi)隔振效率Table 3 Vibration isolation efficiency of band gap

圖11 不同頻率的時(shí)域響應(yīng)Fig.11 Time domain response at different frequency

5 二維雙功能超材料板

本節(jié)對(duì)超材料梁拓展的超材料板進(jìn)行研究.將帶能量采集功能的球擺型諧振器周期性的陣列在橡膠板基體中，探索該超材料板縱向的振動(dòng)隔離特性與能量采集性能.

5×5 雙功能超材料板的有限元模型示意圖如圖12(a)所示，圖中五角星標(biāo)記位置為激勵(lì)位置，圓點(diǎn)標(biāo)記位置為監(jiān)測(cè)點(diǎn)位置.二維單胞的幾何參數(shù)與前文一維單胞的幾何參數(shù)一致;圖12(b)表示了二維超材料單胞所對(duì)應(yīng)的簡(jiǎn)約Brillouin 區(qū)間(Γ-XM-Γ)，用于二維超材料單胞的計(jì)算.

圖12 5 × 5 超材料板有限元模型示意圖和超材料單胞簡(jiǎn)約Brillouin 區(qū)間Fig.12 Finite element model of metamaterial plate and Brillouin zone of metamaterial plate (5 × 5)

圖13(a)為雙功能超材料板的帶能結(jié)構(gòu)，從帶能結(jié)構(gòu)中可以看出該雙功能超材料板存在兩個(gè)明顯的帶隙(6～ 10 Hz 的局域共振帶隙、38.5～ 47 Hz 的Bragg 帶隙).圖13(b)為相同條件下超材料板的幅頻響應(yīng)曲線，通過與有限周期數(shù)的超材料板的幅頻響應(yīng)對(duì)比發(fā)現(xiàn)，在局域共振帶隙與Bragg 帶隙的頻率范圍內(nèi)，響應(yīng)點(diǎn)的振動(dòng)明顯被抑制，在帶隙頻率內(nèi)具有明顯的振動(dòng)隔離效果.

圖13 雙功能超材料板特性和幅頻響應(yīng)Fig.13 Band gap structure and amplitude frequency response

為了驗(yàn)證具有能量采集功能超材料板的能量采集性能.通過有限元計(jì)算得到了激勵(lì)點(diǎn)附近諧振器中滑動(dòng)小球的位移.根據(jù)電磁感應(yīng)定律，在第(i，j)個(gè)諧振器的輸出電壓為

將有限元計(jì)算得到的激振點(diǎn)附近諧振器內(nèi)滑動(dòng)小球位移代入式(19)可以得到其輸出電壓響應(yīng)曲線.圖14 為超材料板激振點(diǎn)附近諧振器輸出電壓響應(yīng)曲線.通過分析輸出電壓響應(yīng)曲線可知，響應(yīng)曲線在6～ 10 Hz 的頻率范圍內(nèi)產(chǎn)生峰值，最大輸出電壓為4.02 mV，這與諧振單元中球擺的共振頻率相近.因此，在低頻處局域共振帶隙的頻率范圍內(nèi)，超材料板的振動(dòng)被局限在諧振器處，通過能量采集裝置將機(jī)械能轉(zhuǎn)化為電能，使得超材料板振動(dòng)衰減，起到減振作用.在38.5～ 47 Hz 的Bragg 帶隙的頻率范圍內(nèi)，板的振動(dòng)沒有傳遞到諧振器中，此時(shí)諧振器中感應(yīng)線圈處于一個(gè)穩(wěn)定的狀態(tài)，采集到的電壓較少.

圖14 激勵(lì)點(diǎn)附近諧振器的輸出電壓曲線Fig.14 Output voltage curve of resonator near excitation point

6 結(jié)論

本文設(shè)計(jì)了一種低頻振動(dòng)隔離和能量采集的雙功能超材料，在實(shí)現(xiàn)低頻振動(dòng)隔離的同時(shí)，對(duì)振動(dòng)進(jìn)行能量采集，以實(shí)現(xiàn)隔振和能量采集的統(tǒng)一.這種雙功能超材料梁是將一個(gè)固接了感應(yīng)線圈的球擺周期的放置在球型磁腔之中構(gòu)成超材料，從而利用帶隙特性進(jìn)行振動(dòng)隔離，并在帶隙內(nèi)采集到更多的能量.首先建立了雙功能超材料梁在橫向激勵(lì)下的動(dòng)力學(xué)方程，應(yīng)用布魯赫定理得到了超材料的能帶關(guān)系，并進(jìn)行有限元計(jì)算，設(shè)計(jì)了橫向激勵(lì)超材料的試驗(yàn)，驗(yàn)證了超材料的帶隙內(nèi)振動(dòng)隔離特性;最后，對(duì)二維雙功能超材料的振動(dòng)隔離和能量采集性能進(jìn)行了研究.主要結(jié)論如下:

(1) 在帶隙的頻率范圍內(nèi)，振動(dòng)響應(yīng)能得到有效抑制.控制超材料的參數(shù)可以對(duì)帶隙的頻率范圍進(jìn)行調(diào)控;

(2) 在諧振器中球擺滑動(dòng)時(shí)所產(chǎn)生的能量可以轉(zhuǎn)化為電能被利用，在局域共振帶隙的頻率范圍內(nèi)采集到輸出電壓相比與帶隙外的輸出電壓更大;

(3) 增加單胞尺寸和空腔尺寸對(duì)局域共振帶隙的頻率范圍影響較小，但它會(huì)顯著降低Bragg 帶隙的頻率范圍，拓寬頻帶，提高超材料的隔振性能;

(4) 增加諧振質(zhì)量可以顯著降低由于諧振器共振引起的局域共振帶隙的頻率范圍，試驗(yàn)結(jié)果與理論結(jié)果基本一致.對(duì)于二維的雙功能超材料，同樣擁有較好的低頻隔振性能和帶隙內(nèi)的振動(dòng)能量采集性能.綜上所述，本文所提出的雙功能超材料梁在實(shí)現(xiàn)低頻隔振的同時(shí)，可以實(shí)現(xiàn)對(duì)振動(dòng)能量更好的采集.