通過脈沖控制實現(xiàn)機械臂系統(tǒng)的實用跟蹤①

戴清霞，馬米花

(閩南師范大學數(shù)學與統(tǒng)計學院，福建 漳州 363000)

0 引 言

目前，機械臂系統(tǒng)的跟蹤控制問題引起了科學和工程界的廣泛關(guān)注[1,2].因為具有強非線性的二階拉格朗日系統(tǒng)能夠描述許多復雜的機械系統(tǒng)，如機械臂系統(tǒng)[3]、飛行器系統(tǒng)[4]、航天器系統(tǒng)[5]等，所以用拉格朗日方程研究動力系統(tǒng)的跟蹤控制成為一個重要的課題.可是，目前有關(guān)拉格朗日系統(tǒng)控制的成果大多數(shù)考慮的是連續(xù)控制.但在現(xiàn)實生活中，連續(xù)控制模型很難實現(xiàn).值得關(guān)注的是，不連續(xù)控制比連續(xù)控制更簡單有效，脈沖控制就具有連續(xù)和離散相結(jié)合的特點[6].由于許多原因，脈沖系統(tǒng)狀態(tài)在極短的時間內(nèi)遭受突然的改變從而發(fā)生跳躍，跳躍過程可以看作在某時刻瞬時完成，這就是脈沖現(xiàn)象.通常，脈沖現(xiàn)象是直接或間接地受到脈沖約束或脈沖力的作用而產(chǎn)生的[7].通過脈沖控制，系統(tǒng)只需在離散時刻接收信息，便捷且有效.而有關(guān)脈沖控制策略基于拉格朗日方程模型的相關(guān)成果還比較少[8]，所以提出脈沖控制實現(xiàn)拉格朗日方程描述的機械臂系統(tǒng)的跟蹤控制.

1 機械臂系統(tǒng)模型及脈沖控制策略

在沒有其他干擾條件下，n連桿機械臂系統(tǒng)的動力學行為可以用如下拉格朗日方程來描述如公式(1)：

(1)

定義1[8]任意給定拉格朗日方程(1)的一個初始條件以及給定h>0，如果存在常數(shù)T0∈R+使得?t>T0時，有公式(2)：

(2)

將設(shè)計脈沖控制實現(xiàn)機械臂系統(tǒng)(1)達到實用跟蹤.從物理角度看，脈沖效應主要由脈沖力或脈沖約束引起的，使得系統(tǒng)狀態(tài)突然改變.此外，狄拉克脈沖函數(shù)可以很好地描述在某些離散時刻具有瞬時狀態(tài)跳變的演化過程.接下來，本文將設(shè)計的控制輸入τ是由一個非線性補償項和脈沖約束引起的脈沖效應組成.因此，對機械臂系統(tǒng)設(shè)計如下脈沖控制律，如公式(3)：

(3)

其中，μ>0，α>0是待設(shè)計的控制增益.控制律中第一項g(q)為非線性補償項，第二項含有狄拉克函數(shù)δ(t-tk)表示系統(tǒng)在時刻t=tk，k∈N+具有脈沖約束引起的脈沖效應.根據(jù)狄拉克函數(shù)的性質(zhì)知，在t≠tk時，有δ(t-tk)=0，這意味著該系統(tǒng)只有在離散時刻tk才需要接收期望軌道qd的信息，這就減少了信息之間傳輸?shù)呢摀?另外，令Δtk=tk-tk-1表示脈沖時間間隔，時間序列tk滿足00。

因為τ中存在g(q)補償項，所以無脈沖控制時可以將系統(tǒng)(1)寫成(4)

(4)

(5)

2 跟蹤代數(shù)判據(jù)

將設(shè)計適當?shù)目刂圃鲆姒?，反饋增益α和脈沖時間間隔δ0使拉格朗日方程描述的機械臂系統(tǒng)(1)在脈沖控制律(3)的作用下達到實用跟蹤。

將脈沖控制律(3)代入拉格朗日方程(1)得公式(6)：

(6)

(7)

(8)

也可以寫成式(9)：

(9)

因此，可以得到如下脈沖動力系統(tǒng)式(10)：

(10)

定理1 任意給定期望的跟蹤誤差界h，若選取控制增益μ，α和脈沖時間間隔δ0使得

(11)

如公式(11)，拉格朗日方程描述的機械臂系統(tǒng)(1)在脈沖控制律(3)的作用下可以跟蹤到目標軌道qd，且跟蹤誤差界為h，即達到實用跟蹤。

證明：首先證明存在T1>0，當?t>T1，使得

(12)

如式(12)，為此選取一個二次李雅普諾夫函數(shù)

V(s(t))=sT(t)M(q)s(t)

2‖sT(t)‖‖Δ‖≤

(13)

(14)

另一方面，在脈沖時刻t=tk，k∈N+，如果條件(A1)滿足，則可以從式(10)的第二個等式推導得式(15)

(15)

(16)

(17)

(18)

注1 稱條件(11)為跟蹤代數(shù)判據(jù).這個條件是充分非必要條件。另外，往往控制增益越大，就越容易實現(xiàn)跟蹤，這將在應用例子中得到驗證。

3 應用實例及仿真結(jié)果

作為理論結(jié)果的一個應用，這里以2連桿機械臂為例，其中機械臂如圖1所示，拉格朗日方程(1)可以描述該機械臂的動力學行為[11]。

圖1 一個2連桿機械臂[11]

跟蹤誤差‖q(t)-qd(t)‖時間演化。

機械臂跟蹤到期望軌道

圖2 取α=1.2，μ=0.5和δ0=0.01時，

圖3 取α=1.2，μ=0.5和δ0=0.01時，

如果增大控制增益，取α=3，而其他數(shù)據(jù)不變，那么該系統(tǒng)仍然可以跟蹤到期望軌道，模擬結(jié)果如圖4所示。和圖2相比，圖4顯示機械臂可以更快地跟蹤到期望軌道。正如注1描述，控制增益越大，系統(tǒng)越容易跟蹤到期望軌道。

圖4 取α=3，μ=0.5和δ0=0.01時，跟蹤誤差‖q(t)-qd(t)‖時間演化。

如果增大脈沖時間間隔，取δ0=tk-tk-1=0.2，而其他的數(shù)據(jù)和圖2相同，這時不滿足定理1中的條件，然而機械臂仍然可以跟蹤到期望軌道，模擬結(jié)果如圖5所示。正如注1描述，定理1的條件是充分性的。和圖2相比，脈沖間隔越小，跟蹤效果越好。在工程上，可以根據(jù)需要選取適當?shù)目刂茀?shù)使得機械臂系統(tǒng)在脈沖控制律(3)作用下實現(xiàn)對期望軌道的跟蹤。

圖5 取α=1.2，μ=0.5和δ0=0.2時，跟蹤誤差‖q(t)-qd(t)‖時間演化

4 結(jié) 語

通過設(shè)計含有非線性補償項和脈沖約束效應組成的脈沖控制律，研究了拉格朗日方程描述的機械臂系統(tǒng)的實用跟蹤問題。通過脈沖控制，拉格朗日方程描述的機械臂只需要在一些離散時刻接收期望軌道的信息。得到的結(jié)果應用于2連桿機械臂的跟蹤控制。仿真結(jié)果表明了提出的脈沖控制策略和代數(shù)判據(jù)是有效且可行的。