重力梯度力矩作用下近地衛(wèi)星自旋運(yùn)動(dòng)規(guī)律分析

蔡立鋒，張國(guó)云，洪濤，李衛(wèi)平，林海晨，孫振江

中國(guó)西安衛(wèi)星測(cè)控中心 宇航動(dòng)力學(xué)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，西安 710043

1 引言

近地衛(wèi)星一般處于主動(dòng)姿態(tài)控制下三軸穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，衛(wèi)星在軌常發(fā)生姿態(tài)失控故障，此時(shí)常處于無(wú)主動(dòng)控制情況下的自旋狀態(tài)，對(duì)于其自旋姿態(tài)的確定和預(yù)測(cè)是姿態(tài)故障恢復(fù)的前提[1-4]。當(dāng)衛(wèi)星到達(dá)壽命末期，由于部件故障等原因需要對(duì)衛(wèi)星進(jìn)行離軌或鈍化，使得衛(wèi)星處于姿態(tài)無(wú)控狀態(tài)，可以設(shè)計(jì)近地衛(wèi)星姿態(tài)自旋策略，使衛(wèi)星仍然保持能源供應(yīng)和測(cè)控。比如對(duì)某近地衛(wèi)星離軌處置后的姿態(tài)自旋策略，提出了一種長(zhǎng)期在軌穩(wěn)定自旋的姿態(tài)控制模式[5]。因此，很有必要對(duì)近地衛(wèi)星自旋運(yùn)動(dòng)規(guī)律作進(jìn)一步研究。

近地衛(wèi)星受地球扁率J2項(xiàng)攝動(dòng)，軌道面一般處于進(jìn)動(dòng)狀態(tài)。典型的太陽(yáng)同步軌道衛(wèi)星，軌道面隨太陽(yáng)進(jìn)動(dòng)，同時(shí)受到重力梯度、太陽(yáng)光壓、地磁、氣動(dòng)等復(fù)雜攝動(dòng)力矩作用，使得星體角動(dòng)量在慣性空間指向發(fā)生變化。一般來(lái)說(shuō)，對(duì)于低軌衛(wèi)星，重力梯度和地磁力矩起主要作用[6]。地磁力矩來(lái)源于星上電子儀器產(chǎn)生的剩余磁場(chǎng)，或者來(lái)自姿態(tài)控制用的磁矩線圈，均與衛(wèi)星星上狀態(tài)有關(guān)。本文主要考慮重力梯度力矩作用下衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)規(guī)律。

受地球重力梯度力矩作用下的自旋衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，從自旋衛(wèi)星的平衡狀態(tài)角度，有著名的湯姆孫(Thomson)平衡和萊金斯-普林格爾(Likins-Pringle)平衡[7-9]。其中湯姆孫平衡自旋軸指向軌道面法線；萊金斯-普林格爾平衡要求自旋軸進(jìn)動(dòng)角速率等于軌道角速度，自旋角速率一般小于軌道角速度。這幾種自旋平衡條件是在假設(shè)衛(wèi)星為軸對(duì)稱剛體，并且衛(wèi)星軌道為圓形且軌道面不存在進(jìn)動(dòng)，實(shí)際上除了傾角為90°以外的低軌衛(wèi)星軌道面均存在進(jìn)動(dòng)。文獻(xiàn)[10]分析了重力梯度作用下軸對(duì)稱飛行器自旋運(yùn)動(dòng)，給出了進(jìn)動(dòng)角速率近似解。當(dāng)衛(wèi)星自旋角速率較大時(shí)，文獻(xiàn)[11-12]指出對(duì)于受微弱力矩作用的高速旋轉(zhuǎn)剛體，應(yīng)用Serert-Andoyer正則變量可使分析過(guò)程明顯簡(jiǎn)化。文獻(xiàn)[13-16]運(yùn)用基于Serert-Andoyer正則變量分析了自旋運(yùn)動(dòng)及重力梯度作用下的近似解。文獻(xiàn)[17]利用數(shù)值仿真的方法研究了重力梯度力矩引起的自旋穩(wěn)定衛(wèi)星姿態(tài)攝動(dòng)，發(fā)現(xiàn)一些運(yùn)動(dòng)規(guī)律，但仍沒(méi)有考慮存在軌道攝動(dòng)的情況。本文建立非軸對(duì)稱近地衛(wèi)星在受地球非球形等攝動(dòng)軌道面緩慢進(jìn)動(dòng)時(shí)，在重力梯度影響下的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)模型，推導(dǎo)自旋角速率滿足一定條件下自旋運(yùn)動(dòng)的進(jìn)動(dòng)角、章動(dòng)角、自旋角的解析解，討論近地衛(wèi)星自旋姿態(tài)在重力梯度攝動(dòng)下運(yùn)動(dòng)規(guī)律及其應(yīng)用價(jià)值。

2 姿態(tài)攝動(dòng)常微分方程組

2.1 姿態(tài)運(yùn)動(dòng)方程

定義衛(wèi)星軌道坐標(biāo)系，z軸由衛(wèi)星質(zhì)心指向地心，x軸在軌道平面內(nèi)與z軸垂直，指向衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)的方向，y軸與z、x軸成右手螺旋關(guān)系。定義交點(diǎn)軌道系為衛(wèi)星處于升交點(diǎn)時(shí)的軌道坐標(biāo)系。星體相對(duì)于交點(diǎn)軌道系的姿態(tài)采用歐拉角，為便于分析自旋軸進(jìn)動(dòng)規(guī)律，定義姿態(tài)轉(zhuǎn)序?yàn)?-1-2，對(duì)應(yīng)的歐拉角為θ,φ,φ。星體相對(duì)于J2000慣性坐標(biāo)系的角速度在星體坐標(biāo)系b中的投影為ω=[ωx,ωy,ωz]，可建立[θ,φ,φ,ωx,ωy,ωz]六變量的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)常微分方程組。

姿態(tài)運(yùn)動(dòng)方程描述星體相對(duì)于交點(diǎn)軌道系的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。歐拉角表示的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣為[6]：

(1)

將式(1)代入并整理得：

(2)

其中，上標(biāo)bx、by、bz表示角速度投影到星體坐標(biāo)系中各軸分量。

2.2 姿態(tài)動(dòng)力學(xué)方程及重力梯度表達(dá)式

投影到任意坐標(biāo)系l的姿態(tài)動(dòng)力學(xué)方程[6]：

(3)

式中：I為星體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；ω為星體角速度；M為外力矩，本文即為重力梯度力矩；下標(biāo)bi表示星體相對(duì)于慣性坐標(biāo)系，li表示任意坐標(biāo)系l相對(duì)于慣性系i；上標(biāo)l表示投影到坐標(biāo)系l。當(dāng)投影參考系為星體坐標(biāo)系b時(shí)，式(3)變?yōu)椋?/p>

(4)

(5)

展開(kāi)可得：

(6)

(7)

(8)

式(8)中星體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I慣量積為0。I與坐標(biāo)軸的選取密切相關(guān)，總可以通過(guò)坐標(biāo)變換將衛(wèi)星慣量矩陣轉(zhuǎn)化為慣量積為0的對(duì)角矩陣，而且一般的星體坐標(biāo)系的設(shè)置均使得非對(duì)角元素慣量積相比對(duì)角元素轉(zhuǎn)動(dòng)慣量很小。因此，不失一般性，以下僅討論在慣量矩陣為對(duì)角矩陣情況下的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)方程。設(shè)地心到衛(wèi)星的矢徑在軌道坐標(biāo)系和星體坐標(biāo)系中分別表示為ro和rb，則ro=(0 0 -r)T，rb=R2(φ)R1(φ)R2(θ)R2(u)ro，u為衛(wèi)星軌道緯度幅角，即從升交點(diǎn)起沿衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)方向到衛(wèi)星轉(zhuǎn)過(guò)的角度。將rb表達(dá)式代入(8)式可得：

(9)

3 自旋運(yùn)動(dòng)解析解

3.1 解析解的推導(dǎo)

定義萊查坐標(biāo)系[7-8]為先繞交點(diǎn)軌道系y軸轉(zhuǎn)動(dòng)θ，再繞新的x軸轉(zhuǎn)動(dòng)φ形成的坐標(biāo)系，θ為進(jìn)動(dòng)角，φ為章動(dòng)角；星體坐標(biāo)系b即為萊查坐標(biāo)系繞自身y軸旋轉(zhuǎn)一個(gè)自旋角φ形成。

用下標(biāo)l表示萊查坐標(biāo)系，式(3)即為投影到萊查坐標(biāo)系的姿態(tài)動(dòng)力學(xué)方程，將式(3)寫為：

(10)

(11)

(12)

(13)

投影到萊查坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Il=R2·(-φ)IbR2(φ)，由式(11)～(13)可得到H1的分量為：

(14)

(15)

(16)

萊查坐標(biāo)系下的重力梯度力矩Ml為：

(17)

由式(14)(15)，略去4階以上小量，得到：

(18)

(19)

式(17)～(19)代入式(16)，并略去2階以上小量可得：

俗話說(shuō)，有好的思路，把它變成現(xiàn)實(shí)才是最重要的?！翱茖W(xué)發(fā)展觀”的基本要求是全面協(xié)調(diào)可持續(xù)，就是要推進(jìn)各個(gè)方面的發(fā)展，實(shí)現(xiàn)速度、質(zhì)量、效益統(tǒng)一，而不能顧此失彼?！翱茖W(xué)發(fā)展觀”的根本方法是統(tǒng)籌兼顧，也就是要統(tǒng)籌解決生產(chǎn)建設(shè)中的各種關(guān)系和問(wèn)題。而這一切都離不開(kāi)高質(zhì)量、高效能的管理。為此，我們需要時(shí)刻保持拼搏進(jìn)取、勇創(chuàng)一流的精神狀態(tài)，始終堅(jiān)持以追求卓越為目標(biāo)，持之以恒地抓好“制度建設(shè)、管理模式、管理效能”這三個(gè)關(guān)鍵環(huán)節(jié)，全面提升管理標(biāo)準(zhǔn)和水平，探索形成高質(zhì)量、高效能的管理模式，為全面協(xié)調(diào)可持續(xù)發(fā)展奠定堅(jiān)實(shí)的管理基礎(chǔ)。

(20)

令：

則式(20)中cos2(u+θ)可分解為下式：

cos2(u+θ)=

這里略去了小量周期項(xiàng)，代入式(20)，得到進(jìn)動(dòng)角、章動(dòng)角平均值的解析式：

(21)

進(jìn)動(dòng)角、章動(dòng)角的周期項(xiàng)如下：

(22)

進(jìn)動(dòng)角和章動(dòng)角平均變化速率為：

(23)

3.2 自旋運(yùn)動(dòng)規(guī)律及解析解成立的條件

(24)

(25)

(26)

4 數(shù)值仿真分析及對(duì)解析解的驗(yàn)證

圖1 角動(dòng)量空間運(yùn)動(dòng)Fig.1 Spatial motion of angular momentum

以方程(2)(4)建立常微分方程組，采用數(shù)值積分仿真分析。初值設(shè)計(jì)衛(wèi)星繞最大主慣量軸自旋，設(shè)為衛(wèi)星本體y軸，初始條件為：

(27)

圖2 角動(dòng)量方向與自旋軸夾角αFig.2 Angle α between angular momentum direction and spin axis

圖3 進(jìn)動(dòng)角速度數(shù)值解與解析解Fig.3 Numerical and analytical solutions of precession angular velocity

圖3是進(jìn)動(dòng)角速率變化曲線，虛線為進(jìn)動(dòng)角速率按照自旋角φ求平均的結(jié)果，進(jìn)動(dòng)角速率仍存在周期運(yùn)動(dòng)，周期近似為軌道運(yùn)動(dòng)周期的一半，實(shí)線為式(23)確定的常量加式(22)確定的周期項(xiàng)，可見(jiàn)數(shù)值曲線和解析解曲線符合得很好。圖4和圖5分別是進(jìn)動(dòng)角和章動(dòng)角變化曲線，實(shí)線表示解析解，為式(21)確定的平均值加上式(22)確定的周期項(xiàng)，初值取平均值即式(27)中的初值減去式(22)確定的周期項(xiàng)。圖4符號(hào)“*”連接的曲線為進(jìn)動(dòng)角數(shù)值解，與解析曲線符合得很好，進(jìn)動(dòng)角近似線性變化；圖5虛線部分為章動(dòng)角數(shù)值解，解析解給出的平均值曲線在數(shù)值解包絡(luò)中間。章動(dòng)角在衛(wèi)星運(yùn)行10d軌道面進(jìn)動(dòng)接近10°后，仍然保持在初值附近小幅波動(dòng)，說(shuō)明自旋進(jìn)動(dòng)和章動(dòng)運(yùn)動(dòng)跟隨軌道面一起進(jìn)動(dòng)，圖1顯示的自旋軸空間運(yùn)動(dòng)也說(shuō)明這一點(diǎn)。由圖3～5可見(jiàn)，解析公式(21)～(23)計(jì)算的進(jìn)動(dòng)角、章動(dòng)角及其變化曲率計(jì)算結(jié)果與數(shù)值計(jì)算結(jié)果非常接近， 這就說(shuō)明了解析公式的正確性。

圖4 進(jìn)動(dòng)角θ數(shù)值解與解析解Fig.4 Numerical and analytical solutions of precession angle θ gradient

圖5 章動(dòng)角φ數(shù)值解與解析解Fig.5 Numerical and analytical solutions of nutation angle

5 結(jié)論

本文推導(dǎo)了重力梯度力矩作用下近地衛(wèi)星自旋運(yùn)動(dòng)的解析公式，分析其運(yùn)動(dòng)規(guī)律為：近地衛(wèi)星受地球非球形等主要攝動(dòng)影響，衛(wèi)星軌道面緩慢進(jìn)動(dòng)，當(dāng)衛(wèi)星繞最大主慣量軸旋轉(zhuǎn)且自旋角速度在一定取值范圍時(shí)，自旋軸以恒定的平均角速率進(jìn)動(dòng)，進(jìn)動(dòng)軸接近軌道法線，章動(dòng)角在小范圍內(nèi)波動(dòng)，波動(dòng)周期與進(jìn)動(dòng)周期相同；進(jìn)動(dòng)角速率與衛(wèi)星軌道高度、自旋轉(zhuǎn)速、三軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量及章動(dòng)角有關(guān)；衛(wèi)星的進(jìn)動(dòng)、章動(dòng)和自旋運(yùn)動(dòng)隨著軌道面的進(jìn)動(dòng)一起進(jìn)動(dòng)。

衛(wèi)星失控自旋后由于能量耗散作用，最終繞最大主慣量軸自旋，利用解析公式，可以在已知自旋軸進(jìn)動(dòng)角速率和自旋轉(zhuǎn)速情況下(一般星上傳感器容易測(cè)得)，計(jì)算自旋軸與軌道法線夾角的姿態(tài)信息，這就為衛(wèi)星失控自旋后的姿態(tài)確定提供了理論依據(jù)。當(dāng)衛(wèi)星發(fā)生姿態(tài)測(cè)量元件或者部分姿態(tài)控制部件故障后，可以建立適當(dāng)?shù)男l(wèi)星自旋姿態(tài)，由于自旋軸方向隨軌道面一起進(jìn)動(dòng)，且軌道面隨太陽(yáng)同步進(jìn)動(dòng)，因而能夠在衛(wèi)星姿態(tài)測(cè)量部件和控制部件關(guān)閉的情況下，保證太陽(yáng)能翼板穩(wěn)定接收太陽(yáng)能；同樣的設(shè)置可以應(yīng)用在衛(wèi)星在軌備份，當(dāng)設(shè)置適當(dāng)?shù)淖孕隣顟B(tài)后，可以關(guān)閉一切姿態(tài)測(cè)量部件和控制部件，衛(wèi)星仍能保持姿態(tài)穩(wěn)定、能源穩(wěn)定的測(cè)控穩(wěn)定，實(shí)現(xiàn)長(zhǎng)壽命在軌保持，需要時(shí)可快速激活使用。