對“用圓錐擺驗證向心力的表達式”實驗的改進

成振興，王曉璐，康世舉

摘? ?要：針對“用圓錐擺驗證向心力的表達式”實驗中難以使擺球獲得適當?shù)某跛俣纫约翱諝庾枇εc人工計時帶來的誤差等問題，重新設(shè)計了實驗裝置與方案。在斜面上由靜止釋放一鋼球與靜止在斜面底部的擺球碰撞，使擺球做規(guī)定半徑下的1/2圓周運動后撞擊另一物體，結(jié)合phyphox軟件的聲學秒表記錄兩次碰撞發(fā)生的時間間隔，實驗結(jié)果相對誤差可控制在0.4%以內(nèi)。

關(guān)鍵詞：圓錐擺;向心力;碰撞;實驗改進;phyphox

中圖分類號：G633.7 文獻標識碼：A ? ? 文章編號：1003-6148（2021）11-0048-5

“用圓錐擺驗證向心力的表達式”實驗在高中物理教學中具有重要意義，不僅可以培養(yǎng)學生的科學探究能力，還能培養(yǎng)與訓練學生的發(fā)散性思維[1]。但原實驗方案中存在較難操作、實驗結(jié)果誤差較大等問題。各版本教材中對向心力表達式得出過程的闡述大致有兩種：一是通過向心加速度表達式結(jié)合牛頓第二定律得出;二是通過“向心力演示器”探究出向心力與各物理量的比例關(guān)系后直接給出向心力的表達式。以上仍然需要一個證明向心力表達式成立的驗證性實驗。因此，對“用圓錐擺驗證向心力的表達式”實驗進行改進具有重要意義。

原實驗的難點在于如何使擺球獲得規(guī)定半徑下做勻速圓周運動的初速度，以及空氣阻力與人工計時帶來的誤差問題。有關(guān)驗證向心力表達式的改進實驗受到很多學者的關(guān)注。其中，利用電動機帶動擺球運動對原實驗進行改進的較多[2-4]，還開發(fā)了可以實現(xiàn)對向心力精確測量的儀器[5-6]。前者所需的材料不易獲得，儀器制作較為復雜，而后者可能會因為大班化教學的實情和實驗器材所限，不能保證每個學生都能親自操作實驗儀器，觀察到實驗現(xiàn)象[7]。還有利用兩個擺球碰撞使擺球獲得初速度，但其仍未解決空氣阻力與人工計時帶來的誤差問題[8]。

筆者針對原實驗中的三個難點進行改進，不僅使擺球獲得了初速度，而且極大地減小了空氣阻力與人工計時帶來的誤差，并具有材料易得、操作便捷等優(yōu)點。

1? ? 改進方法

1.1? ? 實驗裝置及原理

1.1.1? ? 如何使擺球獲得適當?shù)某跛俣?/p>

關(guān)于如何使擺球獲得適當?shù)某跛俣炔⒃谝?guī)定半徑下做勻速圓周運動，可考慮用對心碰撞來實現(xiàn)，我們設(shè)計了如下斜面軌道裝置：

如圖1的斜面是傾角為30°、底邊為17.5 cm、厚度為10 cm的直角三角體。沿三角體底面的長邊粘有兩個2 cm×4 cm×30 cm的長方體，且2 cm×30 cm所在的面與三角體底面貼合，長方體沿底面長邊超過三角體30°角頂點11 cm。斜面與長方體上安裝了一條寬度為2 cm的平滑塑料軌道，在斜面與長方體所成的鈍角處的軌道呈圓弧狀。軌道底面與長方體2 cm×30 cm所在的面重合，且與長方體貼合部分的軌道末端與長方體末端平齊。

如圖2所示，畫有不同半徑同心圓的白紙置于地面上，并畫上垂直于半徑的圓切線。使裝有軌道一側(cè)的長方體2 cm×30 cm所在面與長邊平行的中線跟同心圓半徑的垂線在豎直方向上重合，即2 cm×4 cm所在面與長邊平行的中線跟同心圓半徑的垂線相交，且軌道與長方體貼合的末端中點在豎直方向上跟圓切線和半徑的交點重合。

兩個凳子上各放置一個鐵架臺，兩鐵架臺頂端通過一根金屬桿連接，半徑為1 cm的金屬擺球懸掛于金屬桿中間的鐵夾上（圖3）。使擺球懸掛于鐵夾且靜止時正好位于同心圓的圓心正上方。由于塑料軌道兩側(cè)有棱，在軌道盡可能靠近末端的棱上用小刀劃出一個微小的缺口。把擺球放在軌道上的缺口處固定，同時保證擺線處于完全伸展受力狀態(tài)（圖4）。讓另一半徑同為1 cm的鋼球從斜面軌道上某一位置靜止釋放，在斜面上有刻度線及數(shù)字（刻度及數(shù)字不表示真實距離，僅用于方便尋找鋼球的釋放位置）以表示鋼球的釋放位置。然后，分別讓鋼球從斜面的不同位置釋放碰撞擺球，直到擺球能做盡可能標準的勻速圓周運動后記錄下斜面上鋼球的釋放位置。

1.1.2? ? 如何解決空氣阻力的影響及精確測量時間

上述擺球即使在被碰撞的初期能做近乎標準的勻速圓周運動，但受空氣阻力的影響，擺球半徑會逐漸減小，若仍采用人工掐表計時的方法，實驗結(jié)果與原來的用手帶動擺球無異，甚至誤差更大。因此，我們減小擺球的運動時間，僅使其準確運動1/2圓周后與另一個物體碰撞。為了實現(xiàn)以上要求，擺球做完1/2圓周運動后的撞擊點需在一個豎直平面內(nèi)且沿擺球運動方向距離半徑1 cm處。如圖5所示，本實驗使用了裝滿砝碼的長方體木盒，用三角尺對齊木盒的一條邊，將木盒放置至圓切點的1/2圓周并向擺球運動方向偏離半徑1 cm處，且與半徑平行。

對于時間的測量，利用phyphox軟件的聲學秒表記錄兩次撞擊聲音的時間間隔（圖6），其優(yōu)點在于測量精準，且可精確到三位小數(shù)。由于從斜面上滾下的鋼球在碰撞擺球后會先于擺球與木盒碰撞的時間而落地發(fā)出聲音，所以在軌道末端的地面上擺放一條毛巾，以避免鋼球落地發(fā)出聲音。

1.2? ? 實驗步驟

（1）設(shè)擺長為L，擺球半徑為R（R=0.01 m），則擺線長L'=L-R，將擺球懸掛于金屬桿中間的鐵夾上，調(diào)節(jié)鐵架臺及鐵夾的位置，使擺球處于同心圓圓心正上方。

（2）將斜面放至某半徑處后，將擺球放至軌道缺口處，移動鐵架臺上的螺栓調(diào)節(jié)擺球懸點的高度使擺線處于完全伸展狀態(tài)，且盡量使軌道底部對擺球向上的支持力接近于零，但不脫離軌道底部。

（3）未在1/2圓周處放置木盒的情況下從斜面軌道上的某處釋放鋼球，當鋼球與擺球碰撞后立即撤除斜面裝置，觀察擺球是否做圓周運動。當擺球做長軸與半徑平行的“橢圓擺”運動時，則說明鋼球釋放的高度偏小;當擺球做長軸與半徑垂直的“橢圓擺”運動時，則說明鋼球的釋放高度偏高。以此調(diào)整鋼球的釋放高度，找到使擺球做圓周運動的斜面刻度。

（4）在相應(yīng)位置上放置好木盒與毛巾，手機打開phyphox軟件的聲學秒表，放置在地面的圖紙上，點擊開始按鍵，在（3）中測得的斜面位置處釋放鋼球，聲學秒表自動記錄擺球兩次撞擊間的時間間隔，在表格中記錄下聲學秒表顯示的時間。

（5）移動斜面裝置，改變半徑，重復（2）（3）（4）步驟。

（6）改變擺長，重復以上所有步驟。

2? ? 改進實驗的情況

2.1? ? 數(shù)據(jù)記錄與處理

設(shè)擺球運動1/2周期的時間為t，則擺球的向心力Fn=mω2r=m（■）2r，所受合力F■■=mgtanθ=■，即驗證在誤差允許的范圍內(nèi)是否有（■）2=■，則可驗證向心力公式。其中，相對誤差=1-■，貴陽的重力加速度為9.79 m/s2。

共設(shè)置5個擺長L、5個半徑r，實驗測得25組數(shù)據(jù)，實驗數(shù)據(jù)記錄如表1所示。

2.2? ? 實驗結(jié)果誤差分析

從實驗數(shù)據(jù)我們可以看出，本實驗的相對誤差可以有效控制在0.4%以內(nèi)，平均相對誤差達到0.14%。若擺長設(shè)置在1.05 m及以上，平均相對誤差可以控制在0.1%以內(nèi)。擺長越長相對誤差越小，且數(shù)據(jù)相對穩(wěn)定，而改變半徑對相對誤差的影響則較小。通過計算不難發(fā)現(xiàn)，擺長為1.05 m的第1～5組數(shù)據(jù)中，當在實驗數(shù)據(jù)結(jié)果時間的基礎(chǔ)上增加或減少0.001 s，得出的相對誤差都會在本實驗結(jié)果的相對誤差基礎(chǔ)上增大，這意味著在本實驗的長度與時間測量工具精度的限制之下，相對誤差的最小值已經(jīng)達到了極限。而第7組數(shù)據(jù)的相對誤差竟然達到了0.0057%，是由于在此擺長與半徑之下，擺球的理論運動時間（設(shè)一個可無限精確測量的理想秒表）更加接近0.998 s。

而除去1.05 m擺長之外的幾個擺長中，大多數(shù)數(shù)據(jù)都無法達到相對誤差最小值，因此除了長度與時間測量工具所帶來的系統(tǒng)誤差，還存在其他系統(tǒng)誤差及偶然誤差：

（1）長度與時間測量工具的精確度局限;

（2）空氣阻力的影響;

（3）軌道末端缺口至半徑的水平微小距離延長了碰撞時間;

（4）斜面鋼球釋放的位置不夠精準;

（5）在缺口處放置擺球時沒有掌握好擺球與軌道的接觸方式，導致鋼球與擺球沒有對心碰撞及擺球運動半徑發(fā)生改變;

（6）由于擺線使用的是棉線，實驗過程中長度會發(fā)生變化;

（7）重力加速度參考值不精確。

針對以上誤差來源，理論分析減小誤差的方法：半徑一定，增加擺長。由v=■可知，當擺長增加后，速度較小，擺球運動時間變長，可減小時間測量工具的誤差，且同時能減小空氣阻力的影響。通過計算可以發(fā)現(xiàn)，當半徑r一定時，本實驗裝置的相對誤差與擺長呈負相關(guān)，即隨著擺長的增加，相對誤差會減小。

以上方法受條件的限制無法實現(xiàn)，可設(shè)想若無限增加擺長或存在可無限精確的長度與時間測量工具，可以無限減小相對誤差。

2.3? ? 怎樣能夠更好地演示改進實驗

以2019年版人教版高中物理教材為例，教學中先通過“向心力演示器”半定量探究出Fn=

kmω2r（k為比例系數(shù)）關(guān)系式后，再通過改進后的圓錐擺實驗探究出比例系數(shù)k的值。教師在實驗前制作好斜面，并準確繪制好圖紙等實驗裝置，最好在地面上用雙面膠固定圖紙，測試好不同擺長與半徑下使擺球做勻速圓周運動的斜面鋼球釋放位置并制成表格，告訴學生實驗原理及操作要領(lǐng)。學生按照表格中的數(shù)據(jù)釋放斜面鋼球，先撤除斜面，觀察擺球的運動狀態(tài)是否是勻速圓周運動，然后在1/2圓周處放置物體，再次釋放鋼球，用phyphox的聲學秒表記錄時間即可驗證向心力的表達式。也可以讓學有余力的學生自行設(shè)置擺長與半徑，尋找斜面鋼球的釋放位置，培養(yǎng)學生的實驗探究能力。此實驗可以教師演示，也可以學生分組實驗。學生在定量探究與驗證過程中觀察現(xiàn)象、提出猜想、驗證猜想，經(jīng)歷完整的科學探究過程，有利于培養(yǎng)學生的科學思維、科學探究以及嚴謹認真的科學態(tài)度。

2.4? ? 本實驗裝置的優(yōu)化

雖然本裝置的實驗結(jié)果誤差較小，但課前需要教師花費大量時間制作斜面軌道裝置，繪制同心圓圖紙，過程中出現(xiàn)偏差將會影響實驗結(jié)果，且同心圓圖紙易損壞或褶皺導致無法重復使用，建議使用硬質(zhì)塑料片以電腦打印的方式繪制。斜面與軌道裝置可采用3D打印來制作，并且可在斜面上制作更精細的刻度和可移動閘門，以便更精準地釋放斜面鋼球，亦或是模塊化生產(chǎn)專用的“向心力表達式驗證裝置”教具產(chǎn)品。

3? ? 結(jié)? 論

本改進實驗從原實驗方案的不足與問題出發(fā)，利用對心碰撞使擺球獲得沿圓周運動切線方向合適的速度，結(jié)合phyphox軟件的聲學秒表，解決了無法使擺球做標準的圓周運動、空氣阻力對運動半徑的影響以及人工計時所帶來的誤差等問題，并實現(xiàn)了材料易得、操作便捷及數(shù)據(jù)穩(wěn)定等優(yōu)點，更加完善了實驗教學方案。

本實驗設(shè)計巧妙，充滿趣味性，很好地展現(xiàn)了“物理學之美”，能極大地激發(fā)學生的興趣。準確的實驗結(jié)果讓學生徹底信服勻速圓周運動合力等于向心力，有利于學生物理核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。

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（欄目編輯? ? 劉? ?榮）