抗屈曲的柔性機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)

甘為 吳超 宋英杰 李政威 盧志宏

摘 要：針對(duì)柔性機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化中的穩(wěn)定性問(wèn)題與特有的鉸鏈問(wèn)題，本文提出了一種考慮線性屈曲約束且不含鉸鏈的拓?fù)鋬?yōu)化求解方法。首先，基于Pian單元，引入柔順度變化率約束，以解決柔性機(jī)構(gòu)的鉸鏈問(wèn)題;其次，結(jié)合KS（Kreisselmeier-Steinhauser）凝聚函數(shù)與線性屈曲方程給出線性屈曲約束的推導(dǎo);最后，結(jié)合線性屈曲約束、柔順度變化率約束，建立一種考慮線性屈曲約束且不含鉸鏈的拓?fù)鋬?yōu)化模型，并結(jié)合移動(dòng)漸近線方法（Method of Moving Asymptotes，MMA）有效求解。給出的算例結(jié)果表明，該方法能夠?qū)Y(jié)構(gòu)臨界屈曲載荷進(jìn)行有效約束。

關(guān)鍵詞：柔性機(jī)構(gòu);拓?fù)鋬?yōu)化;KS凝聚函數(shù)

中圖分類號(hào)：TB21 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1003-5168（2021）18-0042-03

Abstract： Aiming at the stability problem and the unique hinge problem in the topology optimization of flexible mechanisms， this paper proposes a topology optimization solution method that considers linear buckling constraints and does not contain hinges. First， based on the PIAN unit， the compliance change rate constraint is introduced to solve the hinge problem of the flexible mechanism; then， combining the KS aggregate function and the linear buckling equation， the derivation of the linear buckling constraint is given; dinally， combining linear buckling constraints and compliance change rate constraints， a topology optimization model considering linear buckling constraints without hinges is established， and combined with MMA （Method of Moving Asymptotes） algorithm for effective solution. The results of the given examples show that the method can effectively restrain the critical buckling load of the structure.

Keywords： compliant mechanisms;topology optimization;KS aggregation functions

柔性機(jī)構(gòu)是一類通過(guò)結(jié)構(gòu)的彎曲或彈性變形來(lái)傳遞或轉(zhuǎn)換運(yùn)動(dòng)、力與能量的機(jī)構(gòu)，在尖端特種設(shè)備、醫(yī)療設(shè)備與納米級(jí)功能部件中應(yīng)用廣泛。近年來(lái)，隨著拓?fù)鋬?yōu)化理論的拓展與計(jì)算效率的提高，屈曲約束逐漸成為熱門(mén)研究課題之一[1]。Rodrigues等給出了屈曲特征值的靈敏度推導(dǎo)方法，但將其實(shí)際運(yùn)用至連續(xù)體結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)時(shí)還需要解決諸多問(wèn)題[2]。常規(guī)位移單元無(wú)法克服單元的應(yīng)力剛化問(wèn)題，因此很難得到準(zhǔn)確的單元應(yīng)力。而Pian單元即使在粗略的劃分下計(jì)算得到的應(yīng)力也十分精確，解得的屈曲特征值更加可靠[3-4]。根據(jù)這一結(jié)論，F(xiàn)errari等給出了凝聚函數(shù)形式下的屈曲約束，但此研究還未應(yīng)用至柔性機(jī)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)。陳成等基于固體各向同性材料懲罰模型（Solid Isotropic Material with Penalization，SIMP）插值，并結(jié)合Heaviside映射與變體積約束限措施得到了清晰的拓?fù)錁?gòu)型。彭羅等采用柔順度變化率約束，對(duì)柔性機(jī)構(gòu)的鉸鏈進(jìn)行了有效抑制?；谏鲜鲅芯?，本文采用Pian單元，提出了一種考慮線性屈曲約束且不含鉸鏈構(gòu)型的拓?fù)鋬?yōu)化求解方法。

1 插值模型與屈曲約束

為獲得清晰的結(jié)構(gòu)拓?fù)?，采用設(shè)計(jì)變量[x]、密度變量[x]和物理變量[x]的三場(chǎng)分布方案。以[i]號(hào)單元為例，它的密度變量[xi]定義為在設(shè)計(jì)域內(nèi)以單元[i]為圓心、過(guò)濾半徑[r]為半徑劃定的圓形區(qū)域[Ni]內(nèi)的各設(shè)計(jì)變量的加權(quán)平均，表達(dá)式為：

為獲得清晰的拓?fù)錁?gòu)型，要對(duì)密度變量進(jìn)行Heaviside映射，表達(dá)式為：

傳統(tǒng)的SIMP插值模型中，物理變量在單元體積[vi]、單元?jiǎng)偠染仃嘯ki]與單元幾何剛度矩陣[kiσ]中的插值形式分別如下：

式（3）至式（5）中：[v0]、[k0]與[k0σ]分別為滿體積狀態(tài)下的單元體積、單元?jiǎng)偠染仃嚺c單元幾何剛度矩陣;[p]為懲罰因子;[E0]為材料的彈性模量;[Emin]為設(shè)置的經(jīng)驗(yàn)參數(shù)，取[Emin=10-6E0]。

線性屈曲分析的表達(dá)式為：

式（6）中：[K]為結(jié)構(gòu)的總體剛度矩陣;[Kσx，u]為結(jié)構(gòu)的總體幾何剛度矩陣;[λi]為第[i]階屈曲載荷的放大因子;[φi]為對(duì)應(yīng)的屈曲模態(tài)。

考慮到優(yōu)化過(guò)程中迭代求解的有效性，結(jié)合間隔因子[α]，可構(gòu)建如下屈曲約束：

式（7）至式（9）中：[Pc]為設(shè)定的最小正特征值的下限;集合[B]由8個(gè)最小正特征值組成;[μi]為特征值的倒數(shù);通過(guò)引入間隔因子，計(jì)算得到[μi]。

考慮到優(yōu)化過(guò)程中的特征值聚集分布和迭代求解的有效性，結(jié)合間隔因子與KS（Kreisselmeier-Steinhauser）凝聚函數(shù)，可將屈曲約束改寫(xiě)為如下形式：

2 優(yōu)化模型與靈敏度分析

采用基于KS凝聚函數(shù)形式的線性屈曲約束，則考慮線性屈曲約束的無(wú)鉸鏈柔性機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化模型表達(dá)式如下：

本文采用梯度算法求解，因此需要求得式（12）中各性能函數(shù)的靈敏度。

根據(jù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t，任意函數(shù)[fx]對(duì)設(shè)計(jì)變量[xe]的導(dǎo)數(shù)可表示為：

基于式（13）至式（15），僅需推導(dǎo)各性能函數(shù)對(duì)物理變量的導(dǎo)數(shù)即可。

根據(jù)式（4），可得到單元?jiǎng)偠染仃嘯ki]對(duì)物理變量[xi]的導(dǎo)數(shù)，其表達(dá)式為：

柔順度變化率約束函數(shù)關(guān)于[xi]的導(dǎo)數(shù)表達(dá)式分別為：

式（17）中：[Uin]與[Uout]分別為機(jī)構(gòu)的實(shí)載荷與虛載荷對(duì)應(yīng)的位移向量;[K]為結(jié)構(gòu)總體剛度矩陣。

體積上、下限約束函數(shù)關(guān)于物理變量[xi]的導(dǎo)數(shù)表達(dá)式為：

結(jié)合式（6）至式（11），可得到式（12）中屈曲約束[fκ（x）]關(guān)于物理變量[xi]的導(dǎo)數(shù)表達(dá)式：

本文所有算例均采用MMA算法進(jìn)行優(yōu)化求解。

3 優(yōu)化算例

采用式（7）至式（9）所給的優(yōu)化模型對(duì)柔性?shī)A鉗模型進(jìn)行優(yōu)化求解。邊長(zhǎng)[L=300? μm]、厚度為1 μm的方形夾鉗機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)域中，右端為不可設(shè)計(jì)區(qū)域，尺寸如圖1所示。取左端上下各一個(gè)單元作為約束點(diǎn)位，左端中點(diǎn)為位移輸入點(diǎn)，沿水平方向向右施加有[Fin=1? N]的實(shí)載荷;右端不可設(shè)計(jì)區(qū)域的上下節(jié)點(diǎn)[Uout]為位移輸出點(diǎn)，沿設(shè)計(jì)域水平對(duì)稱軸方向輸出為正方向。設(shè)計(jì)域內(nèi)材料的彈性模量[E0]=200 GPa，泊松比取[μ]=0.3，輸入點(diǎn)的彈簧剛度為[kin]=2×105 N/m，輸出點(diǎn)的彈簧剛度為[kout]=2×102 N/m。

針對(duì)圖1柔性機(jī)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化問(wèn)題，采用120×120網(wǎng)格對(duì)設(shè)計(jì)域進(jìn)行均勻的單元?jiǎng)澐帧ＴO(shè)定密度過(guò)濾半徑為[r0=1.5Δ]，其中[Δ]為最大單元邊長(zhǎng)。柔順度變化率約束經(jīng)驗(yàn)參數(shù)[ψ*]前200步設(shè)定為0.02，后續(xù)固定為0.003。不考慮屈曲約束時(shí)，所得構(gòu)型如圖2所示，此時(shí)機(jī)構(gòu)的屈曲載荷為4.48 N。

為提高機(jī)構(gòu)的穩(wěn)定性，設(shè)定屈曲下限[Pc=6]，所得機(jī)構(gòu)最優(yōu)拓?fù)錁?gòu)型如圖3（a）所示。機(jī)構(gòu)受載后的正常變形與屈曲變形分別如圖3（b）和圖3（c）所示。此時(shí)，機(jī)構(gòu)的最低階屈曲載荷為6.74 N?？梢?jiàn)，本文提出的方法能夠顯著提高結(jié)構(gòu)的屈曲載荷。

4 結(jié)語(yǔ)

基于柔順度約束與屈曲約束，構(gòu)建了一種考慮屈曲約束的無(wú)鉸鏈清晰柔性機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化方法。該方法不僅能夠解決鉸鏈問(wèn)題，而且能夠滿足屈曲約束，并獲得更大的輸出位移，非常適用于三維柔性機(jī)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)。

參考文獻(xiàn)：

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