談數(shù)形結(jié)合在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用技巧

尤曉綿

【摘要】步入高中，高一學(xué)生往往會(huì)有“措手不及”的感覺，如果老師不能夠及時(shí)調(diào)整學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài)，改變他們原有的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式，就很容易使學(xué)生難以理解相關(guān)知識(shí)點(diǎn)和題目的內(nèi)在原理關(guān)系，今后的學(xué)習(xí)會(huì)更加吃力.而數(shù)形結(jié)合思想是高中數(shù)學(xué)中最為常用且實(shí)用的思維方法，它把代數(shù)與幾何問題相互柔和，相互貫通，對(duì)于一些抽象條件的理解分析有明顯幫助，同時(shí)能增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)自信心，激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣，鞏固提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué);數(shù)形結(jié)合法;運(yùn)用分析

引?言

高中新的學(xué)習(xí)理念方法要求教師應(yīng)以進(jìn)一步培育和提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為目標(biāo)，引導(dǎo)學(xué)生掌握一些關(guān)鍵的數(shù)學(xué)思維方法，將看似抽象且難以理解的數(shù)學(xué)問題形象化.在方法的講授和運(yùn)用時(shí)，教師要注重學(xué)生個(gè)體情況的差異，結(jié)合題目實(shí)際給出多元解決方案，鍛煉學(xué)生的創(chuàng)新和發(fā)散思維，同時(shí)讓學(xué)生對(duì)于每個(gè)章節(jié)的知識(shí)重點(diǎn)有更加全面系統(tǒng)的認(rèn)識(shí).

一、高中數(shù)學(xué)教學(xué)中開展數(shù)形結(jié)合應(yīng)用技巧的價(jià)值

進(jìn)入高中階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)后，知識(shí)內(nèi)容更加呈現(xiàn)體系化、層次化和抽象化特征.高中數(shù)學(xué)知識(shí)更加抽象，很多公式定理都是由符號(hào)、字母或者其他形式做了代替，高度的凝練和簡潔，直觀性的內(nèi)容少之又少，這就讓很多從初中剛剛進(jìn)入高一的同學(xué)感到學(xué)習(xí)難度的上升.特別是一些在初中基礎(chǔ)較為薄弱的同學(xué)，突然接觸到理解層次要求較高的數(shù)學(xué)知識(shí)，心中難免會(huì)打退堂鼓;而對(duì)于前期基礎(chǔ)較為扎實(shí)，學(xué)習(xí)情況良好的學(xué)生，如果一時(shí)不能轉(zhuǎn)換思維，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)很可能中途受挫，影響其后續(xù)的積極性，學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣就會(huì)大打折扣，很不利于在以后長期的學(xué)習(xí)中建立足夠的應(yīng)對(duì)能力.在高一階段的數(shù)學(xué)教學(xué)中會(huì)涉及不等式的基礎(chǔ)知識(shí)，而不等式、曲線方程、二次函數(shù)等內(nèi)容是高中數(shù)學(xué)課程中比較抽象、難度較大的知識(shí)點(diǎn)，單一的理論學(xué)習(xí)對(duì)于學(xué)生的邏輯、歸納、轉(zhuǎn)換能力要求都很高，老師這時(shí)就應(yīng)當(dāng)將數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中關(guān)鍵的數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用到實(shí)際教學(xué)過程中，能夠把一些數(shù)字、字母等代號(hào)公式通過較為直觀的幾何圖形和函數(shù)圖像向同學(xué)們展示，讓他們更容易判斷出變量之間的關(guān)系，從而找到解題的突破口，降低了的題目的破解難度;而更重要的是為學(xué)生找到了一種可以應(yīng)對(duì)當(dāng)前學(xué)習(xí)困境的有效方法，極大地增強(qiáng)了其學(xué)習(xí)信心.在運(yùn)用該方法的過程中，還有很多技巧，如果運(yùn)用得當(dāng)，能夠減少大量的運(yùn)算，非常奇妙，這對(duì)于青春期的高中生來說，既迎合了他們的求知欲，也能提升他們的學(xué)習(xí)興趣.

在興趣提升方面，老師既要注重方法的講授，也要關(guān)注課堂氛圍的創(chuàng)建，通過較為活躍的課堂氛圍來吸引學(xué)生，把單一的“老師講課學(xué)生聽課”轉(zhuǎn)換為相互的交流與探討，以此增強(qiáng)學(xué)生的主動(dòng)性，激發(fā)他們的學(xué)習(xí)動(dòng)力.以高中一年級(jí)數(shù)學(xué)A冊中的二次函數(shù)內(nèi)容為例，結(jié)合例題來看 ，設(shè)f（a）是一個(gè)二次函數(shù)，當(dāng)a=2的時(shí)候，f（a）存在最小值.求a2系數(shù)對(duì)應(yīng)的取值范圍[1].這道題可以運(yùn)用二次函數(shù)的定理來解答，也可以結(jié)合圖形進(jìn)行判斷.因?yàn)槎魏瘮?shù)存在最小值，那么根據(jù)圖形的形狀，很容易確定其是開口向上的拋物線，那么其值的范圍就可以瞬間鎖定.可見，及時(shí)運(yùn)用圖形與函數(shù)對(duì)應(yīng)的方法，可以讓更加容易理解的圖形“說話”，對(duì)于一些需要大量計(jì)算而最后只需要做大概的定性判斷的問題，使用這種方法能夠簡化較多的計(jì)算過程，縮短運(yùn)算時(shí)間，極大地提升解題的效率，更能夠培養(yǎng)學(xué)生善于創(chuàng)新和靈活處理問題的習(xí)慣，增強(qiáng)他們的破題和簡化運(yùn)算能力.

二、數(shù)形結(jié)合方法的應(yīng)用形式簡析

（一）根據(jù)數(shù)量條件創(chuàng)設(shè)圖形

這在很多不等式的計(jì)算中應(yīng)用很大，把簡單的一元一次不等式用數(shù)軸來表示，同時(shí)反映了一個(gè)區(qū)間，又能和集合的知識(shí)聯(lián)系起來.一方面，教師運(yùn)用圖形可以把題目的重點(diǎn)更加形象直觀地表達(dá)出來;另一方面，學(xué)生也可以更容易理解.比如，現(xiàn)在有兩個(gè)不等式，X+8>6和X-7<9，經(jīng)驗(yàn)豐富的人很容易得到取值范圍是-2

（二）結(jié)合圖形判斷數(shù)量關(guān)系

圖形的特點(diǎn)是易于觀察，較為形象，容易理解，不過在高中數(shù)學(xué)教材中，很多圖形是較為繁雜的，有些圖形還含有很多隱藏的信息，學(xué)生一時(shí)難以察覺.這時(shí)就要靈活使用數(shù)形結(jié)合的方法，讓圖形轉(zhuǎn)換為數(shù)字語言，把隱匿的關(guān)鍵信息顯示出來，讓學(xué)生可以準(zhǔn)確地找到題目的切入點(diǎn).我們?nèi)砸愿咭粩?shù)學(xué)A冊的二次函數(shù)為例，假設(shè)有函數(shù)f（t）=t2-2at+2，當(dāng)t的取值區(qū)間為 [-1，+∞]時(shí)，f（t）>a是永遠(yuǎn)成立的，則要求出a的取值范圍.對(duì)于這類題目來說，圖形可以畫出，但是根據(jù)已知條件難以對(duì)圖形中的具體特征和數(shù)值進(jìn)行歸類確認(rèn)，但最后還是要?dú)w位到傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)計(jì)算當(dāng)中.所以，我們就要根據(jù)圖形演示背后的數(shù)量關(guān)系，列出關(guān)系式，通過代數(shù)運(yùn)算的相應(yīng)法則進(jìn)行運(yùn)算，繼而求出答案.解答這類題目的關(guān)鍵在于未知數(shù)的代換和方程的消元與合并，因此教師要針對(duì)重點(diǎn)內(nèi)容對(duì)學(xué)生進(jìn)行詳細(xì)的講解.

（三）數(shù)形相互轉(zhuǎn)化結(jié)合應(yīng)用

某些數(shù)學(xué)問題的計(jì)算環(huán)節(jié)較多，程序也相對(duì)復(fù)雜，單純依靠簡單的某種數(shù)形轉(zhuǎn)化方式是很難解決根源性問題的，這就需要對(duì)該方法進(jìn)行一個(gè)綜合性的運(yùn)用，讓數(shù)和形之間反復(fù)轉(zhuǎn)換，有機(jī)結(jié)合，達(dá)到綜合運(yùn)用的目的.這種方法多在三角函數(shù)和復(fù)雜數(shù)軸問題上加以應(yīng)用.結(jié)合具體題目來看，如高一數(shù)學(xué)中提到二次函數(shù)的知識(shí)時(shí)，有這樣一道題目：當(dāng)曲線y2=1-x2，y>0，和y=k（x-2）+4交會(huì)于兩個(gè)點(diǎn)，這時(shí)問k的取值區(qū)間是多少.該題目就要綜合使用數(shù)形之間相互轉(zhuǎn)換的方法.具體的解題思維路徑如下，根據(jù)第一個(gè)曲線方程，我們?nèi)菀字浪暮瘮?shù)圖形是一個(gè)半圓形，那么第二個(gè)函數(shù)是一個(gè)一次函數(shù)，它的截距不為零，肯定恒定經(jīng)過一個(gè)點(diǎn)，讓x=0時(shí)，y=4，即坐標(biāo)（2，4），這時(shí)就再根據(jù)函數(shù)的圖像判定取值區(qū)間，為

四、實(shí)際教學(xué)中數(shù)形結(jié)合法的技巧應(yīng)用要點(diǎn)

（一）從學(xué)習(xí)觀念意識(shí)入手逐漸提高方法運(yùn)用的敏感度

數(shù)形結(jié)合方法運(yùn)用是核心數(shù)學(xué)素養(yǎng)中的必備能力，而素養(yǎng)培育的關(guān)鍵在于意識(shí)的培養(yǎng).因此，教師在實(shí)際的教學(xué)中，要重點(diǎn)關(guān)注學(xué)生思維觀念的轉(zhuǎn)換和思路的啟發(fā)，只有學(xué)生主動(dòng)思考，才能給后來的方法正確使用做好鋪墊.在課堂教學(xué)中，老師要首先制定好相應(yīng)的教學(xué)計(jì)劃，把數(shù)形結(jié)合方法列為一項(xiàng)專題內(nèi)容或者是與其他的知識(shí)點(diǎn)講解相互融合，同時(shí)設(shè)定相應(yīng)的教學(xué)情境，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.確定具體的教學(xué)環(huán)節(jié)普及相關(guān)的數(shù)形結(jié)合方法的思想和用法，可以通過一些典型問題入手，讓學(xué)生先行思考，組織學(xué)生集中討論，看是否可以找出更加有效簡便的方法，讓同學(xué)積極發(fā)言，老師做好總結(jié)點(diǎn)評(píng)，對(duì)于已經(jīng)探索出數(shù)形結(jié)合方法的學(xué)生要積極鼓勵(lì)指導(dǎo)，完善其思路方法;對(duì)其他學(xué)生可以讓他們充分思考后給出提示，這樣學(xué)生就有恍然大悟的感覺，也能感受到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的奇妙性所在，對(duì)于以后數(shù)形結(jié)合方法的學(xué)習(xí)興趣也會(huì)提升.

（二）緊扣教材核心，挖掘數(shù)形結(jié)合方法應(yīng)用的亮點(diǎn)

在當(dāng)前的教材體系中，人教版的高中數(shù)學(xué)教材在很多內(nèi)容上都體現(xiàn)出了數(shù)形結(jié)合的思想.特別是在高一A冊的教材中，對(duì)于集合、不等式、一元二次函數(shù)、指數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)等均有所體現(xiàn).因此，教師就要結(jié)合教材的知識(shí)點(diǎn)，深度挖掘其中的數(shù)形結(jié)合的方法內(nèi)涵和亮點(diǎn)，讓該階段的學(xué)生能夠熟練地掌握這一種典型的數(shù)學(xué)解題思維，并且可以靈活運(yùn)用.在教學(xué)過程中，老師也要避免另一極端，即學(xué)生把數(shù)形結(jié)合當(dāng)成“萬能神藥”，把所有難以解答的題目都生搬硬套該方法，這樣容易造成邯鄲學(xué)步的尷尬局面.教師應(yīng)讓同學(xué)們認(rèn)識(shí)到除了數(shù)形結(jié)合方法外，假設(shè)法、賦值法、特殊值法、極限法等都是數(shù)學(xué)解題的好的思路和方法[3]，要根據(jù)題目的實(shí)際考查點(diǎn)進(jìn)行合理選擇;同時(shí)要讓同學(xué)意識(shí)到數(shù)形結(jié)合的關(guān)鍵是背后的數(shù)學(xué)思維的塑造，而不是簡單把方法照搬照抄.在教材題目的歸類挖掘中，教師之間也要相互協(xié)作，利用教學(xué)研討會(huì)、公開課等方式加強(qiáng)交流.

（三）注重方法思維滲透，引導(dǎo)學(xué)生熟練運(yùn)用

教師在講授時(shí)，應(yīng)當(dāng)重點(diǎn)突出數(shù)形結(jié)合方法的優(yōu)勢和亮點(diǎn)，以及應(yīng)用的先決條件.比如，題目已知的條件或者后續(xù)的問題十分抽象，難以通過相應(yīng)的方法轉(zhuǎn)換成簡單易懂的數(shù)量關(guān)系，這時(shí)可以考慮使用該方法，讓其變得更為直觀，畫面感和代入感也更強(qiáng).又如，在不等式問題的研究上，很多一元一次不等式都可以轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)系內(nèi)的幾條直線的交點(diǎn)和內(nèi)外部區(qū)域確定的問題，這樣就大大地簡化了關(guān)系式變形的步驟，更容易快速得出答案.以人教版教材數(shù)學(xué)為例，在不等式內(nèi)容中有如下例題：設(shè)有向線段AB的起點(diǎn)A和終點(diǎn)Q的坐標(biāo)分別是A（-1，1），B（2，2）.加入有直線a：x+py+q=0和之前的線段有交點(diǎn)，問實(shí)數(shù)p的取值區(qū)間是多少.這是一道幾何問題，也可以轉(zhuǎn)換為簡單的不等式求解.思路如下：把a(bǔ)的直線方程化為函數(shù)式，y+1=-qp（x-0），那么可以看出這條直線恒經(jīng)過點(diǎn)c，同時(shí)這個(gè)直線的斜率是-qp，當(dāng)該條線和另一條直線相交時(shí)，通過圖形函數(shù)容易看出，當(dāng)直線和AB相平行的時(shí)候，A直線a的斜率最小，當(dāng)穿過c點(diǎn)時(shí)，斜率最大，而l只能在該區(qū)間內(nèi)活動(dòng)，即kac

結(jié)束語

綜上所述，高中數(shù)學(xué)中的數(shù)形結(jié)合方法是破解一些層次較多、直接計(jì)算困難較大的數(shù)學(xué)題時(shí)使用的一種較為實(shí)用的方法，它對(duì)于解題效率提升、解題思維開闊、解題正確率提升都有著極大的促進(jìn)作用，同時(shí)可以幫助學(xué)生樹立學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心，提高學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣.教師在教學(xué)中應(yīng)注重技巧的運(yùn)用，結(jié)合實(shí)際情況，合理運(yùn)用，從而達(dá)到預(yù)期的教學(xué)目標(biāo).

【參考文獻(xiàn)】

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