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    含脈沖分數(shù)階廣義線性系統(tǒng)的能控能觀性

    2021-12-16 11:49:46馮再勇葉玲華向崢嶸謝小韋
    關(guān)鍵詞:廣義導(dǎo)數(shù)子系統(tǒng)

    馮再勇,葉玲華,向崢嶸,謝小韋

    (1.南京理工大學(xué)自動化學(xué)院,江蘇 南京 210094;2.南京鐵道職業(yè)技術(shù)學(xué)院a.基礎(chǔ)部;b.財務(wù)處,江蘇 南京 210031)

    分數(shù)階導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)是變量或其整數(shù)階導(dǎo)數(shù)的弱奇異積分[1-5]。分數(shù)階導(dǎo)數(shù)定義中的核函數(shù)稱為記憶核函數(shù)[6-7],它反映了分數(shù)階系統(tǒng)的記憶特性。分數(shù)階系統(tǒng)適合刻畫具有“過程記憶性”、“歷史遺傳性”等特點的多種物理過程[8-11]。

    分數(shù)階廣義系統(tǒng)的動態(tài)層是用分數(shù)階導(dǎo)數(shù)刻畫的微分系統(tǒng),靜態(tài)層則是用代數(shù)方程描述的代數(shù)系統(tǒng)。因此,分數(shù)階廣義系統(tǒng)適合于描述狀態(tài)變量間既存在分數(shù)階微分約束,又存在代數(shù)約束的復(fù)雜系統(tǒng)[12]。目前學(xué)術(shù)界對于分數(shù)階廣義系統(tǒng)的研究集中于:①探討分數(shù)階廣義線性系統(tǒng)的解。如Kaczorek T,F(xiàn)eng Z Y等[13-15]利用分數(shù)階廣義線性系統(tǒng)的等價標(biāo)準(zhǔn)型,研究了系統(tǒng)解的存在唯一性等基礎(chǔ)理論及系統(tǒng)求解方法(包括經(jīng)典解和分布解)。②研究無脈沖分數(shù)階廣義線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性、容許性、系統(tǒng)鎮(zhèn)定[12,16-18]等問題。文獻[12]是研究分數(shù)階廣義線性系統(tǒng)的奠基性工作,它分別針對導(dǎo)數(shù)階數(shù)0<α<1和1<α<2兩種情況研究了無脈沖分數(shù)階廣義線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性條件。此外,容許性對于廣義系統(tǒng)具有重要意義,其主要特點之一就是系統(tǒng)無脈沖。文獻[16-17]研究了分數(shù)階廣義線性系統(tǒng)的容許性條件。文獻[18]基于[17]的工作,研究了導(dǎo)數(shù)階數(shù)1<α<2時,基于狀態(tài)觀測器的容許系統(tǒng)的系統(tǒng)鎮(zhèn)定問題。③關(guān)于分數(shù)階廣義線性系統(tǒng)的應(yīng)用研究,典型的應(yīng)用包括分數(shù)階電路系統(tǒng)等[19]。易見,目前關(guān)于分數(shù)階廣義線性系統(tǒng)的研究,幾乎都是在系統(tǒng)無脈沖的基礎(chǔ)上開展的。

    對于分數(shù)階廣義線性系統(tǒng)而言,無脈沖要求系統(tǒng)經(jīng)受限等價變換后,快子系統(tǒng)的系數(shù)矩陣N為零矩陣。而更多情況下,特別是一些依據(jù)實際問題建立的分數(shù)階廣義線性系統(tǒng)模型,系數(shù)矩陣N往往不滿足無脈沖條件,此時前述研究結(jié)論便不一定適用。

    研究控制系統(tǒng)的能控性和能觀性是進行系統(tǒng)控制和設(shè)計的基礎(chǔ),已有關(guān)于分數(shù)階廣義線性系統(tǒng)完全能控性和能觀性的研究工作包括[24-26],它們都沒有考慮系統(tǒng)含脈沖項的情況。本文基于我們的前期研究結(jié)果[20],以系統(tǒng)分布解為基礎(chǔ),研究含脈沖分數(shù)階廣義線性系統(tǒng)的完全能控和完全能觀問題。本文證明了含脈沖分數(shù)階廣義線性系統(tǒng)完全能控和能觀的充要條件,給出了判斷含脈沖分數(shù)階廣義線性系統(tǒng)完全能控和能觀的秩判據(jù),為關(guān)于分數(shù)階廣義線性系統(tǒng)的研究、應(yīng)用提供基礎(chǔ)和依據(jù)。

    1 分數(shù)階廣義線性系統(tǒng)及其能控(觀)性概念

    本文討論如下形式的分數(shù)階廣義線性定常系統(tǒng):

    (1)

    其中t∈T,x(t),y(t),u(t)分別是系統(tǒng)的狀態(tài)變量、輸出變量和控制輸入變量。維數(shù)分別為x(t)∈Rn,y(t)∈Rm,u(t)∈Rr,系數(shù)矩陣E,A∈Rn×n,B∈Rn×r,C∈Rm×n,D∈Rm×r。分數(shù)階導(dǎo)數(shù)采用Caputo導(dǎo)數(shù),導(dǎo)數(shù)階數(shù)0<α<1??紤]到系統(tǒng)(1)解的存在唯一性,假設(shè)矩陣對(E,A)是正則的,且不要求系統(tǒng)無脈沖。

    系數(shù)矩陣對(E,A)正則,故存在可逆矩陣P1和P2。對(1)左乘矩陣P1,并令x=P2[x1,x2]T,可將(1)等價地變換為(2):

    (2)

    其中x1(t)∈Rn1,x2(t)∈Rn2,A1∈Rn1×n1,B1∈Rn1×r,N∈Rn2×n2,B2∈Rn2×r。N是冪零矩陣,設(shè)其指數(shù)為h,有Nh=0,Ni≠0,i=1,2,…h(huán)-1。與一般廣義線性系統(tǒng)相對應(yīng),我們稱系統(tǒng)(2.1)和(2.2)分別為系統(tǒng)(2)的慢子系統(tǒng)和快子系統(tǒng)。下面考察系統(tǒng)(2)的狀態(tài)響應(yīng)。

    慢子系統(tǒng)(2.1)是分數(shù)階線性系統(tǒng),文獻[15]證明了其狀態(tài)響應(yīng)如下。

    引理1[15]慢子系統(tǒng)(2.1)的狀態(tài)響應(yīng)具有如下形式:

    (3)

    引理2[20]快子系統(tǒng)(2.2)的狀態(tài)響應(yīng)如下:

    x2(t,u,x20)=x2i(t,x20)+x2u(t,u)

    (4)

    (0)]。h是冪零矩陣N的指數(shù),lk=「kα?,k=0,1,…,h-1。

    注1引理2中的狀態(tài)響應(yīng)含有脈沖函數(shù)及其分數(shù)階導(dǎo)數(shù),它是分布解。研究表明,分布解中脈沖函數(shù)的分數(shù)階導(dǎo)數(shù)(即脈沖項)從系統(tǒng)狀態(tài)軌跡的角度,刻畫了分數(shù)階廣義線性系統(tǒng)的記憶特性。

    注2引理2不要求快子系統(tǒng)的系數(shù)矩陣N=0,因此它也適用于刻畫含脈沖分數(shù)階廣義線性系統(tǒng)的運動分析。

    與線性系統(tǒng)的能控性[21-22]概念類似,分數(shù)階廣義線性定常系統(tǒng)(1)的完全能控性定義如下:

    定義1若對于初始時刻t0∈T的一個非零初始狀態(tài)x0,存在一個時刻t1∈T,t1>t0和一個無約束的容許控制u(t),t∈[t0,t1],使系統(tǒng)(1)的狀態(tài)由x0轉(zhuǎn)移到t1時刻時,x(t1)=0則稱此非零狀態(tài)x0在時刻t0為能控的。

    定義2若狀態(tài)空間中的所有非零狀態(tài)都在時刻t0,t0∈T為能控的,則稱系統(tǒng)(1)在時刻t0為完全能控的。

    考察系統(tǒng)的完全能觀性,一般不考慮系統(tǒng)的控制輸入u(t),但需要結(jié)合系統(tǒng)的輸出y(t)進行研究。此時,分數(shù)階廣義線性定常系統(tǒng)形式如(5):

    (5)

    系統(tǒng)(5)經(jīng)過受限等價變換,可被等價地變換為系統(tǒng)(6):

    (6)

    其中x1(t)∈Rn1,x2(t)∈Rn2,y1(t)∈Rm,y2(t)∈Rm,A1∈Rn1×n1,C1∈Rm×n1,C2∈Rm×n2。N∈Rn2×n2,是冪零矩陣,設(shè)其指數(shù)為h,有Nh=0,Ni≠0,i=1,2,…h(huán)-1,Caputo導(dǎo)數(shù)階數(shù)0<α<1。系統(tǒng)(6.1)和(6.2)是系統(tǒng)(6)的慢子系統(tǒng),系統(tǒng)(6.3)和(6.4)是系統(tǒng)(6)的快子系統(tǒng),系統(tǒng)輸出為y=y1+y2。

    根據(jù)線性系統(tǒng)能觀性[21-22]概念,分數(shù)階廣義線性系統(tǒng)的能觀性定義如下:

    定義3對于分數(shù)階廣義線性系統(tǒng)(5)的一個非零初始狀態(tài)x(t0)(t0∈T),若存在一個時刻t1∈T,t1>t0使得在觀測時間t∈[t0,t1]內(nèi)由輸出y(t)能夠唯一確定初始狀態(tài)x(t0),則稱此狀態(tài)x(t0)是能觀的。

    定義4若狀態(tài)空間中,所有非零初始狀態(tài)x(t0),t0∈T都是能觀的,則稱系統(tǒng)(5)是(狀態(tài))完全能觀的,簡稱能觀的。

    2 含脈沖分數(shù)階廣義線性系統(tǒng)的能控性研究

    含脈沖分數(shù)階廣義線性定常系統(tǒng)(2)的慢子系統(tǒng)(2.1)是個一般分數(shù)階線性系統(tǒng)。關(guān)于分數(shù)階線性系統(tǒng)的能控性判定,引理3給出了明確的結(jié)論。

    引理3[23]分數(shù)階廣義線性系統(tǒng)(2)的慢子系統(tǒng)(2.1)完全能控的充要條件是:

    (7)

    我們重點研究含脈沖分數(shù)階廣義線性定常系統(tǒng)(2)的快子系統(tǒng)(2.2)的能控性問題。結(jié)合引理2中快子系統(tǒng)(2.2)的分布解,我們給出以下快子系統(tǒng)的能控性判定定理,即定理1:

    定理1快子系統(tǒng)(2.2)完全能控的充要條件是:

    rankQC2=rank[B2,NB2,…,Nh-1B2]=n2

    (8)

    即,快子系統(tǒng)的能控性矩陣QC2=[B2,NB2,…,Nh-1B2]行滿秩。

    證明根據(jù)定義1,即需要證明存在無約束的容許控制輸入u(t)和時刻t,能夠使得系統(tǒng)(2.2)的狀態(tài)由x20轉(zhuǎn)移到原點x(t)=0。由引理2可知,快子系統(tǒng)(2.2)的分布解為:

    欲使得x2(t)=0,即要求存在控制輸入u(t)滿足:

    (9)

    (10)

    定理1是判定含脈沖分數(shù)階廣義線性系統(tǒng)快子系統(tǒng)完全能控的定理。以此為基礎(chǔ),我們可以得到更為簡潔的PBH秩判據(jù)。

    定理2(PBH秩判據(jù))含脈沖分數(shù)階廣義線性系統(tǒng)(2)的快子系統(tǒng)(2.2)完全能控的充要條件是:

    rank[N,B2]=n2

    (11)

    證明由線性系統(tǒng)的PBH秩判據(jù)可知,定理1的能控性條件,等價于矩陣[λI-N?B2]對于矩陣N的每一個特征值λi都有:rank[λiI-N?B2]=n2。

    考慮到冪零矩陣N的特殊結(jié)構(gòu),可知其特征值λi均等于0,于是定理1的能控性條件等價于:

    rank[-N,B2]=rank[N,B2]=n2

    證畢!

    綜合上述含脈沖分數(shù)階廣義線性系統(tǒng)(2)的慢子系統(tǒng)(2.1)和快子系統(tǒng)(2.2)的能控性條件,可得到含脈沖分數(shù)階廣義線性系統(tǒng)的能控性判定定理,即定理3。

    定理3含脈沖分數(shù)階廣義線性定常系統(tǒng)(1)完全能控的充要條件是經(jīng)受限等價變換后,慢子系統(tǒng)(2.1)和快子系統(tǒng)(2.2)均完全能控,即:

    (12)

    3 含脈沖分數(shù)階廣義線性系統(tǒng)的能觀性研究

    含脈沖分數(shù)階廣義線性定常系統(tǒng)(6)的慢子系統(tǒng)(6.1)和(6.2),是分數(shù)階線性系統(tǒng)。關(guān)于分數(shù)階線性定常系統(tǒng)的能觀性判定,有如下引理4:

    引理4[23]系統(tǒng)(6)的慢子系統(tǒng)(6.1)和(6.2)是完全能觀的充要條件是:

    (13)

    下面我們以分數(shù)階廣義線性系統(tǒng)的分布解為基礎(chǔ),研究含脈沖分數(shù)階廣義線性系統(tǒng)快子系統(tǒng)的能觀性定理,即定理4。

    定理4含脈沖分數(shù)階廣義線性系統(tǒng)(6)的快子系統(tǒng)(6.3)和(6.4)完全能觀的充要條件是:

    (14)

    即,快子系統(tǒng)的能觀性矩陣QO2列滿秩。

    輸出的矩陣形式可以表示為:

    (15)

    由于m

    (16)

    上式也可以寫成:

    Y=Mx2(0)=M0QO2x2(0)

    (17)

    欲使(17)具有唯一解,其充要條件是系數(shù)矩陣M和增廣矩陣[M?Y]具有相同的秩且秩等于n2,故rankM=rank(M0QO2)=n2。由乘積矩陣秩的性質(zhì)n2=rankM0QO2≤min(rankM0,rankQO2),可知rankQO2≥n2。又QO2∈Rmh×n2有n2列,故rankQO2≤n2。綜上得到:rankQO2=n2。

    證畢!

    以此為基礎(chǔ),我們可以得到快子系統(tǒng)的能觀性PBH秩判據(jù)。

    定理5(PBH秩判據(jù))含脈沖分數(shù)階廣義線性系統(tǒng)(6)的快子系統(tǒng)(6.3)和(6.4)完全能觀的充要條件是:

    (18)

    證畢!

    基于上述討論,我們可以得到含脈沖分數(shù)階廣義線性定常系統(tǒng)的能觀性判定定理,即定理6。

    定理6含脈沖分數(shù)階廣義線性系統(tǒng)(5)完全能觀的充要條件是經(jīng)受限等價變換后,慢子系統(tǒng)(6.1)~(6.2)和快子系統(tǒng)(6.3)~(6.4)均完全能觀,即:

    (19)

    4 相關(guān)算例

    我們可選擇適合的控制輸入u1,u2,讓這兩個狀態(tài)變量在有限時間內(nèi)趨向于0。比如,取分段連續(xù)的控制輸入:

    t/s圖1 導(dǎo)數(shù)階數(shù)為0.6時的u1,u2

    t/s圖2 導(dǎo)數(shù)階數(shù)為0.6時的x21,x22

    t/s圖3 導(dǎo)數(shù)階數(shù)為0.2時的u1,u2

    t/s圖4 導(dǎo)數(shù)階數(shù)為0.2時的x21,x22

    5 結(jié)論

    針對含脈沖分數(shù)階廣義線性系統(tǒng),本文以受限等價變換為工具,結(jié)合分數(shù)階廣義線性系統(tǒng)含脈沖項的分布解,證明了含脈沖分數(shù)階廣義線性系統(tǒng)的完全能控性和完全能觀性定理,并給出了簡便實用的含脈沖分數(shù)階廣義線性系統(tǒng)的能控性和能觀性秩判據(jù)。算例說明,本文所提出的含脈沖分數(shù)階廣義線性系統(tǒng)的完全能控(觀)定理和判據(jù)便捷有效。此外,我們知道,對偶線性系統(tǒng)的能控性和能觀性之間滿足對偶原理。含脈沖分數(shù)階廣義線性系統(tǒng)的對偶系統(tǒng)的形式和結(jié)構(gòu)如何,對偶原理是否仍然成立值得在后繼工作中加以研究。

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