滾動軸承-裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力學(xué)特性分析

宋傳沖，南國防，樓劍陽

（上海理工大學(xué) 能源與動力工程學(xué)院，上海 200093）

轉(zhuǎn)子系統(tǒng)是大型旋轉(zhuǎn)機(jī)械的重要組成部分，其長期在高溫、高壓、重載、高速等惡劣環(huán)境下工作，受材料屬性及使用的長期性影響，轉(zhuǎn)軸上會產(chǎn)生疲勞裂紋，裂紋的擴(kuò)展會導(dǎo)致轉(zhuǎn)子的橫向振動加劇，嚴(yán)重時會發(fā)生碰摩現(xiàn)象[1]。

目前國內(nèi)外學(xué)者在故障轉(zhuǎn)子方面進(jìn)行了大量研究，Patel等[2]基于試驗和數(shù)值仿真，采用呼吸裂紋模型，將轉(zhuǎn)子系統(tǒng)采用集中質(zhì)量模型進(jìn)行簡化，研究了帶有裂紋Jeffcott 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)出現(xiàn)碰摩時的動力學(xué)特性，分析了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)振動響應(yīng)。向玲等[3－5]在考慮非線性油膜力的基礎(chǔ)上建立了裂紋-碰摩轉(zhuǎn)子模型，分析了無量綱裂紋深度和轉(zhuǎn)速對系統(tǒng)響應(yīng)、穩(wěn)定性及碰摩力的影響，并做了相關(guān)的實驗研究。王海飛等[6]建立了以氣浮軸承為支承的裂紋-碰摩耦合故障轉(zhuǎn)子模型，發(fā)現(xiàn)發(fā)生此故障的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)存在周期、擬周期以及混沌運動現(xiàn)象，為轉(zhuǎn)子系統(tǒng)安全工作提供理論依據(jù)。申倩等[7]以滾動軸承支承的雙跨裂紋轉(zhuǎn)子為研究對象，在考慮碰摩故障的基礎(chǔ)上，分析了裂紋擴(kuò)展、裂紋角等對系統(tǒng)響應(yīng)的影響。何振鵬等[8]對產(chǎn)生裂紋-碰摩-松動耦合故障發(fā)動機(jī)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)通過數(shù)值分析了轉(zhuǎn)子不平衡量、碰摩剛度、松動端軸承座質(zhì)量對系統(tǒng)的影響，楊丹等[9]考慮初始彎曲建立裂紋-碰摩耦合故障轉(zhuǎn)子模型，結(jié)合分叉圖和龐加萊截面分析了初始彎曲和裂紋深度對系統(tǒng)振動響應(yīng)特性的影響。翁雷等[10-11]在考慮非線性氣流激振力的情況下，分別對裂紋、碰摩故障轉(zhuǎn)子系統(tǒng)進(jìn)行分析，陶海亮等[12]運用多種時頻分析相結(jié)合的方法較為全面地研究了轉(zhuǎn)子的故障特征，發(fā)現(xiàn)裂紋轉(zhuǎn)子在1/5、1/3臨界轉(zhuǎn)速時會發(fā)生較明顯的5X、3X 諧波。胡愛軍等[13]開展了裂紋-碰摩轉(zhuǎn)子的實驗研究，采用了全譜分析方法對其故障特征進(jìn)行了分析，發(fā)現(xiàn)了相對于傳統(tǒng)傅里葉頻譜分析，全譜分析方法能準(zhǔn)確識別3類故障。Zhaohui 等[14]研究了多自由度雙盤轉(zhuǎn)子軸承系統(tǒng)在不同碰摩間隙和不同裂紋深度條件下的動力學(xué)特性。Huang 等[15]提出了一種改進(jìn)的呼吸裂紋模型，并研究了裂紋深度和裂紋角度對裂紋轉(zhuǎn)子動力學(xué)特性的影響。

雖然對轉(zhuǎn)子耦合故障開展了一定的研究，但大部分工作主要針對汽輪機(jī)滑動軸承支承下的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，對發(fā)動機(jī)滾動軸承支承下發(fā)生耦合故障的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的研究較少，因此有必要對滾動軸承支承下的裂紋-碰摩耦合故障轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動特性進(jìn)行深入分析。本文考慮呼吸裂紋、滾動軸承非線性赫茲接觸和碰摩力，建立了滾動軸承支承下含橫向裂紋的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，采用Runge-Kutta 方法對裂紋-碰摩耦合故障導(dǎo)致的系統(tǒng)非線性動力學(xué)行為進(jìn)行研究。

1 裂紋-碰摩耦合故障轉(zhuǎn)子系統(tǒng)

本文以兩端為滾動軸承支承的含有裂紋-碰摩耦合故障轉(zhuǎn)子系統(tǒng)為研究對象，忽略扭轉(zhuǎn)振動和陀螺力矩，只考慮轉(zhuǎn)子的橫向振動，如圖1所示。轉(zhuǎn)子兩端采用滾動軸承支承，其中m1、c1分別為轉(zhuǎn)子在軸承處的集中質(zhì)量和結(jié)構(gòu)阻尼，m2、c2分別為轉(zhuǎn)軸中央圓盤的等效質(zhì)量和結(jié)構(gòu)阻尼，O1、O2分別為軸承幾何中心和圓盤幾何中心，O3為圓盤質(zhì)心，轉(zhuǎn)子與軸承之間為無質(zhì)量彈性軸，在靠近圓盤處有一橫向弓形裂紋。

圖1 裂紋-碰摩故障轉(zhuǎn)子系統(tǒng)示意圖

1.1 裂紋軸剛度模型

圖2為轉(zhuǎn)軸裂紋處橫截面示意圖，其中xoy為絕對坐標(biāo)系，ξo′η則為固定在轉(zhuǎn)軸上的坐標(biāo)系，o′ξ方向為裂紋擴(kuò)展方向，o′η方向與裂紋擴(kuò)展方向垂直，ψ為轉(zhuǎn)子的渦動角，ω為轉(zhuǎn)速，θ=ωt為自轉(zhuǎn)角，φ=θ+β-ψ為轉(zhuǎn)渦差角，β為不平衡量與裂紋擴(kuò)展方向的夾角，考慮呼吸裂紋，裂紋軸的剛度矩陣可表示為

圖2 裂紋軸橫截面示意圖

式（1）中，Δkn(n=ξ,η)為轉(zhuǎn)子裂紋軸剛度在ξ、η方向變化量[16]；k為無裂紋時轉(zhuǎn)軸的剛度；f(φ)為描述裂紋開閉的函數(shù)，本文使用高建民等[17]提出的綜合模型，開閉函數(shù)如下：

式中：α為裂紋夾角的一半，cosα=,其中R為轉(zhuǎn)軸半徑，h為裂紋深度。

1.2 碰摩力模型

為了研究方便，不考慮轉(zhuǎn)子在運行過程中由于摩擦而產(chǎn)生的熱效應(yīng)，且認(rèn)為轉(zhuǎn)子與定子之間的碰撞為彈性碰撞。轉(zhuǎn)子碰摩模型如圖3所示。假設(shè)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在靜止時轉(zhuǎn)子與定子之間的間隙為δ，當(dāng)發(fā)生碰摩時，其法向碰撞力與切向摩擦力可表示為：

圖3 碰摩力模型示意圖

其中：O1O2=為轉(zhuǎn)子的相對徑向位移；kr為定子的徑向剛度，f為轉(zhuǎn)子與定子之間的摩擦系數(shù)。在xoy坐標(biāo)系中，碰摩力可以表示為：

1.3 滾動軸承支承模型

圖4是滾動軸承模型示意圖，其包括內(nèi)圈軌道、外圈軌道、滾珠和保持架，滾珠在軌道內(nèi)既有繞轉(zhuǎn)軸中心的公轉(zhuǎn)也有繞自身中心的自轉(zhuǎn)。假設(shè)軸承內(nèi)滾珠在內(nèi)外軌道之間等距排列，滾珠在軌道間的運動為純滾動，滾動軸承將受到來自轉(zhuǎn)子不平衡激勵所產(chǎn)生的強(qiáng)迫振動，其振動頻率為轉(zhuǎn)子的旋轉(zhuǎn)頻率，同時滾動軸承也將產(chǎn)生由于軸承總剛度連續(xù)周期變化而形成的VC(Varying compliance)振動。設(shè)一滾珠與外圈接觸點的線速度為vo，與內(nèi)圈接觸點的線速度為vi，軸承外圈的旋轉(zhuǎn)角速度為ωo，軸承內(nèi)圈的旋轉(zhuǎn)角速度為ωi，外圈軌道半徑為Ro，內(nèi)圈軌道半徑為Ri，則：

圖4 滾動軸承模型示意圖

保持架的線速度為vc=(vo+vi)/2，由于外圈固定，則vo=0，所以vc=vi/2=(ωiRi)/2，進(jìn)而得到保持架的角速度為：

由于內(nèi)圈固定在轉(zhuǎn)軸上，內(nèi)圈與轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)速相等，即ωi=ω，Nb為軸承的滾珠個數(shù)，設(shè)第j個滾珠的接觸角度為：

設(shè)內(nèi)圈中心在x和y方向產(chǎn)生的振動位移分別為x和y，軸承間隙為r，則第j個滾珠與軌道的法向接觸變形量為：

由非線性赫茲接觸理論，只有δj＞0 時才有作用力，利用亥維賽函數(shù)H(?)，當(dāng)函數(shù)自變量大于0時，函數(shù)值為1，否則函數(shù)值為0。所以滾動軸承在x和y方向上的軸承力可以表示為：

1.4 系統(tǒng)的運動微分方程

假設(shè)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)左側(cè)軸承處的徑向位移為(x1,y1)，轉(zhuǎn)子圓盤處的徑向位移為(x2,y2)，根據(jù)拉格朗日方程建立含裂紋-碰摩耦合故障轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的運動微分方程：

2 仿真結(jié)果與分析

由于系統(tǒng)運動微分方程式(10)存在極強(qiáng)的非線性，所以這里使用4階Runge-Kutta法對其進(jìn)行數(shù)值積分求解，并且舍去前300 個周期的結(jié)果來消除瞬態(tài)響應(yīng)，進(jìn)而得到系統(tǒng)的分岔圖等。系統(tǒng)的主要參數(shù)如下：m1=4 kg，m2=32.1 kg，k=2.5×107N/m，c1=1 050 N·m·s-1，c2=2 100N·m·s-1，f=0.1，kr=3.5×107N/m，δ=2×10-5m，Ro=63.9 mm，Ri=40.1 mm，Nb=8，Cb=13.34×109N/m1.5，r=4 μm，e=1×10-5m。

2.1 轉(zhuǎn)速對系統(tǒng)振動響應(yīng)的影響

圖5為轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振動響應(yīng)隨轉(zhuǎn)速ω變化的分岔特性。從圖5可以看出，隨著轉(zhuǎn)速ω的增大，系統(tǒng)逐漸表現(xiàn)出不同的非線性特征，系統(tǒng)先后經(jīng)歷了擬周期運動、周期1 運動、周期3 運動、短暫的擬周期運動、周期3 運動、周期5 運動、擬周期運動、周期1 運動、周期2 運動、擬周期運動、混沌運動、周期3 運動等運動形式。

圖5 系統(tǒng)振動響應(yīng)隨轉(zhuǎn)速變化的分岔圖

區(qū)間（100 rad/s～500 rad/s）為擬周期運動，在轉(zhuǎn)速ω=300 rad/s 時的頻譜圖如圖6(b)所示，存在離散且不可公約的譜線，且圖6(c)所示Poincare截面圖是一條閉合的曲線，同時圖6(a)所示時域圖中出現(xiàn)拍振現(xiàn)象，這是因為系統(tǒng)同時存在旋轉(zhuǎn)頻率和VC 頻率，所以其表現(xiàn)為擬周期運動；區(qū)間（100 rad/s～500 rad/s）為周期一運動，在轉(zhuǎn)速ω=1 000 rad/s 時，其Poincare 截面圖呈現(xiàn)為一孤立相點，如圖7(c)所示，這是由于隨著轉(zhuǎn)速的增加，其旋轉(zhuǎn)頻率增大，系統(tǒng)的VC振動頻率相對微弱，所以系統(tǒng)表現(xiàn)為穩(wěn)定的周期1運動形態(tài)；區(qū)間（1 840 rad/s～2 290 rad/s）為周期二運動，當(dāng)轉(zhuǎn)速ω=2 000 rad/s時，在其頻譜圖中出現(xiàn)基頻和1/2基頻，如圖8(b)所示，且圖8(c)所示Poincare截面圖中存在兩個孤立的相點；所以其表現(xiàn)為周期二運動，區(qū)間（2 695 rad/s～2 865 rad/s）為混沌運動，當(dāng)轉(zhuǎn)速ω=2 695 rad/s 時，在其頻譜圖中存在寬噪聲背景連續(xù)譜特征，如圖9(b)所示，從圖9(a)可見，其時域圖貌似隨機(jī)，但永不重復(fù)。

圖6 ω=300 rad/s時的時域圖、頻譜圖和Poincare截面圖

圖7 ω=1 000 rad/s時的時域圖、頻譜圖和Poincare截面圖

圖8 ω=2 000 rad/s時的時域圖、頻譜圖和Poincare截面圖

圖9 ω=2 695 rad/s時的時域圖、頻譜圖和Poincare截面圖

2.2 裂紋角對系統(tǒng)振動響應(yīng)的影響

圖5、圖10、圖11 和圖12 分別為裂紋角β=π/2、0、π、3π/2時系統(tǒng)隨轉(zhuǎn)速變化的分岔圖，對比各裂紋角的分岔圖可得，當(dāng)裂紋角β=0、π（裂紋擴(kuò)展方向與不平衡量方向共線）時，系統(tǒng)到達(dá)臨界轉(zhuǎn)速ω=1 325 rad/s時的橫向位移分別為4.797×10-5m、-4.783×10-5m，橫向位移方向相反且絕對值基本相同，遠(yuǎn)小于當(dāng)裂紋角β=π/2、3π/2（裂紋擴(kuò)展方向與不平衡量方向垂直）時的系統(tǒng)的橫向位移，當(dāng)裂紋角β=0、π/2 時，其到達(dá)臨界轉(zhuǎn)速時橫向位移皆為正數(shù)，而β=π、3π/2時相反，且由圖10與圖11可知，其到達(dá)臨界轉(zhuǎn)速后，橫向位移逐漸減小，并未立即發(fā)生跳躍，系統(tǒng)相較而言更為穩(wěn)定，而圖12與圖5中不同的是，系統(tǒng)到達(dá)臨界轉(zhuǎn)速后，則立即發(fā)生跳躍，在超臨界轉(zhuǎn)速區(qū)間，圖10與圖11的周期二運動極為不同，當(dāng)不平衡量方向與裂紋擴(kuò)展方向一致時，其周期二運動的橫向位移間距呈現(xiàn)逐漸縮小的趨勢，而當(dāng)不平衡量方向與裂紋擴(kuò)展方向相反時，其橫向位移間距逐漸增大。

圖10 裂紋角β=0時系統(tǒng)隨轉(zhuǎn)速變化的分岔圖

圖11 裂紋角β=π時系統(tǒng)隨轉(zhuǎn)速變化的分岔圖

圖12 裂紋角β=3π/2時系統(tǒng)隨轉(zhuǎn)速變化的分岔圖

圖13為轉(zhuǎn)速等于1 400 rad/s時系統(tǒng)隨裂紋角變化的分岔特性，從圖中可以發(fā)現(xiàn)，裂紋角β在0～2π區(qū)間內(nèi)，隨著β的增大，系統(tǒng)分岔曲線整體大致呈現(xiàn)正弦曲線趨勢，從而證明了系統(tǒng)在不同的裂紋角下的亞臨界轉(zhuǎn)速的運動特性存在明顯的差異性，據(jù)此可以作為判斷裂紋位置的輔助依據(jù)。

圖13 定轉(zhuǎn)速時系統(tǒng)隨裂紋角β變化的分岔圖

2.3 裂紋深度對系統(tǒng)振動響應(yīng)的影響

由于裂紋深度的不同，會對系統(tǒng)的非線性振動產(chǎn)生不同的影響。圖14、圖15和圖16分別為無量綱裂紋深度h/R為0.4、0.6、0.8時轉(zhuǎn)子系統(tǒng)隨著轉(zhuǎn)速變化的分岔圖，對比圖5與圖14可得，當(dāng)無量綱裂紋深度較小時，裂紋深度的改變對系統(tǒng)振動響應(yīng)的影響不大。

圖14 h/R=0.4時系統(tǒng)響應(yīng)隨轉(zhuǎn)速變化的分岔圖

圖15 h/R=0.6時系統(tǒng)響應(yīng)隨轉(zhuǎn)速變化的分岔圖

圖16 h/R=0.8時系統(tǒng)響應(yīng)隨轉(zhuǎn)速變化的分岔圖

當(dāng)無量綱裂紋深度加深至0.6、0.8時，在低轉(zhuǎn)速區(qū)間，系統(tǒng)的橫向振幅隨著裂紋深度的加深而逐漸增大，在臨近到達(dá)臨界轉(zhuǎn)速時，無量綱裂紋深度為0.6、0.8的系統(tǒng)出現(xiàn)短暫的擬周期運動。隨著裂紋深度的增大，系統(tǒng)在高速區(qū)的擬周期運動發(fā)展為擬周期和多周期交替運動，且擬周期運動窗口逐漸減小，多周期運動窗口逐漸增大。這些現(xiàn)象均說明了裂紋的發(fā)展會導(dǎo)致系統(tǒng)的非線性和不穩(wěn)定性增強(qiáng)。

2.4 定子剛度對系統(tǒng)振動響應(yīng)的影響

圖17 為定子剛度為3.5×106N/m 的系統(tǒng)振動響應(yīng)隨轉(zhuǎn)速變化的分岔圖，圖18(a)、圖18(b)分別為定子剛度為3.5×107N/m、3.5×106N/m 的系統(tǒng)響應(yīng)瀑布圖。

圖17 kr=3.5×106 N/m時系統(tǒng)隨轉(zhuǎn)速變化的分岔圖

對比圖5與圖17可知，在低轉(zhuǎn)速區(qū)間內(nèi)，定子剛度對系統(tǒng)振動響應(yīng)影響不大，在其瀑布圖中的低轉(zhuǎn)速區(qū)間，兩系統(tǒng)都相應(yīng)存在VC頻率和基頻；定子剛度較小的系統(tǒng)臨界轉(zhuǎn)速為1 155 rad/s，比定子剛度大的系統(tǒng)提前300 rad/s，這是因為定子剛度是額外增加的轉(zhuǎn)軸彎曲剛度，發(fā)生碰摩時定子剛度越小，系統(tǒng)臨界轉(zhuǎn)速也就越小，且由圖17 可見，臨界轉(zhuǎn)速處的橫向位移要比圖5 中臨界轉(zhuǎn)速處的位移大3.91×10-5m，在亞臨界轉(zhuǎn)速區(qū)間1/2 臨界轉(zhuǎn)速附近，兩系統(tǒng)都存在2倍頻，且在超臨界轉(zhuǎn)速區(qū)間，兩系統(tǒng)都存在分頻，圖18(a)在分頻附近存在較多伴隨成分。

圖18 不同定子剛度的系統(tǒng)振動響應(yīng)瀑布圖

3 結(jié)語

本文建立了以滾動軸承為支承的含裂紋-碰摩耦合故障轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模型，運用數(shù)值積分方法，研究了轉(zhuǎn)速、裂紋深度、裂紋角和定子剛度對系統(tǒng)非線性動力學(xué)特性的影響規(guī)律。主要結(jié)論如下：

（1）在低轉(zhuǎn)速區(qū)間，系統(tǒng)存在滾動軸承支承條件下特有的擬周期運動，這是由于系統(tǒng)同時存在旋轉(zhuǎn)頻率和VC頻率，在亞臨界轉(zhuǎn)速區(qū)間，隨著轉(zhuǎn)速的增加，系統(tǒng)旋轉(zhuǎn)頻率逐漸增大，VC頻率相對微弱，呈現(xiàn)周期一運動，且存在2 倍頻，在超臨界轉(zhuǎn)速區(qū)間，系統(tǒng)存在較多分頻。系統(tǒng)出現(xiàn)了多周期、擬周期和混沌等豐富的動力學(xué)運動。

（2）當(dāng)裂紋擴(kuò)展方向與不平衡量方向共線時，其臨界轉(zhuǎn)速為1 325 rad/s，相比垂直時約提前120 rad/s，橫向位移僅約為垂直時的一半，且系統(tǒng)到達(dá)臨界轉(zhuǎn)速后并沒有立即發(fā)生跳躍，而是橫向位移逐漸減小，反觀不平衡量與裂紋擴(kuò)展方向垂直時的系統(tǒng)，其到達(dá)臨界轉(zhuǎn)速后立即發(fā)生跳躍，沒有緩沖區(qū)，但跳躍點的轉(zhuǎn)速基本一致，在定轉(zhuǎn)速時隨著β的增大，系統(tǒng)分岔曲線整體大致呈現(xiàn)正弦曲線趨勢，從而證明了系統(tǒng)在不同的裂紋角條件下的亞臨界轉(zhuǎn)速區(qū)間運動特性存在明顯的差異性，據(jù)此可以作為判斷裂紋位置的輔助依據(jù)。

（3）在無量綱裂紋深度較淺時，裂紋深度的增加對系統(tǒng)振動響應(yīng)幾乎沒有影響，當(dāng)無量綱裂紋深度加大，導(dǎo)致低轉(zhuǎn)速區(qū)間橫向位移增大，隨著裂紋的擴(kuò)展，系統(tǒng)在高速區(qū)的擬周期運動發(fā)展成為擬周期運動和多周期交替運動，且擬周期運動窗口逐漸減小，多周期運動窗口逐漸增大，這些現(xiàn)象均說明了裂紋的擴(kuò)展會導(dǎo)致系統(tǒng)的不穩(wěn)定性增強(qiáng)。

（4）當(dāng)發(fā)生碰摩時，其碰摩剛度是附加的轉(zhuǎn)軸彎曲剛度，會導(dǎo)致系統(tǒng)的臨界轉(zhuǎn)速后移，施加碰摩力會導(dǎo)致其達(dá)到臨界轉(zhuǎn)速時的橫向位移減小，且碰摩剛度的增大會導(dǎo)致在超臨界轉(zhuǎn)速區(qū)間分頻附近存在伴隨成分。