離散支承梁分段動(dòng)力學(xué)建模方法

吳浩慜，邵濟(jì)明，盧 健，王 熙，楊斌堂

（1.上海交通大學(xué) 機(jī)械系統(tǒng)與振動(dòng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200240；2.上海宇航系統(tǒng)工程研究所，上海 201109； 3.西南交通大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，成都 610031）

近年來(lái)，隨著運(yùn)營(yíng)里程數(shù)的不斷增加，軌道交通逐漸成為諸多城市上班族首選的出行方式。然而，城市軌道交通在給市民帶來(lái)交通便捷的同時(shí)其自身伴隨的結(jié)構(gòu)振動(dòng)與噪聲污染也會(huì)對(duì)沿線住戶(hù)的日常生活造成影響。為了更準(zhǔn)確分析軌道交通振動(dòng)與噪聲的成因以及傳播機(jī)理，專(zhuān)家學(xué)者們通過(guò)構(gòu)建車(chē)輛-軌道耦合動(dòng)力學(xué)模型來(lái)模擬移動(dòng)載荷作用下全系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)，以此來(lái)尋求對(duì)于振動(dòng)與噪聲的抑制手段。其中，軌道結(jié)構(gòu)振動(dòng)方程作為模型中的重要組成環(huán)節(jié)，其求解方法對(duì)于模型的計(jì)算精度有著直接影響。

上個(gè)世紀(jì)下半葉，國(guó)外較早展開(kāi)了軌道動(dòng)力學(xué)的理論研究。Ono 等[1]從理論上分析了在車(chē)輪施加的移動(dòng)沖擊載荷和輪軌表面粗糙度共同作用下鋼軌的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)。Jezequel[2]將軌道簡(jiǎn)化為彈性基礎(chǔ)上的無(wú)限長(zhǎng)Euler梁，并引入旋轉(zhuǎn)剛度描述梁的剪切效應(yīng)，該模型結(jié)合波動(dòng)方程可以計(jì)算出周期性結(jié)構(gòu)在移動(dòng)載荷下的臨界速度。Timoshenko 等[3]采用Lagrange法求解了連續(xù)彈性支承梁的自由和受迫振動(dòng)響應(yīng)，對(duì)比兩者的計(jì)算結(jié)果發(fā)現(xiàn)梁在簡(jiǎn)諧力作用下的動(dòng)撓度可以由恒力載荷作用下的靜撓度導(dǎo)出。相比于國(guó)外，國(guó)內(nèi)在上世紀(jì)90年代后才開(kāi)始車(chē)輛-軌道耦合動(dòng)力學(xué)領(lǐng)域的理論研究，起步較晚。1992年，翟婉明[4]首次將軌道、車(chē)輛動(dòng)力學(xué)以及輪軌間相互作用當(dāng)作一個(gè)總體系統(tǒng)進(jìn)行考察，建立了車(chē)輛-軌道垂向統(tǒng)一模型。徐志勝等[5]在上述理論的基礎(chǔ)上建立了基于Timoshenko梁的車(chē)輛-軌道耦合振動(dòng)模型，探究1 000 Hz以上中高頻段內(nèi)剪切變形對(duì)軌道加速度的影響。Wu[6]基于輪軌-減振器系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型、滾動(dòng)接觸力學(xué)和摩擦學(xué)，模擬了鋼軌波磨的生長(zhǎng)過(guò)程，發(fā)現(xiàn)軌道減振器的引入可有效抑制pinned-pinned共振引起的短節(jié)距鋼軌波磨的生長(zhǎng)。

然而，上述研究在通過(guò)模態(tài)疊加法求解軌道動(dòng)力學(xué)響應(yīng)的過(guò)程中都對(duì)振型函數(shù)進(jìn)行了簡(jiǎn)化。Wu[6]在計(jì)算輪軌-吸振器系統(tǒng)波磨生長(zhǎng)的過(guò)程中，將簡(jiǎn)支梁的各階振型作為基函數(shù)代入軌道豎直方向的振動(dòng)運(yùn)動(dòng)微分方程，并依靠振型正交性求解出軌道在安裝吸振器后鋼軌波磨生長(zhǎng)速度的變化；翟婉明[7]在其所構(gòu)建的車(chē)輛-軌道耦合動(dòng)力學(xué)模型中，將各離散軌枕提供的支反力視作外力項(xiàng)，在采用Rayleigh-Ritz法求解振動(dòng)微分方程時(shí)，同樣直接引入簡(jiǎn)化簡(jiǎn)支梁振型作為解的基底，該種簡(jiǎn)化方法只有當(dāng)軌道計(jì)算長(zhǎng)度足夠長(zhǎng)時(shí)才能獲得令人滿(mǎn)意的近似效果[8-9]。然而，當(dāng)計(jì)算長(zhǎng)度不足、周期支承特性缺失時(shí)，仍將軌道視作有限長(zhǎng)簡(jiǎn)支梁得到的振型函數(shù)則不能充分表征軌枕的離散支承特性，實(shí)際工況下，彈性元件的引入會(huì)改變軌道的局部振型及固有頻率。

針對(duì)一般離散支承梁，本文提出了一種分段建模方法，以n個(gè)離散支承為節(jié)點(diǎn)將簡(jiǎn)支梁分為n+1段，通過(guò)邊界條件把支承約束作為彈性元件納入模型中，而不是作為外力項(xiàng)，從而求解出更符合實(shí)際的修正振型函數(shù)以及固有頻率。進(jìn)一步，對(duì)比動(dòng)力學(xué)建模與有限元仿真結(jié)果驗(yàn)證了本文所提出建模方法在其適用范圍內(nèi)的精確性和有效性，并給出不同支承剛度、計(jì)算長(zhǎng)度下離散支承梁振型和固有頻率的變化規(guī)律。

1 有限長(zhǎng)離散支承梁分段動(dòng)力學(xué)建模

有限長(zhǎng)離散支承梁結(jié)構(gòu)形如圖1所示。假設(shè)梁為均質(zhì)等截面梁，以i個(gè)離散支承為節(jié)點(diǎn)可以將簡(jiǎn)支梁分為i+1 段，每段梁橫向自由振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為：

圖1 有限長(zhǎng)離散支承梁結(jié)構(gòu)示意圖

其中：wi(x,t) 為t時(shí)刻第i段梁上x(chóng)位置處的橫向位移；ρ為梁的材料密度；A為梁的橫截面積；EI為梁截面的抗彎剛度。

為求解上述微分方程的解析解，這里采用分離變量法將2 元橫向位移函數(shù)wi(x,t)寫(xiě)成振型Yi(x)與廣義坐標(biāo)qi(t)乘積的形式：

將式(2)代入式(1)，2 元4 階微分方程解耦成只含振型Yi(x)與廣義坐標(biāo)qi(t)的2 階與4 階常系數(shù)線性齊次微分方程，可得兩個(gè)方程的解具有如下形式[10]：

把式(3)寫(xiě)成向量乘積形式：

其中：ωnum1為整根梁的num1階固有頻率。

考慮到i+1 段梁有i+1 個(gè)振型函數(shù)，又每段振型函數(shù)包含4個(gè)獨(dú)立的未知系數(shù)Ai1-4以及一個(gè)待求的公共未知數(shù)固有頻率ωnum1，因此需要4i+4個(gè)邊界條件以及行列式非零解條件才能夠解出離散支承梁的num1階振型Yi(x) 和固有頻率ωnum1。下面將以圖1所示包含兩個(gè)離散支承的簡(jiǎn)支梁結(jié)構(gòu)為例，給出各類(lèi)邊界條件的構(gòu)建過(guò)程。

(1)簡(jiǎn)支端約束條件

根據(jù)簡(jiǎn)支定義可知，兩側(cè)簡(jiǎn)支端的位移和彎矩分別為零。

(2)連續(xù)性條件

由于離散支承梁為一連續(xù)系統(tǒng)，因此在第i段和第i+1段梁的連接處存在位移和轉(zhuǎn)角相等的連續(xù)性條件。

(3)離散支承段約束條件

如圖1 所示。第i個(gè)離散支承處對(duì)應(yīng)的短梁長(zhǎng)度為ΔLi，且相比于兩相鄰離散支承之間的梁Li和Li+1，短梁由于長(zhǎng)度較短、支承剛度較大可被近似視作剛體。結(jié)合圖2，分別對(duì)短梁建立力和力矩平衡方程，即離散支承段的約束條件。

圖2 離散支承段受力和力矩分析

其中：mi和Ji分別為短梁的質(zhì)量和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

聯(lián)立式（6）至式（13），可以得到12 個(gè)邊界條件組成的十二元一次方程組的系數(shù)矩陣為G2，分別定義以下矩陣C至F：

為了保證各段梁的廣義坐標(biāo)系數(shù)非零，包含n個(gè)離散支承的簡(jiǎn)支梁的固有頻率ωnum1可以通過(guò)線性齊次方程組的非零解條件解得。

把固有頻率ωnum1代回系數(shù)矩陣Gn后，通過(guò)高斯消元法求得方程組的基礎(chǔ)解系，即第num1階各段梁振型函數(shù)的系數(shù)矩陣Coff num1-n。

記取值函數(shù)Φ1-i(x)、Φ2-i(x)為：

其中：ε為單位階躍函數(shù)。

含n個(gè)離散支承的簡(jiǎn)支梁的第num1 階修正振型函數(shù)Ynum1-n(x)為：

其中：

對(duì)Ynum1-n(x)進(jìn)行歸一化可得離散支承梁的第num1階標(biāo)準(zhǔn)振型函數(shù)(x)：

其中：

2 數(shù)值分析與仿真

2.1 可靠性分析（算例1）

為了驗(yàn)證所提出針對(duì)離散支承梁建模方法的可靠性，將數(shù)值分析計(jì)算結(jié)果（固有頻率ωnum1）與有限元仿真結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，若兩者對(duì)同一算例計(jì)算結(jié)果的相對(duì)誤差小于3%，則可以認(rèn)為所提出方法在適用范圍內(nèi)是可靠的。算例1 的結(jié)構(gòu)示意圖如圖3 所示。主要尺寸及物性參數(shù)如表1所示。

圖3 算例1結(jié)構(gòu)示意圖

表1 算例1中主要尺寸及物性參數(shù)

其中，梁橫截面對(duì)中心軸的極慣性矩I、支承座對(duì)應(yīng)短梁段的質(zhì)量mi以及轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Ji可以由式（27）～式（29）計(jì)算得：

算例1 動(dòng)力學(xué)建模與有限元分析結(jié)果即梁沿z軸方向的前10階固有頻率如表2所示。前4階振型如圖4所示。

如表2 所示。本文所提出建模方法對(duì)算例1 中離散支承梁沿z軸方向的前10階固有頻率的動(dòng)力學(xué)分析結(jié)果與ANSYS有限元仿真結(jié)果較為接近，最大相對(duì)誤差為2.91%，平均相對(duì)誤差為1.24%，這說(shuō)明針對(duì)有限離散支承梁的分段動(dòng)力學(xué)建模方法是準(zhǔn)確而可靠的。總體上，兩種方法之間的相對(duì)誤差隨著模態(tài)階數(shù)的增加而變大，其中相對(duì)誤差出現(xiàn)波動(dòng)的原因可歸結(jié)為如下兩點(diǎn)：

表2 算例1中固有頻率計(jì)算結(jié)果/Hz

(1)由于三段梁(L1-L3)的長(zhǎng)度不同致使每段梁所包含的有限元網(wǎng)格數(shù)隨著長(zhǎng)度的增加而增加，包含的網(wǎng)格數(shù)越多該段梁的計(jì)算精度越高；

(2)梁的長(zhǎng)度增加，剪切變形影響減小，更加符合模型中的Euler梁假設(shè)。

以上兩點(diǎn)解釋了當(dāng)離散支承梁的第num1 階振型最大值出現(xiàn)在梁L1段內(nèi)時(shí)，相對(duì)誤差值會(huì)突然增大的現(xiàn)象。另外，如圖4所示，引入兩個(gè)離散支承后簡(jiǎn)支梁的前4 階振型與原先的顯然不一致，因此在使用模態(tài)疊加法求解外力作用下離散支承梁的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)時(shí)就不能簡(jiǎn)單地把長(zhǎng)度為L(zhǎng)的簡(jiǎn)支梁的振型函數(shù)作為模態(tài)空間的基向量。

圖4 非周期性離散支承梁的前4階振型（算例1）

2.2 支承剛度（算例2）

考慮到支承剛度會(huì)隨著梁與支承座之間彈性緊固件的型號(hào)、材料以及預(yù)緊力大小變化發(fā)生改變，算例2中相鄰支承座間梁的長(zhǎng)度(L1-L4)保持不變，僅改變支承剛度大小，觀察離散支承梁前4 階固有頻率的變化。算例2 的結(jié)構(gòu)示意圖如圖5 所示。主要尺寸及物性參數(shù)如表3所示。

圖5 算例2結(jié)構(gòu)示意圖

表3 算例2中主要尺寸及物性參數(shù)

對(duì)比表4 和圖6 中算例2 的動(dòng)力學(xué)建模和有限元分析結(jié)果可知，隨著支承剛度k從0 增加至2 MN/m，離散支承梁的固有頻率f1-3逐漸增加，且階數(shù)越低增幅越大，相反，表4 中離散支承梁第4 階固有頻率f4的值幾乎不發(fā)生改變，這是由于當(dāng)支承剛度增加到一定程度后，支承處的彈性緊固件逐漸等價(jià)于固定約束，即被三等分后每段梁(L1-4)的f1等于原簡(jiǎn)支梁的f4，而f1-3則隨著剛度增加逐漸逼近f4。另外，值得關(guān)注的是，f4的數(shù)值分析與有限元仿真結(jié)果相對(duì)誤差達(dá)到了6.9%，其原因可能為：

表4 算例2中不同支承剛度條件下梁前4階固有頻率計(jì)算結(jié)果

圖6 不同支承剛度條件下周期性離散支承梁的前2階振型（算例2）

(1)在有限元模型中支承段短梁被按六面體網(wǎng)格劃分為若干單元，并不是剛體；

(2)隨著支承剛度的增加，支承段短梁兩側(cè)連接處剪切變形和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的影響增大。

2.3 計(jì)算長(zhǎng)度（算例3）

目前，車(chē)輛-軌道耦合動(dòng)力學(xué)模型中通常采用的振型簡(jiǎn)化方法的使用前提有以下兩點(diǎn)：

(1)支承梁具有對(duì)稱(chēng)性較高的周期性結(jié)構(gòu)；

(2)離散支承梁的計(jì)算長(zhǎng)度足夠長(zhǎng)。

為了進(jìn)一步探究上述簡(jiǎn)化方法的適用范圍，令ΔLi為一定值，并按單元段（兩個(gè)離散支承之間的梁為一單元段）逐步增加計(jì)算長(zhǎng)度。算例3 的主要尺寸及物性參數(shù)如表5所示。

表5 算例3中主要尺寸及物性參數(shù)

一方面，從頻率的角度（如表6所示）來(lái)看，隨著計(jì)算長(zhǎng)度的增加，周期性離散支承梁各階固有頻率的變化量逐漸減小，當(dāng)計(jì)算長(zhǎng)度趨向無(wú)窮時(shí)，各階固有頻率會(huì)收斂到一定值，另外，有趣的是隨著n的增加，num1階固有頻率同樣也會(huì)緩慢向num1-1階靠近，最終趨向1階固有頻率，這也就是在車(chē)輛-軌道耦合動(dòng)力學(xué)模型中存在最短計(jì)算長(zhǎng)度的原因之一，且顯然此時(shí)離散支承梁的固有頻率遠(yuǎn)高于對(duì)應(yīng)簡(jiǎn)支梁的。

表6 算例3中梁在不同支承座數(shù)量條件下250 Hz以下固有頻率/Hz

另一方面，從振型的角度來(lái)看，當(dāng)n=4、k=100 kN/m 時(shí)，對(duì)比簡(jiǎn)支梁與離散支承梁的1 階振型函數(shù)（如圖7 所示）發(fā)現(xiàn)，雖然兩者的前兩階振型較為相似，但局部還是存在細(xì)微的差異，且經(jīng)歸一化后，通過(guò)分段建模得到的修正振型函數(shù)與ANSYS仿真結(jié)果幾乎一致。當(dāng)n=2,4,6,8 時(shí)，按式（30）計(jì)算上述兩種方法得到1階振型的誤差，如表7所示。隨著計(jì)算長(zhǎng)度的增加誤差逐漸減小，但降幅也同時(shí)減小，由此可以推斷即使計(jì)算長(zhǎng)度趨向無(wú)窮，兩者之間的誤差也不可能趨向零，因此采用分段建模方法得到的修正振型函數(shù)具有更高的計(jì)算精度，尤其是在以后采用模態(tài)疊加法求解軌道動(dòng)力學(xué)響應(yīng)時(shí)，每階振型函數(shù)的誤差會(huì)隨著階數(shù)的累積被不斷放大。綜上，針對(duì)算例3 這類(lèi)周期性離散支承梁結(jié)構(gòu)可以采用簡(jiǎn)化簡(jiǎn)支梁振型來(lái)近似，且近似程度隨著計(jì)算長(zhǎng)度的增加而增加，然而一旦離散支承梁結(jié)構(gòu)在某一單元的參數(shù)發(fā)生變化，周期性遭到破壞，那振型上的近似特性也將不復(fù)存在。

表7 算例3中離散支承梁與對(duì)應(yīng)簡(jiǎn)支梁1階振型間的誤差變化規(guī)律

圖7 n=4時(shí)周期性離散支承梁的前2階振型（算例3）

3 結(jié)語(yǔ)

本文針對(duì)離散支承梁建模過(guò)程中使用對(duì)應(yīng)簡(jiǎn)支梁簡(jiǎn)化振型方法的適用范圍進(jìn)行了分析與討論。

(1)相比于通過(guò)狄拉克函數(shù)直接將支承剛度以外力項(xiàng)納入軌道動(dòng)力學(xué)模型的做法[8]，本文提出了一種可以得到解析振型函數(shù)的分段動(dòng)力學(xué)建模方法，以n個(gè)離散支承為節(jié)點(diǎn)，把簡(jiǎn)支梁劃分為n+1段，且單獨(dú)考慮了支承處對(duì)應(yīng)短梁的長(zhǎng)度ΔL，與現(xiàn)實(shí)情況下的離散支承梁結(jié)構(gòu)更為貼近。

(2)通過(guò)對(duì)比動(dòng)力學(xué)建模與有限元仿真結(jié)果，驗(yàn)證了本文所提出的分段建模方法的準(zhǔn)確性和可靠性。針對(duì)周期性較差、計(jì)算長(zhǎng)度不足或出現(xiàn)某一節(jié)周期性缺失的情況，采用本文提出的方法依然能夠準(zhǔn)確求得梁的各階振型和固有頻率，可為之后強(qiáng)迫振動(dòng)響應(yīng)的求解奠定理論基礎(chǔ)。

(3)討論了支承剛度對(duì)離散支承梁固有頻率的影響。當(dāng)支承剛度增加時(shí)，包含n個(gè)離散支承的簡(jiǎn)支梁的前n階固有頻率會(huì)逐漸增大并收斂于第n+1階固有頻率，直至彈性支承可被近似視作固定約束。

(4)討論了簡(jiǎn)化簡(jiǎn)支梁振型的誤差隨計(jì)算長(zhǎng)度的變化關(guān)系。對(duì)比3 種方法求得的振型函數(shù)發(fā)現(xiàn)，對(duì)標(biāo)有限元分析結(jié)果修正振型能夠準(zhǔn)確表征離散支承特性，且隨著計(jì)算長(zhǎng)度的增加，簡(jiǎn)化簡(jiǎn)支梁振型與修正振型之間的誤差逐漸顯小，最終收斂于一非零定值。