有偏置的Rabi模型的能譜與Berry相

于 婷 任學(xué)藻

(西南科技大學(xué)理學(xué)院 四川綿陽 621010)

在量子力學(xué)中，波函數(shù)的相位問題一直是很重要的概念。幾何相位近幾年受到國內(nèi)外學(xué)者的大量關(guān)注。幾何相位這一定義最初是由印度物理學(xué)家Pancharatnam[1]在1956年研究偏振光干涉的時候提出來的，但在當(dāng)時并沒有引起大家重視。1984年，英國物理學(xué)家Berry[2]發(fā)現(xiàn)，系統(tǒng)的哈密頓量在絕熱循環(huán)演化過程中，量子態(tài)除了產(chǎn)生一個一定存在的動力學(xué)相位之外，還產(chǎn)生了一個只與系統(tǒng)空間演化路徑有關(guān)的幾何相位，這就是現(xiàn)在的Berry相，從此Berry相被廣泛接受和深入研究。1987年Aharanov等[3]對Berry相做了推廣，提出絕熱并不是必要條件，波函數(shù)在非絕熱循環(huán)演化過程中依舊會獲得一個幾何相位。1988年，Bhandari等[4]通過研究發(fā)現(xiàn)在非循環(huán)非幺正的量子體系中也存在Berry相。隨著量子信息技術(shù)的高速發(fā)展，1999年，Zanari[5]提出Berry相可用于量子計算，接著Jozsa等[6]在2000年通過核磁共振技術(shù)證實了幾何量子計算的可靠性。在物理學(xué)家們對Berry相的不斷深入研究中，已經(jīng)認(rèn)識到了它的獨特性和在量子理論中的重要性。Jaynes-Cummings模型在之前一直被認(rèn)為是在量子光學(xué)系統(tǒng)里描述光與原子相互作用最簡單解析求解的模型，但后來人們發(fā)現(xiàn)該模型的局限性，J-C模型作的旋波近似處理方法[7]在強耦合時會帶來錯誤的計算結(jié)果。這是因為，在光與物質(zhì)強相互作用下，反旋波項無法忽略，這時就需要用非旋波近似的Rabi模型[8]來展開計算與研究。2012年，Jonas[9]通過半經(jīng)典近似的方法，發(fā)現(xiàn)非旋波近似Rabi模型沒有Berry相，進(jìn)而說明量子系統(tǒng)的Berry相是由旋波近似帶來的一種誤差。但這一結(jié)論很快被證實是不正確的。我們注意到Rabi模型的基態(tài)不是真空態(tài)，而是各種態(tài)的疊加，并且從理論推導(dǎo)中可以發(fā)現(xiàn)Rabi模型的Berry相與本征態(tài)下光子數(shù)的期望值成正比[10-12]，所以Jonas認(rèn)為Rabi模型沒有Berry相的結(jié)論是由于他采用了不適當(dāng)?shù)慕品椒ㄋ鶎?dǎo)致的。我們將Rabi模型推廣加上了偏置項，即模擬外加電場對量子比特的調(diào)控，并通過調(diào)整耦合強度的大小進(jìn)行對比分析，觀察Berry相位差的變化，探討偏置項對Berry相的影響，這對于在量子模擬或量子計算中量子比特系統(tǒng)的調(diào)控具有重要意義[13]。

1 模型與推導(dǎo)

1.1 Rabi模型的Berry相

當(dāng)單模光場與二能級原子作用時，Rabi模型的哈密頓量為:

(1)

其中:ω0為光場頻率;a+(a)為光子的產(chǎn)生(湮滅)算符;ω為二能級間距;σz為自旋1/2的pauli矩陣;σ+和σ-是升降算符;g為耦合強度。

將式(1)用矩陣表示為:

(2)

為了方便計算，我們對哈氏量旋轉(zhuǎn)90度，用下面的旋轉(zhuǎn)變化來實現(xiàn)：

(3)

V+σzV=σx,V+σxV=-σz

(4)

因此旋轉(zhuǎn)后的Rabi模型可以寫成如下形式：

(5)

根據(jù)光子數(shù)態(tài)，具有一般廣泛形式的奇偶宇稱下的本征函數(shù)為:

(6)

其中:φ+(φ-)對應(yīng)偶(奇) 宇稱下的本征函數(shù)；M為截斷數(shù)。很容易驗證上述態(tài)是宇稱算符的本征態(tài)?？紤]宇稱對稱的波函數(shù)將極大簡化求解過程[11-12]。

將式(6)代入薛定諤方程式(5)很容易得到系數(shù)之間的關(guān)系：

(7)

左乘〈m|，并考慮到Fock態(tài)的正交歸一條件〈m|n〉=σmn，得到：

(8)

下面我們將方程式(8)寫成矩陣形式：

(9)

(10)

其中：|g〉,|e〉分別表示原子的基態(tài)和激發(fā)態(tài)；|n〉為光場的Fock態(tài)。

對于不含時的哈密頓量的物理系統(tǒng)，Berry相的計算通常要引入一個相位轉(zhuǎn)換算符U(φ)=e-iφa+a絕熱地加在系統(tǒng)的哈密頓量上[14]，它能夠?qū)е聢鰬B(tài)的改變。當(dāng)系統(tǒng)初態(tài)為本征態(tài)時，且參數(shù)φ從0～2π 絕熱的變化時，Berry相可由下式給出：

(11)

(12)

1.2 有偏置項的Rabi模型的Berry項

我們將Rabi模型推廣加上偏置項，可以在量子計算中得到更廣泛的運用，該模型的哈密頓量為：

(13)

其中：ω0為光場頻率；a+(a)為光子的產(chǎn)生(湮滅)算符；ω為二能級間距；σz為自旋1/2的pauli矩陣；σ+和σ-是升降算符；g為耦合強度；ε為偏置項的系數(shù)。

Rabi模型的哈密頓量的本征態(tài)的一般形式可表示為：

(14)

其中：|g〉,|e〉分別表示原子的基態(tài)和激發(fā)態(tài)；|n〉為光場的Fock態(tài)。

將式(14)展開：

(15)

(16)

同樣地，把一個相位轉(zhuǎn)換算符U(φ)=e-iφa+a絕熱地加在系統(tǒng)的哈密頓量上[14]，使參數(shù)φ從0～2π絕熱地變化，當(dāng)系統(tǒng)初態(tài)為能量本征態(tài)|Ψj〉時，Berry相為：

(17)

2 模擬與討論

2.1 偏置系數(shù)對能譜的影響

取Rabi模型的4個能量較低的本征態(tài)，圖1顯示它在不同失諧量時能譜隨耦合強度的變化，其中紅色對應(yīng)偶宇稱，藍(lán)色對應(yīng)奇宇稱；黑色對應(yīng)偏置系數(shù)ε=0.1時的Rabi模型的能譜；紫色對應(yīng)偏置系數(shù)ε=0.6時的Rabi模型的能譜。本文中ω0=1，失諧量Δ=ω-ω0。

從圖1可以發(fā)現(xiàn)，在Rabi模型中，不論是共振還是失諧的情況下，它的能譜都幾乎隨耦合強度g的增加而單調(diào)下降，不同宇稱相鄰兩能級的能譜曲線會隨g的取值范圍的變大而逐漸重合，而且奇偶宇稱的相鄰能級的激發(fā)態(tài)會發(fā)生能級交叉現(xiàn)象，同宇稱的能譜一般不相交，只有不同宇稱的能譜才會相交。只有在共振且g=0時，奇宇稱相鄰兩能級的能譜才有交點。加小偏置(ε=0.1)時，它與Rabi模型的能譜基本重合，但是它的各級能譜曲線都不相交，特別是在Rabi模型能級交叉的簡并點附近，它的能級結(jié)構(gòu)發(fā)生了很大變化，在這里簡并點的能級被打開，偏置項的存在破壞了Rabi模型的奇偶宇稱。觀察該簡并點位置發(fā)現(xiàn)：圖1(a)顯示在共振Δ=0時，簡并點在g=0.48左右；圖1(b)顯示在失諧量Δ=-0.5時，簡并點在g=0.50左右；圖1(c)顯示在失諧量為Δ=0.5時，簡并點在g=0.35左右。所以，該能量簡并點的耦合強度會隨失諧量的增加而減小。加大偏置(ε=0.6)時，各級能譜都不相交，呈單調(diào)遞減趨勢，并且隨著正失諧量的增大，第二三能級的能譜在低耦合區(qū)(g≤0.30)會逐漸重合。

圖1 Δ=0,-0.5,0.5情況下 Rabi模型(ε=0，0.1，0.6)的能譜的Ej/ω0關(guān)于g/ω0的函數(shù)Fig.1 Energy spectra Ej/ω0 of the Rabi model(ε=0，0.1，0.6) as a function of g/ω0 when Δ=0,-0.5,0.5

2.2 偏置系數(shù)對Berry相的影響

圖2 Δ=0,-0.5,0.5情況下 Rabi模型(ε=0，0.1，0.6)的Berry相(γj)關(guān)于g/ω0的函數(shù)Fig.2 Berry phase (γj) of the Rabi model(ε=0，0.1，0.6) as a function of g/ω0 when Δ=0,-0.5,0.5

3 結(jié)論

在Rabi模型中，對于能譜，無偏置時奇偶宇稱的相鄰激發(fā)態(tài)能級會交叉，相同宇稱的能級一般不會交叉，而有偏置時，所有能級都不會交叉。對于Berry相，在Rabi模型(ε=0)中，不同宇稱的相鄰兩能級的Berry相會逐漸趨于一致，在加小偏置(ε=0.1)的Rabi模型中，j由小到大兩相鄰能級的Berry相會逐漸趨于一致，并且與Rabi模型的Berry相對比，除簡并點附近基本一致，在能量簡并附近的Berry相變化較大，這是由于Rabi模型系統(tǒng)的奇偶對稱性被偏置項所破壞，宇稱不再守恒所導(dǎo)致的。在加大偏置(ε=0.6)的Rabi模型中，當(dāng)j≠0,2時，j由小到大相隔兩個能級的Berry相會兩兩趨于一致，基態(tài)的Berry相與無偏置時基本相似，但高能級的Berry相與無偏置時有很大不同，說明偏置項的存在對高能級的Berry相影響較大。值得注意的是，當(dāng)共振時，在弱耦合到強耦合變化的范圍內(nèi)，Rabi模型的所有激發(fā)態(tài)與基態(tài)的Berry相位差發(fā)生了π的奇數(shù)倍的改變，而加了偏置后所有激發(fā)態(tài)與基態(tài)的Berry相位差發(fā)生了π的偶數(shù)倍的改變，這在量子計算和量子模擬中具有重要意義。