基于調(diào)和穩(wěn)態(tài)均值回復(fù)模型的VIX期權(quán)定價(jià)

尹亞華,吳恒煜,朱福敏

(1.西南財(cái)經(jīng)大學(xué)經(jīng)濟(jì)信息工程學(xué)院,四川成都 611130;2.西南財(cái)經(jīng)大學(xué)金融智能與金融工程重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,四川成都 611130;3.暨南大學(xué)管理學(xué)院,廣東廣州 510632; 4.深圳大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院,廣東深圳 518060)

1 引 言

隨著國(guó)際經(jīng)濟(jì)與金融一體化的步伐不斷加快,各國(guó)金融市場(chǎng)出現(xiàn)了較大的聯(lián)動(dòng)性,金融系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)日益加劇,投資者對(duì)系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避的需求也隨之增加.VIX 作為一種系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)指數(shù),其衍生品不僅可以作為金融產(chǎn)品進(jìn)行投資,也可以作為系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)的對(duì)沖工具,因此廣受投資者的追捧.

在金融研究領(lǐng)域,對(duì)VIX 的研究熱情隨著投資者追捧熱度的上漲而上漲,研究成果也頗為豐富.目前有兩種VIX 建模的思路:一種是基于VIX 直接建模, 另一種是基于風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度下S&P500 指數(shù)模型推導(dǎo)VIX 模型.兩種方法都假定VIX 模型在風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度下是一個(gè)鞅過(guò)程.然而,大量研究為滿足VIX 模型在風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度下的鞅性,使用帶簡(jiǎn)單跳的均值回復(fù)模型或者加入一些限定條件,從而影響了模型的定價(jià)精準(zhǔn)度.本文基于VIX 的基礎(chǔ)資產(chǎn)是S&P500 股票的前提,即VIX 不能用來(lái)交易,其模型在風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度下也不需要滿足鞅性.因此,本文在風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度下,源于日歷時(shí)間與內(nèi)在時(shí)間視角以調(diào)和穩(wěn)態(tài)過(guò)程代替簡(jiǎn)單跳過(guò)程,構(gòu)建帶調(diào)和穩(wěn)態(tài)的OU 與CIR 模型進(jìn)行VIX 期權(quán)定價(jià)實(shí)證.在期權(quán)定價(jià)公式中,本文采用經(jīng)濟(jì)學(xué)背景對(duì)期權(quán)積分上限進(jìn)行截?cái)?使積分收斂,同時(shí)將期權(quán)定價(jià)中的折現(xiàn)因子參數(shù)化,應(yīng)用實(shí)證數(shù)據(jù)對(duì)其進(jìn)行校正.實(shí)證結(jié)果表明: 帶調(diào)和穩(wěn)態(tài)的OU 與CIR 模型明顯優(yōu)于其它定價(jià)模型,而帶調(diào)和穩(wěn)態(tài)的CIR 模型為本文最優(yōu)定價(jià)模型.從而得出帶調(diào)和穩(wěn)態(tài)的均值回復(fù)模型不僅有較好的經(jīng)濟(jì)解釋,更能抓住一般跳刻畫不理想的非對(duì)稱跳,降低模型定價(jià)誤差的研究結(jié)論.

在風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度下,基于調(diào)和穩(wěn)態(tài)均值回復(fù)模型對(duì)VIX 期權(quán)進(jìn)行定價(jià),因此文獻(xiàn)綜述也是圍繞鞅性與風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度、均值回復(fù)的VIX 時(shí)序模型、內(nèi)在時(shí)間與L′evy 過(guò)程及國(guó)內(nèi)關(guān)于VIX 的研究四部分展開.

目前大部分研究都假定VIX 在風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度是一個(gè)鞅過(guò)程,然而基于VIX 基礎(chǔ)資產(chǎn)S&P500 股票在風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度下是一個(gè)鞅過(guò)程很難證明VIX 在風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度下的鞅性.為了構(gòu)建風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度下的鞅性,其中一類研究思路是應(yīng)用期貨在風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度下的鞅性,如Mencia 等[1]直接基于VIX 期貨構(gòu)建期權(quán)定價(jià)模型,Park[2]直接假定VIX 期貨在風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度下是一個(gè)Doob 鞅.另一種研究根據(jù)風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度下S&P500指數(shù)推出VIX 計(jì)算公式,加入限定條件使其成為一個(gè)鞅,如Luo 等[3]的研究.由于VIX 是基于S&P500 指數(shù)及其衍生品求出,本文假定真實(shí)的S&P500 衍生品價(jià)格與風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度下的價(jià)格重合,這樣S&P500 衍生品在風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度下,根據(jù)S&P500 衍生品計(jì)算出的VIX 也在風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度下.基于這個(gè)假定,可以去掉鞅性約束條件,直接在風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度下,根據(jù)VIX 的特征構(gòu)建模型.

Whaley[4]給波動(dòng)率期貨定價(jià)時(shí),提出觀測(cè)到的波動(dòng)率指數(shù)服從幾何布朗運(yùn)動(dòng),由于幾何布朗運(yùn)動(dòng)沒(méi)有均值回復(fù)性,因此他的模型忽略了波動(dòng)率指數(shù)均值回復(fù)的特點(diǎn).與此相對(duì),另外兩個(gè)比較著名的均值回復(fù)模型是平方根過(guò)程與對(duì)數(shù)烏倫貝爾過(guò)程.平方根過(guò)程是由Grunbichler 等[5]提出的,Zhang 等[6]應(yīng)用VIX 及其期權(quán)的歷史數(shù)據(jù)對(duì)VIX 服從平方根過(guò)程進(jìn)行了實(shí)證分析,并對(duì)其中的參數(shù)進(jìn)行了估計(jì),得到了VIX 期權(quán)的定價(jià)誤差.Dotsis 等[7]運(yùn)用VIX 期貨數(shù)據(jù)實(shí)證了帶跳的平方根擴(kuò)散過(guò)程的擬合效果,因?yàn)闀r(shí)間跨度太短均值回復(fù)特征不能體現(xiàn),研究發(fā)現(xiàn)幾何布朗運(yùn)動(dòng)得到的結(jié)果更為精準(zhǔn).Wang 等[8]通過(guò)實(shí)證比較了平方根過(guò)程與幾何布朗運(yùn)動(dòng)在VIX 期權(quán)的應(yīng)用,研究結(jié)果表明幾何布朗運(yùn)動(dòng)構(gòu)成的模型更適應(yīng)VIX 期權(quán)定價(jià),這種研究結(jié)果的一種解釋是VIX 期權(quán)更服從由Detemple 等[9]提出的另一個(gè)均值回復(fù)模型(對(duì)數(shù)烏倫貝爾過(guò)程).除了這些實(shí)證依據(jù),從長(zhǎng)期的均值回復(fù)角度分析,平方根過(guò)程與對(duì)數(shù)烏倫貝爾過(guò)程在VIX 的持續(xù)性上表現(xiàn)出很大不同.后期研究是基于對(duì)數(shù)烏倫貝爾過(guò)程進(jìn)行了擴(kuò)展,引入了仿射跳模型.Barletta 等[1]通過(guò)核加權(quán)多項(xiàng)式正交展開的方法來(lái)近似密度函數(shù),并以此方法代替傅里葉變換,應(yīng)用于基于仿射跳模型VIX 期權(quán)定價(jià).Bardgett 等[11]使用了一個(gè)包含S&P500 與VIX 指數(shù)回報(bào)與期權(quán)價(jià)格的非平衡面板,估計(jì)了一個(gè)靈活的仿射模型,并分析VIX 期權(quán)對(duì)模型進(jìn)樣與出樣性能的貢獻(xiàn),研究發(fā)現(xiàn),基于仿射模型包含了S&P500 指數(shù)沒(méi)有涵蓋的信息.

Hurst 等[12]提出了內(nèi)在時(shí)間的概念,并基于內(nèi)在時(shí)間建立定價(jià)模型,假定影響股價(jià)的是信息與時(shí)間,信息隨著時(shí)間到達(dá)的過(guò)程是一個(gè)從屬過(guò)程,基于從屬過(guò)程的布朗運(yùn)動(dòng)是一個(gè)穩(wěn)態(tài)的L′evy 過(guò)程.在定價(jià)中,穩(wěn)態(tài)的L′evy 過(guò)程測(cè)度趨于無(wú)窮,因此其期權(quán)價(jià)值不滿足平方可積性,Wu[13]應(yīng)用阻尼冪概率抑制穩(wěn)態(tài)的L′evy跳測(cè)度,這樣使得期權(quán)價(jià)格變得平方可積,將阻尼冪概率與穩(wěn)態(tài)過(guò)程兩者結(jié)合起來(lái),就構(gòu)成調(diào)和α–穩(wěn)態(tài)分布.Kim 等[14?16]研究發(fā)現(xiàn),金融資產(chǎn)收益率尾部分布常常介于正態(tài)分布與穩(wěn)態(tài)分布之間,這類穩(wěn)態(tài)過(guò)程,有效地刻畫了厚尾特征.Kim 等[14]設(shè)立了相應(yīng)的調(diào)和函數(shù),對(duì)穩(wěn)態(tài)過(guò)程進(jìn)行了一定修正.Carr 等[17]詳盡地描述了基于時(shí)變L′evy 過(guò)程的定價(jià)模型,并采用了無(wú)窮小跳躍L′evy 過(guò)程建立了無(wú)窮活動(dòng)率模型,研究結(jié)果表明,無(wú)窮活動(dòng)率模型不僅能夠捕捉小跳躍,甚至可以采用無(wú)窮小跳替代連續(xù)擴(kuò)散過(guò)程,進(jìn)而取得更好的定價(jià)效果.Rosi′nski[18]、Bianchi 等[19]和Kim 等[14]建立了一類新的L′evy 過(guò)程,稱為調(diào)和穩(wěn)態(tài)L′evy過(guò)程,其跳躍測(cè)度是通過(guò)修正L′evy 穩(wěn)態(tài)的隨機(jī)測(cè)度而來(lái),并且可以借助尾部參數(shù)來(lái)控制隨機(jī)分布的厚尾程度.Madan[20]提出應(yīng)用CVG 過(guò)程與VG 過(guò)程構(gòu)建定價(jià)模型,該模型較好地?cái)M合了內(nèi)在時(shí)間的概念.劉志東等[21,22]采用特征函數(shù)的連續(xù)矩估計(jì)方法與貝葉斯推斷的方法,進(jìn)行了經(jīng)典調(diào)和穩(wěn)態(tài)和修正調(diào)和穩(wěn)態(tài)的參數(shù)估計(jì)與運(yùn)動(dòng)特征的分析.朱福敏等[23]基于VG 過(guò)程與貝葉斯參數(shù)學(xué)習(xí)進(jìn)行S&P500 衍生品定價(jià).宮曉莉等[24]應(yīng)用雙指數(shù)跳分析上市公司違約風(fēng)險(xiǎn).Yahua 等[25]應(yīng)用基于調(diào)和穩(wěn)態(tài)的OU 模型對(duì)SHIBOR 利率指數(shù)進(jìn)行了分析.劉志東等[26]構(gòu)建帶L′evy 過(guò)程的非高斯OU 隨機(jī)波動(dòng)率模型,并基于此模型進(jìn)行期權(quán)定價(jià).

鮑群芳等[27]將跳因素與均值回復(fù)因素引入了VIX 模型,使VIX 模型更加合理.周海林等[28]構(gòu)建了VIX與GARCH 擴(kuò)散模型中波動(dòng)率之間的關(guān)系模型,并采用S&P500 與VIX 進(jìn)行了實(shí)證.柳向東[29]應(yīng)用一個(gè)隨機(jī)波動(dòng)率模型擬合VIX,在該模型下討論了VIX 指數(shù)的期權(quán)定價(jià)問(wèn)題.王騁翔[30]提出一種應(yīng)用于VIX 期權(quán)定價(jià)的隨機(jī)波動(dòng)率模型,并且該模型中某個(gè)參數(shù)與宏觀經(jīng)濟(jì)狀態(tài)有關(guān).

綜合現(xiàn)有研究,本文將調(diào)和穩(wěn)態(tài)過(guò)程引入帶均值回復(fù)性的期權(quán)定價(jià)模型,用布朗運(yùn)動(dòng)擬合日歷時(shí)間帶來(lái)的波動(dòng),可視為隨著時(shí)間的延展,單位時(shí)間到達(dá)量比較穩(wěn)定的信息帶來(lái)的波動(dòng).用調(diào)和穩(wěn)態(tài)擬合內(nèi)在時(shí)間帶來(lái)的波動(dòng),可視為單位時(shí)間內(nèi)到達(dá)量不穩(wěn)定的信息帶來(lái)的波動(dòng).日歷時(shí)間用自然數(shù)數(shù)列進(jìn)行刻畫,內(nèi)在時(shí)間是以自然數(shù)列驅(qū)動(dòng)的Gamma 從屬過(guò)程進(jìn)行刻畫,兩個(gè)時(shí)間帶來(lái)的波動(dòng)都同為布朗運(yùn)動(dòng),區(qū)別在于前者是自然數(shù)列直接驅(qū)動(dòng)的布朗運(yùn)動(dòng),后者是Gamma 從屬過(guò)程驅(qū)動(dòng)的布朗運(yùn)動(dòng).Gamma 從屬過(guò)程驅(qū)動(dòng)的布朗運(yùn)動(dòng)是一個(gè)VG 調(diào)和穩(wěn)態(tài)過(guò)程中,因此本文構(gòu)建基于調(diào)和穩(wěn)態(tài)過(guò)程的均值回復(fù)模型.基于調(diào)和穩(wěn)態(tài)過(guò)程的均值回復(fù)模型不僅能較好地刻畫隨機(jī)分布尖峰、厚尾、有偏與波動(dòng)集聚的特征,而且能較好地?cái)M合非對(duì)稱跳.以帶調(diào)和穩(wěn)態(tài)的均值回復(fù)模型替代帶簡(jiǎn)單跳的隨機(jī)波動(dòng)率模型,并結(jié)合多類結(jié)構(gòu)模型進(jìn)行對(duì)比分析.在理論層面,VIX 期權(quán)更多作為規(guī)避系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)的工具,具有保險(xiǎn)產(chǎn)品的一些特征,該研究不僅豐富了已有期權(quán)定價(jià)理論,為投資者與風(fēng)險(xiǎn)管理者提供一種期權(quán)定價(jià)方法,而且為系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避與相關(guān)期權(quán)定價(jià)做一些基礎(chǔ)性的邊際貢獻(xiàn).在實(shí)證層面,本文采用多種定價(jià)模型多指標(biāo)對(duì)比分析的方法,進(jìn)一步詳實(shí)模型的應(yīng)用價(jià)值.

2 VIX 統(tǒng)計(jì)性質(zhì)分析

研究VIX 的統(tǒng)計(jì)性質(zhì),采用2012–10–19～2017–10–18 的歷史數(shù)據(jù),分別對(duì)VIX 與對(duì)數(shù)化后VIX 統(tǒng)計(jì)性質(zhì)進(jìn)行分析,其結(jié)果見表1.

表1 VIX 基本統(tǒng)計(jì)指標(biāo)分析Table 1 Analysis of basic statistical indicators of VIX

從統(tǒng)計(jì)性質(zhì)不難得出, VIX 方差較大,如果將其對(duì)數(shù)化后進(jìn)行研究,可以降低其擬合的難度.峰度是描述時(shí)間序列所有樣本分布形態(tài)陡緩程度的統(tǒng)計(jì)量,峰度統(tǒng)計(jì)量與正態(tài)分布相比較,峰度為3 表示該樣本數(shù)據(jù)分布與正態(tài)分布的陡緩程度相同,但從統(tǒng)計(jì)分析中得出, VIX 峰度為8.371 9,其取完對(duì)數(shù)后時(shí)間序列峰度為4.187 6, 均大于3, 表示該樣本數(shù)據(jù)分布比正態(tài)分布更陡峭尖峰.偏度與峰度統(tǒng)計(jì)性質(zhì)類似, 它是描述樣本數(shù)據(jù)分布形態(tài)的統(tǒng)計(jì)量,從一定程度上反映時(shí)間序列分布的對(duì)稱性,從下表可以得出, VIX 的偏度為1.799 9,取完對(duì)數(shù)后的偏度為0.863 5,存在右偏或正偏現(xiàn)象,即在密度函數(shù)的右側(cè)有拖尾.

以上統(tǒng)計(jì)特征說(shuō)明,與大多數(shù)金融時(shí)間序列一樣, VIX 不僅與時(shí)間有關(guān),還與單位時(shí)間內(nèi)到達(dá)信息量的多少相關(guān),因此出現(xiàn)了尖峰、有偏與不對(duì)稱拖尾的統(tǒng)計(jì)特征.

接著從VIX 與取對(duì)數(shù)后VIX 時(shí)間序列演變路徑圖(圖1 與圖2)觀察其時(shí)間序列特征.

圖1 VIX 數(shù)據(jù)路徑Fig.1 The data path of VIX

圖2 VIX 對(duì)數(shù)化后數(shù)據(jù)路徑Fig.2 The logarithmic data path of VIX

從圖1 與圖2 分析,不難得出以下結(jié)論:1)VIX 在2015年8月達(dá)到了最大值,然后又迅速向均值點(diǎn)回復(fù).2)VIX 存在波動(dòng)集聚.3)向上的峰值特別尖銳,而且相對(duì)較少,而向下峰值卻比較多,而且相差不大,從而驗(yàn)證了波動(dòng)率跳躍的非對(duì)稱性,即上跳與下跳的幅度與頻率各不相同.4)VIX 的均值回復(fù)特征明顯.

應(yīng)用5年中的VIX 數(shù)據(jù),從密度函數(shù)角度對(duì)其統(tǒng)計(jì)特征進(jìn)行分析,VIX 密度函數(shù)如圖3 和圖4 所示.

圖3 VIX 密度函數(shù)Fig.3 The density function of VIX

圖4 VIX 對(duì)數(shù)化后密度函數(shù)Fig.4 The logarithmic density function of VIX

從VIX 密度函數(shù)(圖3)與VIX 對(duì)數(shù)化后密度函數(shù)(圖4)可以得出,無(wú)論是VIX 原始數(shù)據(jù),還是取其對(duì)數(shù)形式,其整個(gè)密度函數(shù)的尖峰程度比較明顯,而且密度函數(shù)左邊比較陡峭,尾部幾乎截?cái)?右邊比較平滑,有較長(zhǎng)的拖尾.

3 調(diào)和穩(wěn)態(tài)的均值回復(fù)模型

3.1 帶跳的均值回復(fù)模型

從圖1 與圖2 分析不難得出, VIX 與對(duì)數(shù)化后的VIX 路徑具有均值回復(fù)的性質(zhì),而經(jīng)典的均值回復(fù)模型有OU 過(guò)程與CIR 過(guò)程.經(jīng)典的均值回復(fù)模型不帶有跳躍項(xiàng),僅能反映日歷時(shí)間帶來(lái)的波動(dòng),較難刻畫內(nèi)在時(shí)間帶來(lái)的非對(duì)稱跳躍.本文使用帶跳的OU 與CIR 過(guò)程對(duì)對(duì)數(shù)化后的VIX 路徑進(jìn)行刻畫,借以反映日歷時(shí)間與內(nèi)在時(shí)間帶來(lái)的波動(dòng).帶跳的OU 模型[31]給出了其特征函數(shù)解的一般形式,但沒(méi)有涉及到具體跳過(guò)程的類型,其結(jié)構(gòu)形式為dXt=a(θ ?Xt)dt+σdBt+dJt.若令E[eiuXT|Xt]是一個(gè)Doob 鞅,則可以根據(jù)Doob 鞅的性質(zhì),通過(guò)求解Kolmogorov 向后方程可得

其中A(t;u)的詳細(xì)計(jì)算如下,E[eJB(t;u)]=E[eiuzJ]=φJ(rèn)(uz).其中z=e?kt,φJ(rèn)是J的特征函數(shù),跳躍項(xiàng)只與E[eJB(t;u)?1]有關(guān),以上推導(dǎo)的詳細(xì)過(guò)程可以參考文獻(xiàn)[32].

當(dāng)VIX 的波動(dòng)大小與VIX 自身大小相關(guān)時(shí), 可應(yīng)用CIR 模型進(jìn)行擬合.CIR 模型由Cox 等[33]提出, 應(yīng)用于描述利率的演變路徑, 這種模型不僅描述真實(shí)的利率世界, 更能抓住金融數(shù)據(jù)的一個(gè)重要特性—均值回復(fù)性.由于原始的CIR 模型是一個(gè)連續(xù)過(guò)程, 不能反映市場(chǎng)劇烈波動(dòng), Duffie 等[34]提出了JCIR 模型, 用于刻畫金融時(shí)間序列的跳躍現(xiàn)象.Jin 等[35]研究發(fā)現(xiàn)足夠的條件保證JCIR 的Forster-Lyapunov 函數(shù)存在, 并證明了它的遍歷性.JCIR 過(guò)程X:= (Xt,t≥0) 是以下隨機(jī)微分方程的唯一解,即

與帶跳的OU 過(guò)程一樣,若E[eiuXT |Xt]是一個(gè)鞅,其中Xt是t時(shí)刻的值,則其表達(dá)式是如下的一種指數(shù)仿射形式

其中A(t,u)和B(t,u)是Riccati 方程生成的解,其方程表達(dá)式為

方程組式(3)解的表達(dá)式為

并且

綜合式(4)、式(6)與式(7),可得

其中Xx0=x,即x為初始值.

3.2 日歷時(shí)間與內(nèi)在時(shí)間

VIX 時(shí)間序列不僅受單位時(shí)間內(nèi)到達(dá)量比較均勻平穩(wěn)的信息影響,而且還會(huì)受到單位時(shí)間內(nèi)到達(dá)量不均勻平穩(wěn)信息的沖擊,將前者視為日歷時(shí)間,后者視為內(nèi)在時(shí)間.日歷時(shí)間用時(shí)間t表示,而內(nèi)在時(shí)間用一個(gè)基于日歷時(shí)間t驅(qū)動(dòng)的Gamma 過(guò)程來(lái)表示,這樣便得到VIX 時(shí)間序列變化的兩個(gè)重要驅(qū)動(dòng).基于這種思想,構(gòu)建兩個(gè)布朗運(yùn)動(dòng),一個(gè)布朗運(yùn)動(dòng)基于日歷時(shí)間t驅(qū)動(dòng),另一個(gè)布朗運(yùn)動(dòng)基于Gamma 過(guò)程驅(qū)動(dòng).帶簡(jiǎn)單跳的隨機(jī)波動(dòng)率模型是將布朗運(yùn)動(dòng)與另一個(gè)由布朗運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)的CIR 模型相乘,并在此基礎(chǔ)上加入簡(jiǎn)單跳過(guò)程,為了簡(jiǎn)化模型,加強(qiáng)模型的實(shí)用性,選擇用Gamma 過(guò)程驅(qū)動(dòng)的布朗運(yùn)動(dòng)替代這一過(guò)程.

根據(jù)Madan[36]的研究,基于Gamma 過(guò)程驅(qū)動(dòng)的布朗運(yùn)動(dòng)是一個(gè)VG 過(guò)程.VG 過(guò)程是期權(quán)定價(jià)中應(yīng)用較多的L′evy 過(guò)程,因?yàn)樗粌H能較好擬合非高斯性與波動(dòng)集聚性,而且有較好的經(jīng)濟(jì)解釋.

3.3 α-穩(wěn)態(tài)過(guò)程

一個(gè)隨機(jī)變量X如果滿足以下條件,則稱其服從一個(gè)α–穩(wěn)態(tài)分布:如果有一組獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列Y1,Y2,...并且存在正數(shù)dn與實(shí)數(shù)an,使得[(Y1+Y2+···+Yn)/dn+an]d→X成立,其中d→表示依分布收斂.

若X是α–穩(wěn)態(tài)分布,在標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)系下,其特征函數(shù)形式為

其中sign 為符號(hào)函數(shù),參數(shù)0<α≤2,σ≤0,?1 ≤β≤1.

一種應(yīng)用較多的參數(shù)系是S1 參數(shù)系,在該參數(shù)系下,一個(gè)隨機(jī)變量X是穩(wěn)態(tài)當(dāng)且僅當(dāng)它的特征函數(shù)為

其中K(α)=

α–穩(wěn)態(tài)過(guò)程較之布朗運(yùn)動(dòng),可以通過(guò)參數(shù)調(diào)整,較好地?cái)M合金融時(shí)間序列數(shù)據(jù)的非對(duì)稱,尖峰厚尾,有偏的統(tǒng)計(jì)特征.由于VIX 的演變路徑不僅與日歷時(shí)間有關(guān),而且與內(nèi)在時(shí)間有關(guān).假定內(nèi)在時(shí)間服從一個(gè)自然數(shù)數(shù)列驅(qū)動(dòng)的Gamma 從屬過(guò)程,以內(nèi)在時(shí)間即Gamma 從屬過(guò)程驅(qū)動(dòng)的布朗運(yùn)動(dòng)是一個(gè)VG 過(guò)程,而VG過(guò)程是穩(wěn)態(tài)過(guò)程的一種.

3.4 調(diào)和穩(wěn)態(tài)過(guò)程及其L′evy 測(cè)度

根據(jù)調(diào)和穩(wěn)態(tài)的定義與性質(zhì), 一個(gè)測(cè)度V=V(dx)的極坐標(biāo)形式是V=V(dr,du), 其中r與u是由x經(jīng)過(guò)映射(‖x‖,x/‖x‖)=(r,u)得到在極坐標(biāo)下,一個(gè)α–穩(wěn)態(tài)分布L′evy 測(cè)度極坐標(biāo)形式為

經(jīng)過(guò)一個(gè)函數(shù)扭曲(亦稱調(diào)和),得到調(diào)和α–穩(wěn)態(tài)L′evy 測(cè)度

其中q(r,u)是對(duì)u單調(diào)遞增的調(diào)和函數(shù).調(diào)和穩(wěn)態(tài)過(guò)程由α–穩(wěn)態(tài)過(guò)程的L′evy 測(cè)度與調(diào)和函數(shù)相乘得到.前面q(r,u)給出了極坐標(biāo)下的調(diào)和函數(shù),可以將其轉(zhuǎn)化,得到平面坐標(biāo)下調(diào)和穩(wěn)態(tài)L′evy 測(cè)度為

根據(jù)式(7)中調(diào)和函數(shù)的不同,可以得到不同的調(diào)和穩(wěn)態(tài).其中主要的有經(jīng)典調(diào)和穩(wěn)態(tài)(CTS),修正調(diào)和穩(wěn)態(tài)(MTS), 正態(tài)調(diào)和穩(wěn)態(tài)(NTS), 速降調(diào)和穩(wěn)態(tài)(RDTS) 及Kim-Rachev 調(diào)和穩(wěn)態(tài)(KRTS).由于MTS 過(guò)程,NTS 過(guò)程,RDTS 過(guò)程,KRTS 過(guò)程與CTS 過(guò)程主要不同在于調(diào)和函數(shù)q(x),而且參數(shù)較多,其處理與定價(jià)方法大同小異,本文采用了CTS 過(guò)程及其特殊形式VG 過(guò)程與CGMY 過(guò)程,其中CTS 過(guò)程的L′evy 測(cè)度為

其中dx表示跳躍幅度的大小,C+與C?分別表征了正跳與負(fù)跳的強(qiáng)度,即上跳與下跳的速率,λ+與λ?是指數(shù)抑制因子,控制著尾部概率,1{x<0}為示性函數(shù).由∫Rv(dx)=∞可知,經(jīng)典調(diào)和穩(wěn)態(tài)過(guò)程是一個(gè)無(wú)限跳躍過(guò)程.

本文采用的三個(gè)過(guò)程,既有調(diào)和穩(wěn)態(tài)過(guò)程的一般特性,又極大地簡(jiǎn)化了模型的復(fù)雜度,使其更好地適用于期權(quán)定價(jià).應(yīng)用三種調(diào)和穩(wěn)態(tài)過(guò)程之前,先對(duì)這三種調(diào)和穩(wěn)態(tài)過(guò)程的L′evy 測(cè)度及其特征函數(shù)作一個(gè)簡(jiǎn)要介紹,見表2.

表2 三種調(diào)和穩(wěn)態(tài)過(guò)程的L′evy 測(cè)度與特征函數(shù)Table 2 L′evy measures and characteristic functions for three tempered stable processes

從表2 中不難得出,當(dāng)CTS 過(guò)程的C?與C+相等時(shí),CTS 變成了CGMY 過(guò)程,而當(dāng)CGMY 過(guò)程的Y等于0,CGMY 過(guò)程退化為VG 過(guò)程.VG 過(guò)程是金融工程中較為經(jīng)典的L′evy 過(guò)程,其擬合分布中的尖峰厚尾效果極佳,但在擬合不對(duì)稱尾部與長(zhǎng)長(zhǎng)的拖尾方面卻不太理想,而CGMY 過(guò)程在擬合不對(duì)稱尾部方面作了較大改進(jìn),但在厚部的厚度方面改進(jìn)卻不那么明顯.而CTS 過(guò)程不僅考慮了不對(duì)稱厚尾,還考慮到了尾部的厚度.

3.5 基于調(diào)和穩(wěn)態(tài)過(guò)程均值回復(fù)模型的特征函數(shù)

將表2 中的特征函數(shù)代入到式(2),即可得到基于調(diào)和穩(wěn)態(tài)的JOU 模型(TSOU)的特征函數(shù).其中帶VG過(guò)程的JOU 模型(VGOU)特征函數(shù)為

帶CGMY 過(guò)程的JOU 模型(CGMYOU)特征函數(shù)為

帶CTS 過(guò)程的JOU 模型(CTSOU)特征函數(shù)為

將表2 中的L′evy 測(cè)度代入到式(8), 即可得出帶調(diào)和穩(wěn)態(tài)過(guò)程的JCIR 模型(TSCIR)特征函數(shù).其中帶VG 過(guò)程的JCIR 模型(VGCIR)的特征函數(shù)為

進(jìn)一步推導(dǎo)可得

在求還CGMY 過(guò)程的CIR 模型(CGMYCIR)之前,先求帶CTS 過(guò)程的CIR 模型(CTSCIR)的特征函數(shù)

由于CGMYCIR 模型是CTSCIR 模型的特殊形式,只需要將相應(yīng)的參數(shù)進(jìn)行改變,因此先給出CTSCIR模型的特征函數(shù)求解方法.雖然VG 過(guò)程也是CTSCIR 模型的一種特殊形式,但其中一個(gè)參數(shù)α趨于0 時(shí),若用相同的計(jì)算方法,其積分趨于無(wú)窮,因而需轉(zhuǎn)變計(jì)算方法.CTSCIR 模型的特征函數(shù)為

將式(8)化簡(jiǎn),可得

對(duì)CTSCIR 模型的特征函數(shù)參數(shù)進(jìn)行變換,從而得到CGMYCIR 模型的特征函數(shù)

4 期權(quán)定價(jià)方法

4.1 風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度下的均值回復(fù)模型

雖有研究通過(guò)拉東尼克迪姆導(dǎo)數(shù)對(duì)一個(gè)均值回復(fù)模型進(jìn)行測(cè)度變換,使其在不考慮均值回復(fù)項(xiàng)時(shí)滿足無(wú)套利原理,具體參考文獻(xiàn)[1].然而,在考慮均值回復(fù)趨勢(shì)項(xiàng)時(shí),均值回復(fù)過(guò)程很難通過(guò)測(cè)度變換將其變成一個(gè)鞅過(guò)程.因此,假定VIX 自身不是一種可用作交易的基礎(chǔ)資產(chǎn),其基礎(chǔ)資產(chǎn)為構(gòu)成S&P500 指數(shù)的股票.

基于上述理論,假定在風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度下, VIX 可由式(25)進(jìn)行刻畫,即

其中VRN,t是基礎(chǔ)資產(chǎn)在風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度下VIX 在t時(shí)刻的值.

由于隨機(jī)過(guò)程Xt具有均值回復(fù)性,故eωXt也具有均值回復(fù)性,在這模型下, VIX 時(shí)間序列的均值回復(fù)性可以得到較好體現(xiàn).從而將風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度下的VIX 取對(duì)數(shù)再縮小ω倍的過(guò)程X,不僅具有均值回復(fù)性,也滿足日歷時(shí)間與內(nèi)在時(shí)間驅(qū)動(dòng).

4.2 期權(quán)定價(jià)

選用概率論的方法對(duì)VIX 看漲期權(quán)進(jìn)行了實(shí)證分析.將風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度下VIX 模型VRN,t代入看漲期權(quán)公式,可得看漲期權(quán)公式

由于X過(guò)程只有特征函數(shù),因此需要應(yīng)用傅里葉逆變換

其中f(Xt)為Xt的密度函數(shù),而ψ(u)為特征函數(shù).

將式(11)代入式(10),交換積分次序可得

在上式中,若要滿足e(?iu+ω)Xt收斂,則需ω <0,但ω <0 不一定成立,這時(shí)從經(jīng)濟(jì)學(xué)的角度繼續(xù)下面的計(jì)算.設(shè)定一個(gè)足夠大的值, VIX 在一個(gè)固定時(shí)間長(zhǎng)度內(nèi),價(jià)格超過(guò)這個(gè)足夠大值概率非常小,這樣就可以用這個(gè)足夠大值取代∞,取一個(gè)上限e5,因?yàn)閺腣IX 歷史觀測(cè),其值最高不超過(guò)100,而且VIX 具有較強(qiáng)的均值回復(fù)性,這樣可將式(12)進(jìn)一步化簡(jiǎn)為

本文沒(méi)有使用固定無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益,而是將其作為一個(gè)參數(shù)進(jìn)行校正.VIX 期權(quán)不僅是一種投資產(chǎn)品,同時(shí)也作為一種規(guī)避系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)的工具,可以對(duì)沖系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn).因此,將定價(jià)模型中的r定義如下

其中rn表示風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度下的固定收益率,即無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率,而rp表示為了對(duì)沖系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)保障收益,投資者付出的代價(jià).這一信息對(duì)投資者在沒(méi)有得到VIX 市場(chǎng)任何信息時(shí),考慮是否進(jìn)入提供一定參考.

5 實(shí)證與檢驗(yàn)分析

為了驗(yàn)證源于日歷時(shí)間與內(nèi)在時(shí)間視角構(gòu)建的均值回復(fù)模型在VIX 期權(quán)定價(jià)中的準(zhǔn)確性,本文不僅將此類均值回復(fù)模型與經(jīng)典的非均值回復(fù)模型進(jìn)行了比較,而且還與經(jīng)典的均值回復(fù)模型進(jìn)行了比較.在比較方法上,采用整體均方誤差、平均絕對(duì)誤差與平均誤差相對(duì)百分比.同時(shí),對(duì)期權(quán)定價(jià)效果也進(jìn)行了橫向與縱向的比較,并對(duì)實(shí)證結(jié)果進(jìn)行綜合分析.

5.1 實(shí)證模型的選擇

驗(yàn)證基于調(diào)和穩(wěn)態(tài)均值回復(fù)模型對(duì)VIX 期權(quán)定價(jià)效果,不僅要從其模型自身展開相關(guān)證明,還要將其與經(jīng)典隨機(jī)模型和前沿隨機(jī)模型進(jìn)行對(duì)比,證明其在VIX 期權(quán)定價(jià)中更為精準(zhǔn).由于本文主要?jiǎng)?chuàng)新是擬合內(nèi)在時(shí)間帶來(lái)的非對(duì)稱跳,將調(diào)和穩(wěn)態(tài)過(guò)程引入到均值回復(fù)過(guò)程,而調(diào)和穩(wěn)態(tài)過(guò)程是L′evy 過(guò)程中的一類,因此在比較模型方面,本文選擇了經(jīng)典的Merton-Jump(MJ)跳過(guò)程,OU 過(guò)程與CIR 過(guò)程.

在風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度下, VIX 路徑為

對(duì)于MJ 模型,本文采用FFT 求出其期權(quán)價(jià)格

OU 模型與CIR 模型是經(jīng)典的均值回復(fù)模型,其模型詳細(xì)介紹可以參考Vasicek 等[37]和Cox 等[33].OU模型為dXt=k(a ?Xt)dt+σtdBt,其中a為均值,k為均值回復(fù)速度,σ為波動(dòng)率,Bt為布朗運(yùn)動(dòng),OU 過(guò)程的特征函數(shù)為

CIR 模型為dXt=其中a是均值回復(fù)速度,θ為均值,σ為波動(dòng)率,Wt為波動(dòng)布朗運(yùn)動(dòng).其過(guò)程的特征函數(shù)為

5.2 實(shí)證模型參數(shù)估計(jì)

采用發(fā)行日為2017–10–19,到期日為2018–04–20 的VIX 看漲期權(quán)進(jìn)行了實(shí)證.同時(shí)為了更全面地比較VIX 期權(quán)模型的定價(jià)精準(zhǔn)度,在VIX 期權(quán)合約執(zhí)行價(jià)格方面,選取從10 到24,扣除最后到期的3 個(gè)異常日,整個(gè)期權(quán)合約數(shù)量為1 845.在參數(shù)估計(jì)方面,采用以最小化期權(quán)的均方誤差為目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化.應(yīng)用計(jì)算機(jī)智能優(yōu)化算法,即可得到其模型參數(shù),見表3.

表3 VIX 期權(quán)定價(jià)模型估計(jì)值Table 3 Estimation parameters of VIX option pricing models

由于VIX 是一個(gè)均值回復(fù)過(guò)程,其市場(chǎng)收益率一般在0 的左右波動(dòng).在本文中,將風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度下VIX市場(chǎng)利率作為一個(gè)待估參數(shù).從參數(shù)估計(jì)結(jié)果來(lái)看, 基于調(diào)和穩(wěn)態(tài)的均值回復(fù)模型的利率在?0.003 1到?0.003 5 之間波動(dòng),是一個(gè)負(fù)值,主要由于風(fēng)險(xiǎn)升水,因?yàn)閂IX 期權(quán)同時(shí)作為一種對(duì)沖系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)的保險(xiǎn).MJ 模型中VIX 市場(chǎng)收益率在?0.133 5,這種異常是由于模型不能較好擬合VIX 期權(quán)造成的.

5.3 模型檢驗(yàn)

參數(shù)估計(jì)本文應(yīng)用MMSE(最小均方誤差)的方法, 其估計(jì)方法也是一種檢驗(yàn)方法.為了多角度進(jìn)行比較, 在應(yīng)用MMSE 的同時(shí)應(yīng)用了AE(平均絕對(duì)誤差)與RPAE(平均誤差相對(duì)百分比), 其中MMSE,AE 和RPAE 具體表達(dá)式為

根據(jù)MMSE,AE,RPAE 公式,即可得出估計(jì)結(jié)果,見表4.

表4 期權(quán)模型的MMSE 與RPAE 值Table 4 MMSE and RPAE values of option models

由于本文采用的數(shù)據(jù)是一個(gè)面板數(shù)據(jù),不僅包括了整個(gè)期權(quán)發(fā)行期,也包含了各個(gè)成交價(jià)格的數(shù)據(jù),因此,MMSE 的值較大.對(duì)比結(jié)果顯示,定價(jià)欠佳的MJ 模型的MMSE 值是CTSCIR 模型值的17.30 倍,同時(shí)其AE值也是CTSCIR 的5.34 倍,充分說(shuō)明了本文構(gòu)建的模型在定價(jià)精準(zhǔn)度方面有顯著優(yōu)勢(shì).同時(shí),參數(shù)較少的OU 模型與CIR 模型定價(jià)比MJ 模型定價(jià)更為精準(zhǔn),說(shuō)明VIX 具有均值回復(fù)趨勢(shì).源于日歷時(shí)間與內(nèi)在時(shí)間的視角構(gòu)建的帶調(diào)和穩(wěn)態(tài)的均值回復(fù)模型相較一般的均值回復(fù)模型OU 模型與CIR 模型,其MSE值與AE 值都明顯變小,論證了源于日歷時(shí)間與內(nèi)在時(shí)間視角的必要性.

值得注意的是,參數(shù)比VGOU 模型多的CGMYOU 模型精準(zhǔn)度反而不高,說(shuō)明選擇適合模型的重要性.在本文中,CTSOU 模型的定價(jià)要比CTSCIR 模型精準(zhǔn),說(shuō)明在源于日歷時(shí)間與內(nèi)在時(shí)間視角構(gòu)建的帶調(diào)和穩(wěn)態(tài)的均值回復(fù)模型中,日歷時(shí)間帶來(lái)波動(dòng)的大小與VIX 有較大相關(guān)性.

為進(jìn)一步論證源于日歷時(shí)間與內(nèi)在時(shí)間視角構(gòu)建的帶調(diào)和穩(wěn)態(tài)的均值回復(fù)模型定價(jià)的有效性,本文對(duì)模型定價(jià)效果進(jìn)行了縱向與橫向的比較.縱向比較的方法是選取4 個(gè)成交價(jià)格的期權(quán)時(shí)間序列,然后比較每一種模型在4 個(gè)成交價(jià)格中不同的定價(jià).4 個(gè)成交價(jià)格分別為10,15,19 與24,選擇成交價(jià)為10 與24 期權(quán)的原因是成交價(jià)為10 的幾乎為價(jià)內(nèi)期權(quán),而24 幾乎為價(jià)外期權(quán)；選擇成交價(jià)為15 與19 的原因是VIX基本在這區(qū)域內(nèi)波動(dòng).鑒于本文構(gòu)建了多個(gè)帶調(diào)和穩(wěn)態(tài)的均值回復(fù)模型,而且?guī)д{(diào)和穩(wěn)態(tài)的均值回復(fù)模型大同小異.在圖形實(shí)證上,為了避免線條太多無(wú)法分辨,這里主要應(yīng)用了MJ,OU,CIR 與CTSCIR.4 個(gè)成交價(jià)格對(duì)應(yīng)的期權(quán)價(jià)值與構(gòu)建模型的定價(jià)效果見圖5～圖8,4 個(gè)交易日對(duì)應(yīng)的真實(shí)價(jià)格與模型價(jià)格見圖9～圖12.

圖5 定價(jià)效果(成交價(jià)=10)Fig.5 Pricing effect(Strike=10)

圖6 定價(jià)效果(成交價(jià)=15)Fig.6 Pricing effect(Strike=15)

圖7 定價(jià)效果(成交價(jià)=19)Fig.7 Pricing effect(Strike=19)

圖8 定價(jià)效果(成交價(jià)=24)Fig.8 Pricing effect(Strike=24)

圖9 定價(jià)效果(交易日=1)Fig.9 Pricing effect(Trading day=1)

圖5～圖8 中,橫軸是期權(quán)日期,縱軸是指定的成交價(jià)格下各模型的定價(jià)與真實(shí)期權(quán)價(jià)格的路徑.從上圖分析不難得出,無(wú)論哪只期權(quán), CTSCIR 的定價(jià)精準(zhǔn)度都要明顯優(yōu)于其他模型.但由于實(shí)證的參數(shù)是基于15 條不同成交價(jià)格期權(quán)求得,在擬合期權(quán)的波動(dòng)性方面存在一些不足.如果只針對(duì)某支指定成交價(jià)格的期權(quán),其定價(jià)效果要更為理想.

橫向比較是指定一個(gè)時(shí)點(diǎn), 不同成交價(jià)格的期權(quán)模型之間的比較.與前面的比較一樣, 橫向比較采用的4 個(gè)模型不變.在時(shí)點(diǎn)的選擇上,選擇第1 個(gè)交易日、第30 個(gè)交易日、第90 個(gè)交易日與第120 個(gè)交易日4個(gè)指定時(shí)點(diǎn).這4 個(gè)交易時(shí)點(diǎn)比較具有代表性,選擇第1個(gè)交易日是因?yàn)樗瞧跈?quán)時(shí)間的起點(diǎn),第30 個(gè)交易日與第90 個(gè)交易日分別為期權(quán)時(shí)間中間部分的抽樣,選擇第120 個(gè)交易日是因?yàn)樗瞧跈?quán)時(shí)間臨界終點(diǎn).

圖10 定價(jià)效果(交易日=30)Fig.10 Pricing effect(Trading day=30)

圖11 定價(jià)效果(交易日=90)Fig.11 Pricing effect(Trading day=90)

圖12 定價(jià)效果(交易日=120)Fig.12 Pricing effect(Trading day=120)

圖9 至圖12 中,橫軸表示不同的成交價(jià)格,縱軸表示在指定時(shí)點(diǎn)各模型的定價(jià)與真實(shí)期權(quán)價(jià)格的路徑.在4 個(gè)不同的交易日,定價(jià)效果最為理想的是CTSCIR,MJ 模型效果最差,OU 與CIR 居中,特別是在第90個(gè)交易日時(shí),CTSCIR 模型價(jià)格與真實(shí)VIX 期權(quán)價(jià)格幾近重合.CTSCIR 在第1 個(gè)交易日與第120 個(gè)交易日擬合效果欠佳,造成效果欠佳的原因是第1 個(gè)交易日與最后一個(gè)交易日的特殊性,即大多數(shù)投資者在第1個(gè)交易日與臨近到期日的幾個(gè)交易日情緒波動(dòng)與認(rèn)知有較大的差異.

通過(guò)實(shí)證分析,源于日歷時(shí)間與內(nèi)在時(shí)間視角構(gòu)建帶調(diào)和穩(wěn)態(tài)的均值回復(fù)模型明顯優(yōu)于經(jīng)典的MJ 模型與一般均值回復(fù)模型.本文構(gòu)建的模型,不僅能較好的擬合金融時(shí)間序列數(shù)據(jù)非高斯性與波動(dòng)集聚性,同時(shí)具備較好的經(jīng)濟(jì)解釋.

6 結(jié)束語(yǔ)

應(yīng)用一類經(jīng)濟(jì)模型解釋一種經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象,同時(shí)從經(jīng)濟(jì)理論方面給出解釋,主要考慮如下因素:一是這個(gè)模型能否較好地刻畫經(jīng)濟(jì)特征,二是這個(gè)經(jīng)濟(jì)模型與真實(shí)經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)的擬合程度.隨著許多學(xué)者不斷提出內(nèi)在時(shí)間與時(shí)變觀念,引入內(nèi)在時(shí)間與自然時(shí)間結(jié)合已成構(gòu)建模型的必要,而調(diào)和穩(wěn)態(tài)過(guò)程是基于內(nèi)在時(shí)間概念而建立的.當(dāng)然,源于內(nèi)在時(shí)間與時(shí)變觀念,如何運(yùn)用復(fù)雜的隨機(jī)過(guò)程去擬合時(shí)間序列路徑,也是數(shù)量經(jīng)濟(jì)常提常新的課題.任何一個(gè)市場(chǎng)都不是完美的,投資者也不是完全理性的,由此造成數(shù)理模型無(wú)法解釋的誤差.因此,在構(gòu)建數(shù)理模型時(shí),需進(jìn)一步考慮VIX 的異常給投資者行為帶來(lái)的沖擊.如何將行為金融相關(guān)理論納入到數(shù)理定價(jià)模型,有待進(jìn)一步研究.