裂紋葉片非線性振動(dòng)響應(yīng)理論分析與實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證*

沈國際，官鳳嬌，邊子方，胡海峰，楊擁民

(1. 國防科技大學(xué) 智能科學(xué)學(xué)院， 湖南 長(zhǎng)沙 410073； 2. 國防科技大學(xué) 裝備綜合保障技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 湖南 長(zhǎng)沙 410073)

疲勞裂紋嚴(yán)重威脅發(fā)動(dòng)機(jī)的使用安全，引發(fā)了包括2018年美國西南航空發(fā)動(dòng)機(jī)爆炸在內(nèi)的多起飛行事故，因此葉片早期裂紋檢測(cè)和損傷評(píng)估對(duì)于航空安全和航空發(fā)動(dòng)機(jī)發(fā)展具有重要意義。相比于應(yīng)變片監(jiān)測(cè)和人工表面檢測(cè)，振動(dòng)信號(hào)分析方法有望實(shí)現(xiàn)葉片裂紋的在線監(jiān)測(cè)，因此得到了廣泛重視[1-4]。根據(jù)所用裂紋模型，葉片振動(dòng)信號(hào)分析方法可以分為三類：基于開裂紋模型的方法，基于雙線性裂紋模型的方法，基于呼吸裂紋模型的方法。

開裂紋模型最早得到發(fā)展，借助開裂紋模型，可以解析確定裂紋葉片固有頻率與裂紋尺寸的定量關(guān)系。Gudmundson[5]較早研究了開裂紋葉片的動(dòng)力學(xué)模型，推導(dǎo)了正常葉片和裂紋葉片的固有頻率表達(dá)式。Shen和Pierre[6]分析了對(duì)稱開裂紋梁的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，重點(diǎn)研究了裂紋尖端附近的應(yīng)力集中情況，分析了葉片振動(dòng)的模態(tài)和固有頻率。Shen和Pierre[7]還研究了Bernoulli-Euler梁的邊界條件，引入了一個(gè)裂紋度量函數(shù)來描述裂紋應(yīng)力集中現(xiàn)象。Owolabi等[8]測(cè)量了不同裂紋位置和裂紋深度時(shí)含裂紋梁的固有頻率和相應(yīng)振幅。Law和Lu[9]利用Dirac函數(shù)對(duì)包含開裂紋的梁進(jìn)行了建模，并研究了包含單個(gè)裂紋梁的時(shí)域響應(yīng)，這表明振動(dòng)信號(hào)分析可用于識(shí)別裂紋和評(píng)估損傷。

有研究發(fā)現(xiàn)，開裂紋模型得到的固有頻率與實(shí)測(cè)固有頻率存在較大誤差，從而逐漸發(fā)展出雙線性裂紋模型。這種模型認(rèn)為在壓力載荷作用下，裂紋并不總是張開的，而是在張開和閉合狀態(tài)間進(jìn)行周期性轉(zhuǎn)換，相應(yīng)地，葉片剛度在兩個(gè)特征剛度之間進(jìn)行周期性切換[10]。Chatterjee[11]用多項(xiàng)式方法研究了具有雙線性剛度的單自由度系統(tǒng)，得到了含裂紋梁在諧波激勵(lì)下的響應(yīng)輸出。Andreaus等[12]用無摩擦雙線性模型模擬了裂紋動(dòng)態(tài)變化行為，將裂紋引起的響應(yīng)變化歸納為次諧波和超諧波等現(xiàn)象。

近年來，為了更為精細(xì)地表征裂紋動(dòng)態(tài)行為，越來越多的研究集中在呼吸裂紋模型上。在雙線性裂紋模型中裂紋在張開和閉合兩種狀態(tài)階躍性變化的基礎(chǔ)上，呼吸裂紋模型認(rèn)為裂紋張開、閉合是連續(xù)變化的過程，裂紋張開程度隨著載荷的振蕩而變化?；诜抡婺M和實(shí)驗(yàn)分析，對(duì)含呼吸裂紋的葉片振動(dòng)響應(yīng)開展了大量研究。Cheng等[13]等用余弦函數(shù)描述裂紋剛度的變化，表明呼吸裂紋模型比開裂紋模型更適合用于早期裂紋檢測(cè)。Long等[14]通過有限元分析，推導(dǎo)了含呼吸裂紋的非線性動(dòng)力學(xué)模型方程，并利用多尺度法研究了裂紋梁在諧波激勵(lì)下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。Ma等[15]應(yīng)用平面單元和梁?jiǎn)卧嘟Y(jié)合的方法，對(duì)裂紋梁的振動(dòng)進(jìn)行了研究，表明裂紋角度對(duì)振動(dòng)振幅也有顯著影響，在某些特定角度裂紋作用下梁的振動(dòng)幅值更大。Broda等[16]研究了呼吸裂紋梁的縱向振動(dòng)，特別是裂紋引起的非線性幅值局部變化。Pugno等[17]提出了一種逐步收斂的迭代方法來計(jì)算諧波分量的系數(shù)。Bovsunovskii和Surace[18]研究了考慮阻尼系數(shù)變化的呼吸裂紋效應(yīng)。這種方法在描述裂紋行為方面更為精細(xì)，但是使得含裂紋梁的動(dòng)力學(xué)模型只能用非線性方程來表征，因而難以得到顯式解。

綜合上述研究成果，盡管裂紋葉片振動(dòng)信號(hào)的特征提取已經(jīng)取得了一定的進(jìn)展，但由于呼吸裂紋非線性振動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程無法得到響應(yīng)解的解析表達(dá)式，對(duì)復(fù)雜葉片振動(dòng)的理論分析仍然是懸而未決的工作。因此，有必要開展葉片裂紋振動(dòng)的精細(xì)化描述，發(fā)展新的非線性分析方法，探究裂紋葉片振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)過程演變規(guī)律，發(fā)展更多振動(dòng)特征分析方法，通過多特征融合提高裂紋識(shí)別的準(zhǔn)確性。

本文從呼吸裂紋模型出發(fā)，建立裂紋葉片的懸臂梁模型來表征葉片振動(dòng)，分析裂紋深度和位置對(duì)葉片動(dòng)力學(xué)參數(shù)的影響規(guī)律。通過推導(dǎo)，證明了諧波分量的功率由相鄰諧波功率、諧波階次和裂紋引起的剛度變化等參數(shù)決定，并得到了諧波分量相對(duì)功率與裂紋參數(shù)的定量化描述。在此基礎(chǔ)上提出了基于諧波分量相對(duì)功率的特征分析方法，并得到了數(shù)值仿真和實(shí)測(cè)葉片數(shù)據(jù)的驗(yàn)證。

1 葉片振動(dòng)建模

裂紋葉片可簡(jiǎn)化為如圖1所示的矩形懸臂梁。其中，a為裂紋深度，b為梁厚度，w為葉片寬度，L為梁長(zhǎng)度，lc為裂紋距葉尖的距離。

圖1 葉片的懸臂梁模型Fig.1 Blade cantilever beam model

矩形懸臂梁的廣義柔度f0計(jì)算公式如下[17]：

(1)

其中，E為葉片材料對(duì)應(yīng)的楊氏模量，I為矩形梁的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

當(dāng)葉片出現(xiàn)裂紋時(shí)，葉片的柔度將相應(yīng)地變化。對(duì)于含開裂紋的梁，其柔度為：

fopen=fΔc+f0

(2)

開裂紋引起的柔度變化已經(jīng)由Dimarogonas等[19]推導(dǎo)得到：

(3)

其中，ν是葉片材料的泊松比，系數(shù)φ定義如下[19]：

(4)

對(duì)于早期裂紋，考慮到裂紋深度遠(yuǎn)小于葉片厚度，a?b，因此系數(shù)φ可近似估算為：

φ≈0.63a2

(5)

在周期性載荷作用下，裂紋梁的剛度是周期性變化的。當(dāng)載荷以頻率ω1變化時(shí)，裂紋也會(huì)周期性地張開和閉合，形成所謂的“呼吸裂紋”。此時(shí)葉片的時(shí)變剛度可近似為[13]：

k(t)=k0+kΔc[1+cos(ω1t)]

=k1+kΔccos(ω1t)

(6)

其中，剛度變化幅值[13]為：

(7)

平均剛度[13]為：

k1=k0+kΔc

(8)

對(duì)于早期裂紋，綜合式(3)、式(4)、式(7)，可得

(9)

kΔc?k1

(10)

因此，裂紋梁自由端部振動(dòng)(即裂紋葉片葉尖振動(dòng))u的動(dòng)力學(xué)模型可表示為：

(11)

式中，m為等效質(zhì)量，c為阻尼系數(shù)，F(xiàn)為激振力幅值。

假設(shè)u(t) 是方程(11)的解，易證u(t) 是頻率ω1的周期函數(shù)，因此解u(t)可用傅里葉級(jí)數(shù)表示如下：

(12)

其中，諧波角頻率ωn=nω1,Gn和Kn是傅里葉系數(shù)。

u(t)的一階和二階導(dǎo)數(shù)如下：

(13)

(14)

相應(yīng)地，式(11)可推導(dǎo)為 ：

通過平衡n次諧波的系數(shù)，可得：

(16)

(17)

其中，n≥2。

進(jìn)一步由式(16)和式(17)，可得：

(18)

(19)

為了簡(jiǎn)化推導(dǎo)，將n次諧波分量的功率定義為：

(20)

據(jù)此，將式(18)和式(19)分別平方，然后相加，則n次諧波分量的功率為：

(21)

因此，對(duì)于任意n≥2，有：

(22)

每個(gè)諧波分量的功率相對(duì)于相鄰低一階分量的功率可定義為諧波分量相對(duì)功率：

(23)

2 數(shù)值模擬

為驗(yàn)證上述結(jié)論，對(duì)含有縱貫裂紋的矩形直板葉片進(jìn)行數(shù)值模擬。

2.1 參數(shù)設(shè)置

仿真用直板葉片尺寸選擇，即長(zhǎng)L=0.4 m，寬w=0.1 m，厚度b=0.002 m，裂紋到根部的距離設(shè)置為lc=0.9L。阻尼比ξ=0.01，定義為ξ=c/(2mω0)，其中ω0為葉片的一階固有頻率。葉片材料選用不銹鋼，楊氏模量為E=2.09×1011N/m2，泊松比v=0.269。采用四階或五階RungeKutta方法對(duì)動(dòng)力學(xué)方程(11)進(jìn)行數(shù)值求解?？紤]到激振力幅值對(duì)諧波分量相對(duì)功率無顯著影響，取激振力幅值F=1 N。

2.2 定性分析

根據(jù)上述參數(shù)，不銹鋼葉片的固有頻率為ω0=67.86 rad/s?？紤]到葉片工作頻率需要遠(yuǎn)離固有頻率，以免引起葉片共振，對(duì)10～40 rad/s頻段內(nèi)多個(gè)激勵(lì)頻率進(jìn)行了分析。以激勵(lì)頻率ω1=40 rad/s為例，其動(dòng)態(tài)響應(yīng)的功率譜如圖2所示。

(a) a=0.5b

(b) a=0.4b

(c) a=0.2b

(d) a=0.05b圖2 不同尺度裂紋的葉片功率譜Fig.2 Spectrum of blade vibration for different crack size

從圖2中可以看出，振動(dòng)頻譜由少數(shù)諧波成分主導(dǎo)，而且這些諧波分量的功率隨諧波階次的增加而衰減，低階分量的功率遠(yuǎn)大于相鄰高階分量的功率。在圖2(a)中，容易地分辨出前三次諧波分量。圖2(b)～(d)中，一次諧波分量幾乎沒有變化，但是高次諧波分量的峰值隨著裂紋相對(duì)深度的減小逐漸減少。

2.3 定量分析

對(duì)比圖2所示的各次諧波功率譜值，可以看出，對(duì)于深度較大的裂紋，相同階次諧波分量的功率幅值更大。雖然一次諧波分量的功率在所分析的情況下幾乎相同，但二次諧波分量的功率從圖2(a)中裂紋深度為a=0.5b時(shí)的3.8×10-3W，減少到圖2(d)中裂紋深度為a=0.05b時(shí)的 4.2×10-7W。

圖2清楚表明，在大多數(shù)情況下，隨著諧波次數(shù)的增加，諧波功率快速衰減，二次諧波相對(duì)功率比更高次諧波相對(duì)更為明顯，容易得到分辨。因此，采用二次諧波相對(duì)功率作為特征參數(shù)，有利于減少隨機(jī)噪聲影響，提高診斷準(zhǔn)確率和魯棒性。

在其他激勵(lì)頻率(葉片載荷變化頻率)作用下，仿真分析可以得到類似結(jié)論。

3 裂紋檢測(cè)應(yīng)用

3.1 裂紋識(shí)別方法

對(duì)于正常葉片，葉片運(yùn)動(dòng)接近理想設(shè)計(jì)狀態(tài)，非線性效應(yīng)可以忽略不計(jì)，即式(11)中的kΔc=0，動(dòng)力學(xué)方程近似線性。因此，響應(yīng)輸出的主要成分是與激勵(lì)載荷同頻率的一次諧波分量。由于高次諧波分量的功率近似為零，高次諧波的相對(duì)功率也相應(yīng)地近似為零。因此，正常葉片的衰減比近似為零。

葉片裂紋出現(xiàn)擴(kuò)展時(shí)，動(dòng)力學(xué)特性將發(fā)生變化，非線性更為顯著，根據(jù)前述理論分析結(jié)果，葉片振動(dòng)分量諧波相對(duì)功率將為非零值，且有望隨著裂紋相對(duì)深度的增加而增加。這意味著二次諧波與一次諧波的功率比，即二次諧波相對(duì)功率，可以作為葉片裂紋的判斷依據(jù)，當(dāng)相對(duì)功率顯著大于零時(shí)，可以判定葉片存在裂紋，否則視為正常葉片。判斷是否顯著的閾值設(shè)定有兩種途徑：一方面，根據(jù)式(23)和葉片工作頻率，以及葉片強(qiáng)度允許的最大裂紋深度，計(jì)算得到相對(duì)功率的上限，乘以適當(dāng)?shù)陌踩６?，可以得到度量相?duì)功率是否顯著的閾值；另一方面，工程上在安裝正常葉片后，立即測(cè)量正常葉片的振動(dòng)響應(yīng)，計(jì)算得到相對(duì)功率的正常值，將正常值乘以適當(dāng)?shù)陌踩６茸鳛殚撝?，也可用于判斷相?duì)功率是否顯著。

這種診斷方法的優(yōu)點(diǎn)是不再需要測(cè)量固有共振頻率，避免使得葉片工作在危險(xiǎn)的共振狀態(tài)，故障判別依據(jù)只需要測(cè)量葉片二次諧波與一次諧波的幅值，可以適應(yīng)葉片轉(zhuǎn)速波動(dòng)的實(shí)際情況，實(shí)現(xiàn)不同工況下的長(zhǎng)時(shí)間連續(xù)監(jiān)測(cè)。

3.2 實(shí)驗(yàn)臺(tái)設(shè)置

為驗(yàn)證這種識(shí)別方法的有效性，設(shè)計(jì)了葉片振動(dòng)實(shí)驗(yàn)，比較裂紋葉片和正常葉片的振動(dòng)情況。

被測(cè)葉片類型為直板葉片，底部設(shè)置一個(gè)長(zhǎng)方形基座方便夾持，如圖3所示。

圖3 裂紋葉片F(xiàn)ig.3 Crack blade

葉片長(zhǎng)度L=0.112 m，寬度w=0.043 m，厚度b=0.002 m。在靠近葉片根部位置用線切割加工一個(gè)缺口，產(chǎn)生深度約為a≈0.000 2 m的縱貫裂紋。將參數(shù)輸入ANSYS計(jì)算軟件，計(jì)算得到固有頻率為ω0=1 189 rad/s。掃頻振動(dòng)實(shí)驗(yàn)證明計(jì)算得到的固有頻率與實(shí)際相符。葉片安裝在50 kg振動(dòng)實(shí)驗(yàn)臺(tái)(型號(hào)DC-3200-36)上。激勵(lì)頻率設(shè)定為30～150 Hz，步長(zhǎng)為10 Hz。

采用光學(xué)掃描法測(cè)量葉片的振動(dòng)響應(yīng)。與傳統(tǒng)加速度計(jì)相比，光學(xué)掃描傳感器對(duì)葉片的動(dòng)態(tài)運(yùn)動(dòng)沒有影響。因此，該方案具有較高的分辨率和精度。如圖4所示，使用三個(gè)掃描測(cè)量系統(tǒng)(Polytec PSV-500)測(cè)量葉片不同點(diǎn)的振動(dòng)。

圖4 振動(dòng)信號(hào)測(cè)試系統(tǒng)Fig.4 Vibration measurement system

這三個(gè)測(cè)量點(diǎn)圖中被激光照亮為紅色，如圖5所示。第一個(gè)傳感器測(cè)量葉片端部振動(dòng)，判斷葉片狀態(tài)的主要數(shù)據(jù)源。第二個(gè)傳感器測(cè)量葉片中部的振動(dòng)，用于監(jiān)控葉片振動(dòng)總體幅值，防止振動(dòng)過大，保證試驗(yàn)安全。第三個(gè)傳感器測(cè)量葉片基座的振動(dòng)，觀察激振力的變化情況。

圖5 測(cè)點(diǎn)示意圖Fig.5 Picture of measuring spot

3.3 數(shù)據(jù)處理

從葉片基座測(cè)得的振動(dòng)頻譜來看，正常葉片和裂紋葉片的基座振動(dòng)頻譜沒有明顯區(qū)別。例如，在70 Hz激勵(lì)頻率下，正常葉片和裂紋葉片的基座振動(dòng)頻譜如圖6所示。頻譜的主要分量均為頻率等于70 Hz激勵(lì)頻率的一次諧波。

(a) 正常葉片(a) Normal blade

(b) 裂紋葉片(b) Cracked blade圖6 葉片基座的振動(dòng)頻譜Fig.6 Vibrational spectrum of blade root

圖7顯示了相同激勵(lì)下葉片中部的振動(dòng)信號(hào)功率譜。從圖7中可以看出，葉片中部的頻率峰值比較雜亂，特別是裂紋葉片的振動(dòng)譜中也難以找到明顯的二次諧波140 Hz 成分。因此，葉片中部包含的診斷特征不明顯。

(a) 正常葉片(a) Normal blade

(b) 裂紋葉片(b) Cracked blade圖7 葉片中部的振動(dòng)頻譜Fig.7 Vibrational spectrum of blade middle part

此外，裂紋葉片和正常葉片的葉尖振動(dòng)響應(yīng)有明顯變化。圖8顯示了在70 Hz頻率激勵(lì)作用下，正常葉片和裂紋葉片的葉尖振動(dòng)頻譜。

比較圖6(a)和圖8(a)，正常葉片的葉尖振動(dòng)和葉片基座振動(dòng)的頻譜結(jié)構(gòu)非常相似，這表明正常葉片對(duì)于振動(dòng)激勵(lì)的反應(yīng)更為接近線性。比較圖6(b)和圖8(b)，裂紋葉片的基座振動(dòng)和葉尖振動(dòng)頻譜有著明顯區(qū)別，從基座振動(dòng)頻譜可以看出，激勵(lì)近似為單頻激勵(lì)，但是葉尖振動(dòng)響應(yīng)明顯呈現(xiàn)出多頻分量的組合，主要分量的頻譜間隔等于激勵(lì)頻率70 Hz，而且140 Hz等頻率處的諧波分量非常明顯。從中可以看出，裂紋葉片葉尖振動(dòng)對(duì)于激勵(lì)明顯表現(xiàn)為非線性響應(yīng)。

(a) 正常葉片(a) Normal blade

(b) 裂紋葉片(b) Cracked blade圖8 葉片葉尖的振動(dòng)頻譜Fig.8 Vibrational spectrum of blade tip

圖9 正常葉片和裂紋葉片的二次諧波分量相對(duì)功率Fig.9 Relative power of the 2nd harmonics for normal and crack blades

根據(jù)所提出的葉片裂紋檢測(cè)方法，計(jì)算了正常葉片和裂紋葉片的二次諧波分量相對(duì)功率，如圖9所示。從圖9中可以看出，基座振動(dòng)信號(hào)諧波分量無論是正常葉片還是裂紋葉片，同一頻率激振力作用下的二次諧波相對(duì)功率幾乎相同。在本次實(shí)驗(yàn)參數(shù)設(shè)置的情況下，對(duì)于不同頻率的激勵(lì)作用，正常葉片的二次諧波分量相對(duì)功率隨著激勵(lì)頻率的增高略有下降，但是變化并不明顯。同時(shí)，在同等頻率激勵(lì)作用下，裂紋葉片二次諧波相對(duì)功率有明顯波動(dòng)，特別是在激勵(lì)頻率為140 Hz時(shí)，裂紋葉片的二次諧波分量達(dá)到峰值。而且，從圖9中可以看出，裂紋葉片的二次諧波分量相對(duì)功率均顯著高于正常葉片的相應(yīng)值，這表明所提出的基于二次諧波分量相對(duì)功率的裂紋檢測(cè)方法可以有效分離出正常葉片和裂紋葉片。

4 結(jié)論

本文對(duì)葉片振動(dòng)的非線性響應(yīng)進(jìn)行了理論和實(shí)驗(yàn)的定量分析。根據(jù)經(jīng)典梁理論，建立了葉片葉尖振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)模型，分析了葉片裂紋位置、深度等因素對(duì)動(dòng)力學(xué)參數(shù)的影響規(guī)律。盡管呼吸裂紋導(dǎo)致葉片振動(dòng)方程的響應(yīng)為非線性，但仍可以推導(dǎo)出振動(dòng)響應(yīng)的諧波分量功率耦合關(guān)系，這表明諧波分量功率與鄰近諧波分量的功率、諧波分量階次以及裂紋尺寸位置相關(guān)。據(jù)此提出了一種基于諧波相對(duì)功率的裂紋檢測(cè)方法，并得到仿真模擬和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。需要說明的是，葉片裂紋檢測(cè)是個(gè)工程難題，實(shí)際應(yīng)用中應(yīng)該融合包括本文方法在內(nèi)的多種檢測(cè)方法，以提高檢測(cè)的準(zhǔn)確率和魯棒性。