淺探抗差估計(jì)在水準(zhǔn)數(shù)據(jù)處理中的應(yīng)用

盧慶凱 王家峰

（陜西地建土地勘測(cè)規(guī)劃設(shè)計(jì)院有限責(zé)任公司，陜西西安 710075）

在水準(zhǔn)網(wǎng)數(shù)據(jù)處理過程中常采用經(jīng)典最小二乘法[1]，通過最小二乘法可以求得水準(zhǔn)網(wǎng)的未知參數(shù)。使用最小二乘法的前提是水準(zhǔn)網(wǎng)數(shù)據(jù)要服從正態(tài)分布，但是在實(shí)際工作和科學(xué)實(shí)驗(yàn)中都有可能出現(xiàn)觀測(cè)粗差。對(duì)于出現(xiàn)粗差的觀測(cè)數(shù)據(jù)是不服從正態(tài)分布，因此去除觀測(cè)觀測(cè)數(shù)據(jù)中的粗差非常重要?？共罟烙?jì)方法可以有效的去除觀測(cè)數(shù)據(jù)中的粗差，抗差估計(jì)理論是建立在觀測(cè)數(shù)據(jù)的實(shí)際分布，而不是理論分布上[2]。

處理水準(zhǔn)數(shù)據(jù)時(shí)，當(dāng)水準(zhǔn)網(wǎng)的閉合差超限時(shí)表明觀測(cè)數(shù)據(jù)中含有粗差，僅僅從閉合差的角度尋找含有粗差的觀測(cè)數(shù)據(jù)是很難實(shí)現(xiàn)的，很難判定哪一測(cè)段的高差觀側(cè)值中含有粗差。

對(duì)于含有粗差的測(cè)量數(shù)據(jù)，往往需要進(jìn)行大量的重測(cè)，重新計(jì)算觀測(cè)數(shù)據(jù)的精度以達(dá)到測(cè)量要求。數(shù)據(jù)處理方法中有些可以很好的探測(cè)到觀測(cè)中粗差，雖然這些方法能夠探側(cè)到粗差的存在，但是后續(xù)的數(shù)據(jù)處理中首先要剔除粗差然后才能大量進(jìn)行數(shù)據(jù)平差，計(jì)算工作量較大。

抗差估計(jì)優(yōu)于最小二乘估計(jì)在于抗差估計(jì)能探測(cè)觀測(cè)值中粗差的位置及其大小，并且能夠剔除粗差，獲得較高精度的平差結(jié)果[3]。在觀測(cè)值無粗差時(shí)，抗差估計(jì)與最小二乘估計(jì)結(jié)果相同。鑒于此，應(yīng)當(dāng)在水準(zhǔn)網(wǎng)平差和平面控制網(wǎng)平差中應(yīng)用抗差估計(jì)進(jìn)行平差計(jì)算，這是比較容易做到的。

1 抗差估計(jì)原理

抗差估計(jì)又稱為穩(wěn)健估計(jì)，它的作用是剔除實(shí)際生產(chǎn)過程中觀測(cè)數(shù)據(jù)存在的粗差，在數(shù)據(jù)處理過程中選擇合適的抗差估計(jì)方法可以有效的提高測(cè)量精度，使測(cè)量中的未知值最大限度接近實(shí)際值。我們的測(cè)量值是隨機(jī)變量，符合正態(tài)分布的，如果出現(xiàn)粗差（gross error）的話，我們?cè)趹?yīng)用最小二差或卡爾曼濾波的時(shí)候就會(huì)使結(jié)果偏離真實(shí)值（濾波發(fā)散）的現(xiàn)象。解決粗差或系統(tǒng)誤差的時(shí)候，可以從兩方面去理解，均值漂移或者方差膨脹，抗差估計(jì)屬于方差膨脹模型，即均值不變，方差變化的現(xiàn)象。我們可以通過對(duì)出現(xiàn)粗差的觀測(cè)值進(jìn)行降權(quán)處理。我們?cè)趯?shí)現(xiàn)的時(shí)候，這個(gè)權(quán)陣很重要，權(quán)陣也就是我們說的方差陣的逆，分為獨(dú)立和非獨(dú)立，即觀測(cè)值之間是否相關(guān)，是否相關(guān)也影響著等價(jià)權(quán)函數(shù)的形式。

2 抗差估計(jì)在實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)中的應(yīng)用

如圖1，A、B、C 為已知水準(zhǔn)點(diǎn)，HA=10m、HB=20m、HC=28m。正常觀測(cè)的高差及各路線的長(zhǎng)度見表1，未知參數(shù)的解為: HⅠ、HⅡ在h1和h4上分別加粗差-10mm 和80mm 粗差，然后采用最小二乘法，計(jì)算相應(yīng)的殘差值。

圖1 實(shí)驗(yàn)水準(zhǔn)網(wǎng)示意

表1 模擬觀測(cè)值

幾種方法的權(quán)函數(shù)雖然模型表達(dá)式一樣，但其目的都是為了檢測(cè)含有粗差的項(xiàng)[4]，并把粗差剔除。下面是幾種方法的權(quán)因子的收斂速度，如表2。

表2 幾種方法收斂速度的比較

分析說明：從上面可以看出幾種抗差估計(jì)方法中，IGGI 法權(quán)的變化符合我們的期望，能使含粗差的權(quán)變換逐漸趨于零；IGGI 法由三段組成，更適合測(cè)量計(jì)算。而丹麥權(quán)的收斂速度是最快的，且其最后收斂的結(jié)果可以滿足我們的要求，但其少淘汰段，不利于提高抗差能力。

3 三種方法實(shí)驗(yàn)結(jié)果比較

表3 是幾種方法的平差值比較。

表3 三種平差方法的比較

分析說明：在幾種方法中，可以明顯看出抗差估計(jì)方法對(duì)含有粗差的平差值與最小二乘平差的方法的結(jié)果最近，且精度相對(duì)其他方法來說更高一些；粗差對(duì)改正數(shù)的大小在各個(gè)觀測(cè)值中影響可以看出對(duì)含粗差大的將會(huì)給其以大的粗差改正數(shù)，而對(duì)相對(duì)來說小的則會(huì)把粗差分配到了各個(gè)觀測(cè)值改正數(shù)中了。

從表4 中結(jié)果可以看出，各結(jié)果都有一定的抗差能力，IGG方案效果能滿足我們的要求，我們給測(cè)段4 加了80mm 的粗差，而IGGI 法在最終的結(jié)果中給其了81mm 的改正數(shù)，有效的起到了抗差的效果。

表4 三種方法的改正值比較

同樣為了提高實(shí)驗(yàn)結(jié)果的可信性，對(duì)于實(shí)驗(yàn)中設(shè)計(jì)的水準(zhǔn)網(wǎng)。一是我們可以盡可能的增加水準(zhǔn)閉合環(huán)路，增加觀測(cè)數(shù)量，得到更多的觀測(cè)數(shù)據(jù)，更多的觀測(cè)量有利于剔除數(shù)據(jù)中的粗差。二是提高觀測(cè)精度及實(shí)驗(yàn)可靠性，當(dāng)觀測(cè)數(shù)據(jù)含有粗差，我們發(fā)現(xiàn)并剔除時(shí)不影響繼續(xù)使用數(shù)據(jù)。

對(duì)于不含有粗差的觀測(cè)數(shù)據(jù)，使用抗差估計(jì)處理與最小二乘估計(jì)處理的結(jié)果是一致的[5]，從上可以看出最小二乘估計(jì)是抗差估計(jì)的一個(gè)特例。對(duì)于含有粗差的觀測(cè)數(shù)據(jù)使用抗差估計(jì)，一是可以準(zhǔn)確的找出觀測(cè)數(shù)據(jù)中粗差的位置，二是可以剔除觀測(cè)數(shù)據(jù)中的粗差，提高測(cè)量精度。

4 結(jié)論

針對(duì)最小二乘法在系統(tǒng)量測(cè)數(shù)據(jù)存在粗差時(shí)出現(xiàn)的問題，本文把抗差最小二乘法應(yīng)用于水準(zhǔn)高程數(shù)據(jù)處理中，運(yùn)用的多種經(jīng)典權(quán)函數(shù)，對(duì)抗差結(jié)果得出常用的對(duì)于含有粗差的觀測(cè)數(shù)據(jù)使用最小二乘法效果不佳，當(dāng)測(cè)量數(shù)據(jù)中存在粗差時(shí)，估計(jì)結(jié)果嚴(yán)重失真以至不能接受，甚至導(dǎo)致迭代不收斂。因此本文采用抗差思想，將抗差最小二乘法應(yīng)用到水準(zhǔn)測(cè)量高程估計(jì)中，通過實(shí)驗(yàn)結(jié)果證明: IGGI 法更適合于水準(zhǔn)高程數(shù)據(jù)中粗差的探測(cè)。