基于運(yùn)動(dòng)學(xué)分析的行星滾柱絲杠副應(yīng)力循環(huán)規(guī)律

姚琴 劉永壽 馬尚君 張猛創(chuàng)

(1.蘇州科技大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，江蘇 蘇州 215009；2.西北工業(yè)大學(xué) 力學(xué)與土木建筑學(xué)院，陜西 西安 710129； 3.西北工業(yè)大學(xué) 陜西省機(jī)電傳動(dòng)與控制工程實(shí)驗(yàn)室，陜西 西安 710072；4.西北工業(yè)大學(xué) 民航學(xué)院，陜西 西安 710072； 5.西北工業(yè)大學(xué) 長(zhǎng)三角研究院，江蘇 太倉(cāng) 215400)

行星滾柱絲杠副(Planetary Roller Screw Mechanism，PRSM)是一種可以將直線運(yùn)動(dòng)和旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)進(jìn)行相互轉(zhuǎn)換的精密螺旋傳動(dòng)裝置。作為機(jī)電作動(dòng)器的關(guān)鍵執(zhí)行機(jī)構(gòu)之一，PRSM具有承載能力強(qiáng)、壽命長(zhǎng)、傳動(dòng)精度高和空間適應(yīng)性好等優(yōu)點(diǎn)，被廣泛應(yīng)用于航天[1]、航空[2]、精密機(jī)床[3]和醫(yī)療器械[4]等領(lǐng)域。

PRSM由絲杠、螺母、滾柱、內(nèi)齒圈和行星架等組成，其中絲杠、螺母和滾柱為主要承載零件。多個(gè)滾柱同時(shí)在絲杠與螺母之間做空間行星運(yùn)動(dòng)，通過滾柱兩側(cè)分別與絲杠和螺母螺旋曲面的嚙合，可以將絲杠的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)換為螺母的直線運(yùn)動(dòng)，從而實(shí)現(xiàn)PRSM運(yùn)動(dòng)和力的傳遞。PRSM的運(yùn)動(dòng)特性會(huì)進(jìn)一步影響其摩擦力矩[5]、接觸特性[6]、動(dòng)力學(xué)特性[7]和疲勞壽命[8]等，對(duì)PRSM進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)分析是其他各類研究的基礎(chǔ)。

在PRSM的運(yùn)動(dòng)學(xué)方面，國(guó)內(nèi)外學(xué)者展開了相應(yīng)研究，并取得了一定成果。靳謙忠等[9]分析了PRSM的傳動(dòng)原理，得到了零件之間的運(yùn)動(dòng)關(guān)系；Hojjat等[10]采用圖解法分析了PRSM在傳動(dòng)過程中的滑動(dòng)趨勢(shì)；Velinsky等[11]研究了考慮彈性變形時(shí)PRSM在接觸區(qū)域內(nèi)的滑動(dòng)狀態(tài)；Jones等[12]建立了包含滾柱軸向竄動(dòng)的PRSM運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，推導(dǎo)了滾柱的軸向偏移角度和滑動(dòng)速度；黨金良等[13]研究了反向式PRSM的運(yùn)動(dòng)原理及參數(shù)選擇；馬尚君等[14]研究了反向式PRSM中由滾柱節(jié)圓偏移造成的零件相對(duì)滑移；Liu等[15]計(jì)算了PRSM內(nèi)零件的傳動(dòng)比；Ma等[16]建立了考慮螺紋旋向的PRSM運(yùn)動(dòng)學(xué)模型；Fu等[17]分析了零件偏心誤差和位置誤差對(duì)PRSM運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的影響；Sandu等[18]創(chuàng)建了PRSM單自由度的無量綱滑移比運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，用于計(jì)算接觸區(qū)域內(nèi)任一點(diǎn)的滑動(dòng)速度矢量。然而，基于PRSM內(nèi)部零件不同運(yùn)動(dòng)特性的應(yīng)力循環(huán)規(guī)律研究卻鮮見報(bào)道。

文中基于絲杠、螺母和滾柱的空間螺旋曲面特征，通過參數(shù)方程形式建立PRSM的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析模型，得到零件螺旋曲面上任意一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程與速度矢量；然后，根據(jù)嚙合原理獲得絲杠與滾柱、螺母與滾柱接觸點(diǎn)的位置，再由接觸點(diǎn)的速度矢量推導(dǎo)出PRSM的結(jié)構(gòu)參數(shù)關(guān)系，從而獲得絲杠、螺母和滾柱的空間運(yùn)動(dòng)軌跡及零件螺紋牙上的應(yīng)力循環(huán)規(guī)律；最后，通過零件的應(yīng)力循環(huán)次數(shù)預(yù)測(cè)PRSM的工作壽命。

1 螺旋曲面參數(shù)表示

1.1 空間坐標(biāo)的建立

{x=rcosα

y=rsinα

z=f(r，α)， (r，α)∈Ω

(1)

為了區(qū)分零件上參與接觸的螺旋曲面，同時(shí)兼顧參數(shù)方程表達(dá)的簡(jiǎn)潔性，令上、下截面輪廓關(guān)于x軸對(duì)稱，如圖1(b)所示。由于螺紋牙截面輪廓只與參數(shù)坐標(biāo)r有關(guān)，若將其記為φ(r)，則Q點(diǎn)的軸向位置可以表示為

(2)

式中，ζ為布爾變量，ζ=1和ζ=-1分別表示螺紋牙的下接觸面和上接觸面。

將螺旋曲面參數(shù)方程統(tǒng)一表示成向量形式：

(3)

圖1 螺旋曲面的空間坐標(biāo)示意圖

為了使法線統(tǒng)一指向螺紋牙內(nèi)側(cè)，將螺旋曲面上任一點(diǎn)處的單位法向量規(guī)定為

(4)

(5)

(6)

式中，ψr和ψα分別為ψ(r，α)對(duì)參數(shù)r和α的偏導(dǎo)數(shù)，φ′(r)為φ(r)對(duì)r的一階導(dǎo)數(shù)。

1.2 絲杠螺旋曲面的參數(shù)表示

絲杠為具有梯形截面輪廓的多頭外螺紋，如圖2所示。絲杠中徑、大徑、小徑、螺距、牙厚、牙型半角和螺紋頭數(shù)分別為dS0、dS1、dS2、PS、hS、βS和nS，導(dǎo)程lS=nSPS。若螺紋牙上任意一點(diǎn)投影到xSOSyS平面內(nèi)的極坐標(biāo)為(rS，αS)，當(dāng)dS2/2≤rS≤dS1/2時(shí)，絲杠螺紋牙型輪廓函數(shù)為

(7)

絲杠螺旋曲面參數(shù)方程可以表示為

圖2 絲杠螺紋牙截面輪廓

{xS=rScosαS

yS=rSsinαS

(8)

將式(7)對(duì)rS求一階導(dǎo)數(shù)，再代入式(4)-(6)中，則絲杠螺旋曲面上任意一點(diǎn)處的單位法向量為

(9)

1.3 螺母螺旋曲面的參數(shù)表示

螺母為多頭內(nèi)螺紋，螺紋牙截面輪廓為梯形，如圖3所示。螺母中徑、大徑、小徑、外徑、螺距、牙厚、牙型半角和螺紋頭數(shù)分別表示為dN0、dN1、dN2、dN3、PN、hN、βN和nN，導(dǎo)程lN=nNPN。若螺紋牙上任意一點(diǎn)投影到xNOyN平面內(nèi)的極坐標(biāo)為(rN，αN)，當(dāng)dN2/2≤rN≤dN1/2時(shí)，螺母的螺紋牙型輪廓函數(shù)可以表示為

(10)

圖3 螺母的螺紋牙截面輪廓

螺母的螺旋曲面參數(shù)方程及螺旋曲面上任意一點(diǎn)處的單位法向量分別為

(11)

(12)

1.4 滾柱螺旋曲面的參數(shù)表示

滾柱為單頭外螺紋，其基本結(jié)構(gòu)參數(shù)有：滾柱中徑dR0，大徑dR1，小徑dR2，螺距PR，牙厚hR及牙型半角βR，導(dǎo)程lR=PR。為了減小摩擦、提高PRSM的傳動(dòng)效率，滾柱螺紋牙截面輪廓通常加工成如圖4所示的圓弧形，圓弧半徑為

(13)

圖4 滾柱的螺紋牙截面輪廓

若螺紋牙上任意一點(diǎn)在xRORyR平面內(nèi)投影的極坐標(biāo)為(rR，αR)，當(dāng)dR2/2≤dR≤dR1/2時(shí)，滾柱螺紋牙型輪廓函數(shù)為

(14)

同理，滾柱的螺旋曲面參數(shù)方程及螺旋曲面上任意一點(diǎn)處的單位法向量分別為

{xR=rRcosαR

yR=rRsinαR

(15)

(16)

2 運(yùn)動(dòng)學(xué)分析模型

為了更好地描述PRSM的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)，除絲杠、螺母和滾柱的零件坐標(biāo)系外，還需設(shè)定固定坐標(biāo)系O-xyz、固聯(lián)在滾柱上的動(dòng)參考系O1-x1y1z1以及t時(shí)刻的接觸坐標(biāo)系O-xcyczc。螺母坐標(biāo)系ON-xNyNzN與O-xyz始終重合。當(dāng)t=0時(shí)，絲杠坐標(biāo)系OS-xSySzS與O-xyz重合，滾柱坐標(biāo)系OR-xRyRzR中xR軸與x軸共線。PRSM的運(yùn)動(dòng)關(guān)系平面投影如圖5所示，圖中絲杠、螺母和滾柱分別用名義中徑表示，即dN0=dS0+2dR0。假設(shè)PRSM勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，并規(guī)定從z軸正端向負(fù)端看，零件逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)為正，反之為負(fù)。

(a)PRSM的運(yùn)動(dòng)關(guān)系平面投影

(b)滾柱上點(diǎn)的速度合成

2.1 絲杠的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

當(dāng)PRSM工作時(shí)，絲杠連接電機(jī)以角速度ωS繞自身軸線旋轉(zhuǎn)且無軸向移動(dòng)。經(jīng)過時(shí)間t后，絲杠自轉(zhuǎn)角度為θS=ωSt，絲杠螺紋牙上任意一點(diǎn)QS在OS-xSySzS中的位置由式(8)給出，進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換后，在固定坐標(biāo)系O-xyz內(nèi)，QS點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為

(17)

(18)

2.2 螺母的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

螺母為從動(dòng)件，沒有周向運(yùn)動(dòng)，只在軸向做與滾柱無相對(duì)位移的直線運(yùn)動(dòng)。由式(11)可得螺母螺紋牙上任意一點(diǎn)QN經(jīng)過時(shí)間t后在O-xyz中的位置，即其運(yùn)動(dòng)方程為

(19)

(20)

2.3 滾柱的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

多個(gè)滾柱通過行星架均勻分布在絲杠圓周方向并做行星運(yùn)動(dòng)，滾柱的公轉(zhuǎn)角速度和自轉(zhuǎn)角速度分別為ωH和ωR，公轉(zhuǎn)半徑為rH=(dS0+dR0)/2。滾柱螺紋牙上任意一點(diǎn)QR在O-xyz中的絕對(duì)運(yùn)動(dòng)可以分解為QR點(diǎn)在O1-x1y1z1中的相對(duì)運(yùn)動(dòng)和O1-x1y1z1在O-xyz中的牽連運(yùn)動(dòng)。其中，QR點(diǎn)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)為滾柱繞自身軸線的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，牽連運(yùn)動(dòng)又可以分解為滾柱繞絲杠軸線的圓周運(yùn)動(dòng)和軸向的直線運(yùn)動(dòng)。當(dāng)滾柱公轉(zhuǎn)和自轉(zhuǎn)角度分別為θH=ωHt和θR=ωRt時(shí)，QR點(diǎn)在OR-xRyRzR中的位置可由式(15)表示，經(jīng)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換到O1-x1y1z1中后，QR點(diǎn)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程為

(21)

式(21)對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)即得QR點(diǎn)在O1-x1y1z1中的相對(duì)速度矢量vRr：

vRr=[rRωRsin (αR-θR)，-rRωRcos (αR-θR)，0]

(22)

(23)

(24)

牽連點(diǎn)在O-xyz中做圓周運(yùn)動(dòng)的角速度為ωH，參考式(18)，可將圓周運(yùn)動(dòng)速度矢量vRH表示為

(25)

(26)

此外，O1點(diǎn)在固定坐標(biāo)系O-xyz中的位置為

(27)

由式(21)和(27)可得QR點(diǎn)在O-xyz中的絕對(duì)運(yùn)動(dòng)方程為

(28)

3 運(yùn)動(dòng)特性與應(yīng)力循環(huán)規(guī)律

3.1 接觸點(diǎn)位置分析

3.1.1 絲杠與滾柱接觸點(diǎn)的位置

rScsinαSc=rRScsinαRSc

(29)

rSccosαSc+rRSccosαRSc=dS0/2+dR0/2

(30)

根據(jù)連續(xù)相切接觸條件[19]，絲杠在接觸點(diǎn)的單位法向量nSc和滾柱在該點(diǎn)處的單位法向量-nRSc應(yīng)該共線，即nSc=-nRSc。由絲杠和滾柱的單位法向量表達(dá)式(9)和(16)可整理出如下關(guān)系：

(31)

(32)

式中，ζSc=1和ζSc=-1分別表示接觸點(diǎn)在絲杠的下接觸面和上接觸面，ζRSc表示滾柱螺紋牙上與絲杠接觸的面，且ζRSc=-ζSc。聯(lián)立式(29)-(32)可以得到未知數(shù)rSc、αSc、rRSc和αRSc。

3.1.2 螺母與滾柱接觸點(diǎn)的位置

在螺母與滾柱接觸側(cè)，螺母的接觸半徑和接觸偏角分別為rNc和αNc，在xNONyN平面內(nèi)的極坐標(biāo)為(rNc，αNc)；滾柱的接觸半徑和接觸偏角分別為rRNc和αRNc，在xRORyR平面內(nèi)的極坐標(biāo)為(rRNc，αRNc)。螺母與滾柱在接觸點(diǎn)存在如下關(guān)系：

rNcsinαNc=rRNcsinαRNc

(33)

rNccosαNc-rRNccosαRNc=(dN0-dR0)/2

(34)

另外，螺母和滾柱在該點(diǎn)的單位法向量滿足關(guān)系nNc=-nRNc，由式(12)和(16)可得

(35)

(36)

式中，ζNc=ζRSc，ζRNc=-ζRSc，分別表示螺母和滾柱螺紋牙上參與接觸的面。同理，聯(lián)立式(33)-(36)可以得到未知數(shù)rNc、αNc、rRNc和αRNc。

3.2 接觸點(diǎn)速度分析

3.2.1 絲杠與滾柱接觸點(diǎn)處的速度分析

(37)

(38)

(39)

為了保證PRSM正確運(yùn)動(dòng)，滾柱與絲杠在接觸點(diǎn)處速度的法向分量必須保持一致，即滿足

(40)

其中，絲杠在接觸點(diǎn)處速度的法向分量為

(41)

滾柱在與絲杠接觸點(diǎn)處速度的法向分量為

(42)

將式(31)乘sinαSc與式(32)乘cosαSc相減可得

(43)

將式(43)代入式(42)，即有

(44)

聯(lián)立式(40)、(41)和(44)可整理出ωR與ωH滿足如下關(guān)系：

(45)

3.2.2 螺母與滾柱接觸點(diǎn)處的速度分析

(46)

(47)

同理，滾柱與螺母在接觸點(diǎn)處滿足如下關(guān)系：

(48)

螺母在接觸點(diǎn)處速度的法向分量為

(49)

滾柱在與螺母接觸點(diǎn)處速度的法向分量為

(50)

將式(35)乘sinαNc與式(36)乘cosαNc相減可得

(51)

將式(51)代入式(50)即有

(52)

聯(lián)立式(48)、(49)和式(52)可整理出如下關(guān)系：

(53)

3.3 結(jié)構(gòu)參數(shù)關(guān)系

(54)

則ωR與ωH滿足以下關(guān)系：

(55)

此外，由瞬心位置還可以得出絲杠中徑的線速度vS0與滾柱圓心的線速度vH存在如下關(guān)系[9]：

(56)

因此，ωH可以表示為

(57)

若令kω=dN0/dR0，由以上推導(dǎo)可以整理出PRSM的結(jié)構(gòu)參數(shù)與運(yùn)動(dòng)滿足如下關(guān)系：

(58)

3.4 空間運(yùn)動(dòng)軌跡

計(jì)算結(jié)果表明，絲杠與滾柱具有一定接觸偏角，接觸半徑均大于二者中徑，并在接觸點(diǎn)處存在相對(duì)速度。螺母與滾柱的接觸點(diǎn)在二者軸心連線上，接觸半徑分別等于二者中徑，且該點(diǎn)為速度瞬心。將接觸點(diǎn)對(duì)應(yīng)的極坐標(biāo)分別代入絲杠、螺母和滾柱的運(yùn)動(dòng)方程，可以得到零件的空間運(yùn)動(dòng)軌跡，如圖6(a)所示，圖6(b)-6(d)為滾柱上與螺母接觸點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡平面投影。

表1 PRSM結(jié)構(gòu)參數(shù)

表2 接觸點(diǎn)的位置參數(shù)及速度矢量

(a)零件空間運(yùn)動(dòng)軌跡

(b)滾柱運(yùn)動(dòng)軌跡的xOz平面投影

(c)滾柱運(yùn)動(dòng)軌跡的yOz平面投影

(d)滾柱運(yùn)動(dòng)軌跡的xOy平面投影

隨著PRSM的運(yùn)動(dòng)，絲杠上接觸點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為一平面圓，螺母上接觸點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡則為與軸線平行的直線，滾柱上與螺母接觸點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為一條光滑的空間曲線。滾柱自轉(zhuǎn)一周的軸向位移量ΔzR和公轉(zhuǎn)一周的軸向位移量ΔzH可以由式(58)得到：

(59)

(60)

3.5 應(yīng)力循環(huán)規(guī)律

(61)

當(dāng)PRSM運(yùn)動(dòng)和承載處于靜平衡狀態(tài)時(shí)，滾柱螺紋牙上某個(gè)具體的接觸點(diǎn)每間隔TRc時(shí)間便承載一次，即該點(diǎn)承受著穩(wěn)定的脈動(dòng)循環(huán)載荷FR及接觸應(yīng)力σR的作用，如圖7所示。

圖7 滾柱上載荷及接觸應(yīng)力的循環(huán)變化

當(dāng)絲杠旋轉(zhuǎn)一周時(shí)，滾柱上同一點(diǎn)發(fā)生接觸的次數(shù)nRc為

(62)

對(duì)于螺母螺紋牙上某個(gè)確定的接觸點(diǎn)，每個(gè)滾柱滾過就承載一次，該點(diǎn)也承受著穩(wěn)定的脈動(dòng)循環(huán)載荷FN及接觸應(yīng)力σN的作用，如圖8所示。由于

圖8 螺母上載荷與接觸應(yīng)力的循環(huán)變化

z個(gè)滾柱均勻分布，該點(diǎn)發(fā)生相鄰兩次接觸的周期TNc為

(63)

當(dāng)絲杠旋轉(zhuǎn)一圈時(shí)，螺母上同一點(diǎn)發(fā)生接觸的次數(shù)nNc為

(64)

絲杠上與某個(gè)滾柱的特定接觸點(diǎn)在經(jīng)過TSc時(shí)間后與下一個(gè)滾柱再次發(fā)生接觸，即絲杠上同一點(diǎn)相鄰發(fā)生兩次承載的時(shí)間間隔TSc為

(65)

滾柱整個(gè)螺紋段經(jīng)過絲杠上某一點(diǎn)的時(shí)間TS為

(66)

(67)

在實(shí)際工作中，滾柱和螺母通常在PRSM的有效行程lPRSM內(nèi)做往復(fù)運(yùn)動(dòng)。絲杠上某個(gè)具體接觸點(diǎn)的承載會(huì)隨著運(yùn)動(dòng)時(shí)間發(fā)生周期性的不穩(wěn)定變化，其變化方式與PRSM的安裝方式、受力狀態(tài)、運(yùn)動(dòng)方向、螺紋牙載荷分布等多種因素有關(guān)，即該點(diǎn)承受著周期性變幅循環(huán)載荷與接觸應(yīng)力的作用。圖9為某種情況下絲杠中間螺紋牙上某點(diǎn)的載荷與接觸應(yīng)力變化示意圖，圖中TPRSM為滾柱和螺母在有效行程內(nèi)完成單次運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，

(68)

圖9 絲杠上載荷與接觸應(yīng)力的循環(huán)變化

若PRSM工作時(shí)間為L(zhǎng)h(單位為h)，則滾柱、螺母和絲杠螺紋牙上任意一點(diǎn)的應(yīng)力循環(huán)次數(shù)NSc、NRc和NNc分別為

(69)

(70)

NSc=3 600nScLh/TPRSM

(71)

材料疲勞曲線的冪函數(shù)[20]表達(dá)式為

(72)

式中，NH為材料疲勞壽命循環(huán)次數(shù)，σmax為NH對(duì)應(yīng)的最大接觸應(yīng)力，σ0為材料的接觸疲勞極限，N0為循環(huán)基數(shù)，m為點(diǎn)接觸指數(shù)。若滾柱、螺母和絲杠的材料疲勞壽命循環(huán)次數(shù)分別為NRH、NNH和NSH，由式(69)-(71)可以預(yù)測(cè)PRSM的工作壽命LN為

(73)

4 結(jié)論

文中基于絲杠、螺母和滾柱的空間螺旋曲面特征建立了的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，推導(dǎo)了結(jié)構(gòu)參數(shù)與運(yùn)動(dòng)的關(guān)系，分析了零件的空間運(yùn)動(dòng)特征和應(yīng)力循環(huán)規(guī)律，并對(duì)PRSM的工作壽命進(jìn)行了預(yù)測(cè)，得到如下主要結(jié)論。

1)絲杠與滾柱的接觸半徑大于二者中徑，在接觸點(diǎn)處存在接觸偏角和相對(duì)速度；螺母與滾柱的接觸點(diǎn)位于二者軸心連線上，且為速度瞬心。

2)滾柱自轉(zhuǎn)角速度和公轉(zhuǎn)角速度之比等于螺母中徑與滾柱中徑的比值；滾柱螺紋牙上點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為光滑的空間曲線，每個(gè)公轉(zhuǎn)周期的運(yùn)動(dòng)軌跡相同，均由不同形狀的自轉(zhuǎn)軌跡組成；每個(gè)公轉(zhuǎn)周期和自轉(zhuǎn)周期內(nèi)滾柱(螺母)的軸向位移量?jī)H由結(jié)構(gòu)參數(shù)決定。

3)滾柱和螺母上某個(gè)具體的接觸點(diǎn)承受著穩(wěn)定的脈動(dòng)循環(huán)接觸應(yīng)力的作用，而絲杠上某個(gè)具體的接觸點(diǎn)承受著周期性變幅循環(huán)接觸應(yīng)力的作用。