基于參數(shù)匹配的二級(jí)行星滾柱絲杠動(dòng)力學(xué)分析

吳林萍 馬尚君， 張建新， 謝立中

(1.西北工業(yè)大學(xué) 機(jī)電學(xué)院∥陜西省機(jī)電傳動(dòng)與控制工程實(shí)驗(yàn)室，陜西 西安 710072； 2.湖北江山重工有限責(zé)任公司，湖北 襄陽(yáng) 441057)

行星滾柱絲杠(Planetary Roller Screw Mechanism，PRSM)作為性能優(yōu)良的機(jī)械傳動(dòng)裝置，主要是通過(guò)螺紋牙之間的多點(diǎn)接觸來(lái)進(jìn)行動(dòng)力的傳輸。研究表明，PRSM的靜剛度比相同直徑下的普通滾珠絲杠提高約50%，承受相同軸向負(fù)載時(shí)，其安裝空間節(jié)省約1/3，工作壽命提高約14倍[1- 2]。PRSM還可通過(guò)采用微小導(dǎo)程設(shè)計(jì)(螺距可達(dá)0.3 mm)來(lái)提高系統(tǒng)的傳動(dòng)精度，更多的螺紋牙同時(shí)參與動(dòng)力的傳遞，使得PRSM可以實(shí)現(xiàn)輕載、重載條件下更加平穩(wěn)的超高精密傳動(dòng)。目前國(guó)內(nèi)外已在飛行器舵面、無(wú)級(jí)變速器換擋、高檔數(shù)控機(jī)床進(jìn)給、焊接機(jī)器人擺臂等全電化裝備領(lǐng)域采用了基于PRSM的機(jī)電伺服作動(dòng)技術(shù)[3- 6]。

近些年，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)PRSM進(jìn)行了大量的研究：Jones等[7- 8]考慮滾柱偏移，研究了構(gòu)件導(dǎo)程與相對(duì)滑動(dòng)的關(guān)系，得出了滾柱的軸向偏移量不影響機(jī)構(gòu)導(dǎo)程的結(jié)論，并基于共軛曲面的原理建立了接觸面間的接觸模型；馬尚君等[9- 10]分析了反向式PRSM中滾柱位移對(duì)機(jī)構(gòu)導(dǎo)程和滑動(dòng)速度的影響，并得到了與Jones等[7- 8]相同的結(jié)論，滾柱節(jié)圓的偏移不會(huì)影響機(jī)構(gòu)導(dǎo)程，并且建立了考慮不同螺紋旋向的分析模型，基于行星傳動(dòng)的原理揭示了各構(gòu)件參數(shù)間的關(guān)系。

目前國(guó)內(nèi)外將PRSM作為傳動(dòng)裝置的機(jī)械設(shè)備中，主要局限于使用單級(jí)PRSM，然而，對(duì)于需要使用多級(jí)線性推桿裝置的機(jī)構(gòu)，單級(jí)PRSM傳動(dòng)裝置往往不能達(dá)到所需的行程，且其速度相對(duì)較慢，使其在中大型起豎裝置的應(yīng)用方面面臨著挑戰(zhàn)，成為了阻礙車載裝備全電化進(jìn)程的關(guān)鍵問(wèn)題。二級(jí)PRSM的應(yīng)用可以提升中大型起豎裝置的起豎速度，增大起豎行程，減少起豎時(shí)間，因此，開(kāi)展二級(jí)PRSM結(jié)構(gòu)參數(shù)匹配及運(yùn)動(dòng)學(xué)研究，對(duì)于二級(jí)PRSM的工程應(yīng)用具有重要意義。近年來(lái)，國(guó)內(nèi)外學(xué)者開(kāi)始對(duì)二級(jí)PRSM展開(kāi)研究：陳芳[11]基于Hertz 接觸理論，建立了兩級(jí)行星滾柱絲杠的軸向剛度計(jì)算模型，研究了傳動(dòng)精度的影響因素；許兵宗[12]提出了一種由具有外花鍵的滾珠絲杠和具有內(nèi)花鍵的空心滾珠絲杠組成的空心絲杠花鍵副型二級(jí)傳動(dòng)裝置，并在此基礎(chǔ)上對(duì)二級(jí)電動(dòng)缸的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)和運(yùn)動(dòng)特性進(jìn)行了研究；張瀚起[13]通過(guò)花鍵軸和花鍵孔完成了二級(jí)PRSM的整體結(jié)構(gòu)方案設(shè)計(jì)，利用ADAMS軟件對(duì)電動(dòng)缸整體的動(dòng)態(tài)特性進(jìn)行了仿真分析，并研究了PRSM誤差對(duì)傳動(dòng)準(zhǔn)確性的影響；李欣等[14]基于多級(jí)行星滾柱絲杠的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，運(yùn)用牛頓第二定律推導(dǎo)了多級(jí)行星滾柱絲杠的運(yùn)動(dòng)方程，分析了該機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)特性。

文中提出的二級(jí)PRSM結(jié)構(gòu)采用型面連接的方式來(lái)實(shí)現(xiàn)一級(jí)絲杠與二級(jí)空心絲杠之間的運(yùn)動(dòng)傳遞——將一級(jí)主絲杠的右端設(shè)計(jì)為六邊形型面，因型面連接拆裝方便，有良好的對(duì)中性，連接面上無(wú)鍵槽和尖角，從而減少了應(yīng)力集中，且可傳遞較大的轉(zhuǎn)矩。文中以二級(jí)PRSM的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)、運(yùn)動(dòng)原理為基礎(chǔ)，綜合考慮其傳動(dòng)特點(diǎn)，在現(xiàn)有單極PRSM參數(shù)匹配設(shè)計(jì)條件的基礎(chǔ)上，補(bǔ)充了二級(jí)行星滾柱絲杠參數(shù)設(shè)計(jì)所需的條件，提出了二級(jí)PRSM各級(jí)滾柱的自轉(zhuǎn)角速度、公轉(zhuǎn)角速度、各級(jí)螺母直線位移與軸向移動(dòng)速度的理論計(jì)算方法，并基于ADAMS軟件對(duì)其運(yùn)動(dòng)學(xué)特性進(jìn)行了仿真分析，最后將仿真結(jié)果與理論計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比。

1 二級(jí)行星滾柱絲杠的理論模型

1.1 結(jié)構(gòu)形式與運(yùn)動(dòng)機(jī)理

二級(jí)PRSM較單級(jí)PRSM具有更復(fù)雜的結(jié)構(gòu)和傳動(dòng)方式。圖1所示為二級(jí)PRSM的結(jié)構(gòu)示意圖，圖2所示為文中建立的二級(jí)PRSM的三維模型，其主要由一級(jí)主絲杠、一級(jí)螺母、二級(jí)空心絲杠、二級(jí)螺母、套筒、推桿、推力軸承、內(nèi)齒圈和保持架等結(jié)構(gòu)組成。該模型中主要零部件的結(jié)構(gòu)參數(shù)如表1所示，d0為螺紋中徑，d1為螺紋大徑，d2為螺紋小徑，p為螺距，n為螺紋頭數(shù)，l為螺紋長(zhǎng)度，α為螺紋牙型角，z為輪齒齒數(shù)，m為輪齒模數(shù)，h*為齒頂高系數(shù)，c*為頂隙系數(shù)，其中長(zhǎng)度單位均為mm。

二級(jí)PRSM由一級(jí)主絲杠的旋轉(zhuǎn)帶動(dòng)一級(jí)滾柱和一級(jí)螺母軸向移動(dòng)，同時(shí)一級(jí)螺母通過(guò)套筒和軸承將軸向運(yùn)動(dòng)傳遞給第二級(jí)PRSM，二級(jí)螺母帶動(dòng)推桿做軸向移動(dòng)，推桿連接桿端關(guān)節(jié)軸承，桿端關(guān)節(jié)軸承帶動(dòng)負(fù)載進(jìn)行相應(yīng)的直線移動(dòng)。因一級(jí)螺母與二級(jí)空心絲杠之間需要傳遞推力時(shí)二級(jí)空心絲杠相對(duì)于一級(jí)螺母還有軸向轉(zhuǎn)動(dòng)，故在一級(jí)螺母與二級(jí)空心絲杠之間加入推力軸承，以同時(shí)實(shí)現(xiàn)推力的傳遞與相對(duì)軸向運(yùn)動(dòng)。由圖3所示二級(jí)PRSM的橫剖面圖可知，一級(jí)主絲杠還通過(guò)其右端的六邊形型面帶動(dòng)二級(jí)空心絲杠轉(zhuǎn)動(dòng)，二級(jí)空心絲杠在六邊形型面的周向帶動(dòng)下與一級(jí)絲杠同軸轉(zhuǎn)動(dòng)[11]。同時(shí)，兩配合型面之間應(yīng)當(dāng)有一定的間隙，使得一級(jí)主絲杠右端的六邊形型面對(duì)二級(jí)空心絲杠的軸向運(yùn)動(dòng)起到導(dǎo)向的作用。

圖1 二級(jí)PRSM的結(jié)構(gòu)示意圖

圖2 二級(jí)PRSM的三維模型

表1 二級(jí)PRSM主要零部件的結(jié)構(gòu)參數(shù)

圖3 二級(jí)PRSM的橫剖面圖

1.2 參數(shù)匹配設(shè)計(jì)

二級(jí)PRSM在進(jìn)行結(jié)構(gòu)參數(shù)匹配設(shè)計(jì)時(shí)，必須遵守單級(jí)PRSM參數(shù)匹配設(shè)計(jì)條件(共8個(gè)條件)[15]，在此基礎(chǔ)上還需要滿足以下兩個(gè)參數(shù)匹配設(shè)計(jì)條件。

(1)強(qiáng)度條件

在二級(jí)PRSM的參數(shù)匹配設(shè)計(jì)過(guò)程中，需運(yùn)用強(qiáng)度理論對(duì)一級(jí)主絲杠和二級(jí)空心絲杠強(qiáng)度進(jìn)行計(jì)算。根據(jù)所選材料的材料屈服強(qiáng)度極限σmax，取二級(jí)行星滾柱絲杠應(yīng)用工況的安全系數(shù)為K，則其屈服應(yīng)力σ為

[σ]=σmax/K

(1)

故二級(jí)PRSM應(yīng)滿足：

(2)

(3)

式中，σ1、σ2分別為一級(jí)主絲杠和二級(jí)空心絲杠的屈服強(qiáng)度，F(xiàn)a為二級(jí)PRSM所承受的軸向負(fù)載；d01、d02分別為一級(jí)主絲杠和二級(jí)空心絲杠的螺紋中徑。

(2)壓桿穩(wěn)定性

二級(jí)PRSM應(yīng)用在起豎系統(tǒng)中時(shí)，大多工作于受壓工況下，即承受較大的軸向負(fù)載。當(dāng)軸向負(fù)載很大時(shí)，會(huì)破壞構(gòu)件原有直線狀態(tài)下的平衡狀態(tài)，即發(fā)生失穩(wěn)或屈曲[16]，故二級(jí)PRSM的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中必須考慮其壓桿穩(wěn)定性問(wèn)題。

桿件柔度的計(jì)算公式如下：

λ=μl/rmin

(4)

式中，rmin為壓桿截面最小慣性半徑，l為桿長(zhǎng)，μ為材料力學(xué)中壓桿的長(zhǎng)度系數(shù)。

根據(jù)桿件柔度值計(jì)算構(gòu)件的臨界應(yīng)力σc如下：

(5)

式中，σl為二級(jí)PRSM的材料屈服極限，a、b為與PRSM材料性質(zhì)有關(guān)的常數(shù)，λl為屈服極限σl對(duì)應(yīng)的柔度，λp為比例極限σp對(duì)應(yīng)的柔度。屈服極限和比例極限柔度可分別表示為

λl=(a-σl)/b

(6)

(7)

則桿件的臨界載荷即為臨界應(yīng)力與桿件橫截面的乘積：

Fc=σcSc

(8)

式中，Sc為桿件橫截面的面積。

當(dāng)二級(jí)PRSM為大柔度桿時(shí)，即可選用歐拉公式對(duì)其臨界載荷進(jìn)行計(jì)算：

(9)

式中，E為材料彈性模量，I為截面慣性矩。

二級(jí)PRSM為變截面受壓的構(gòu)件，在工作狀態(tài)下，其左端絲杠的支撐方式為固定，右端伸出的推桿的固定方式為鉸支，相應(yīng)的約束狀態(tài)如圖4所示。

圖4 軸向載荷作用下的構(gòu)件彎曲示意圖

在軸向載荷作用下，構(gòu)件的彎曲曲線方程為

(10)

式中：A為變形最大值，為任意常數(shù)；L為執(zhí)行機(jī)構(gòu)的總長(zhǎng)度。

在軸向載荷Fa的作用下，二級(jí)PRSM發(fā)生彎曲，此時(shí)的軸向位移Δ可表示為

(11)

(12)

故軸向載荷Fa所做的功為

(13)

變形中任意截面上的彎矩可表示為

(14)

則第i節(jié)執(zhí)行機(jī)構(gòu)由于彎矩產(chǎn)生的變形能為

(15)

式中，ai為第i級(jí)執(zhí)行機(jī)構(gòu)伸出后的長(zhǎng)度與執(zhí)行機(jī)構(gòu)全長(zhǎng)之比，Ii為第i級(jí)執(zhí)行機(jī)構(gòu)的截面慣性矩。

將式(14)代入式(15)可得

(16)

對(duì)式(16)進(jìn)行積分得

(17)

故整體機(jī)構(gòu)的總的變形能U為

(18)

式中，I1為第1級(jí)執(zhí)行機(jī)構(gòu)的截面慣性矩，N為執(zhí)行機(jī)構(gòu)的級(jí)數(shù)。

壓桿穩(wěn)定性問(wèn)題本質(zhì)上是執(zhí)行機(jī)構(gòu)保持自身穩(wěn)定平衡狀態(tài)的能力，即需要將絲杠與推桿將外力所做功轉(zhuǎn)化為彈性勢(shì)能，亦即

U=W

(19)

將式(13)和(18)代入式(19)可得臨界載荷Fc：

(20)

式中：u1為長(zhǎng)度系數(shù)，由執(zhí)行機(jī)構(gòu)的支承方式?jīng)Q定；u2為變截面長(zhǎng)度系數(shù)。

1.3 滾柱的理論角速度

由單極PRSM的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)可知，在整個(gè)系統(tǒng)的傳動(dòng)中，螺母的周向運(yùn)動(dòng)被約束，滾柱繞自身軸線自轉(zhuǎn)的同時(shí)繞絲杠軸線公轉(zhuǎn)。圖5所示為含有單個(gè)滾柱的單級(jí)標(biāo)準(zhǔn)式PRSM的運(yùn)動(dòng)示意圖[17]。

圖5中b點(diǎn)的絕對(duì)速度可表示為

vb=vc/2=ωsd0s/4=ωcdc/2

(21)

式中：vb為絲杠與滾柱接觸位置圓周方向的切點(diǎn)速度；ωs為絲杠旋轉(zhuǎn)角速度；d0s為絲杠中徑；ωc為滾柱公轉(zhuǎn)角速度；dc為滾柱公轉(zhuǎn)直徑，且dc=d0s+d0R。

圖5 標(biāo)準(zhǔn)式PRSM的運(yùn)動(dòng)示意圖

因此，滾柱公轉(zhuǎn)角速度可表示為

(22)

式中，d0R為滾柱中徑。

如圖5所示，在純滾動(dòng)狀態(tài)下，滾柱自轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)過(guò)的弧長(zhǎng)與在螺母上滾過(guò)的弧長(zhǎng)相等，即

φRd0R/2=φcd0N/2

(23)

又有φR/φc=ωR/ωc，聯(lián)立式(23)可得

(24)

式中，ωR為滾柱的自轉(zhuǎn)角速度，φR為滾柱繞自身軸線自轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)角，φc為滾柱公轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)角，d0N為螺母中徑。

1.4 螺母的理論速度與位移

由圖6所示的嚙合結(jié)構(gòu)可知，滾柱兩端和內(nèi)齒圈均加工有直齒，滾柱直齒和內(nèi)齒圈直齒嚙合保證了滾柱和螺母之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)為純滾動(dòng)。當(dāng)絲杠以角速度ωs轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的螺母軸向位移為

(25)

將式(25)兩邊對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)，可得對(duì)應(yīng)螺母的軸向移動(dòng)速度如下：

圖6 直齒嚙合結(jié)構(gòu)

(26)

式中，ns為絲杠螺紋頭數(shù)，p為螺距。

二級(jí)螺母總的軸向移動(dòng)速度vN2由兩部分組成：一是在一級(jí)螺母的軸向移動(dòng)帶動(dòng)下，整體第二級(jí)PRSM的軸向移動(dòng)速度vN12，即一級(jí)螺母的軸向移動(dòng)速度；二是在二級(jí)空心絲杠的帶動(dòng)下，二級(jí)螺母的軸向移動(dòng)速度vN22。

vN2=vN12+vN22

(27)

2 動(dòng)力學(xué)仿真模型

根據(jù)表1所示二級(jí)PRSM零部件的主要結(jié)構(gòu)參數(shù)，采用SolidWorks軟件創(chuàng)建二級(jí)PRSM的三維模型與裝配體，并借助Mechanism/Pro無(wú)縫接口將裝配模型導(dǎo)入ADAMS軟件進(jìn)行運(yùn)動(dòng)仿真和分析[18]。為減少計(jì)算量，縮短計(jì)算周期，文中對(duì)二級(jí)PRSM的裝配體結(jié)構(gòu)進(jìn)行適當(dāng)?shù)暮?jiǎn)化：一級(jí)主絲杠與二級(jí)空心絲杠均只保留兩個(gè)對(duì)稱位置的滾柱，并且去掉導(dǎo)向滑動(dòng)套筒等，如圖7所示。對(duì)導(dǎo)入ADAMS中的二級(jí)PRSM中各部件的顏色、透明度等進(jìn)行調(diào)整，增加模型的可讀性并為后續(xù)建模過(guò)程提供便利。

圖7 ADAMS中二級(jí)PRSM的幾何模型

2.1 邊界條件

對(duì)各級(jí)PRSM中的零部件建立連接關(guān)系，添加約束副時(shí)，需要根據(jù)各零部件與裝配體的相對(duì)位置關(guān)系和二級(jí)PRSM的實(shí)際運(yùn)動(dòng)情況來(lái)確定，否則將會(huì)影響后續(xù)仿真分析的正確性與準(zhǔn)確性。二級(jí)PRSM運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真物理模型中的全部約束副如下。

固定副5個(gè)：二級(jí)PRSM運(yùn)轉(zhuǎn)過(guò)程中，各級(jí)螺母左右兩端的內(nèi)齒圈與螺母之間無(wú)相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系，故固定各級(jí)螺母與其左右兩端的內(nèi)齒圈；一級(jí)螺母右端的推力軸承與螺母之間無(wú)相對(duì)運(yùn)動(dòng)，故將該雙向推力軸承與螺母固定。

旋轉(zhuǎn)副9個(gè)：一級(jí)絲杠在原地自轉(zhuǎn)，無(wú)軸向位移，故一級(jí)絲杠相對(duì)大地自轉(zhuǎn)，在一級(jí)絲杠與大地之間設(shè)置一個(gè)旋轉(zhuǎn)副；滾柱相對(duì)于行星架既有自轉(zhuǎn)又有公轉(zhuǎn)，故只需一級(jí)主絲杠、二級(jí)空心絲杠的各2個(gè)滾柱分別與各級(jí)絲杠兩端的兩個(gè)行星架添加旋轉(zhuǎn)副即可。

移動(dòng)副3個(gè)：二級(jí)PRSM運(yùn)轉(zhuǎn)過(guò)程中，一級(jí)主絲杠與二級(jí)空心絲杠之間依靠六邊形型面進(jìn)行運(yùn)動(dòng)的傳遞，二者運(yùn)動(dòng)過(guò)程中轉(zhuǎn)速相同，無(wú)相對(duì)角位移，只有相對(duì)軸向位移，故在一級(jí)主絲杠與二級(jí)空心絲杠之間添加1個(gè)移動(dòng)副；除此之外，一級(jí)螺母和二級(jí)螺母只有軸向移動(dòng)，沒(méi)有轉(zhuǎn)動(dòng)，故在各級(jí)螺母與保持架之間添加2個(gè)移動(dòng)副。

平面副1個(gè)：運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，二級(jí)空心絲杠既轉(zhuǎn)動(dòng)又軸向移動(dòng)，而二級(jí)螺母只發(fā)生軸向移動(dòng)，故在推力軸承與二級(jí)空心絲杠之間添加1個(gè)平面副。

二級(jí)PRSM的運(yùn)動(dòng)中，一級(jí)主絲杠為主動(dòng)件，即可作為整個(gè)系統(tǒng)的動(dòng)力源，故在一級(jí)主絲杠與保持架之間的旋轉(zhuǎn)副上施加電機(jī)驅(qū)動(dòng)。

2.2 接觸力

通過(guò)絲杠與滾柱、滾柱與螺母、滾柱與內(nèi)齒圈之間接觸的添加來(lái)仿真二級(jí)PRSM中各構(gòu)件間真實(shí)的接觸情況。接觸力是ADAMS軟件中的一種特殊載荷。一般情況下，在從三維建模軟件向ADAMS軟件導(dǎo)入的過(guò)程中，需要將模型改為parasolid-x-t格式，這樣，當(dāng)建立接觸力時(shí)，就可以很容易地實(shí)現(xiàn)solid-solid類型的接觸。

ADAMS中有兩種計(jì)算接觸力的方法，一種是補(bǔ)償法(Restitution-Based Contact)；另一種是沖擊函數(shù)法(IMPACT-Function-Based Contact)。文中采用沖擊函數(shù)法(即IMPACT函數(shù))來(lái)仿真計(jì)算兩個(gè)構(gòu)件間的接觸力。接觸力可分解為正壓力和摩擦力兩部分。正壓力是兩個(gè)構(gòu)件之間相互切入而產(chǎn)生的彈性力，使用IMPACT函數(shù)來(lái)計(jì)算；摩擦力是相對(duì)速度產(chǎn)生的阻尼力，文中為使仿真結(jié)果與實(shí)際情況更加接近，在施加接觸力時(shí)考慮了摩擦力的影響，使用Coulomb法進(jìn)行計(jì)算。

IMPACT函數(shù)值的有無(wú)由自變量的函數(shù)值決定。當(dāng)位移變量q大于碰撞力激發(fā)的位移值q0時(shí)，無(wú)函數(shù)值；當(dāng)位移變量q小于等于碰撞力激發(fā)的位移值q0時(shí)，有函數(shù)值，且此時(shí)函數(shù)值為

{IMPACT=MAX{0，K×δe-C×dv×

STEP(q，q0-d，q0，0)}

δ=q0-q

(28)

式中：q為兩接觸零件間的距離，dv為兩個(gè)物體間的相對(duì)速度，q0為兩零件之間的參考距離，e為碰撞指數(shù)，K為剛度系數(shù)，C為阻尼系數(shù)，d為阻尼逐漸增大的位移。

建立絲杠-滾柱及滾柱-螺母接觸力時(shí)，考慮摩擦力的影響可以使仿真結(jié)果更貼近二級(jí)行星滾柱絲杠的實(shí)際情況；并且二級(jí)行星滾柱絲杠在工作時(shí)通常會(huì)加入潤(rùn)滑脂，工作過(guò)程中會(huì)在零件之間形成油膜，從而改善零件接觸面，降低摩擦力。文中仿真分析設(shè)置的接觸力參數(shù)如下：

剛度系數(shù)，K=1.0×105N/mm；

碰撞指數(shù)，e=1.5；

阻尼系數(shù)，c=50 N·s/mm；

滲透深度，d=0.1 mm；

靜態(tài)系數(shù)，us=0.23；

動(dòng)態(tài)系數(shù)，ud=0.16；

靜滑移速度，vs=100 mm/s；

動(dòng)滑移速度，vd=100 mm/s。

在ADAMS軟件中設(shè)置完成運(yùn)動(dòng)副、約束、接觸力、載荷和驅(qū)動(dòng)的定義，創(chuàng)建與實(shí)際二級(jí)PRSM運(yùn)動(dòng)原理一致的仿真模型，如圖8所示。

圖8 二級(jí)PRSM仿真模型

3 模型對(duì)比驗(yàn)證

在仿真分析模型中對(duì)二級(jí)PRSM三維模型進(jìn)行適當(dāng)?shù)暮?jiǎn)化，將各級(jí)絲杠的滾柱數(shù)目均由10根縮減到2根，變?yōu)樵瓉?lái)的1/5，故施加在二級(jí)螺母上的軸向推力也設(shè)計(jì)為原推力的1/5，取F=340 kN，設(shè)置一級(jí)主絲杠的旋轉(zhuǎn)角速度為ωs=800°/s，仿真類型時(shí)長(zhǎng)為1 s，步長(zhǎng)為0.001。如圖9所示，二級(jí)空心絲杠在一級(jí)主絲杠的帶動(dòng)下以相同的角速度轉(zhuǎn)動(dòng)。

根據(jù)圖9所示各級(jí)絲杠的角速度，可通過(guò)式(26)求得各級(jí)螺母的理論軸向移動(dòng)速度為44.44 mm/s，由于一級(jí)螺母通過(guò)套筒和軸承將其軸向運(yùn)動(dòng)傳遞給第二級(jí)PRSM，故二級(jí)空心絲杠的理論軸向移動(dòng)速度也為44.44 mm/s。如圖10所示，在文中建立的二級(jí)PRSM運(yùn)動(dòng)仿真模型中，二級(jí)空心絲杠和一級(jí)螺母的軸向移動(dòng)速度以相同的規(guī)律波動(dòng)，且其平均值為44.35 mm/s，理論值和仿真值之間的誤差為0.20%。

圖9 一級(jí)主絲杠與二級(jí)空心絲杠的角速度

圖10 一級(jí)螺母與二級(jí)空心絲杠的軸向移動(dòng)速度

由式(27)可知，二級(jí)螺母總的移動(dòng)速度主要由兩部分組成：一級(jí)螺母?jìng)鬟f給第二級(jí)PRSM的軸向移動(dòng)速度和二級(jí)空心絲杠帶動(dòng)下二級(jí)螺母的移動(dòng)速度。當(dāng)各級(jí)絲杠以相同的角速度ωs(ωs=800°/s)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，根據(jù)式(27)求得二級(jí)螺母總的軸向移動(dòng)速度理論值為88.88 mm/s。圖11所示二級(jí)螺母的軸向移動(dòng)速度平均值為87.56 mm/s，理論值和仿真值間的誤差為1.49%。

圖11 一級(jí)螺母與二級(jí)螺母的軸向移動(dòng)速度

如圖12所示，一級(jí)螺母質(zhì)心的初始位置為690.08 mm，當(dāng)一級(jí)主絲杠以800°/s的角速度旋轉(zhuǎn)1 s后，其質(zhì)心移動(dòng)到648.01 mm處，故在1 s的運(yùn)動(dòng)時(shí)間內(nèi)，一級(jí)螺母的軸向位移為42.07 mm，曲線平穩(wěn)，波動(dòng)很小。由式(25)可知，該轉(zhuǎn)速下一級(jí)螺母的理論軸向位移為44.44 mm，理論值和仿真值之間的誤差為5.33%。

圖12 一級(jí)螺母的軸向位移

如圖13所示，二級(jí)螺母的初始質(zhì)心位置在-239.52 mm處，仿真結(jié)束時(shí)其質(zhì)心位置移動(dòng)到-152.85 mm處，整個(gè)仿真時(shí)間內(nèi)二級(jí)螺母的軸向位移為86.67 mm。由式(25)可計(jì)算出1 s內(nèi)二級(jí)螺母的理論軸向位移為88.88 mm，與仿真值之間的誤差為2.49%。

圖13 二級(jí)螺母的軸向位移

在ADAMS仿真過(guò)程中，構(gòu)件質(zhì)心坐標(biāo)系相對(duì)于全局坐標(biāo)系會(huì)隨著構(gòu)件的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，所以得到的角速度就是局部坐標(biāo)系相對(duì)于全局坐標(biāo)系的角速度，即絕對(duì)角速度。圖14所示為各級(jí)滾柱的絕對(duì)自轉(zhuǎn)角速度和公轉(zhuǎn)角速度，可以看出，各級(jí)螺母的絕對(duì)自轉(zhuǎn)角速度和公轉(zhuǎn)角速度都近似相等，且各級(jí)滾柱對(duì)應(yīng)的絕對(duì)角速度的波動(dòng)都較其公轉(zhuǎn)角速度大。

圖14 各級(jí)滾柱的角速度

由圖14對(duì)應(yīng)的詳細(xì)數(shù)據(jù)可知，一級(jí)滾柱、二級(jí)滾柱的公轉(zhuǎn)和絕對(duì)自轉(zhuǎn)角速度分別為：293.40°/s和1 179.55°/s、296.92°/s和1 183.58°/s。由于滾柱既自轉(zhuǎn)又公轉(zhuǎn)的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)，滾柱質(zhì)心的自轉(zhuǎn)角速度可由下式得到：

ωR=ωc+ωo

(29)

式中，ωR為滾柱的自轉(zhuǎn)角速度，ωc為滾柱的公轉(zhuǎn)角速度，ωo為滾柱質(zhì)心的絕對(duì)自轉(zhuǎn)角速度。

根據(jù)式(29)可求得各級(jí)滾柱的質(zhì)心自轉(zhuǎn)角速度：

ωR1=ωc1+ωo1=1 472.95°/s，

ωR2=ωc2+ωo2=1 480.50°/s。

文中二級(jí)PRSM的主要設(shè)計(jì)參數(shù)如表1所示，根據(jù)式(22)、(24)可分別求得各級(jí)滾柱公轉(zhuǎn)角速度和自轉(zhuǎn)角速度的理論值。因二級(jí)空心絲杠與一級(jí)主絲杠以相同的角速度轉(zhuǎn)動(dòng)，故一級(jí)、二級(jí)滾柱的自轉(zhuǎn)角速度與公轉(zhuǎn)角速度分別相等，即

將各級(jí)滾柱角速度的理論值與仿真值進(jìn)行對(duì)比發(fā)現(xiàn)，一級(jí)滾柱公轉(zhuǎn)角速度、自轉(zhuǎn)角速度的理論值與仿真值分別相差2.20%、1.80%；二級(jí)滾柱的分別相差1.03%、1.30%。上述所有的理論計(jì)算結(jié)果與仿真結(jié)果對(duì)比如表2所示，其中最小誤差為0.20%，最大誤差為5.73%，相對(duì)誤差均在可接受范圍內(nèi)，說(shuō)明文中提出的二級(jí)PRSM參數(shù)匹配是合理的，理論計(jì)算方法是準(zhǔn)確的。

表2 理論值與仿真值的對(duì)比

表2中所有理論計(jì)算結(jié)果均是在滾柱處于純滾動(dòng)的理想狀態(tài)下計(jì)算得到的。二級(jí)PRSM的實(shí)際運(yùn)轉(zhuǎn)過(guò)程中，滾柱依賴滾動(dòng)摩擦力實(shí)現(xiàn)運(yùn)動(dòng)的傳遞，且滾柱與絲杠間的接觸受力與絲杠軸線呈45°夾角，會(huì)使?jié)L柱產(chǎn)生滑動(dòng)的趨勢(shì)，即實(shí)際工作中滾柱的行星運(yùn)動(dòng)包含滾動(dòng)和滑動(dòng)兩種運(yùn)動(dòng)形式，所以理論計(jì)算結(jié)果和仿真值之間存在一定的誤差。從圖10、11和14還可以看出：構(gòu)件在初始進(jìn)入嚙合時(shí)速度波動(dòng)較大，這是因?yàn)檫M(jìn)行二級(jí)PRSM三維建模時(shí)，為保證各構(gòu)件螺紋牙在裝配時(shí)不發(fā)生干涉，絲杠-滾柱側(cè)和滾柱-螺母?jìng)?cè)都預(yù)留了螺紋牙間隙，螺紋牙間的初始間隙不僅引入了整體傳動(dòng)誤差，還導(dǎo)致了構(gòu)件發(fā)生滑動(dòng)，故在初始接觸時(shí)速度波動(dòng)大。在軸向載荷的作用下，各螺紋牙間接觸點(diǎn)數(shù)量逐漸增多，機(jī)構(gòu)平穩(wěn)運(yùn)行，故速度波動(dòng)逐漸趨于平穩(wěn)。

4 結(jié)論

文中以二級(jí)PRSM為研究對(duì)象，提出了其相關(guān)運(yùn)動(dòng)特性的理論計(jì)算方法，建立了其動(dòng)力學(xué)仿真模型，開(kāi)展的主要工作如下：

1)以單極PRSM的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)、參數(shù)匹配方法為基礎(chǔ)，補(bǔ)充了二級(jí)PRSM參數(shù)設(shè)計(jì)所需的強(qiáng)度條件和壓桿穩(wěn)定性要求，計(jì)算了二級(jí)PRSM的結(jié)構(gòu)參數(shù)，在此基礎(chǔ)上運(yùn)用Solidworks軟件進(jìn)行了三維建模與裝配；根據(jù)二級(jí)PRSM的運(yùn)動(dòng)原理，提出了計(jì)算各級(jí)滾柱自轉(zhuǎn)和公轉(zhuǎn)角速度、各級(jí)螺母的軸向位移和軸向移動(dòng)速度的理論計(jì)算方法；

2)根據(jù)二級(jí)PRSM的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)，在ADAMS軟件中對(duì)所有零部件進(jìn)行了材料設(shè)置，建立了符合運(yùn)動(dòng)規(guī)律的運(yùn)動(dòng)副，添加了驅(qū)動(dòng)，在絲杠與滾柱、滾柱與螺母、滾柱與內(nèi)齒圈之間分別添加了接觸力，完成了動(dòng)力學(xué)仿真模型的建立。

對(duì)比理論計(jì)算結(jié)果和仿真分析結(jié)果發(fā)現(xiàn)：各級(jí)滾柱的自轉(zhuǎn)和公轉(zhuǎn)角速度的相對(duì)誤差小于3%；各級(jí)螺母的軸向位移和軸向移動(dòng)速度的相對(duì)誤差小于6%，均在可接受范圍內(nèi)，說(shuō)明文中二級(jí)PRSM參數(shù)匹配是合理的，理論計(jì)算方法是準(zhǔn)確的。