接觸率作為流行指數(shù)函數(shù)的SEIR模型的全局穩(wěn)定性

肖冰芯，薛亞奎

(中北大學(xué) 理學(xué)院， 太原 030051)

描述傳染病傳播的數(shù)學(xué)模型是數(shù)學(xué)在生物數(shù)學(xué)中最成功的應(yīng)用之一[1]，但他們是通過(guò)使用統(tǒng)計(jì)力學(xué)中平均理論的方法得到的。換句話說(shuō)，施動(dòng)者是人或者動(dòng)物，粒子近似，這可能構(gòu)成了數(shù)學(xué)流行病中經(jīng)典方法的主要限制：參與傳染病傳播的主體不是粒子，他們的行為包括心理方面，在形成人口動(dòng)態(tài)中是最重要的。這是 Capasso和Serio在70年代首次強(qiáng)調(diào)，但只在最近幾年清楚地認(rèn)識(shí)到：人類(lèi)行為包括不端行為應(yīng)該被包括在傳染病蔓延的某種方式的建模上，這引發(fā)了大量的科學(xué)研究。盡管各有各的方法，但所有的這些工作都明確包括了關(guān)于傳染病的信息對(duì)病原體行為的反饋，從而反映出對(duì)目標(biāo)疾病的傳播的反饋[2-7]。

我們關(guān)注的是與疾病有關(guān)的信息對(duì)健康受試者行為的影響而給出的反饋，它在文獻(xiàn)[2]中首次在SIR流行病模型中引入，其中，感染力被建模為感染主體比例的遞減函數(shù)。在文獻(xiàn)[3]中，Capasso和Serio的開(kāi)創(chuàng)性工作得到了擴(kuò)展，考慮到導(dǎo)致接觸率降低的行為實(shí)際上受到了傳播信息的影響，由于延遲和過(guò)去對(duì)流行病的了解，這些信息不僅反映了目前的傳播狀況，也反映了過(guò)去的傳播狀況。例如在指數(shù)衰減記憶核的情況下，存在一個(gè)唯一的地方病平衡點(diǎn)(EEP)，且局部穩(wěn)定。

傳染病作為一種嚴(yán)重危害人類(lèi)的疾病，接觸率在疾病傳播過(guò)程中發(fā)揮著重要作用，當(dāng)有關(guān)的傳染病信息被媒體報(bào)道后，人們之間的接觸率會(huì)下降，從而使染病者的數(shù)量減少[8-10]。介紹了一種SEIR模型，并定義信息相關(guān)行為對(duì)疾病感染力(FoI)的影響，通過(guò)構(gòu)造適當(dāng)?shù)腖yapunov函數(shù)來(lái)研究它的全局穩(wěn)定性[8]。

1 模型的建立

根據(jù)倉(cāng)室模型思想，建立如下的常微分方程模型：

(1)

將總?cè)丝贜(t)分為4類(lèi)：易感者S(t)，潛伏者E(t)，感染者I(t)和恢復(fù)者R(t)。參數(shù)b(b>0)表示人口輸入率與自然死亡率，不考慮因病死亡;易感者以比例β(M)SI感染并成為潛伏者，潛伏者以比例v(v>0)成為感染者，潛伏者和感染者的治愈率分別為r1，r2(r1，r2>0)，對(duì)感染者的治療只有一部分q是成功的，即剩下的感染者p(p=1-q)治療失敗，治療失敗的感染者重新成為潛伏者。接觸率是某一信息指標(biāo)M(t)的函數(shù)[4]：

在本文中有：

(2)

函數(shù)g(I)描述的是傳染量在信息動(dòng)力學(xué)中所起作用的函數(shù)。

根據(jù)模型(1)和方程(2)，得到了一個(gè)新的模型：

(3)

模型(3)的初始條件：S(0)>0，E(0)≥0，I(0)>0，M(0)≥0

(4)

對(duì)于函數(shù)β(M)和g(I)有以下假設(shè)：

(H1):β(0)>0;β(M)>0;M>0

(H2):β′(M)>0;M>0

(H3):g(0)=0;g(I)>0;I>0

(H4):g′(I)>0;I>0

2 基本再生數(shù)和平衡點(diǎn)的存在性

模型(3)有唯一的無(wú)病平衡點(diǎn)P0=(1，0，0，0)。

根據(jù)基本再生數(shù)的定義[11]，模型(3)基本再生數(shù)R0的表達(dá)式為：

(5)

定理2.1當(dāng)R0>1時(shí)，模型(3)存在唯一的地方病平衡點(diǎn)，記為P*=(S*，E*，I*，M*)。

證明令模型(3)的方程右端均等于0，求解得

且I*的解滿(mǎn)足下式：

(6)

方程(6)的解可以看做是F1(I)和F2(I)的圖像在第一象限的交點(diǎn)

使用假設(shè)(H1)和(H3)，及(5)中R0的表達(dá)式，可得

(7)

計(jì)算F1(I)的導(dǎo)數(shù)有

3 平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性

對(duì)于負(fù)反饋模型，使用以下的Lyapunov型函數(shù)[12-13]

(8)

使用假設(shè)(H1)和(H2)，可以驗(yàn)證函數(shù)U(M)在M=M*有一個(gè)全局最小值，并且滿(mǎn)足U(M)≥U(M*)當(dāng)且僅當(dāng)M=M*時(shí)取“=”。

使用Volterra型Lyapunov函數(shù)：

V(x)=x-1-lnx

(9)

函數(shù)V(x)在x=1有一個(gè)全局最小值，且滿(mǎn)足V(x)≥V(1)，當(dāng)x=1時(shí)，兩邊相等。

β(M)滿(mǎn)足假設(shè)(H1)和(H2)，對(duì)易感者的接觸率β(M)進(jìn)行了如下假設(shè)：

(H5): (Mβ(M))′>0,M>0。

引理3.1假設(shè)(H2)和(H5)成立，則

3.1 無(wú)病平衡點(diǎn)

定理3.1當(dāng)R0<1時(shí)，模型(3)的無(wú)病平衡點(diǎn)P0在可行域Γ內(nèi)是全局漸近穩(wěn)定的。

證明令WS=V(S)，計(jì)算WS(S)的導(dǎo)數(shù)，得到

(10)

(11)

定義Lyapunov函數(shù)W:{(S，E，I，M)∈?！肧>0}→R

W(S，E，I，M)=cWS+cWei

(12)

其中，c∈R+，將上式相加得到W的導(dǎo)數(shù)：

由假設(shè)(H2)可知β(M)<β(0)

3.2 地方病平衡點(diǎn)

在特定條件g(I)=ωI下，證明地方病平衡點(diǎn)P*的全局穩(wěn)定性。

定理3.2當(dāng)R0>1時(shí)，模型(3)的地方病平衡點(diǎn)P*在可行域Γ內(nèi)是全局漸近穩(wěn)定的。

證明在EEP點(diǎn)，有

b=bS*+I*S*β(M*)

(13)

(14)

(15)

M*=ωI*

(16)

(17)

(18)

(19)

令Lm=U(M)，將式(16)代入，有：

(20)

構(gòu)造Lyapunov函數(shù)

(21)

其中k∈R+，計(jì)算上式的導(dǎo)數(shù)，有

(22)

將式(17)～(19)代入式(22)，有：

(23)

式(23)中方括號(hào)之間的項(xiàng)是Volterra型函數(shù)，這些函數(shù)是正定的。

4 數(shù)值模擬和討論

利用Matlab對(duì)研究的流行病模型進(jìn)行數(shù)值模擬，驗(yàn)證模型(3)的無(wú)病平衡點(diǎn)及地方病平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性，考慮如下的情形：

取初始值S(0)=0.34，E(0)=0.31，I(0)=0.14，R(0)=0.21。

圖1表示了無(wú)病平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性。當(dāng)R0<1時(shí)，無(wú)病平衡點(diǎn)P0在可行域Γ內(nèi)是全局漸近穩(wěn)定的。通過(guò)合理提高潛伏期人群的治愈率和降低治療失敗的比例可以發(fā)現(xiàn)：R0減小有效地縮短了疾病趨于消亡的時(shí)間。

b=0.03，β(0)=0.05，v=0.04，r1=0.006，r2=0.003，p=0.01，q=0.99

圖2表示了地方病平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性。當(dāng)R0>1時(shí)，在特定條件g(I)=ωI下，地方病平衡點(diǎn)P*在可行域Γ內(nèi)是全局漸近穩(wěn)定的。通過(guò)合理提高潛伏期人群的治愈率和降低治療失敗的比例可以發(fā)現(xiàn)：R0減小有效地縮短了疾病趨于穩(wěn)定的時(shí)間。

b=0.003，β(0)=0.05，v=0.04，r1=0.01，r2=0.008，p=0.01，q=0.99

5 結(jié)論

研究了一種具有信息變量M的SEIR模型(3)，一個(gè)對(duì)易感對(duì)象行為β(M)的負(fù)反饋，以及一個(gè)描述傳染規(guī)模在信息動(dòng)力學(xué)g(I)中所起作用的函數(shù)，給出了基本再生數(shù)R0，分析了無(wú)病平衡點(diǎn)P0及在特定條件下地方病平衡點(diǎn)P*的全局穩(wěn)定性。

模型(3)地方病平衡點(diǎn)存在和唯一性的一個(gè)重要的流行病學(xué)結(jié)果是分析信息相關(guān)行為對(duì)感染力的抑制作用。信息的作用：① 增加易感者的平衡數(shù)量；② 減少感染和潛伏者的平衡數(shù)量；③ 使易感者增強(qiáng)防范意識(shí)，增強(qiáng)自身免疫力；④ 降低治療失敗的比例率，確保每位患者都痊愈再停止治療措施。