計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)凸輪輪廓線的方法研究

花 卉

信陽技師學(xué)院，河南 信陽 464000

凸輪從動(dòng)件機(jī)構(gòu)通常在絕大多數(shù)的機(jī)械系統(tǒng)中被采用，通過直接性表面接觸將所需的運(yùn)動(dòng)傳遞給另一個(gè)機(jī)械元件。凸輪和從動(dòng)件機(jī)構(gòu)非常方便而且簡單，它們之間很少有其他運(yùn)動(dòng)部件，所占據(jù)的空間非常小。一般來說，從運(yùn)動(dòng)學(xué)的觀點(diǎn)來看，凸輪機(jī)構(gòu)由3個(gè)不同的基本部分組成：驅(qū)動(dòng)元件、從動(dòng)件、從動(dòng)件和固定框架。凸輪機(jī)構(gòu)通常在大多數(shù)現(xiàn)代機(jī)械機(jī)構(gòu)中被廣泛應(yīng)用，特別是在自動(dòng)機(jī)械和儀器、內(nèi)燃機(jī)和控制系統(tǒng)中應(yīng)用最為廣泛。雖然凸輪機(jī)構(gòu)的自動(dòng)化程度相對來說比較低，但由于其制造成本較低而且能夠滿足幾乎任何從動(dòng)件運(yùn)動(dòng)所需的一種最簡單結(jié)構(gòu)，因此應(yīng)用范圍較為廣泛[1]。

1 凸輪機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)概況

凸輪機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)包括兩個(gè)階段：首先，選擇滿足規(guī)定運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)范的適當(dāng)傳遞函數(shù)；其次，機(jī)構(gòu)幾何優(yōu)化，考慮構(gòu)造約束。凸輪輪廓設(shè)計(jì)技術(shù)的發(fā)展通常基于樣條曲線的使用。凸輪的運(yùn)動(dòng)特性通過標(biāo)準(zhǔn)運(yùn)動(dòng)函數(shù)、拋物線函數(shù)、簡諧函數(shù)和擺線函數(shù)的組合來綜合應(yīng)用。在過去，凸輪輪廓的設(shè)計(jì)是一項(xiàng)煩瑣的工作，需要應(yīng)用圖形或分析方法[2]；而在當(dāng)今的大多數(shù)應(yīng)用中，凸輪輪廓是由數(shù)控銑刀加工而產(chǎn)生的，數(shù)控銑刀可以依據(jù)數(shù)控編程來切削凸輪輪廓，可以在不需要首先明確凸輪輪廓的情況下生成所需要的從動(dòng)件運(yùn)動(dòng)軌跡。凸輪機(jī)械設(shè)計(jì)的一個(gè)重要特征就是在不同半徑的圓弧連接的切點(diǎn)處突然做加速度變化[3]。任何凸輪的輪廓取決于所需的從動(dòng)件運(yùn)動(dòng)特性，通常以位移和速度屬性來表達(dá)。在自動(dòng)車床的情況下，形成平面凸輪形狀的原始曲線（如螺旋形），通過車削具有所需尺寸和幾何屬性（如球形輪廓）的部件所運(yùn)用的刀尖運(yùn)動(dòng)軌跡特性來控制。目前諸多文獻(xiàn)中有各種各樣的凸輪輪廓設(shè)計(jì)方法。

2 研究方法

文章通過凸輪輪廓線上3個(gè)連續(xù)點(diǎn)的矢量差的解析表達(dá)式，計(jì)算了從動(dòng)件運(yùn)動(dòng)的凸輪廓線曲率。然后，采用類似的算法設(shè)計(jì)從動(dòng)件的運(yùn)動(dòng)特性。根據(jù)凸輪輪廓上3個(gè)連續(xù)點(diǎn)的同一矢量模型的初等幾何，通過迭代過程計(jì)算速度、加速度和沖擊，呈現(xiàn)出了銑刀運(yùn)動(dòng)軌跡樣條線實(shí)時(shí)位置的效果，將矢量差的解析表達(dá)式計(jì)算結(jié)果輸出到數(shù)控編程運(yùn)算程序中，開創(chuàng)了一種新的計(jì)算機(jī)算法。該方法適用于低速機(jī)械或低精度應(yīng)用，或者機(jī)械設(shè)計(jì)尺寸減小到毫米（最小機(jī)構(gòu)）甚至微米（微型機(jī)構(gòu)）的情況。在這種情況下，多項(xiàng)式凸輪輪廓的制造變得困難，甚至更復(fù)雜也更難以驗(yàn)證。該研究實(shí)例證明了該方法的工程可行性，并與凸輪從動(dòng)件機(jī)構(gòu)的解析設(shè)計(jì)參數(shù)進(jìn)行了對比。

3 凸輪從動(dòng)件運(yùn)動(dòng)分析的數(shù)值方法

任何凸輪的輪廓取決于所需的從動(dòng)件運(yùn)動(dòng)特性，通常以位移和速度屬性表示。對于具有直線（平移）平面從動(dòng)件的凸輪，如圖1所示，凸輪圍繞點(diǎn)OA旋轉(zhuǎn)，平面從動(dòng)件始終移動(dòng)，因此其幾何軸始終在OAB線上。Rb是基圓半徑。凸輪上的基準(zhǔn)線從一固定點(diǎn)開始轉(zhuǎn)動(dòng)到凸輪與從動(dòng)件在A點(diǎn)接觸時(shí)所運(yùn)動(dòng)的時(shí)長t時(shí)，基準(zhǔn)線所運(yùn)動(dòng)的角度為θ。

圖1 具有主動(dòng)平面從動(dòng)件和凸輪輪廓上3個(gè)連續(xù)點(diǎn)的凸輪

銑刀的半徑為Rc，中心在Oc點(diǎn)。S（θ）是從動(dòng)件的位移距離與旋轉(zhuǎn)角度θ構(gòu)成的一種函數(shù)關(guān)系。在銑刀運(yùn)動(dòng)過程中，凸輪軸在每個(gè)時(shí)間和每個(gè)角度上都可以按規(guī)定的角度旋轉(zhuǎn)OA，銑刀的中心可以編程設(shè)置為這樣一個(gè)位置，即從動(dòng)件的位移將由功能S（θ）規(guī)定。因此，給定的數(shù)據(jù)是銑刀半徑Rc，凸輪中心的位置旋轉(zhuǎn)OA和每個(gè)角度所需的銑刀中心位置Oc（距離a等于半徑R加Rc）。假設(shè)凸輪dθ圍繞OA進(jìn)行小的增量旋轉(zhuǎn)，從動(dòng)件的中心線逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)dθ。虛線表示從動(dòng)輪的位置變化。向量R相對于中心線的位置是φ。

銑刀中心Oc的坐標(biāo)計(jì)算如下：

點(diǎn)A的極坐標(biāo)、凸輪和刀具的接觸點(diǎn)如下：

凸輪最小廓線曲率計(jì)算的解析式為

式中：Rb為基圓半徑；s(θ)為從動(dòng)件的位移。

s(θ) 和導(dǎo)數(shù)s＇(θ)、s＇＇(θ) 的計(jì)算是一個(gè)煩瑣的過程，通常會(huì)導(dǎo)致很大的誤差，這取決于相應(yīng)的時(shí)間增量。速度、加速度和沖擊的誤差分別與1/Δt、1/Δt2和1/Δt3成正比。根據(jù)從動(dòng)件位移確定銑刀和凸輪表面接觸點(diǎn)近似圖形，采用近似數(shù)值方法計(jì)算凸輪輪廓曲率ρ。然后根據(jù)凸輪廓線確定從動(dòng)件的速度和加速度屈服，并用圖形表示法幫助用戶接受或拒絕凸輪-從動(dòng)件運(yùn)動(dòng)副的特性。

由于曲率中心在凸輪表面上是靜止的，凸輪輪廓曲率的大小和定義瞬時(shí)曲率中心的矢量不會(huì)因凸輪旋轉(zhuǎn)的微小變化而改變[3]，凸輪輪廓上的3個(gè)連續(xù)點(diǎn)位于半徑為ρ的圓的同一圓弧上，中心位于O（Xρ，Yρ），笛卡爾坐標(biāo)為（Xi-l，Yi-l），（Xi，Yi），（Xi+l，Yi+1）。這些點(diǎn)屬于等角 AO 的連續(xù)半徑，每個(gè)弧的曲率根據(jù)畢達(dá)哥拉斯定理計(jì)算如下：

式中：xρ和yρ是弧中心的坐標(biāo)。

式（5）屈服得到

根據(jù)式（6）得出xρ和yρ的坐標(biāo)。然后計(jì)算凸輪輪廓曲率ρ，公式如下：

式（7）根據(jù)凸輪-從動(dòng)件配置和數(shù)據(jù)庫[2]中可用的從動(dòng)件位移的幾何關(guān)系，得出從動(dòng)件運(yùn)動(dòng)位移s（θ）的凸輪輪廓曲率。對于凸輪輪廓上的3個(gè)連續(xù)點(diǎn)，角度Δθ等于360/N，其中N是構(gòu)成凸輪輪廓的離散點(diǎn)的數(shù)目。對于大量的點(diǎn)N，Δθ變得非常小，然后考慮到時(shí)間的無窮小增量，凸輪輪廓的速度、加速度和沖擊度分別計(jì)算如下：

為了獲得更高的精度，式（8）將被視為

式（7）～式（9）確定了從動(dòng)件位移、速度、加速度和沖擊以及凸輪輪廓曲率。利用上述公式，開發(fā)了凸輪從動(dòng)件設(shè)計(jì)程序，用于計(jì)算凸輪從動(dòng)件的設(shè)計(jì)參數(shù)。該算法綜合了凸輪-從動(dòng)件運(yùn)動(dòng)副的各種構(gòu)型和任意凸輪轉(zhuǎn)角下從動(dòng)件位移的幾何關(guān)系。必須首先限制時(shí)間步長增量，通常是360度的倍數(shù)。然后，用戶從可用功能中選擇從動(dòng)件運(yùn)動(dòng)特性，或提供特定從動(dòng)件運(yùn)動(dòng)所需的數(shù)據(jù)。式（3）的解和所選時(shí)間步長對應(yīng)離散點(diǎn)的限制需要此方程[3]。算法是將這些點(diǎn)的坐標(biāo)存儲(chǔ)在一個(gè)特定的數(shù)組中。為了確定凸輪輪廓和速度、加速度和支撐配置，可通過式（7）和式（9）的解得出。由于該算法適用于低速運(yùn)動(dòng)副或低精度應(yīng)用場合，與解析相比，1440點(diǎn)的離散化結(jié)果具有較高的精度。當(dāng)然，離散化取決于所研究的特定凸輪-從動(dòng)件副，并且該方法提供了壓力角和曲率半徑大小的適當(dāng)檢查。以上從動(dòng)件盤形凸輪機(jī)構(gòu)為例說明了該方法的應(yīng)用。首先，從合并的數(shù)據(jù)庫中選擇凸輪從動(dòng)件結(jié)構(gòu)和相應(yīng)的從動(dòng)件位移關(guān)系。從式（8）中獲得凸輪從動(dòng)件位移、速度和加速度圖。然后，通常采用位移和速度的特點(diǎn)來表示從動(dòng)件運(yùn)動(dòng)的特性。凸輪從動(dòng)件運(yùn)動(dòng)特性繪制在通過擺線式從動(dòng)件運(yùn)動(dòng)的分析方法計(jì)算的相應(yīng)點(diǎn)上[4]。

4 結(jié)論

文章提出的算法是通過對凸輪輪廓上的3個(gè)連續(xù)點(diǎn)采用矢量差分算法來描述期望從動(dòng)件運(yùn)動(dòng)的凸輪輪廓曲率的數(shù)值過程。通過一個(gè)類似的迭代過程，定義了從動(dòng)件的運(yùn)動(dòng)特性（速度加速度、沖擊），并驗(yàn)證了凸輪廓線設(shè)計(jì)的可接受性。數(shù)值算例驗(yàn)證了分析設(shè)計(jì)方法的正確性，使計(jì)算誤差最小化，并證明了其工程可行性。