一種改進(jìn)的貝葉斯小波閾值圖像去噪算法

余傳本，劉增力

（昆明理工大學(xué) 信息工程與自動(dòng)化學(xué)院，云南 昆明 650500）

0 引言

圖像去噪是圖像處理的經(jīng)典問題。在圖像獲取或傳輸?shù)倪^(guò)程中，由于各種因素的干擾，圖像通常會(huì)不可避免地被噪聲污染。因此在對(duì)圖像執(zhí)行后續(xù)處理之前，必須先對(duì)圖像進(jìn)行去噪處理。常用的降噪方法有維納濾波、中值濾波等[1-2]，但是這些方法在對(duì)圖像進(jìn)行降噪的同時(shí)，也會(huì)丟失圖像的部分細(xì)節(jié)。而小波去噪方法在一定程度上克服了上述缺點(diǎn)，可以在去除噪聲的同時(shí)保持圖像的細(xì)節(jié) 部分[3]。

長(zhǎng)期以來(lái)，國(guó)內(nèi)外的相關(guān)學(xué)者對(duì)小波去噪進(jìn)行了眾多研究，包括使用小波系數(shù)相關(guān)去噪、小波閾值去噪、模極大值去噪等。從最小均方誤差的角度來(lái)看，小波閾值去噪方法在獲得較好視覺效果的前提下，基本上可以達(dá)到最佳的去噪效果[4]。常用的閾值確定方法[5-7]有VisuShrink、SureShrink、BayesShrink以及Feature Adaptive等。

本文在貝葉斯收縮去噪方法的基礎(chǔ)上提出了一種改進(jìn)的方法，即自適應(yīng)貝葉斯閾值方法。在原始方法中，每個(gè)小波子帶只有一個(gè)閾值。改進(jìn)的方法基于區(qū)域劃分為每個(gè)小波系數(shù)計(jì)算模糊小波系數(shù)，并獲得每個(gè)系數(shù)的閾值。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，與原始方法相比，該方法在信噪比和均方差等客觀指標(biāo)和主觀視覺效果方面均有顯著改善，并且可以更好地保持圖像邊緣細(xì)節(jié)。

1 小波閾值圖像去噪原理

1.1 圖像的小波分解

通過(guò)小波變換將圖像分解為各種子帶的方法有很多，如小波包分解、八帶分解、均勻分解以及非均勻分解等。其中，八帶分解是最常用的一種分解方法，原理如下：使用低通濾波器h和高通濾波器g對(duì)圖像的行和列進(jìn)行濾波（卷積），然后對(duì)其中的兩個(gè)進(jìn)行降采樣。這樣，小波變換的結(jié)果會(huì)將圖像分解為低頻子帶（水平和垂直方向均經(jīng)過(guò)低通濾波）LL和三個(gè)高頻子帶，即用HL表示水平高通、垂直低通子帶，用LH表示水平低通、垂直高通子帶，用HH表示水平高通、垂直高通子帶。分辨率是原始分辨率的1/2，并且頻率范圍也不同。第二次小波變換時(shí)只對(duì)LL子帶進(jìn)行，進(jìn)一步將LL子帶分解為L(zhǎng)L1，LH1，HL1和HH1，并且分辨率是原始子帶的1/4，頻率范圍進(jìn)一步減半，依此類推。因此，如圖1所示，執(zhí)行一次小波變換可獲得4個(gè)子帶，進(jìn)行M次分解可獲得3個(gè)M+1子帶。

圖1 圖像的三級(jí)小波分解圖

1.2 小波軟、硬閾值去噪

由于信號(hào)在時(shí)間域往往具有一定的連續(xù)性，因此經(jīng)小波變換后，信號(hào)的有效部分所產(chǎn)生的小波系數(shù)的模值相對(duì)較大；而噪聲信號(hào)（如高斯白噪聲）在時(shí)間域不具有連續(xù)性，所以經(jīng)小波變換后，噪聲信號(hào)的小波系數(shù)仍然具有較強(qiáng)的隨機(jī)性，通常認(rèn)為其服從高斯分布。由此得出一個(gè)結(jié)論：帶噪信號(hào)經(jīng)小波變換后，信號(hào)的有效部分對(duì)應(yīng)的小波系數(shù)較大，而噪聲部分對(duì)應(yīng)的系數(shù)較小。

設(shè)噪聲信號(hào)經(jīng)小波變換后，小波系數(shù)對(duì)應(yīng)的方差為σ，由高斯分布的特性可知，99%以上的噪聲系數(shù)都位于[-3σ,3σ]區(qū)間內(nèi)。因此，只要將[-3σ,3σ]區(qū)間內(nèi)的系數(shù)置零，就能最大程度地抑制噪聲。之后將經(jīng)過(guò)閾值處理后的小波系數(shù)重構(gòu)，就可以得到去噪后的信號(hào)。

估計(jì)小波系數(shù)的常用方法如下，取：

式中：σ是噪聲標(biāo)準(zhǔn)方差，N為信號(hào)長(zhǎng)度。

硬閾值估計(jì)方法定義為：

式中：Wj,k為真實(shí)的小波系數(shù)，為估計(jì)的小波系數(shù)。

與之對(duì)應(yīng)的軟閾值估計(jì)定義為：

式中：sign為符號(hào)函數(shù)。

2 改進(jìn)的自適應(yīng)貝葉斯小波閾值算法

2.1 現(xiàn)有方法存在的問題

現(xiàn)有的小波閾值算法存在如下問題：

（1）現(xiàn)有方法不能同時(shí)確定閾值和閾值函數(shù)；

（2）因硬閾值法在閾值處不連續(xù)，故通過(guò)該方法得到的圖像會(huì)產(chǎn)生附加振蕩從而產(chǎn)生偽吉布斯 效應(yīng)[8]；

（3）由軟閾值函數(shù)估計(jì)得到的小波系數(shù)雖然整體連續(xù)性較好，但其估計(jì)的小波系數(shù)與原始小波系數(shù)之間存在恒定偏差，因此通過(guò)該方法得到的重構(gòu)圖像雖然平滑性能比較好，但會(huì)導(dǎo)致圖像邊緣模糊，損失圖像的細(xì)節(jié)部分[9]。

因此，本文提出一種新的改進(jìn)自適應(yīng)貝葉斯小波閾值算法，對(duì)于圖像的去噪非常有價(jià)值。

2.2 改進(jìn)自適應(yīng)貝葉斯小波閾值算法

小波閾值去噪的一個(gè)關(guān)鍵因素就是對(duì)閾值的估計(jì)。本文采取基于廣義高斯分布（Generalized Gaussian Distribution，GGD）模型的閾值估計(jì)方法。該公式的建立基于經(jīng)驗(yàn)觀察，即通過(guò)零均值的廣義高斯分布可以適當(dāng)?shù)馗爬ㄗ匀粓D像子帶中的小 波系數(shù)。

假設(shè)信號(hào)為[fij,i,j=1,2,…,N]，N是2的冪，它被一加性隨機(jī)噪聲污染，記為：

式中：εij是獨(dú)立同分布的均值為零的正態(tài)分布，并且獨(dú)立于fij。

去噪的目標(biāo)是得到fij的估計(jì)值，使均方誤差（Mean Square Error，MSE）最小。

零均值的廣義高斯分布GGD描述為：

式中：-∞＜x＜∞,σX＞0,β＞0，

基于Bayes估計(jì)理論的去噪原理就是通過(guò)尋找一個(gè)閾值T，使得貝葉斯風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)Y(T)最小，T的計(jì)算公式為：

用T*表示自適應(yīng)最佳閾值，即：

對(duì)于GGD參數(shù)的估計(jì)，即σX和β，而對(duì)于σX和β參數(shù)的估計(jì)又產(chǎn)生了數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的TB(σX)估計(jì)，以適應(yīng)不同的子帶特性。首先需要對(duì)噪聲方差σ2進(jìn)行估計(jì)，對(duì)此，可由Donoho提出的魯棒中值進(jìn)行估計(jì)，如下式：

因β參數(shù)沒有顯式解代入表達(dá)式TB(σX)，只有信號(hào)標(biāo)準(zhǔn)偏差σX才有。因此，直接對(duì)σX或σX

2進(jìn)行估計(jì)。由式（5）可知，觀測(cè)模型為Y=X+V，且X、V之間是彼此獨(dú)立的，由此可得：

σY

2是Y的方差，對(duì)于σY2的值可以由下式得到：

因子帶的大小為n×n，于是得到TB(σX)的估 計(jì)為：

可得到最終的最佳自適應(yīng)閾值為：

式中：σ為加入的高斯噪聲方差，σX為不帶噪聲信號(hào)的標(biāo)準(zhǔn)方差，μ為最佳計(jì)算閾值。

閾值周圍的小波系數(shù)值的濾除和保留程度由模糊度量中的一維距離比例函數(shù)來(lái)劃分區(qū)域并確定，具體劃分如下：本算法的模糊區(qū)域指的是閾值周圍的高頻小波系數(shù)，由于無(wú)法判斷這些小波系數(shù)中含有噪聲與否的情況，因此根據(jù)模糊區(qū)域的設(shè)定，根據(jù)含有噪聲的程度大小，由三個(gè)區(qū)域即A1、A2、A3來(lái)劃分小波系數(shù)的數(shù)值，如圖2所示。

圖2 基于模糊距離函數(shù)和貝葉斯最佳閾值的高頻小波系數(shù)數(shù)值區(qū)域劃分

對(duì)于A1區(qū)域，由相關(guān)理論與經(jīng)驗(yàn)公式可知，小于0.9μ的小波高頻系數(shù)是噪聲一類，故全部進(jìn)行置零清除。A1區(qū)域的函數(shù)表達(dá)式為

式中：Ai,j表示含噪聲圖像的小波系數(shù)，表示經(jīng)過(guò)去噪之后的圖像的小波系數(shù)。

對(duì)于模糊區(qū)域即A2部分，用中介模糊算法處理小波系數(shù)含噪聲成分，根據(jù)一維模糊距離比例函數(shù)計(jì)算，確定小波系數(shù)，得到A2的表達(dá)式為：

對(duì)于A3區(qū)域部分，為解決原軟閾值函數(shù)中“恒定偏差”的不足，本文算法基于“軟閾值的萎縮量盡量縮小”的思想，同時(shí)又根據(jù)“小波系數(shù)越大噪聲程度越低”的結(jié)論，得到A3區(qū)域的表達(dá)式為：

3 實(shí)驗(yàn)仿真與分析

3.1 算法整體流程

整體的自適應(yīng)貝葉斯閾值算法流程如圖3 所示。

圖3 自適應(yīng)貝葉斯小波閾值算法流程圖

3.2 結(jié)果分析

圖像質(zhì)量的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)可以分為主觀評(píng)價(jià)與客觀評(píng)價(jià)。主觀評(píng)價(jià)可由人眼的視覺效果來(lái)評(píng)價(jià)，常用的客觀評(píng)價(jià)指標(biāo)有信噪比和均方差，分 別定義如下：

為了驗(yàn)證新閾值的性能，選擇兩張圖片進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)。將圖像Lena和House加入高斯白噪聲，小波變換選用“sym wavelet”，分解層數(shù)為3層。分別從主觀視覺與客觀定量?jī)蓚€(gè)方面評(píng)價(jià)實(shí)驗(yàn)結(jié)果。視覺效果如圖4～圖6所示，定量評(píng)估了SNR和MSE參數(shù)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，將圖4（f）和圖5（f）與圖4（d）、圖4（e）和圖5（d）、圖5（e）進(jìn)行比較，經(jīng)本文所提的閾值去噪算法處理后的圖像更清晰，邊緣和紋理信息保存得更好。表1和表2的數(shù)據(jù)表明，無(wú)論是在圖4中還是在圖5中，通過(guò)自適應(yīng)貝葉斯閾值方法計(jì)算的SNR最高，而MSE最低。

圖4 不同閾值算法對(duì)Lena圖像的去噪結(jié)果對(duì)比

圖5 不同閾值算法對(duì)House圖像的去噪結(jié)果對(duì)比

圖6 其他圖像本文去噪算法去噪結(jié)果直觀圖

表1 各閾值去噪算法應(yīng)用于Lena和House圖像的SNR（單位：dB）比較

表2 各閾值去噪算法應(yīng)用于Lena和House圖像的MSE比較

4 結(jié)語(yǔ)

本文在GGD模型中提出了一種改進(jìn)的貝葉斯小波閾值圖像去噪算法，利用閾值周圍的小波系數(shù)是否含有噪聲的模糊性，對(duì)該模糊區(qū)域通過(guò)自適應(yīng)算法確定小波系數(shù)的保留程度。仿真結(jié)果表明，與傳統(tǒng)的軟、硬閾值函數(shù)相比，該算法可以有效去除圖像噪聲、提高信噪比、降低均方誤差，且在保持圖像邊緣細(xì)節(jié)方面效果更好，因而人眼視覺效果更好，算法更加實(shí)用和有效。