反映數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的量

楊文金

我們知道，平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)都是反映數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的量，平均數(shù)反映的是數(shù)據(jù)的平均水平，中位數(shù)反映的是一組數(shù)據(jù)的中間水平，眾數(shù)反映的是一組數(shù)據(jù)的大多數(shù)水平. 這部分內(nèi)容是中考熱點(diǎn). 現(xiàn)列舉如下，供同學(xué)們學(xué)習(xí)時(shí)參考.

熱點(diǎn)1 平均數(shù)的計(jì)算及應(yīng)用

例1（2021·江蘇·揚(yáng)州）已知一組數(shù)據(jù)：a，4，5，6，7的平均數(shù)為5，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是 .

解析：中位數(shù)是將一組數(shù)據(jù)從小到大（或從大到?。┲匦屡帕泻?，最中間的那個(gè)數(shù)（或最中間兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)）.

∵這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為5，則[a+4+5+6+75=5]，解得a = 3，

將這組數(shù)據(jù)從小到大重新排列為3，4，5，6，7，

觀察數(shù)據(jù)可知最中間的數(shù)是5，則中位數(shù)是5. 故應(yīng)填5.

熱點(diǎn)2 加權(quán)平均數(shù)的計(jì)算及應(yīng)用

例2（2021·山東·臨沂）某學(xué)校八年級(jí)（2）班有20名學(xué)生參加學(xué)校舉行的“學(xué)黨史、看紅書(shū)”知識(shí)競(jìng)賽，成績(jī)統(tǒng)計(jì)如圖1. 這個(gè)班參賽學(xué)生的平均成績(jī)是 .

解析：由統(tǒng)計(jì)圖可知成績(jī)?yōu)?5，90，95，100的人數(shù)分別為3，2，5，10，則[x=3×85+2×90+5×95+10×1003+2+5+10=95.5]，故應(yīng)填95.5.

熱點(diǎn)3 中位數(shù)的計(jì)算及應(yīng)用

例3（2021·四川·成都）菲爾茲獎(jiǎng)是數(shù)學(xué)領(lǐng)域的一項(xiàng)國(guó)際大獎(jiǎng)，常被視為數(shù)學(xué)界的諾貝爾獎(jiǎng)，每四年頒發(fā)一次，最近一屆獲獎(jiǎng)?wù)攉@獎(jiǎng)時(shí)的年齡（單位：歲）分別為30，40，34，36，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（ ）.

A. 34 B. 35 C. 36 D. 40

解析：把數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列，位于最中間的一個(gè)數(shù)或兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)為中位數(shù).

把已知數(shù)據(jù)按照由小到大的順序排列為30，34，36，40，

∴中位數(shù)為（34 + 36） ÷ 2 = 35. 故應(yīng)選B.

熱點(diǎn)4 眾數(shù)及其應(yīng)用

例4（2021·甘肅·武威）開(kāi)學(xué)前，根據(jù)學(xué)校防疫要求，小蕓連續(xù)14天測(cè)量體溫，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表1所示，這14天中，小蕓體溫的眾數(shù)是 ℃.

解析：由表1可知眾數(shù)是36.6 ℃，故填36.6.

熱點(diǎn)5 統(tǒng)計(jì)量的選擇

例5（2021·浙江·寧波）甲、乙、丙、丁四名射擊運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行射擊測(cè)試，每人10次射擊成績(jī)的平均數(shù)[x]（單位：環(huán)）和方差[s2]（單位：環(huán)2）如表2所示，根據(jù)表中數(shù)據(jù)，要從中選擇一名成績(jī)好且發(fā)揮穩(wěn)定的運(yùn)動(dòng)員參加比賽，應(yīng)選擇（ ）.

A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁

解析：選擇一名成績(jī)好的運(yùn)動(dòng)員，要從平均數(shù)最大的運(yùn)動(dòng)員中選取.

由表2可知，甲、丙、丁的平均值最大，都是9，∴從甲、丙、丁中選取，

∵甲的方差是1.6，丙的方差是3，丁的方差是0.8，∴[s2丁]<[s2甲]<[s2乙]，

∴發(fā)揮最穩(wěn)定的運(yùn)動(dòng)員是丁，

∴從中選擇一名成績(jī)好又發(fā)揮穩(wěn)定的運(yùn)動(dòng)員參加比賽，應(yīng)該選擇丁. 故應(yīng)填D.

注意：方差是用來(lái)衡量一組數(shù)據(jù)波動(dòng)大小的量，方差越大，表明這組數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)越大，即波動(dòng)越大，數(shù)據(jù)越不穩(wěn)定;反之，方差越小，表明這組數(shù)據(jù)分布越集中，各數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)越小，即波動(dòng)越小，數(shù)據(jù)越穩(wěn)定.

例6（2021·浙江·金華）小聰、小明準(zhǔn)備代表班級(jí)參加學(xué)校“黨史知識(shí)”競(jìng)賽，班主任對(duì)這兩名同學(xué)測(cè)試了6次，繪制測(cè)試成績(jī)折線(xiàn)統(tǒng)計(jì)圖，如圖2. 根據(jù)圖中信息，解答下列問(wèn)題：

（1）要評(píng)價(jià)每位同學(xué)成績(jī)的平均水平，你選擇什么統(tǒng)計(jì)量？求這個(gè)統(tǒng)計(jì)量.

（2）求小聰成績(jī)的方差.

（3）現(xiàn)求得小明成績(jī)的方差為[s2小明] = 3（單位：平方分）. 根據(jù)折線(xiàn)統(tǒng)計(jì)圖及上面兩小題的計(jì)算，你認(rèn)為哪位同學(xué)的成績(jī)較好？請(qǐng)簡(jiǎn)述理由.

解析：（1）要評(píng)價(jià)每位同學(xué)成績(jī)的平均水平，選擇平均數(shù)即可，

小聰成績(jī)的平均數(shù)：[16] × （7 + 8 + 7 + 10 + 7 + 9） = 8，

小明成績(jī)的平均數(shù)：[16] × （7 + 6 + 6 + 9 + 10 + 10） = 8，

則應(yīng)選擇平均數(shù)，小聰、小明的平均數(shù)分別是8，8.

（2）小聰成績(jī)的方差：[16] × [（7 - 8）2 + （8 - 8）2 + （7 - 8）2 + （10 - 8）2 + （7 - 8）2 + （9 - 8）2] = [43]，

（3）由（1）可知兩人的平均數(shù)相同，因?yàn)樾÷敵煽?jī)的方差小于小明成績(jī)的方差，成績(jī)相對(duì)穩(wěn)定. 故小聰同學(xué)的成績(jī)較好.