相似三角形與反比例函數(shù)的聯(lián)姻

鮑愛珍

相似三角形與反比例函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，將二者進(jìn)行“聯(lián)姻”是中考命題的一個熱點(diǎn).下面以2021年中考題為例，與同學(xué)們一起探索這類問題的特點(diǎn)與解法.

一、頂點(diǎn)在雙曲線上的平行線型相似三角形

例1（2021·江蘇·揚(yáng)州）如圖1，點(diǎn)P是函數(shù)y=[k1x]（k1>0，x>0）的圖象上一點(diǎn)，過點(diǎn)P分別作x軸和y軸的垂線，垂足分別為點(diǎn)A，B，交函數(shù)y=[k2x]（k2>0，x>0）的圖象于點(diǎn)C，D，連接OC，OD，CD，AB，其中k1>k2. 下列結(jié)論①CD[?]AB，②S△OCD=[k1-k22]，③S△DCP=[（k1-k2）22k1]，其中正確的是（ ）.

A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①

分析：要證明CD[?]AB，聯(lián)想到“A”字型相似三角形，只要證明△PDC∽△PBA即可，再由三角形的面積公式和三角形面積之間的關(guān)系來判定②③的正確性.

解：設(shè)P [m，k1m]，則C [m，k2m]，A（m，0），B [0，k1m]. 令[k1m=k2x]，則[x=k2mk1]，即D [k2mk1，k1m]，∴PC = [k1m-k2m=k1-k2m]，PD = [m-k2mk1=m（k1-k2）k1]. ∵[PDPB=m（k1-k2）k1m=k1-k2k1]，[PCPA=k1-k2mk1m=k1-k2k1]，即[PDPB=PCPA]，又∵∠DPC=∠BPA，∴△PDC∽△PBA，∴∠PDC=∠PBA，∴CD[?]AB，故①正確. ∵S△PDC =[12×PD×PC=（k1-k2）22k1]，故③正確. S△OCD=S四邊形OAPB - S△OCA - S△BOD - S△DPC=[k1-12k2-12k2-（k1-k2）22k1=k21-k222k1]，故②錯誤. 故選B.

點(diǎn)評：平行線型相似三角形是初中數(shù)學(xué)中一類重要的基礎(chǔ)模型，同學(xué)們要熟練掌握.

二、頂點(diǎn)在雙曲線上的相交線型相似三角形

例2（2021·湖北·荊門）如圖2，矩形OABC的頂點(diǎn)A，C分別在x軸、y軸上，B（-2，1），將△OAB繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)B落在y軸上的點(diǎn)D處，得到△OED，OE交BC于點(diǎn)G，若反比例函數(shù)y =[ kx]（x<0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)G，則k的值為 ? ? .

分析：根據(jù)題意證明△AOB≌△EOD，△COG∽△EOD，利用相似三角形的性質(zhì)求出CG的長度，即可求解.

解：∵B（-2，1），∴AB=1，OA=2. ∵△OAB繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)B落在y軸上的點(diǎn)D處，得到△OED，∴DE=AB=1，OE=OA=2，∠OED=∠OAB=90°.∵∠COG=∠EOD，∠OCG=∠OED，∴△OCG∽△OED，∴[CGDE=OCOE]，即[CG1=12]，解得CG = [12]，∴G [-12，1].把G [-12，1]代入y = [kx]得k = -[ 12].

故填[-12].

點(diǎn)評：解題關(guān)鍵是找出相交線型相似三角形，利用相似三角形的性質(zhì)求出OG的長度.

三、頂點(diǎn)在雙曲線上的“一線三等角”型相似三角形

例3（2021·湖南·常德）如圖3，在Rt△AOB中，AO⊥BO，AB⊥y軸，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（n，[3]），反比例函數(shù)y1=[k1x]的圖象的一支過A點(diǎn)，反比例函數(shù)y2=[k2x]的圖象的一支過B點(diǎn)，過A作AH⊥x軸于H，若△AOH的面積為[32].

（1）求n的值;

（2）求反比例函數(shù)y2的解析式.

分析：（1）由AH⊥x軸于H，A（n，[3]），可知AH = [3]，再由△AOH的面積為[32]即可求得OH的長度，進(jìn)而得到n的值;（2）過點(diǎn)B作BC⊥x軸于點(diǎn)C，結(jié)合AO⊥BO，AH⊥x軸于H，則出現(xiàn)“一線三等角”模型，結(jié)合AB⊥y軸，運(yùn)用相似三角形的知識即可求得y2的解析式.

解：（1）由AH⊥x軸于H，A（n，[3]），可知AH = [3].

∵△AOH的面積為[32]，∴[12]OH·[3] =[ 32]，∴OH = 1，即n = 1.

（2）過點(diǎn)B作BC⊥x軸于點(diǎn)C，∵AB⊥y軸，AH⊥x軸于H，∴四邊形ABCH是矩形，∴BC = AH =[ 3]. ∵AO⊥BO，∴∠AOB = ∠BCO = ∠AHO = 90°，∴∠CBO + ∠BOC = 90°，∠AOH + ∠BOC = 90°，∴∠CBO = ∠AOH，∴△BOC∽△OAH，∴[BCOH=COAH]，即[31=CO3]，∴CO = 3，∴B（-3，[3]），∴k2 = -3[3]，∴y2 = [-33x].

點(diǎn)評：利用已知的垂直構(gòu)造“一線三等角”型相似三角形是解題的關(guān)鍵.

（作者單位：江蘇省泰州市姜堰區(qū)實(shí)驗(yàn)初級中學(xué)）