淺談高中數(shù)學(xué)概念的教學(xué)追問策略

【摘 要】數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心，教師要特別重視概念教學(xué)。以追問教學(xué)策略優(yōu)化高中數(shù)學(xué)教學(xué)，能幫助學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)。在數(shù)學(xué)概念教學(xué)過程中，進(jìn)行一般化、比較、特殊化教學(xué)追問，教師能更好地教學(xué)數(shù)學(xué)概念，可以幫助學(xué)生掌握“四基”和提高“四能”，有利于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)概念;教學(xué)追問;策略

【中圖分類號(hào)】G633.6? 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A? 【文章編號(hào)】1671-8437（2021）28-0106-02

新一輪高中數(shù)學(xué)課程改革所要求的教學(xué)方法都指向?qū)W生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。如何通過數(shù)學(xué)課堂教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，是廣大高中數(shù)學(xué)教師研討的熱點(diǎn)。筆者探討了以教學(xué)追問優(yōu)化高中數(shù)學(xué)教學(xué)、創(chuàng)新高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的策略，希望能促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)得到良好發(fā)展。

1? ?數(shù)學(xué)概念

數(shù)學(xué)概念是反映現(xiàn)實(shí)世界中的空間形式和數(shù)量關(guān)系本質(zhì)屬性的思維形式，它是建立數(shù)學(xué)性質(zhì)、法則、公式、定理的基礎(chǔ)，也是進(jìn)行計(jì)算和證明的基礎(chǔ)。由此可知，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的核心。

美國(guó)教育心理學(xué)家布魯納曾指出：“用基本的、一般的觀念來(lái)不斷擴(kuò)大和加深知識(shí)應(yīng)當(dāng)成為教育過程的核心?！敝锌圃豪畎詈釉菏恳苍f(shuō)：“數(shù)學(xué)根本上是玩概念的，不是玩技巧。”數(shù)學(xué)概念教學(xué)的意義不僅在于使學(xué)生掌握“書本知識(shí)”，更重要的是讓學(xué)生從中體驗(yàn)數(shù)學(xué)家概括數(shù)學(xué)概念的心路歷程，體會(huì)數(shù)學(xué)家用數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)看待和認(rèn)識(shí)世界的方式，學(xué)會(huì)用概念思維。

2? ?教學(xué)追問的概念

教學(xué)追問是指教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中結(jié)合教學(xué)目標(biāo)和教學(xué)內(nèi)容，追根究底地提問，并針對(duì)學(xué)生的回答進(jìn)一步提問深挖，由此引發(fā)學(xué)生深度思考。

高中數(shù)學(xué)教學(xué)追問定義包含以下幾點(diǎn)：教學(xué)追問是提問的一種方式，是教師在初次提問基礎(chǔ)上針對(duì)學(xué)生的回答進(jìn)一步提問;教學(xué)追問是教師結(jié)合教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)內(nèi)容預(yù)設(shè)問題的教學(xué)方式;教師通過教學(xué)追問能引發(fā)學(xué)生深度思考數(shù)學(xué)問題。

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要不斷優(yōu)化和創(chuàng)新教學(xué)方法。教學(xué)追問作為有效的教學(xué)方法，可以幫助學(xué)生理解、掌握、應(yīng)用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)（簡(jiǎn)稱“四基”），提高學(xué)生從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)和提出、分析和解決問題的能力（簡(jiǎn)稱“四能”），進(jìn)而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。

3? ?追問策略

教師參考書中談到：“要讓學(xué)生真正掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，靠掐頭去尾燒中段、靠大量解題訓(xùn)練是做不到的，必須讓他們經(jīng)歷從數(shù)學(xué)研究對(duì)象的獲得，到研究數(shù)學(xué)對(duì)象，再到應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的完整過程。”[1]因此，數(shù)學(xué)概念教學(xué)設(shè)計(jì)應(yīng)該要有三大環(huán)節(jié)：概念形成、概念辨析、概念應(yīng)用。概念形成環(huán)節(jié)是教師通過典型事例和背景引入，引導(dǎo)學(xué)生開展觀察、分析、比較、綜合等活動(dòng)，概括出共同本質(zhì)特征，得到概念的本質(zhì)屬性;概念辨析環(huán)節(jié)是教師以實(shí)例（正例或反例）引導(dǎo)學(xué)生分析關(guān)鍵詞的含義，使學(xué)生明確概念的內(nèi)涵與外延，即明確概念所反映的對(duì)象具有的本質(zhì)屬性，明確概念所指的是哪些對(duì)象（即概念的使用范圍）;概念應(yīng)用環(huán)節(jié)是教師要用有代表性的具體事例引導(dǎo)學(xué)生積極思考，其目的是讓學(xué)生會(huì)用定義作出判斷和得到性質(zhì)。

教師參考書中還談到：“從數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)、研究過程來(lái)看，通過類比、推廣、特殊化等，可以有力地促進(jìn)我們的數(shù)學(xué)思考，使我們更有效地尋找出自己感興趣的問題，從中獲得研究方法的啟示?！盵2]在數(shù)學(xué)教學(xué)中，針對(duì)數(shù)學(xué)概念教學(xué)設(shè)計(jì)的三大環(huán)節(jié)，筆者從一般化、比較、特殊化三個(gè)方面進(jìn)行教學(xué)追問。

3.1? 一般化

一般化是指“從考慮一個(gè)對(duì)象過渡到考慮包含該對(duì)象的一個(gè)集合;或者從考慮一個(gè)較小的集合過渡到考慮一個(gè)包含該較小集合的更大集合?！盵3]英國(guó)數(shù)學(xué)教授梅森（J.Mason）認(rèn)為，一般化相對(duì)于特殊化而言更為困難，但這又應(yīng)被看成數(shù)學(xué)創(chuàng)造的一個(gè)基本形式，因?yàn)閿?shù)學(xué)認(rèn)識(shí)的根本目的就是要揭示更普遍、更深刻的規(guī)律。在概念形成的教學(xué)環(huán)節(jié)中，教師提供典型的具體例證，使學(xué)生經(jīng)歷具體事例共性的分析、歸納過程，通過教學(xué)追問，讓學(xué)生更容易理解更普遍、更深刻的規(guī)律，啟發(fā)學(xué)生用特殊到一般的歸納推理過程，讓學(xué)生自己概括出共同本質(zhì)特征，進(jìn)而抽象出數(shù)學(xué)概念。這樣學(xué)生的發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力能得到提高，學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)也能得到發(fā)展。

案例1：在“冪函數(shù)”概念形成教學(xué)環(huán)節(jié)中，筆者設(shè)計(jì)了以下追問：

問題：我們知道可以用函數(shù)刻畫現(xiàn)實(shí)世界中的實(shí)際問題，請(qǐng)思考課本中的5個(gè)例子。

追問1：我們習(xí)慣用x表示自變量，用 y表示函數(shù)值，大家怎么用x和 y改寫課本中的5個(gè)解析式？

追問2：請(qǐng)同學(xué)觀察這五個(gè)函數(shù)的解析式，從自變量、函數(shù)值和解析式的結(jié)構(gòu)特征來(lái)觀察它們的共性？

設(shè)計(jì)意圖：教師引導(dǎo)學(xué)生觀察，通過兩個(gè)追問，學(xué)生更容易概括出五個(gè)函數(shù)的共同特征：都具有冪的形式，冪的底數(shù)是變量，指數(shù)為定值，得到概念的本質(zhì)屬性，進(jìn)而抽象出“冪函數(shù)”概念，提升學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題的能力。

3.2? 比較

比較是認(rèn)識(shí)事物的一種方法，根據(jù)一定的標(biāo)準(zhǔn)，把有某些聯(lián)系的兩種或兩種以上的事物加以對(duì)照，確定它們之間的異同及相互關(guān)系，形成對(duì)事物的認(rèn)識(shí)?！坝斜容^才能鑒別”，在概念辨析的教學(xué)環(huán)節(jié)中，教師利用比較的方法進(jìn)行教學(xué)追問，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)照各種概念，尋找它們的異同點(diǎn)，從而深入地分析和確定它們的特殊屬性和一般屬性，這樣可以幫助學(xué)生全面、精確、深刻地了解不同概念的本質(zhì)特征及各概念之間的內(nèi)在聯(lián)系。教師把“這個(gè)概念與相鄰概念之間有何聯(lián)系與區(qū)別”這種問題傳遞給學(xué)生，學(xué)生就會(huì)圍繞這個(gè)概念逐步構(gòu)建起一個(gè)概念網(wǎng)絡(luò)。網(wǎng)絡(luò)的結(jié)點(diǎn)越多、通道越豐富，學(xué)生對(duì)概念的理解就越深刻。面臨復(fù)雜問題時(shí)，學(xué)生就容易產(chǎn)生思維指向，實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化、遷移，這正是形成數(shù)學(xué)能力的基本要素。

案例2：在“二面角及其平面角”概念辨析教學(xué)環(huán)節(jié)中，筆者設(shè)計(jì)了以下追問。

問題：經(jīng)過探究，我們定義了二面角及其平面角，你能理解它們嗎？

追問1：你會(huì)比較二面角與它的平面角嗎？

追問2：你會(huì)比較二面角與異面直線所成的角、直線與平面所成的角嗎？

設(shè)計(jì)說(shuō)明：通過比較，幫助學(xué)生區(qū)別概念的本質(zhì)屬性。二面角是由面―線―面構(gòu)成的面面角，二面角是空間圖形;平面角是由線―點(diǎn)―線構(gòu)成的線線角，平面角是平面圖形。二面角與異面直線所成的角、直線與平面所成的角雖然都由“平面的角”來(lái)度量，但二面角是由兩條射線構(gòu)成的平面角來(lái)度量，后兩種角是由兩條直線所成的角來(lái)度量，所以二面角與后兩種角的大小范圍不同。這樣學(xué)生既能清晰地理解概念的連續(xù)性和發(fā)展性，又領(lǐng)悟到分類與整合、劃歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。

3.3? 特殊化

特殊化是指“從考慮一組給定的對(duì)象集合過渡到考慮該集合中一個(gè)較小的集合，或僅僅一個(gè)對(duì)象”[3]。在概念應(yīng)用的教學(xué)環(huán)節(jié)中，教師通過教學(xué)追問，要啟發(fā)學(xué)生用數(shù)學(xué)概念的定義做出判斷并得到性質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生會(huì)用一般到特殊的演繹推理思考和解決問題，鼓勵(lì)學(xué)生推導(dǎo)多個(gè)結(jié)論。這樣學(xué)生在更加深入地理解數(shù)學(xué)概念的同時(shí)，分析和解決問題的能力也能得到提高，最終促進(jìn)學(xué)生邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升。

案例3：在“單調(diào)性”概念應(yīng)用教學(xué)環(huán)節(jié)中，筆者設(shè)計(jì)了以下追問。

問題：研究完函數(shù)單調(diào)性的定義，你會(huì)用它作簡(jiǎn)單判斷嗎？

追問1：定義域?yàn)椋?∞，0）∪（0，+∞）的函數(shù) f（x）在（?∞，0）上單調(diào)遞減，（0，+∞）上單調(diào)遞減，能判斷出 f（x）是定義域上的減函數(shù)嗎？請(qǐng)舉例說(shuō)明。

追問2：定義域?yàn)镽的函數(shù) f（x）在（?∞，0]上單調(diào)遞減，[0，+∞）上單調(diào)遞減，能判斷出 f（x）是R上的減函數(shù)嗎？

追問3：你能歸納總結(jié)出一些結(jié)論嗎？

設(shè)計(jì)說(shuō)明：以上追問是為了讓學(xué)生區(qū)分“單調(diào)遞減（遞增）”與“減（增）函數(shù)”概念，同時(shí)也是為引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)函數(shù)在不同區(qū)間上單調(diào)遞減（遞增），在它們的并集上不一定保持單調(diào)遞減（遞增）的性質(zhì)。教師要及時(shí)鼓勵(lì)學(xué)生應(yīng)用概念的定義推理證明出性質(zhì)或結(jié)論。

教師要想方設(shè)法教好數(shù)學(xué)，使學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)，“學(xué)好數(shù)學(xué)是發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的前提，教好數(shù)學(xué)是落實(shí)核心素養(yǎng)的關(guān)鍵”[4]。在概念形成環(huán)節(jié)進(jìn)行一般化教學(xué)追問，概念辨析環(huán)節(jié)進(jìn)行比較教學(xué)追問，概念應(yīng)用環(huán)節(jié)進(jìn)行特殊化教學(xué)追問，教師就能更好地進(jìn)行數(shù)學(xué)概念教學(xué)，幫助學(xué)生掌握“四基”和提高“四能”，促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)進(jìn)一步提高。

【參考文獻(xiàn)】

[1]人民教育出版社，課程教材研究所，中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心.普通高中教科書教師教學(xué)用書：數(shù)學(xué)A版必修第一冊(cè)[M].北京：人民教育出版社，2019.

[2]人民教育出版社，課程教材研究所，中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心.普通高中教科書教師教學(xué)用書：數(shù)學(xué)A版必修第一冊(cè)[M].北京：人民教育出版社，2019.

[3]波利亞.怎樣解題[M].北京：科學(xué)出版社，1982.

[4]章建躍.把數(shù)學(xué)教好是落實(shí)核心素養(yǎng)的關(guān)鍵[J].中小學(xué)數(shù)學(xué)（高中版），2016（5）.

【作者簡(jiǎn)介】

羅文三（1967～），男，漢族，福建永安人，本科，高級(jí)教師。研究方向：中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)。