“紙帶類”問題中奇數(shù)組數(shù)據(jù)求加速度的教學(xué)探討

摘 要：以2021年高考甲卷第22題為例，用逐差法、平均速度法、Excel和Origin處理圖像法等多種方法探究“紙帶類”問題中奇數(shù)組數(shù)據(jù)的處理方法，探討新課程背景下基于物理核心素養(yǎng)發(fā)展的深度課堂教學(xué).

關(guān)鍵詞：“紙帶類”問題;打點計時;數(shù)據(jù)處理;科學(xué)探究;解題方法

中圖分類號：G633.7???? 文獻標識碼：B???? 文章編號：1008-4134（2021）21-0060-03

作者簡介：熊忠（1971-），男，云南南澗人，碩士，中學(xué)高級教師，研究方向：高中物理教學(xué).

1 問題的提出

“紙帶類”問題的測量一般都用“打點計時”裝置，“打點”可以確定物體的位置，進而測量物體的位移，“計時”可以測量物體運動的時間，有了物體的位移和時間，就可以測量物體的速度和加速度，進而可以確定物體運動的相關(guān)物理量，用“打點計時”裝置測量速度和加速度是高中物理教學(xué)中基礎(chǔ)的、重要的探究內(nèi)容之一，在近年來高考試題中反復(fù)出現(xiàn).

“打點計時”無論是用打點計時器或者是頻閃照片、滴水法，還是用視頻解析，其共同特點都是各數(shù)據(jù)點時間間隔具有等時性.這類問題求加速度的方法都是相同的：對偶數(shù)組數(shù)據(jù)，一般采用逐差法，但是對奇數(shù)組數(shù)據(jù)，往往涉及數(shù)據(jù)的舍棄問題，鑒于高中物理對誤差理論要求不高，這給不少學(xué)生解決這類問題帶來了不少困惑，如何舍棄數(shù)據(jù)，有沒有更好的方法處理奇數(shù)組數(shù)據(jù)？本文以2021年全國甲卷22題為例，探討該類問題的解題方法.

2 例說“紙帶類”問題中奇數(shù)組數(shù)據(jù)求加速度的方法

例題 （2021年高考甲卷 22題）為測量小銅塊與瓷磚表面間的動摩擦因數(shù)，一同學(xué)將貼有標尺的瓷磚的一端放在水平桌面上，形成一傾角為α的斜面（已知sinα=0.34，cosα=0.94），小銅塊可在斜面上加速下滑，如圖1所示.該同學(xué)用手機拍攝小銅塊的下滑過程，然后解析視頻記錄的圖像，獲得5個連續(xù)相等時間間隔（每個時間間隔ΔT=0.20s）內(nèi)小銅塊沿斜面下滑的距離si（i=1，2，3，4，5），見表1.

由表中數(shù)據(jù)可得，小銅塊沿斜面下滑的加速度大小為m/s2，小銅塊與瓷磚表面間的動摩擦因數(shù)為（結(jié)果均保留2位有效數(shù)字，重力加速度大小取9.80m/s2）.

2.1 解法一：逐差法

（1）方法一：間隔逐差法.由于該組數(shù)據(jù)為奇數(shù)，舍棄中間數(shù)值s3.

①a=s5+s4-s2+s16ΔT2=

（12.74+11.02）×10-2-（7.58+5.87）×10-26×0.202m/s2≈0.43m/s2

②對小銅塊受力分析，根據(jù)牛頓第二定律有

mgsinα-μmgcosα=ma

代入數(shù)據(jù)解得

μ≈0.32

（說明：以下解法略去②問中求動摩擦因數(shù)的步驟）

（2）方法二：相鄰逐差法

由勻變速運動規(guī)律有

a1=s2-s1ΔT2，a2=s3-s2ΔT2，a3=s4-s3ΔT2，a4=s5-s4ΔT2

而a=a1+a2+a3+a44=s5-s14（ΔT）2=

（12.74-5.87）×10-24×（0.20）2m/s2=

0.42375m/s2≈0.43m/s2

（3）方法三：對半逐差法

舍棄第一個數(shù)據(jù)s1，把數(shù)據(jù)分為兩組：

a′2=s5-s32（ΔT）2

a′3=s4-s22（ΔT）2

a=a′2+a′32=（s4+s5）-（s3+s2）4（ΔT）2=

（12.74-5.87）×10-24×（0.20）2m/s2=

0.42375m/s2≈0.43m/s2

或者舍棄最后一個數(shù)據(jù)s5：

a′1=s3-s12（ΔT）2

a′3=s4-s22（ΔT）2

a=a′1+a′32=（s4+s3）-（s2+s1）4（ΔT）2=（20.33-13.45）×10-24×（0.20）2m/s2=

0.43m/s2

理論上說，上述三種逐差法計算結(jié)果誤差是不一樣的，根據(jù)誤差分析[1]，使用逐差法時要注意兩點：一要充分利用實驗數(shù)據(jù);二要求差時差值盡量大，故采用方法一較為合理，即舍棄中間數(shù)值誤差較小.

使用逐差法總是要舍棄數(shù)據(jù)，沒有充分應(yīng)用數(shù)據(jù)減小偶然誤差.還有沒有更好的方法？

2.2 解法二：平均速度法

根據(jù)題目條件，銅塊下滑時做勻變速直線運動.由勻變速直線運動的規(guī)律可知，中間時刻的瞬時速度等于該段位移內(nèi)的平均速度，于是有

v13中=s1+s2+s33（ΔT）

v45中=s5+s42（ΔT）

a=v45中-v13中2.5（ΔT）=3（s5+s4）-2（s3+s2+s1）15（ΔT）2=0.4293m/s2≈0.43m/s2

“逐差法”在處理奇數(shù)組數(shù)據(jù)時，總是要舍棄一組數(shù)據(jù)，而利用“平均速度”法則可以不舍棄任何原始數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)均得到充分利用，最大限度地減少了隨機誤差，有利于培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)、嚴謹?shù)膽B(tài)度和尊重事實的證據(jù)意識.該方法從學(xué)生的基礎(chǔ)知識出發(fā)，緊緊圍繞加速度的定義，學(xué)生容易理解，也更有利于學(xué)生大概念的生成，有很好的教育和實踐意義.

2.3 解法三：圖像法

2.3.1 方法一：v-t圖像法

以起始位置為0時刻，由解法二可求出s1、s2、s3、s4、s5各段中間時刻的瞬時速度見表2.

利用Excel的數(shù)據(jù)處理功能，可以很方便地作出上述運動的v-t圖像，如圖2.從擬合出的直線圖可以看出，速度和時間的相關(guān)系數(shù)r2=1，說明二者間有很好的線性關(guān)系，擬合的公式為

y=0.4295x+0.2505

結(jié)合勻變速運動速度公式v=v0+at可知，該運動的加速度為0.4295m/s2，即約為0.43m/s2，初速度為0.2505m/s.

2.3.2 方法二：s-nT2圖像法

由運動學(xué)公式，有

s2=s1+aT2

s3=s1+a2T2

s4=s1+a3T2

s5=s1+a4T2

……

sn+1=s1+anT2

設(shè)起始時刻為0時刻，把題中條件轉(zhuǎn)化為表3數(shù)據(jù).

用Origin8.0分析以上數(shù)據(jù)，求出sn+1和nT2間的關(guān)系.Origin軟件是數(shù)據(jù)分析和繪圖軟件，具有數(shù)據(jù)的排序、計算、統(tǒng)計、曲線擬合等各種完善的數(shù)學(xué)分析功能，在教學(xué)科研和工程技術(shù)中有非常廣泛的應(yīng)用.該軟件在擬合直線時，采用最小二乘法作為計算內(nèi)核，得到的結(jié)果相對比較精確.

圖3為由Origin8.0軟件擬合出的sn+1和nT2間的直線關(guān)系圖.由圖4中Results Log可見，二者間的直線回歸方程為y=a+bx，其中截距a=0.05868，斜率b=0.4295，結(jié)合sn+1=s1+anT2，可知物體的加速度為a=0.4295m/s2，即約為0.43m/s2.相關(guān)系數(shù)r=1，說明sn+1和nT2間有很好的線性關(guān)系.

用Excel和Origin8.0軟件處理實驗數(shù)據(jù)，與逐差法和平均速度法處理實驗數(shù)據(jù)進行相比，用計算機軟件處理的數(shù)據(jù)相對誤差要小很多，而且數(shù)據(jù)間的函數(shù)關(guān)系形象直觀，簡化了數(shù)據(jù)處理過程，提高了實驗結(jié)果的準確度，也避免了人為因素操作不規(guī)范等造成的誤差，充分體現(xiàn)了用計算機軟件處理實驗數(shù)據(jù)的過程中有顯著的應(yīng)用價值.

3 結(jié)束語

科學(xué)探究是物理學(xué)科核心素養(yǎng)的重要內(nèi)容，新課標對科學(xué)探究提出了“問題、證據(jù)、解釋、交流”四個關(guān)鍵因素[2].科學(xué)探究在獲取證據(jù)后，如何基于證據(jù)得到結(jié)論，并且對問題作出解釋，最后對過程和結(jié)果交流、反思等，其核心是對獲得的實驗數(shù)據(jù)進行分析和解讀，進一步開展交流討論.在教學(xué)過程中，教師要基于核心素養(yǎng)的發(fā)展意識，創(chuàng)設(shè)合適的問題情境，通過對問題的加工和處理，引導(dǎo)學(xué)生運用所學(xué)知識科學(xué)地分析問題，嘗試提出相關(guān)的改進方案，根據(jù)方案進行探究，最終完成核心素養(yǎng)的自我建構(gòu).教師在教學(xué)過程中，要充分利用信息化技術(shù)更新教學(xué)手段，實現(xiàn)教學(xué)手段的多樣化，滿足學(xué)生發(fā)展的多樣性需求，提升學(xué)生的信息素養(yǎng)，開展真正有深度的課堂教學(xué)，讓基于核心素養(yǎng)發(fā)展的教學(xué)真正落地.

參考文獻：

[1]楊俊等. 逐差法求勻變速直線運動加速度的探討[J]. 湖南中學(xué)物理，2020（03）：36-37.

[2]中華人民共和國教育部.普通高中物理課程標準（2017年版2020年修訂）[M].北京：人民教育出版社，2020.

（收稿日期：2021-08-14）