基于熱平衡算法的多孔材料吸水性仿真研究

祝秀琴，李維麗

(華東交通大學(xué)理工學(xué)院，江西 南昌 330011)

1 引言

多孔材料表示內(nèi)部包含眾多孔隙的固體材料，其中固體相又被稱(chēng)為固體骨架，無(wú)固體骨架的部分空間是孔隙，通常被流體占據(jù)[1]。多孔材料的流動(dòng)傳熱廣泛存在于自然界與工業(yè)界，是組成諸多自然現(xiàn)象的基礎(chǔ)流程，并在建筑圍護(hù)結(jié)構(gòu)、食物干燥等領(lǐng)域發(fā)揮重要作用。液體是影響多孔材料長(zhǎng)期性能，尤其是材料耐久性的關(guān)鍵要素。這是由于液體自身滲透引發(fā)的材料性能劣化，即液體是侵蝕性介質(zhì)滲入材料內(nèi)部的媒介[2]。一般情況下，液體和水溶性粒子在多孔材料內(nèi)有三種遷徙模式：飽和孔隙溶液內(nèi)的離子擴(kuò)散、毛細(xì)吸附與壓力梯度下的滲透。飽和情況下，孔隙架構(gòu)內(nèi)毛細(xì)作用力很少，水分的傳輸依靠孔隙內(nèi)部的壓力梯度與重力所牽引，水溶性粒子經(jīng)過(guò)擴(kuò)散滲入材料內(nèi)部。目前分析多孔材料吸水性時(shí)，多數(shù)使用非熱平衡算法獲得材料內(nèi)部孔隙尺度能量[3]，但這樣無(wú)法展現(xiàn)出材料自身真實(shí)的吸水特征，極易造成判斷誤差。而熱平衡環(huán)境則能全方位地凸顯出材料理想吸水情況，對(duì)判別多孔材料吸水性能具備極大優(yōu)勢(shì)。

為此基于熱平衡算法深入研究多孔材料的吸水性。在流體和固體溫差低的條件下，組建熱平衡計(jì)算能量方程，獲得準(zhǔn)確的孔隙邊界層動(dòng)量情況；創(chuàng)建多孔材料吸水模型，計(jì)算水分脅迫指數(shù)，引入?yún)?shù)初始值推導(dǎo)含水率大小，融合遺傳算法與列文伯格麥夸特算法，求解模型參數(shù)，得到精確多孔材料吸水率數(shù)值。在熱平衡環(huán)境下，利用仿真有效且精準(zhǔn)地掌握多孔材料吸水性能特征。

2 熱平衡算法下多孔材料能量方程與邊界計(jì)算

熱平衡算法中，把相同多孔材料表征體元中的流體與固體溫度設(shè)定成近似相等[4]。該算法可應(yīng)用在流體和固體溫差較少的狀況下，將熱平衡計(jì)算能量方程表示為

(1)

其中，?·(keff?T)為熱平衡計(jì)算能量方程，ε為多孔材料溫度，ρs為通風(fēng)量，cs為空氣質(zhì)量熱容，T為流體降溫時(shí)間，t為時(shí)間，?·(ρfufhf)為多孔材料通風(fēng)結(jié)束時(shí)平均溫度。固體邊界對(duì)多孔材料中流動(dòng)與傳熱的影響源自邊界摩擦阻力引發(fā)的渦擴(kuò)散，把此類(lèi)影響描述成全新理念的動(dòng)量邊界層形態(tài)，因此動(dòng)量邊界層厚度為

(2)

其中，F(xiàn)為邊界摩擦阻力，K為動(dòng)量邊界層形態(tài)，vf為流動(dòng)與傳熱速度。使用δm及邊界層之外多孔材料內(nèi)的流體速率u∞采取無(wú)量綱化處理[5]，則邊界層之外的完全動(dòng)量方程是

(3)

通過(guò)式(3)，將邊界層內(nèi)動(dòng)量方程記作

u*=Da-1(u-1)-Da-1/2(u2-1)

(4)

不考慮慣性帶來(lái)的負(fù)面影響，對(duì)式(4)進(jìn)行求解，得到熱平衡算法下多孔材料能量方程與邊界計(jì)算結(jié)果。

3 多孔材料吸水率計(jì)算

3.1 吸水率模型構(gòu)建

獲得理想狀態(tài)下的多孔材料能量方程與邊界條件后，為掌握準(zhǔn)確的多孔材料吸水性測(cè)量數(shù)據(jù)，采用混合遺傳算法完成高精度吸水率運(yùn)算目標(biāo)。

熱平衡環(huán)境下，將一維多孔材料水分運(yùn)動(dòng)解析式記作

(5)

其中，h為材料水基質(zhì)勢(shì)，C(h)為比水容量，K(h)為非飽和材料導(dǎo)水率，z為空間坐標(biāo)，S(z，t)為多孔材料吸水速度。多孔材料吸水初始條件為

h(z，0)=h0(z)

(6)

上、下邊界條件分別為

h(L，t)=hL(t)(t≤0)

(7)

其中，h0(z)為材料初始含水率相對(duì)的水基質(zhì)勢(shì)分布狀態(tài)，E(t)、Q(t)依次為蒸發(fā)和水量強(qiáng)度，hL(t)為不同時(shí)段下邊界真實(shí)的水基質(zhì)勢(shì)值，L為最高計(jì)算深度。

根據(jù)式(5)獲得如下多孔材料吸水模型

S(z，t)=γ(h)Smax(z，t)

(8)

其中，γ(h)為水分脅迫指數(shù)，Smax(z，t)為最高材料吸水速度。將水分脅迫指數(shù)描述成：

(9)

其中，h0、h1、h2、h3均為影響多孔材料吸水的水基質(zhì)勢(shì)臨界值。將Smax(z，t)定義為

(10)

式中

(11)

β(z)為無(wú)量綱材料孔隙分布狀態(tài)函數(shù)，Tpot為潛在蒸發(fā)強(qiáng)度，zm為孔隙最高延伸長(zhǎng)度，pz、z*均為擬合參變量。

數(shù)值反演計(jì)算材料吸水參數(shù)就是給予式(8)～式(11)內(nèi)的參數(shù)一個(gè)初始值[6]，再引入式(5)中推算含水率。反復(fù)執(zhí)行以上步驟，直至實(shí)驗(yàn)值與計(jì)算值偏差為最低，將該過(guò)程記作

(12)

3.2 模型求解

使用隱式差分方法求解式(5)，式(12)類(lèi)屬典型的非線性最小優(yōu)化問(wèn)題。以往的非線性?xún)?yōu)化策略多數(shù)為梯度計(jì)算，擁有很快的運(yùn)算速率，但因?yàn)槠涔潭ǖ膬?yōu)化性和不穩(wěn)定性等缺陷，不適用在全局優(yōu)化問(wèn)題計(jì)算中[7-9]。融合實(shí)數(shù)編碼下的遺傳算法和具有高斯-牛頓法與梯度下降法優(yōu)勢(shì)的列文伯格麥夸特(Levenberg—Marquardt，LM)算法，創(chuàng)建全新的混合遺傳算法。把LM算法當(dāng)作遺傳算法操作算子，利用LM算法優(yōu)秀的局部?jī)?yōu)化能力提升遺傳算法的收斂速率，實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)確高效的多孔材料吸水模型求解。核心步驟如下：

在浮點(diǎn)編碼階段，設(shè)定共有p個(gè)待識(shí)別參數(shù)，群體規(guī)模是Npop，對(duì)待識(shí)別參數(shù)使用浮點(diǎn)編碼手段[10]，也就是利用線性變化對(duì)變量實(shí)時(shí)優(yōu)化，具體過(guò)程為

x(j，i)=xmin(j)+y(j，i)(xmax(j)-xmin(j))

(13)

其中，xmin(j)、xmin(j)分別為參數(shù)x(j，i)的上下限，j為待識(shí)別參數(shù)數(shù)量，i為群體個(gè)體編號(hào)。

歸一化后的每一個(gè)參數(shù)值融合后成為一個(gè)染色體。染色體的編碼長(zhǎng)度與待識(shí)別參數(shù)數(shù)量相同，每個(gè)歸一化之后的參數(shù)被命名為基因[11]。

獲取初始種群時(shí)，會(huì)在Npop組[0，1]區(qū)間內(nèi)的產(chǎn)生若干均勻隨機(jī)值，將u(j，i)當(dāng)作初始群體的父代個(gè)體值y(j，i)。把y(j，i)引入式(13)獲得優(yōu)化后的變量，再通過(guò)式(12)明確對(duì)應(yīng)目標(biāo)函數(shù)值f(i)，依照過(guò)往經(jīng)驗(yàn)，將Npop的值設(shè)定為50。目標(biāo)函數(shù)值f(i)越低，個(gè)體適應(yīng)度越好，反之越差。確立父代個(gè)體的適應(yīng)度函數(shù)值為

F(i)=1/(f(i)2+0.001)

(14)

式(14)中，分母內(nèi)的0.001為經(jīng)驗(yàn)設(shè)定，防止出現(xiàn)f(i)的值為0的狀況。

選擇算子時(shí)，會(huì)產(chǎn)生第一代子個(gè)體y1(j，i)，將{F(i)}從高至低排序，相對(duì)應(yīng)的{y(j，i)}也會(huì)重新排列，通過(guò)比例擇取手段將父代個(gè)體y(j，i)的選擇概率描述成式(15)

(15)

(16)

創(chuàng)建如式(16)的約束條件，將序列{P(i)}在[0，1]區(qū)間內(nèi)劃分為Npop個(gè)子區(qū)間，這些子區(qū)間和Npop個(gè)父代個(gè)體{y(j，i)}具有相互對(duì)應(yīng)的關(guān)聯(lián)。

組建交叉算子時(shí)，會(huì)生成第2個(gè)子代群體，使用的交叉操作是按照式(15)的選擇概率隨機(jī)挑選某對(duì)父代個(gè)體y(j，i1)與y(j，i2)為雙親，同時(shí)采取任意線性搭配，獲得全新子代個(gè)體y2(j，i)；

(17)

其中，u01、u02均為[0，1]區(qū)間的任意數(shù)值。通過(guò)交叉操作生成Npop個(gè)數(shù)子代個(gè)體。

pm(i)=1-ps(i)

(18)

實(shí)施變異操作生成第三個(gè)子代群體{y3(j，i)|，使用Npop個(gè)[0，1]區(qū)間的隨機(jī)值，以式(18)的概率取代個(gè)體y(j，i)，繼而獲得新的子代個(gè)體y3(j，i)；

(19)

其中，u2(j)、um均為區(qū)間內(nèi)的隨機(jī)值。

采取列文伯格麥夸特算子操作生成第四個(gè)子代群體{y4(j，i)|，通過(guò)上述過(guò)程獲得3Npop個(gè)子代個(gè)體，根據(jù)其適應(yīng)度函數(shù)值從高至低進(jìn)行排列，挑選前幾個(gè)子代個(gè)體當(dāng)作父代群體，使用式(15)推算其選擇概率ps(i)。對(duì)父代群體內(nèi)的所有個(gè)體以ps(i)概率采取列文伯格麥夸特算子操作，即對(duì)父代個(gè)體y(j，i)任意產(chǎn)生[0，1]內(nèi)的隨機(jī)值plm。如果plm(i)

y4(j，i)=y(j，i)

(20)

相反，如果plm(i)≥ps(i)，就通過(guò)算子操作將y(j，i)當(dāng)作參變量的原始數(shù)值，直接對(duì)式(12)使用列文伯格麥夸特算法完成優(yōu)化計(jì)算，獲得y*(j，i)，同時(shí)算出個(gè)體y*(j，i)適應(yīng)度函數(shù)F*(i)。如果F*(i)>F(i)，那么y4(j，i)=y*(j，i)，否則y4(j，i)=y(j，i)。

將{y4(j，i)|當(dāng)作新一代父代群體，算法轉(zhuǎn)入構(gòu)建適應(yīng)度函數(shù)階段，并完成下一輪的演變流程，重新對(duì)父代群體采取評(píng)估、選擇、交叉與變異，以此完成二次迭代。使用二次迭代生成的群體前5個(gè)最優(yōu)個(gè)體的變化區(qū)間當(dāng)作初始種群原始區(qū)間并加速循環(huán)。如果連續(xù)幾代達(dá)到優(yōu)化標(biāo)準(zhǔn)，則運(yùn)算結(jié)束，輸出多孔材料吸水計(jì)算結(jié)果。

4 仿真研究

采用MATLAB軟件對(duì)多孔材料吸水性進(jìn)行仿真，仿真過(guò)程中材料不同，吸水性能不同。挑選三類(lèi)常見(jiàn)多孔材料進(jìn)行仿真，編號(hào)為A1、A2、A3，其孔隙率依次為34.08%、35.41%和24.54%，使用電子顯微鏡觀察，材料空隙直徑都在1～2μm以下。在熱平衡環(huán)境下，對(duì)三種材料實(shí)施單面浸泡實(shí)驗(yàn)、整體浸泡實(shí)驗(yàn)與真空飽和實(shí)驗(yàn)。將重復(fù)性偏差作為衡量實(shí)驗(yàn)結(jié)果正確性的度量系數(shù)，將其描述成

(21)

單面浸泡法可以讓多孔材料處在接近一維吸水過(guò)程，吸水通量和時(shí)間二次方根(s0.5)呈線性關(guān)聯(lián)，重復(fù)性實(shí)驗(yàn)間隔為8h。實(shí)驗(yàn)表明，三個(gè)試件的毛細(xì)吸水階段都在2min上下完成，同時(shí)逐步向第二階段過(guò)渡。毛細(xì)吸水階段，多孔材料在熱平衡環(huán)境下維持很強(qiáng)的吸水速率，A1、A2擁有相近的毛細(xì)吸水系數(shù)，而孔隙只有24.54%的試件吸水系數(shù)與A1、A2相比有所減少，具體參見(jiàn)圖1。

圖1 多孔材料吸水系數(shù)

在上述計(jì)算結(jié)果和圖1的基礎(chǔ)上，測(cè)試多孔材料毛細(xì)飽和含水率，結(jié)果如圖2所示。A1、A2的毛細(xì)飽和含水率相差不多，A3的含水率較小，證明熱平衡環(huán)境下，孔隙率越高，毛細(xì)飽和含水率有逐步變大的趨勢(shì)。

圖2 多孔材料毛細(xì)飽和含水率

如圖3所示，通過(guò)線性回歸分析，毛細(xì)吸水系數(shù)與毛細(xì)飽和含水率展現(xiàn)出線性正關(guān)聯(lián)走向。實(shí)驗(yàn)水溫處于24.1℃，重復(fù)性實(shí)驗(yàn)間隔為8h。三個(gè)試件的單面浸泡實(shí)驗(yàn)偏差分別為1.5%、2.1%和1.76%，證明實(shí)驗(yàn)精確率很高，所得結(jié)果具有很強(qiáng)的可靠性。

圖3 毛細(xì)系數(shù)與飽和含水率伴隨孔隙的變化情況

整體浸泡下，三個(gè)試件在熱平衡條件下的吸水速度顯著高于單面浸泡，毛細(xì)吸水階段在30s左右終止。此外，受到多孔材料內(nèi)部液態(tài)水?dāng)U散速度影響，不同材料在不同時(shí)期的吸水飽和度也各不相等。A1試件在毛細(xì)吸水結(jié)算終止后的含水率高于A2試件，如圖4所示。

圖4 含水率曲線示意圖

如表1所示，在吸水36h后，單面浸泡試件含水率略小于整體浸泡，全局差距均值為3.23%，證明熱平衡情況下，多孔材料吸水率和單面、整體浸泡關(guān)聯(lián)并不顯著，實(shí)驗(yàn)水溫是25.1℃，三組試件的重復(fù)實(shí)驗(yàn)間隔為36h，實(shí)驗(yàn)重復(fù)性偏差是0.67%、0.32%和0.05%，精度較高。

表1 多孔材料36h含水率

真空飽和含水率是多孔材料在熱平衡環(huán)境下能實(shí)現(xiàn)的最高含水率水準(zhǔn)。熱平衡下的真空飽和實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表2所示。實(shí)驗(yàn)水溫為24.3℃，重復(fù)性時(shí)間間隔為36h。從表2可知，單面浸泡吸水含水率小于真空飽和含水率。由此看出，熱均衡狀態(tài)下，高密度多孔材料吸水時(shí)受到氣體熱量的影響較為明顯。

表2 真空飽和實(shí)驗(yàn)

5 結(jié)論

為掌握理想狀態(tài)下多孔材料的吸水特性，以熱平衡算法為前提，對(duì)多孔材料吸水性進(jìn)行仿真研究。

1)毛細(xì)吸水系數(shù)與毛細(xì)飽和含水率展現(xiàn)出線性正關(guān)聯(lián)走向，三個(gè)試件單面浸泡實(shí)驗(yàn)偏差分別為1.5%、2.1%和1.76%，實(shí)驗(yàn)精確率較高。

2)整體浸泡下，三個(gè)試件在熱平衡條件下的吸水速度顯著高于單面浸泡，毛細(xì)吸水階段在30s左右終止。

3)在吸水36h后，單面浸泡試件含水率略小于整體浸泡，全局差距均值為3.23%，證明熱平衡情況下，多孔材料吸水率和單面、整體浸泡關(guān)聯(lián)并不顯著。

4)單面浸泡吸水含水率小于真空飽和含水率，熱均衡狀態(tài)下，高密度多孔材料吸水時(shí)受到氣體熱量的影響較為明顯。

在今后的研究中，將與其它方法的多孔材料吸水性測(cè)試結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，進(jìn)一步提升多孔材料的應(yīng)用價(jià)值。