利用圖像法分析水平面圓周運(yùn)動(dòng)臨界問題

陳龍

一、水平轉(zhuǎn)臺

水平轉(zhuǎn)臺上單一物塊隨圓盤做勻速圓周運(yùn)動(dòng)是靠靜摩擦力來充當(dāng)向心力，而較為復(fù)雜的是繩子連兩物塊在圓盤上做圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問題.

例1 如圖1所示，在水平轉(zhuǎn)臺上有沿半徑方向放置用細(xì)線相連的質(zhì)量均為m的A、B兩小物塊（可視為質(zhì)點(diǎn)），細(xì)線處于剛好伸直狀態(tài)（未繃緊），A和B距軸心O的距離分別為R和2R，兩小物塊與轉(zhuǎn)臺間的最大靜摩擦力均為重力的K倍，兩物塊隨圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)與圓盤保持相對靜止，當(dāng)圓盤角速度緩慢從0增加時(shí)，試分析兩小物塊所受摩擦力FfA、FfB隨轉(zhuǎn)臺角速度的平方（ω2）的變化圖像.

解析 當(dāng)轉(zhuǎn)臺的角速度比較小時(shí)，A、B物塊做

圖1圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由靜摩擦力提供， A的摩擦力為FfA=mω2R，B的摩擦力為FfB=mω22R，隨著角速度增大，由上兩式可知A、B物塊所受的摩擦力與ω2成正比.接著繼續(xù)增大角速度ω，B物塊的靜摩擦力先達(dá)到最大靜摩擦力Kmg，此時(shí)對B分析，Kmg=

mω212R可得：ω1=Kg2R ，此時(shí)A的摩擦力為

12Kmg.

此后繩子出現(xiàn)張力，B物塊所受的摩擦力不變;對A分析：FfA-FT=mω2R;對B分析：FT+Kmg=mω22R，兩式子聯(lián)立可得：FfA=3mω2R-Kmg，隨著角速度繼續(xù)增大，F(xiàn)fA也繼續(xù)增大，當(dāng)FfA增大到Kmg時(shí)，A和B能圓盤保持相對靜止做圓周運(yùn)動(dòng)達(dá)到臨界，角速度不能再增加了，最大角速度為ω2有：Kmg=3mω22R-Kmg，得ω2=2Kg3R，如圖2、圖3所示.

圖2???????? 圖3

點(diǎn)撥 此題的關(guān)鍵是抓住A、B兩物塊和圓盤保持相對靜止做圓周運(yùn)動(dòng)始終角速度相等，屬于共軸傳動(dòng)，B的半徑大所以B需要的向心力大，B先達(dá)到最大靜摩擦.角速度從0增大逐步分析出A、B摩擦力的表達(dá)式才能畫出圖像得到A、B摩擦力隨角速度ω的變化關(guān)系.

拓展 對于例1而言，若A、B兩物塊在圓心兩側(cè)如圖4所示，距軸心O的距離為R和2R，試分析兩小物塊所受摩擦力FfA、FfB隨轉(zhuǎn)臺角速度的平方（ω2）的變化圖像.

圖4

解析 當(dāng)角速度從0緩慢增大時(shí)，A、B做圓周運(yùn)動(dòng)向心力僅由摩擦力提供，當(dāng)物塊B摩擦力增大到最大靜摩擦力時(shí)繩子開始出現(xiàn)張力，此時(shí)角速度為ω1 ，對B分析：Kmg= mω212R可得：ω1=Kg2R，此時(shí)A的摩擦力為12Kmg.繼續(xù)增大角速度B受到最大靜摩擦力不足以充當(dāng)向心力，有離心趨勢，需要繩子提供拉力.

即FT+Kmg=mω22R

對于A分析：繩子和摩擦力的合力充當(dāng)向心力，F(xiàn)T+FfA=mω2R

聯(lián)立可得：FfA=Kmg-mω2R，當(dāng)ω=KgR時(shí)，F(xiàn)fA=0，F(xiàn)T=Kmg.角速度再繼續(xù)增大A的摩擦力方向反向，對A分析：FT-FfA=mω2R.聯(lián)立可得：FfA=mω2R-Kmg.當(dāng)ω=2KgR時(shí)，F(xiàn)fA=Kmg

當(dāng)ω>2KgR時(shí)，A、B整體在圓盤上發(fā)生相對滑動(dòng)，如圖5、6所示.

圖5???????? 圖6

點(diǎn)撥 分析該問題關(guān)鍵在于繩子出現(xiàn)張力后，兩物塊所受靜摩擦力隨角速度如何變化及A物塊摩擦力方向開始反向?qū)?yīng)角速度.

二、圓錐擺

簡化的圓錐擺模型向心力是由重力和繩子拉力合力來提供，而圓錐擺的變形，向心力由誰來提供及臨界問題較為復(fù)雜.

例2 用一根細(xì)線一端系一可視為質(zhì)點(diǎn)的小球，另一端固定在一光滑錐頂上，如圖7所示，設(shè)小球在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的角速度為ω.線的張力為FT，試分析FT隨ω2變化的圖像.

圖7???????? 圖8

解析 設(shè)細(xì)線長為L，錐面與豎直方向夾角為θ，當(dāng)ω=0時(shí)，小球靜止，受重力mg、支持力FN和細(xì)線的拉力為FT而平衡，如圖8所示，則FT=mgcosθ.

當(dāng)ω>0時(shí)，小球做圓周運(yùn)動(dòng)，三力的合力來充當(dāng)向心力如圖9所示，由牛頓第二定律得：

FTsinθ-FNcosθ=mω2Lsinθ，F(xiàn)Tcosθ+FNsinθ=mg.

解得FT=mω2Lsin2θ+mgcosθ，F(xiàn)T關(guān)于ω2的函數(shù)為一次函數(shù)，斜率為mrcosθ

FN=mgsinθ-mω2Lsinθcosθ

ω增大時(shí)，F(xiàn)T增大，F(xiàn)N減小，當(dāng)FN=0時(shí)，設(shè)角速度為ω0

ω0=gLcosθ，此時(shí)FT=mgcosθ.

當(dāng)ω>ω0時(shí)，小球離開錐面，線與豎直方向夾角變大，設(shè)為β，由牛頓第二定律得，F(xiàn)Tsinβ=mω2Lsinβ，所以FT=mLω2， FT關(guān)于ω2的函數(shù)為正比例函數(shù)，斜率為mL>mrcosθ，如圖10所示.

圖9???????? 圖10

點(diǎn)撥 此題分析的難點(diǎn)在于小球在錐面上時(shí)的受力問題，繩子的拉力和錐面的支持力隨角速度如何變化，需要利用正交分解具體求解出拉力和支持力才能看出它們的關(guān)系.

拓展 如圖11（1）所示，裝置BOO′可繞豎直軸OO′轉(zhuǎn)動(dòng)，可視為質(zhì)點(diǎn)的小球A與兩細(xì)線連接后分別系于B、C兩點(diǎn)，裝置靜止時(shí)細(xì)線AB水平，細(xì)線AC與豎直方向的夾角θ=37°，已知小球的質(zhì)量m=1kg，細(xì)線AC長l=1m，B點(diǎn)距C點(diǎn)的水平和豎直距離相等（重力加速度g取10m/s2，sin37°=35，cos37°=45）

圖11

（1）若裝置勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為ω1時(shí)，細(xì)線AB上的張力為零而細(xì)線AC與豎直方向夾角仍為37°，求角速度ω1的大小;

（2）若裝置勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ω2=503rad/s，求細(xì)線AC與豎直方向的夾角;

（3）裝置可以以不同的角速度勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，試通過計(jì)算在圖11（2）中畫出細(xì)線AC上張力T隨角速度的平方ω2變化的關(guān)系圖像.

解析 （1）細(xì)線AB上張力恰為零時(shí)有

T·sin37°=mω21r，T·cos37°=mg，r=l·sin37°

由以上各式得mgtan37°=mω21lsin37°

解得ω1=glcos37°=504rad/s=522rad/s

（2）由幾何關(guān)系可得，當(dāng)AB上有拉力時(shí)，細(xì)線AB處于豎直方向，細(xì)線AC與豎直方向的夾角θ′.設(shè)細(xì)線AB恰好豎直，但張力為零時(shí)有mgtanθ′=

mω20lsinθ′.

由B點(diǎn)到C點(diǎn)的水平距離和豎直距離相等，根據(jù)幾何關(guān)系計(jì)算sinθ′=lcos37°l=45

可得θ′=53°，故有ω0=503rad/s

又ω2=503rad/s，可得此時(shí)細(xì)線AB恰好豎直，細(xì)線AC與豎直方向的夾角θ′=53° .

（3）ω≤ω1=522rad/s時(shí)，細(xì)線AB水平，細(xì)線AC上張力的豎直分量等于小球的重力，有Tcosθ=mg，解得T=mgcosθ=12.5N.

ω1≤ω≤ω0時(shí)細(xì)線AB松弛，細(xì)線AC上張力的水平分量等于小球做圓周運(yùn)動(dòng)需要的向心力，有Tsinθ=mω2lsinθ，解得T=mω2l.

ω>ω0時(shí)，細(xì)線AB在豎直方向繃直，仍然由細(xì)線AC上張力的水平分量提供小球做圓周運(yùn)動(dòng)需要的向心力，有Tsinθ=mω2lsinθ，解得T=mω2l.

綜上所述有ω≤ω1=522rad/s時(shí)，T=12.5N不變;ω>ω1時(shí)，T=mω2l=ω2N;

T-ω2關(guān)系圖像如圖12所示：

圖12

根據(jù)以上分析可知，結(jié)合圖像法來分析水平面圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問題，關(guān)鍵在于通過受力分析找到向心力真正的來源，利用牛頓第二定律表達(dá)出物體受力和角速度的關(guān)系式，進(jìn)而畫出圖像使得臨界問題清晰明了.

（收稿日期：2021-09-28）