巧用輔助策略 妙解物理問題

胡道成

高考評價體系物理科考試提出了“理解能力、推理論證能力、模型建構(gòu)能力、實驗探究能力和創(chuàng)新能力”5種關(guān)鍵能力.高考解題過程中的創(chuàng)新能力應(yīng)該是指學(xué)生在熟練掌握必備知識的基礎(chǔ)上，依據(jù)基本的物理觀念，通過對物理思想和方法的領(lǐng)悟，從而實現(xiàn)能夠獨辟蹊徑地去順利解決問題的心理品質(zhì).其特征是綜合性、獨特性和結(jié)構(gòu)優(yōu)化性.其實，有些物理問題本身就很難用“通性通法”去順利解決，學(xué)生會有“山窮水盡疑無路”之感，若能尋找到新穎、獨特、巧妙、簡捷的輔助方法，就可以達(dá)到“柳暗花明又一村”的奇妙效果.引導(dǎo)學(xué)生巧設(shè)輔助量或妙用輔助過程來作為解題的橋梁和紐帶，是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性思維能力的一種有效途徑，可以起到提高解題效率的作用.

一、巧設(shè)虛擬軌道，比較“異軌”衛(wèi)星參量衛(wèi)星都是在萬有引力作用下繞中心天體做圓周運動或橢圓運動的，但對于衛(wèi)星在不同的軌道上通過同一位置、不同軌道的不同位置的加速度、線速度、角速度和周期等參量的比較問題，若不能找到正確的比較思路，就很容易陷入無法比較的泥潭.解答這類問題需要靈活運用不同軌道的相關(guān)性和差異性作為解題的突破口，充分利用牛頓第二定律、圓周運動（離心運動、近心運動）的條件、功能關(guān)系、開普勒第二、三定律、幾何知識來實現(xiàn)綜合性的推理論證.有些題目還要借助基本規(guī)律，通過巧設(shè)虛擬軌道來參與推理論證過程，才能得到邏輯嚴(yán)密而令人信服的結(jié)論.

圖1

例1 （2021年高考模擬黑白卷）如圖1所示為某探測器圍繞火星運行的兩條預(yù)定軌道，軌道A為圓形軌道，軌道B為橢圓形軌道，M、N分別為橢圓軌道的近火點和遠(yuǎn)火點，P為A、B兩條軌道的交點.已知圓形軌道的直徑與橢圓軌道的半長軸相等，則下列說法正確的是（? ）.

A.探測器分別沿軌道A、B運動經(jīng)過P點時的加速度大小相等

B.探測器沿A軌道運動的周期比沿B軌道運動的周期大

C.探測器沿B軌道運動時經(jīng)過M點的速率比經(jīng)過N點的速率大

D.探測器沿A軌道運動經(jīng)過P點的速率比沿B軌道運動經(jīng)過N點的速率小

答案：AC.

解析 設(shè)探測器和火星質(zhì)量分別為M和m，探測器到火星的距離為r，則探測器沿軌道A、B運動經(jīng)過P點時，根據(jù)牛頓第二定律，有GMmr2=ma，解得a=GMr2，所以加速度大小是相等的，選項A正確.值得注意的是探測器在軌道B上運動而經(jīng)過P點時僅由萬有引力的一個分力來提供向心力，探測器在軌道A上運動而經(jīng)過P點時萬有引力提供向心力，因此探測器在軌道A上運動而經(jīng)過P點時的向心加速度大于在軌道B上運動而經(jīng)過P點的向心加速度.由于圓形軌道的直徑與橢圓軌道的半長軸相等，根據(jù)開普勒第三定律，探測器的周期滿足R3T2=k，這里的中心天體都是火星，所以周期是相等的，選項B錯誤;探測器沿B軌道運動時是在同一個橢圓軌道，根據(jù)開普勒第二定律可以得出υMυN=rNrM，探測器經(jīng)過M點的速率比經(jīng)過N點的速率大，選項C正確;也可以從萬有引力做功的角度來分析，探測器從M點向N點運動時，萬有引力做負(fù)功，探測器的動能減小，速度減小.要比較探測器沿A軌道運動經(jīng)過P點的速率與探測器沿B軌道運動經(jīng)過N點的速率大小，由于探測器處于不同軌道上的不同位圖2

置而難以比較，我們不妨添加一個與軌道A為同心圓，正好通過N點的虛擬圓軌道（圖2），并選擇這個圓軌道上的一點D來進(jìn)行輔助推理，探測器如果在這個軌道上做勻速圓周運動，則根據(jù)GMmr2=mυ2r得υ=GMr，可知υD<υP，也即是“高軌低速”;再來看如果探測器通過N點做橢圓運動而需要讓它做圓周運動，則需要在N點進(jìn)行點火加速才行，這又是常規(guī)的變軌問題，顯然υD>υN，所以必有υN<υP，選項D錯誤.

點評 對于衛(wèi)星在圓軌道上運動與橢圓軌道上運動的參量比較問題，需要抓住相同和不同之處，從運動學(xué)、動力學(xué)、功能關(guān)系、軌跡的幾何特點等角度去進(jìn)行綜合比較研究，必要時可以尋找一個輔助軌道來作為解題切入點，找到合適的“第三方”作為比較的標(biāo)準(zhǔn)，從而突破知識在不同情景下的變異特征，使問題得以順利解決.

二、巧添輔助電荷，妙解電荷變化問題

靜電場的許多問題都是基于電場在空間分布上的對稱性及力的作用效果的對稱性來命題的，所以可以充分利用對稱性思想來啟迪和培養(yǎng)學(xué)生的直覺思維能力，敏銳的看出并抓住事物在某一方面的對稱性，利用對稱法去分析和解決問題，可以避免復(fù)雜的數(shù)學(xué)演算和推導(dǎo)，直接抓住問題的實質(zhì)，出奇制勝，快速簡便地求解問題.

圖3

例2 （2021年押題黑白卷）如圖3所示，真空中有一正三角形ABC，O為正三角形中心，M、N分別是AC、AB的中點.第一次，在A、B、C分別放置電荷量為+Q、-2Q、-2Q的點電荷，放在O點的檢驗電荷+q受到的電場力為F1;第二次，在第一次的基礎(chǔ)上僅將A處的+Q變?yōu)?2Q，在O點同樣的檢驗電荷受到的電場力為F2.下列分析正確的是

A.F1∶F2=2∶3

B.F1∶F2=3∶4

C.第一次，檢驗電荷從O點移到M點過程中電勢能增大

D.第二次，檢驗電荷從O點移到N點過程中電勢能減小

答案：BC

解析 基于對稱性的考慮，若在A點也放上一個-2Q的電荷，則A、B、C三點所放電荷完全相同，放在O點的檢驗電荷+q受到的電場力必然為零.而題目所給條件是A點的電荷為+Q，可以視為+3Q+（-2Q），現(xiàn)在只需要求+3Q對檢驗電荷的庫侖力即為F1.設(shè)A點到O點的距離為r，則F1=k3Qqr2，第二次將A處的電荷變?yōu)?2Q，相當(dāng)于+4Q+（-2Q），同理可得F2=k4Qqr2，選項B正確;分析電勢能變化情況時，可將三個-2Q的電荷“視而不見”，則第一次檢驗電荷從O點移到M點過程中是靠近正電荷+3Q，需要克服電場力做功，電勢能增大，選項C正確;第二次的情形與第一次相似，檢驗電荷靠近+4Q，電勢能也是增大，選項D錯誤.

點評 根據(jù)對稱性對靜電場問題中的電荷分布情況進(jìn)行“添加”，以便把“破缺”了的情景通過聯(lián)想類比恢復(fù)成一種“完美”的狀態(tài)，再根據(jù)典型問題的特殊條件或熟悉的結(jié)論就能尋找到求解新問題的簡捷思路，這樣處理既能使?fàn)顟B(tài)變化趨于明朗，又能使問題簡化，往往是解決這類問題的巧妙思路.

三、巧用等效“移花接木”，妙析變質(zhì)量問題

有些物理問題中物體的運動變化過程是一個不易理解的動態(tài)過程，學(xué)生很容易在追尋變化過程中迷失了方向而找不到解題突破口.其實，不同的物理現(xiàn)象、模型、過程在物理意義、作用效果或物理規(guī)律方面可能是相同的，只要換個角度通過“移花接木”的設(shè)想對過程進(jìn)行熟悉化處理，就能在“等效思想”的幫助下找到效果完全相同的、規(guī)律比較明朗的物理過程，將問題化難為易，求得解決.

圖4

例3 （2021年押題黑白卷）如圖4所示，一段長為2h、質(zhì)量為m的均勻鏈條搭在固定在墻面上的光滑鐵釘上，鐵鏈一端與質(zhì)量為2m的物體（可看作質(zhì)點）相連靜止于地面，另一端自然下垂恰好與地面接觸.現(xiàn)某人將物體緩慢拉起，當(dāng)物體離地面h4時突然失手滑落，物體又落回地面.不計空氣阻力，重力加速度為g，則下列說法正確的是（? ）.

A.當(dāng)物體運動到h4時，人所做的功為3364mgh

B.當(dāng)物體運動到h4時，人所做的功為3164mgh

C.物體落地時的速度為186gh24

D.物體落地時的速度為210gh24

答案：BC

解析 這是一個變質(zhì)量問題，設(shè)想將鏈條左端長度為h4的鐵鏈直接“剪下”放到右端去接上，而這部分鏈條相當(dāng)于落到了右側(cè)地面上，其重心降低了h8，重力勢能減少了ΔEP1=m2h×h4g×h8=mgh64，物體上升h4的過程中重力勢能增加ΔEP2=2mg×h4=mgh2，所以人做的功等于系統(tǒng)重力勢能的增加量：W=ΔEP2-ΔEP1=3164mgh，選項B正確;物體落地時，鏈條的h4長度又被還回去了，其重力勢能將增加ΔE′P1=mgh64，物體則從h4處下落到地面，其重力勢能將減少ΔE′P2=mgh2，根據(jù)能量關(guān)系，整個系統(tǒng)勢能加少量等于動能增加量：mgh2-mgh64=12（3m）υ2，解得物體落地速度為186gh24，選項C正確.

點評 對于涉及“鏈條”、有質(zhì)量的“繩子”“電線桿”之類重心變化而引起的功能關(guān)系問題，解題的突破口往往都需要判定重心升高或降低，通常要采用“割補法”以“移花接木”的輔助方案來尋找解題思路，可以把難以判定的實際問題轉(zhuǎn)化為簡單的熟悉問題，以便抓住它的本質(zhì)，找出其中的規(guī)律，迅速解決問題.

四、巧做輔助線，妙析氣體狀態(tài)變化

做輔助線是解決幾何問題中的一種很常見的重要方法，一旦通過觀察而做出了合適的輔助線，就能使原先不明朗的幾何關(guān)系變得清晰可見，問題的解決途徑也就會豁然開朗.有些物理問題中的物理量也不一定都可以直接進(jìn)行比較，這時若能轉(zhuǎn)換思考問題的角度，通過做輔助線來架設(shè)已知量與待求量之間的橋梁，也許就可以找到解決問題的創(chuàng)新途徑，使問題得以順利解決.

例4 （2021年云南民中月考題）一定質(zhì)量的理想氣體，從初始狀態(tài)A經(jīng)狀態(tài)B、C、D再回到狀態(tài)A，其體積V與溫度T的關(guān)系如圖5所示.下列有關(guān)說法正確的是（? ）.

A.在A狀態(tài)時的內(nèi)能小于B狀態(tài)時的內(nèi)能

B.從B狀態(tài)到C狀態(tài)，單位時間內(nèi)撞到器壁單位面積上的分子數(shù)增多

C.從C狀態(tài)到D狀態(tài)的過程中氣體從外界吸熱

D.從狀態(tài)D到狀態(tài)A的過程中外界對氣體做功

E.氣體在狀態(tài)D時的壓強小于狀態(tài)B時的壓強

圖5????????? 圖6答案：ABE

解析 理想氣體從A狀態(tài)到B狀態(tài)是等容過程，氣體溫度升高，理想氣體的內(nèi)能由溫度決定，A狀態(tài)時的內(nèi)能小于B狀態(tài)時的內(nèi)能，選項A正確;從B狀態(tài)到C狀態(tài)是等溫變化，分子的平均動能不變，體積減小，密度增大，根據(jù)玻意耳定理pBVB=pCVC可知氣體的壓強增大，所以單位時間內(nèi)撞到器壁單位面積上的分子數(shù)增多，選項B正確;從C狀態(tài)到D狀態(tài)的過程中氣體的溫度降低，內(nèi)能減小，體積減小，外界對氣體做了正功，根據(jù)熱力學(xué)第一定律：ΔU=W+Q可知，氣體放出熱量，選項C錯誤;從狀態(tài)D到狀態(tài)A是等壓變化過程，氣體的溫度升高，體積增大，氣體對外界做功，選項D錯誤;為了比較氣體在狀態(tài)D與狀態(tài)B的壓強，由于狀態(tài)D與狀態(tài)A壓強相等，只要比較狀態(tài)A與狀態(tài)B的壓強關(guān)系即可，由pATA=pBTB可知，TB>TA，所以pB>pA，于是pB>pD，選項E正確.還可以這樣比較：因為理想氣體的V-T圖像中，過坐標(biāo)原點的直線表示等壓變化，根據(jù)pVT=C得：V=Cp·T，由此可知，過坐標(biāo)原點的直線斜率越小，表示氣體的壓強越大，做輔助線連接OB，如圖6所示，顯然其斜率小于直線OD的斜率，于是pB>pD.

點評 對于一定質(zhì)量理想氣體的狀態(tài)變化類圖像問題，在V-T圖上做等壓線、在p-T圖上作等容線、在p-V圖上做等溫線都是很常見的輔助思路.實際上，解決物理圖象問題時都經(jīng)常會用到“化曲為直”“以直代曲”等方法，也是通過尋找“中間量”或“平均值”來實現(xiàn)間接比較，做輔助線是很有效的途徑.

五、巧做矢量三角形，妙解三力動態(tài)平衡題

對于“有一個力是恒力，另外兩個力方向都在變化”的三力平衡問題，通常都是先對物體進(jìn)行受力分析，如果能從空間幾何關(guān)系上去尋找到力的矢量三角形與空間的幾何三角形的相似關(guān)系，就可以根據(jù)“相似三角形對應(yīng)邊成比例”來進(jìn)行推理論證，得出結(jié)論.對于三個力的大小都發(fā)生變化，兩個力的方向發(fā)生變化的動態(tài)變化問題，任然可以通過做矢量三角形的輔助手段來解決問題.

圖7

例5 （2021年押題黑白卷）如圖7所示，用長度均為L的輕質(zhì)細(xì)繩將質(zhì)量均為m的小球A和B懸掛于O點，A、B間用原長為2L的彈簧相連，兩小球在同一豎直面內(nèi)均處于靜止?fàn)顟B(tài)，細(xì)線間的夾角θ為60°.若只改變小球B的質(zhì)量，使得A、B間距變?yōu)樵瓉淼囊话?，彈簧始終處于彈性限度內(nèi)，則小球B的質(zhì)量變?yōu)樵瓉淼模? ）.

A.3倍? B.4倍 ?C.5倍? D.6倍

答案：A

圖8

解析 設(shè)彈簧的勁度系數(shù)為k，根據(jù)幾何關(guān)系可知，開始時彈簧對小球B的彈力方向與輕繩對小球拉力的方向之間的夾角為120°，據(jù)此求出彈簧中彈力的大小為mg，此時彈簧形變量為L，根據(jù)胡克定律可得：kL=mg.當(dāng)A、B間距變?yōu)樵瓉淼囊话霑r，彈簧形變量為1.5L，可得彈簧中的彈力為k×1.5L=1.5mg，設(shè)此時小球B的質(zhì)量為m′，本題中的三個力的大小都發(fā)生變化，其中兩個力的方向也發(fā)生變化，兩細(xì)線之間的夾角并不是30°，小球B并不在原來的AB連線上，做出新的力矢量三角形如圖8所示，它與幾何三角形OAB相似，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例可知：1.5mgm′g=L2L，解得m′=3m，選項A正確.

點評 常見的“一個恒力，兩個方向變化的力”這類三力平衡問題，是根據(jù)題中的空間關(guān)系做出幾何三角形（需要通過觀察來做輔助線構(gòu)建幾何三角形）和力矢量三角形，尋找?guī)缀稳切闻c力三角形的相似性，由對應(yīng)邊成比例寫出等式進(jìn)行計算、推理.需要指出的是并非“有一個恒力，兩個方向變化的力”這類題型都能通過相似三角形法來處理，有的題目情景中并沒有這種相似關(guān)系，實際上這種方法只適用于幾何三角形有兩個邊的長度保持不變的情形.六、巧用“對稱關(guān)系”，妙尋解題思路

物理中的對稱現(xiàn)象比比皆是，對稱的作用、對稱的結(jié)構(gòu)、對稱的電路、對稱的物和像等等.對稱通常表現(xiàn)為研究對象在結(jié)構(gòu)上的對稱性、物理過程在時間上和空間上的對稱性、物理量在分布上的對稱性及作用效果的對稱性等.“對稱”作為一種重要的思想和方法，在高考命題中隨處可見，意在考查學(xué)生的直覺思維能力和猜想推理能力，有利于引導(dǎo)中學(xué)物理教學(xué)過程中注重培養(yǎng)學(xué)生的美學(xué)素養(yǎng)和學(xué)科素養(yǎng).

例6 （2021·河南）如圖9所示，四個電荷量均為q（q>0）的點電荷分別放置于菱形的四個頂點，其坐標(biāo)分別為（4l，0）、（-4l，0）、（0，y0）、（0，-y0），其中x軸上的兩個點電荷位置固定，y軸上的兩個點電荷可沿y軸對稱移動（y0≠0）.下列說法正確的是（? ）.

A.除無窮遠(yuǎn)處之外，菱形外部電場強度處處不為零

B.當(dāng)y0取某值時，可使得菱形內(nèi)部只存在兩個電場強度為零的點

C.當(dāng)y0=8l時，將一帶負(fù)電的試探電荷由點（4l，5l）移至點（0，-3l），靜電力做正功

D.當(dāng)y0=4l時，將一帶負(fù)電的試探電荷放置在（l，l）處，其所受到的靜電力方向與x軸正方向成45°傾斜向上

圖9?????????? 圖10答案：ACD

解析 將x軸上和y軸上的兩個點電荷作為

研究對象，顯然它們連線的中點電場強度，同時考慮兩者，菱形內(nèi)部只有O點的電場強度為零;菱形外部則可以將4個電荷向O點集中視為一個正電荷，顯然其周圍的電場線是“光芒四射”的形狀，電場強度除無窮遠(yuǎn)處之外處處不為零，選項A正確;根據(jù)對圖中電荷分布的對稱性分析可知，無論y0取值如何，菱形內(nèi)部只有O點電場強度為零，選項B錯誤;根據(jù)對稱性，可知點（0，-3l）與點（0，3l）關(guān)于x軸對稱，兩個點電勢相等，所以將一帶負(fù)電的試探電荷由點（4l，5l）移至點（0，-3l），從靜電力做功的視角來考察，完全可以視為移至點（0，3l），此時若只考慮位于（0，8l）及（4l，0）這兩個點電荷，從空間關(guān)系上看，其實點（4l，5l）與點（0，-3l）是關(guān)于兩個點電荷連線對稱的（見圖10），在這兩個點電荷組成的電場中，在這兩點間移動負(fù)電荷的過程靜電力做功為零，現(xiàn)在只需要考慮位于（-4l，0）和（0，-8l）這兩個點電荷的靜電力對負(fù)電荷的做功情況即可，顯然上述移動過程中，負(fù)電荷靠近兩個正電荷，靜電力做正功，選項C正確;當(dāng)y0=4l時，四個電荷關(guān)于O點對稱，將位于（-4l，0）、（0，y0）和位于（0，y0）（4l，0）分別視為一對等量同種電荷，顯然它們的合場強沿著與x軸正方向成45°傾斜的直線上，點（l，l）距離后面兩個電荷較近，這里的場強方向沿直線傾斜向下，帶負(fù)電的試探電荷放置在（l，l）處，其所受到的靜電力方向與x軸正方向成45°傾斜向上，選項D正確.

點評 本題自始至終圍繞著尋找對稱點來思考，回歸到“等量同種電荷”周圍的電場分布情況去，這是大家較為熟悉的情況，以便達(dá)到“以題攻題”的目的.將點（0，-3l）用（0，3l）來取代是一種能量觀念的指引，這樣再次發(fā)現(xiàn)點（4l，5l）移與點（0，-3l）是關(guān)于兩個點電荷連線對稱，最終使推理論證過程“步步為營”，得出可靠的結(jié)論;將位于（-4l，0）、（0，y0）和（0，y0）（4l，0）的點電荷分別視為一對等量正電荷，也是因為這樣看待問題容易與題給直線產(chǎn)生聯(lián)系，使問題變得易于解決.通過這樣的幾次“輔助”處理，避免了陷入復(fù)雜的數(shù)學(xué)計算陷阱，“難題”也就迎刃而解了.

基于輔助策略去尋找創(chuàng)造性解決物理問題的方法，實際上是在用物理思想來有效地指導(dǎo)解題，以實現(xiàn)用新穎、獨特、巧妙、簡捷的思維方法來提高解題效率的目的，需要通過對知識的掌握，方法的提煉，思想的領(lǐng)悟，才能增強學(xué)生對這種輔助手段的深刻理解與靈活運用，切實提高學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力.

基金項目：本文系2019年貴州教育科學(xué)規(guī)劃立項課題“核心素養(yǎng)視域下高中學(xué)生物理能力培養(yǎng)的實踐研究”（編號：2019B025）的階段性成果.

（收稿日期：2021-09-12）