關(guān)于解三角形最值問題的解法探析

畢亭亭

問題是數(shù)學(xué)的心臟，解題作為數(shù)學(xué)教育的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，在解題教學(xué)時(shí)，應(yīng)注重傳授學(xué)生解決問題的方法，用解題策略打開思維的大門，不要使學(xué)生沉溺在“題?！敝?，題千變?nèi)f化，是“量”的變化，但是問題的“質(zhì)”卻沒有變化，量變質(zhì)不變，教學(xué)應(yīng)緊緊抓住問題的“質(zhì)”，問起于題，疑源于思，要逐步培養(yǎng)學(xué)生敢于、勇于、善于提出問題的意識(shí)，從數(shù)學(xué)角度不斷探索、發(fā)現(xiàn)問題的“質(zhì)”.

在近年的高考題或模擬題中，經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)解三角形的最值問題，此類問題與其他知識(shí)聯(lián)系密切，學(xué)生在面對(duì)這類問題時(shí)不免會(huì)感到困惑，如果學(xué)生頭腦中儲(chǔ)存著一套科學(xué)的解題方法，領(lǐng)悟和掌握以數(shù)學(xué)知識(shí)為載體的數(shù)學(xué)思想方法，注意分析問題的內(nèi)在的結(jié)構(gòu)，具備解決一類問題的能力，那么學(xué)生就會(huì)在解題時(shí)感到輕松、愉悅，與片面強(qiáng)調(diào)“問題—算法”的傳統(tǒng)做法相比而言更強(qiáng)調(diào)思維的重要性.

一、利用均值不等式求最值

在求解三角形最值問題時(shí)，如果利用正弦定理、余弦定理進(jìn)行邊角互化之后出現(xiàn)包含形如“ab”、“a2+b2”或“λyx+μxy”的形式，則可選擇均值不等式求解，借助重要不等式a2+b2≥2ab或基本不等式λyx+μxy≥2λμ，可以求出ab積的最大值，a2+b2和的最小值，或λyx+μxy的最小值，注意應(yīng)用時(shí)需要考慮“一正，二定，三相等”的條件.

例1 （2014江蘇卷，理數(shù)）若△ABC的內(nèi)角滿足sinA+2sinB=2sinC，求cosC的最小值.

思路探求 這道題考察正弦定理、余弦定理的邊角互化及基本不等式求最值的簡(jiǎn)單應(yīng)用，將已知sinA+2sinB=2sinC利用正弦定理轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系a+2b=2c得到關(guān)于c的關(guān)系，將c代入到cosC=a2+b2-c22ab中，整理得到cosC=3a2+2b2-22ab8ab其中有a2+b2，ab的形式，利用基本不等式得到3a2+2b2≥26ab，由于ab≠0，約分得到cosC的最小值6-24.

解 根據(jù)正弦定理將已知轉(zhuǎn)化為a+2b=2c，又cosC=a2+b2-c22ab=a2+b2-14（a+2b）22ab=

3a2+2b2-22ab8ab≥26ab-22ab8ab=6-24，當(dāng)且僅當(dāng)3a=2b時(shí)取等號(hào)，所以cosC的最小值為6-24.

方法點(diǎn)睛 高考題中基本不等式常常與函數(shù)、數(shù)列、向量、解三角形、導(dǎo)數(shù)等知識(shí)建立聯(lián)系綜合考察，用于解決最值或范圍的問題，恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用可以使求解過程變得簡(jiǎn)潔，利用不等式求最值可以靈活地利用一些解題技巧，如湊項(xiàng)、湊系數(shù)、分離、換元、整體代換等.

二、利用函數(shù)求最值

數(shù)學(xué)中習(xí)慣“化繁為簡(jiǎn)”將復(fù)雜的問題變得簡(jiǎn)單，如果解題時(shí)出現(xiàn)多個(gè)變量通常先轉(zhuǎn)化為一個(gè)變量得到某種類型的函數(shù)，由函數(shù)的圖像或性質(zhì)得到最值.函數(shù)是高中的核心概念之一，教學(xué)中應(yīng)建立以函數(shù)為“核”的知識(shí)群，發(fā)揮函數(shù)的強(qiáng)大生長(zhǎng)力，建立以函數(shù)為“核”的輻射狀知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，會(huì)用函數(shù)的思想分析問題、解決問題.

例2 （2016年江蘇卷）在銳角△ABC中，若sinA=2sinBsinC，求tanAtanBtanC的最小值.

思路探求 嘗試從結(jié)論入手建立條件中關(guān)于正切的關(guān)系，把sinA=2sinBsinC變?yōu)檎芯鸵杂嘞遥萌切蝺?nèi)角和定理A+B+C=π得sinA=sin（B+C）=2sinBsinC，同除以cosBcosC，得

到1tanB+1tanC=2，整理得tanB+tanC=2tanBtanC，由于結(jié)論中有三個(gè)未知量，為了減少未知量可以把tanA用tanBtanC來表示，得到函數(shù)解析，再利用配方法求出最值.

解 tanAtanBtanC=-tanB+tanC1-tanBtanC·tanBtanC=-2（tanBtanC）21-tanBtanC，令tanBtanC=x，已知三角形為銳角三角形有tanAtanBtanC>0，則1-tanBtanC<0，即x>1，得到tanAtanBtanC=2x2x-1=21x-1x2=2-（1x-12）2+14≥8，當(dāng)且僅當(dāng)1x=12，x=2，即tanA=4，tanB=2+2，tanC=2-2或tanB=2-2，tanC=2+2時(shí)等號(hào)成立.

方法點(diǎn)睛 通過減少未知量找到了函數(shù)關(guān)系，構(gòu)建了函數(shù)模型，對(duì)于函數(shù)可以利用基本不等式、配方法、導(dǎo)數(shù)法求出函數(shù)的最值，同時(shí)要考慮定義域，值得思考的是，上述函數(shù)方法的關(guān)鍵在于“換元”，這啟示利用函數(shù)求最值問題時(shí)要靈活“換元”，將解析式轉(zhuǎn)變?yōu)樗煜さ姆较騺砬蠼?

三、利用解析法求最值

對(duì)于有些求最值的問題，可以利用函數(shù)的方法，入手簡(jiǎn)單但有時(shí)計(jì)算量卻較大，對(duì)學(xué)生的計(jì)算能力提出不小的挑戰(zhàn).如果三角形有一邊為定值，而另外兩邊存在某種數(shù)量關(guān)系，這種數(shù)量關(guān)系可以是比例、數(shù)量積或邊的平方和或差等等，都可以由解析法來探求動(dòng)點(diǎn)的軌跡，由幾何圖形的性質(zhì)求得三角形面積的最大值.解析法具體來說是“兩化”，圖形問題代數(shù)化，從而轉(zhuǎn)化到代數(shù)形式，通過代數(shù)計(jì)算，得到代數(shù)結(jié)果，然后代數(shù)結(jié)果幾何化，得到幾何結(jié)論，幫助問題解決.

例3 （2008年江蘇）在△ABC中，AB=2，AC=2BC，求△ABC面積的最大值.

思路探求 這一問題通常利用余弦定理來處理?xiàng)l件中的數(shù)量關(guān)系，將三角形面積表示為某一邊為自變量的函數(shù)，再利用配方法求最值.

解法1 設(shè)BC=x，則AC=2x，由余弦定理得

cosA=2x2+4-x242x=x2+442x，

所以sinA=1-（x2+442x）2=-x4+24x2-1632x2，

所以S=12·22x·-x4+24x2-1632x2=14·-（x2-12）2+128，當(dāng)x2=12即x=23時(shí)，面積取得最大值為22.

可見上述的計(jì)算量較大，若換個(gè)角度考慮AB是定值，那么面積的最大值就轉(zhuǎn)化為邊AB上的高h(yuǎn)的最大值，可以嘗試判斷滿足條件AC=2BC的動(dòng)點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)軌跡，建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)等式關(guān)系得到圓的方程，由圓的幾何特征找到高的最大值，求得面積的最大值.

解法2 建立以AB所在直線為x軸，AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)的平面直角坐標(biāo)系，由AB=2，得到A（-1，0），B（1，0），設(shè)C（x，y），由AC=2BC得（x+1）2+y2=2·（x-1）2+y2，x≠0，化簡(jiǎn)得：（x-3）2+y2=8，（x≠0），所以點(diǎn)C在圓（x-3）2+y2=8上運(yùn)動(dòng)（不含與x軸的兩交點(diǎn)），由圖1可知AB邊上高的最大值即為圓的半徑22，故三角形△ABC面積的最大值S=12·AB·h≤12·2·22=22.

圖1

方法點(diǎn)睛 若將所列問題進(jìn)行一般化，如果平面上給定兩定點(diǎn)A，B，動(dòng)點(diǎn)P滿足PA=λPB（λ>0且λ≠1），則P點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓心在直線AB上的圓，該圓稱為阿波羅尼斯圓.阿波羅尼斯圓來源于高中課本（求曲線方程），而例3以三角形為包裝，實(shí)際上考察的卻是阿波羅尼斯圓的知識(shí)，這說明教材是教學(xué)的有效資源，在新課程改革之際教師應(yīng)勿忘“根本”，守住“初心”，更好地開發(fā)、利用教材，用新課改理念對(duì)已有教材進(jìn)行整合，符合學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展，才能更好地促進(jìn)學(xué)生能力的不斷提升.

四、利用向量求最值

面對(duì)一些求邊長(zhǎng)的最值問題，可以嘗試從向量的角度進(jìn)行運(yùn)算，因?yàn)槿切芜叺拈L(zhǎng)度實(shí)際上是向量的模長(zhǎng)，在正弦定理、余弦定理證明時(shí)就使用過向量法將幾何問題代數(shù)化，并且平面向量的數(shù)量積將模長(zhǎng)和角聯(lián)系起來，在解三角形問題時(shí)，經(jīng)常會(huì)用數(shù)量積進(jìn)行邊角之間的相互表示.

例4 在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，D 為AC邊的中點(diǎn)，且B=60°，a+c=4，求線段BD長(zhǎng)的最小值.

思路探求 如圖2所示，因?yàn)镈為AC邊的中點(diǎn)，則

圖2

A，C，D三點(diǎn)共線，由于邊a，c已知，根據(jù)平行四邊形法則，可以把BA，BC作為基底表示出BD=12（BA+BC），想要得到向量的模長(zhǎng)，則需將等式兩邊平方轉(zhuǎn)化為向量的模和數(shù)量積的運(yùn)算，利用均值不等式求出BD的最小值.

解 因?yàn)镈為AC邊的中點(diǎn)，所以BD=12（BA+BC），從而BD2=14（BA+BC）2=14（BA2+2BA·BC+BC2）=14（c2+2accosB+a2）=14[（a+c）2-ac]=4-14ac≥4-14（a+c2）2=3.

當(dāng)且僅當(dāng)a=c=2時(shí)取等號(hào)，所以線段BD長(zhǎng)的最小值為3.

方法點(diǎn)睛 向量作為溝通代數(shù)與幾何的工具，提高了解題效率，但學(xué)生很少?gòu)睦孟蛄康慕嵌确治鰡栴}、解決問題，這就說明有一部分學(xué)生沒有明確學(xué)習(xí)向量的目的，認(rèn)為原來的知識(shí)已經(jīng)足夠了，又或者新舊知識(shí)之間沒有很好的進(jìn)行融合，這些都啟示著我們?cè)诮虒W(xué)中應(yīng)該將所學(xué)知識(shí)進(jìn)行縱橫聯(lián)系，發(fā)揮向量在解決問題時(shí)的工具價(jià)值，體現(xiàn)向量解題的簡(jiǎn)潔美.

達(dá)爾文說“世界上最有價(jià)值的知識(shí)就是關(guān)于方法的知識(shí).避開問題的最佳途徑，偏是運(yùn)用方法將它解決”.思想方法的正確運(yùn)用才能有效解決問題，可見思想方法的重要，對(duì)學(xué)生來說思想方法的滲透要“潤(rùn)物細(xì)無(wú)聲”，體現(xiàn)在數(shù)學(xué)教育的各個(gè)方面，教師應(yīng)以“思維”為中心，以“觀察”為主線，以“問題”為載體，以“能力”為目標(biāo)，在教學(xué)中結(jié)合高考題或典型例題，暴露解決問題的思維過程，引發(fā)學(xué)生思考，合理創(chuàng)設(shè)情境，引領(lǐng)學(xué)生探究，觀察對(duì)象特征，把握問題的本質(zhì)，讓學(xué)生自己感受、體驗(yàn)、思考、反思和總結(jié)，把頭腦中的知識(shí)化作鑰匙去開啟未來知識(shí)寶庫(kù)的大門，《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》指出：“教育不僅要重視結(jié)果，還要重視過程，不僅要重視學(xué)會(huì)，還要重視會(huì)學(xué)”，這些都有賴于學(xué)生數(shù)學(xué)思想方法、思維能力的提升，從而核心素養(yǎng)才能得到培養(yǎng)和達(dá)成.

（收稿日期：2021-09-12）