基于灰色馬爾科夫模型的天津市供水總量預(yù)測(cè)

丁 祥， 王 彤

(1.長(zhǎng)安大學(xué)基建處， 陜西 西安 710064; 2.長(zhǎng)安大學(xué) 建筑工程學(xué)院， 陜西 西安 710061)

隨著城市化的發(fā)展，水資源短缺的問(wèn)題愈演愈烈，水資源的優(yōu)化配置問(wèn)題亟待解決，科學(xué)的預(yù)測(cè)供水量顯得尤為重要。水量預(yù)測(cè)方法主要有人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法、灰色模型法、組合預(yù)測(cè)法等[1-6]。

灰色模型(Grey Model)是由鄧聚龍[7-10]于1982年首次提出，當(dāng)灰色模型GM(m,n)中只含有一個(gè)變量(m=1)且為一階方程(n=1)時(shí)，灰色模型就被稱為GM(1,1)模型。因?yàn)槠渚哂薪＿^(guò)程簡(jiǎn)單、模型表達(dá)式簡(jiǎn)潔、便于求解等特點(diǎn)，已成功應(yīng)用于農(nóng)業(yè)、氣象、環(huán)境和人口等領(lǐng)域[11]。由于模型自身具有缺陷，近年來(lái)很多學(xué)者對(duì)其進(jìn)行了優(yōu)化，優(yōu)化方法大致可分為初始值優(yōu)化、背景值構(gòu)造函數(shù)優(yōu)化等[12-13]。但是優(yōu)化后的模型仍然不能很好地預(yù)測(cè)波動(dòng)大、增長(zhǎng)規(guī)律性不強(qiáng)或不規(guī)則變化的序列。有研究表明馬爾科夫鏈中的轉(zhuǎn)移概率矩陣能夠很好地反應(yīng)序列的波動(dòng)性，有效彌補(bǔ)GM(1,1)模型的缺陷，故本研究聯(lián)合兩種數(shù)學(xué)方法構(gòu)建灰色馬爾科夫預(yù)測(cè)模型。

以天津市年供水總量預(yù)測(cè)為例，建立灰色馬爾可夫預(yù)測(cè)模型，運(yùn)用Matlab進(jìn)行編程和求解。既突出GM(1,1)模型對(duì)時(shí)間序列模型需要數(shù)據(jù)少、預(yù)測(cè)結(jié)果精度高的優(yōu)勢(shì)，又結(jié)合馬爾科夫鏈對(duì)波動(dòng)性較大的數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)精確的優(yōu)點(diǎn)。

1 GM(1，1)模型與精度檢驗(yàn)

設(shè)歷史用水量序列為：

X(0)={X(0)(1)，X(0)(2)，…，X(0)(n)}

(1)

累加原始序列X(0)可得序列X(1)：

X(1)={X(1)(1)，X(1)(2)，…，X(1)(n)}

(2)

所以GM(1,1)模型的一階微分方程可以寫(xiě)成：

(3)

式中a為系統(tǒng)的發(fā)展系數(shù)；u為系統(tǒng)的灰作用量。

按導(dǎo)數(shù)定義有：

(4)

將式(4)寫(xiě)成離散的形式：

=X(1)(k+1)-X(1)(k)=X(0)(k+1)

(5)

對(duì)微分方程式(3)中X取k和k+1時(shí)刻的平均值，即：

(6)

則微分方程可變?yōu)椋?/p>

X(0)(k+1)+a·Z(1)(k)=u

(7)

寫(xiě)成矩陣形式有：

(8)

令

(9)

則式(8)可表示為矩陣式：

Yn=BA

(10)

由式(10)可知，Yn和B是已知的，A為未知數(shù)。A中又有未知參數(shù)a和u，所以共有2個(gè)未知數(shù)，有n-1個(gè)方程。而n-1>2，故該方程組無(wú)解。通過(guò)最小二乘法可求得其近似解。將式(10)可變?yōu)椋?/p>

Yn=B+E

(11)

式中E為誤差項(xiàng)；為最小二乘估計(jì)值。

欲使：

min‖Yn-B‖2=min(Yn-B)T(Yn-B)

(12)

求得式(11)的最小二乘解為：

(13)

將上述解帶入式(10)，可得:

(14)

寫(xiě)成離散形式為：

(15)

對(duì)生成的序列進(jìn)行累減還原后得到：

(16)

X(0)(1)=X(1)(1)

(17)

式(16)和式(17)為GM(1,1)模型預(yù)測(cè)用水量的基本方程。

2 灰色馬爾科夫預(yù)測(cè)模型

馬爾可夫預(yù)測(cè)模型與灰色系統(tǒng)模型不同，它彌補(bǔ)了灰色預(yù)測(cè)模型的不足，可以對(duì)波動(dòng)序列進(jìn)行預(yù)測(cè)。將GM(1,1)模型與馬爾可夫鏈理論相結(jié)合，建立灰色馬爾科夫預(yù)測(cè)模型，模型建立步驟如下。

① 計(jì)算波動(dòng)指數(shù)序列

(18)

② 劃分狀態(tài)

將波動(dòng)指數(shù)序列劃分為s個(gè)狀態(tài)：

v(k)∈[ai,bi](i=1,2,…,s)

(19)

式中ai、bi分別表示第i個(gè)狀態(tài)Ei的上限和下限，所以E=(E1，E2，…，Es)。

③ 初始概率矩陣

④ 狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣

(20)

式中eij為從狀態(tài)Ei經(jīng)過(guò)一步轉(zhuǎn)移為狀態(tài)Ej的個(gè)數(shù)。

⑤ 狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣

根據(jù)最大概率準(zhǔn)則，預(yù)測(cè)結(jié)果所處狀態(tài)應(yīng)該是pi1,pi2,…,pin中最大者對(duì)應(yīng)的狀態(tài)，即當(dāng)max{pij,pi2,…,pin}=pik時(shí)，就可以預(yù)測(cè)系統(tǒng)下一時(shí)刻將轉(zhuǎn)向狀態(tài)Ek，則Ek的中點(diǎn)或者均值表示預(yù)測(cè)數(shù)值。

若pik>pim(m=1,2,…,n；m≠k)且差值比較大時(shí)，則說(shuō)明預(yù)測(cè)精度較高；若pik≈pim(m=1,2,…,n；m≠k)，則說(shuō)明預(yù)測(cè)精度一般。

⑥ 計(jì)算預(yù)測(cè)序列

(21)

3 實(shí)例分析

3.1 研究區(qū)域選取

選擇天津市作為研究區(qū)域，使用2001—2017年全市供水總量數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)2018年全市供水總量，預(yù)測(cè)供水?dāng)?shù)據(jù)來(lái)源于《天津統(tǒng)計(jì)年鑒2019》。原始供水總量數(shù)據(jù)如表1所示。

表1 天津市2001—2018年供水總量Tab.1 Total water supply quantity of Tianjin from 2001 to 2018

3.2 GM(1,1)供水量預(yù)測(cè)模型

建立原始供水總量序列為X(0)={188 141，199 610，205 118，…，274 905}，原始供水總量1-AGO序列X(1)={188 141，387 751，592 869，…，3 873 357}。

使用Matlab軟件編程，采用最小二乘法，計(jì)算微分方程中X(0)(k+1)+aZ(1)(k)=u中的參數(shù)a=-0.018 56，u=1.950 59×105，帶入得到微分方程表達(dá)式：X(1)(k+1)=188 141.001 051e0.018 56k-0.001 051。

求得2001—2017年供水總量的擬合值和相應(yīng)的波動(dòng)系數(shù)，如表2所示。

表2 GM(1,1)模型擬合結(jié)果和狀態(tài)分布Tab.2 Fitting results and state distribution of the GM(1,1) model

續(xù)表2 (Continue)

由式(16)可求得2017年供水總量擬合值為255 549×104m3。按照新陳代謝進(jìn)化機(jī)制，去掉2001年供水總量數(shù)據(jù)，添加2017年供水總量數(shù)據(jù)，計(jì)算得到2018年供水總量擬合值為258 579×104m3。

3.3 灰色馬爾可夫供水量預(yù)測(cè)模型

首先計(jì)算波動(dòng)系數(shù)，結(jié)果見(jiàn)表2。波動(dòng)系數(shù)最小值為0.9346，最大值為1.0629。采用等間距的狀態(tài)劃分方式，將波動(dòng)系數(shù)劃分為3個(gè)區(qū)間段。

E1：[0.882 5，0.942 6]

E2：[0.942 6，1.002 7]

E3：[1.002 7，1.062 9]

根據(jù)各年份供水量預(yù)測(cè)序列的波動(dòng)系數(shù)進(jìn)行狀態(tài)劃分，結(jié)果見(jiàn)表2。

得到初始概率：E1=2；E2=6；E3=8。

然后計(jì)算狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣：M11=0；M12=2；M13=0；M21=1；M22=2；M23=3；M31=1；M32=1；M33=5。

因此，狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣為：

預(yù)測(cè)2017年供水總量波動(dòng)系數(shù)：2016年供水總量波動(dòng)系數(shù)位于狀態(tài)3，由max{p31，p32，p33}=5/7=p33可知2017年供水總量彈性系數(shù)位于狀態(tài)3，數(shù)值等于狀態(tài)3均值，即1.032 8。

預(yù)測(cè)2017年供水總量R2017=263 931×104m3，2018年供水總量R2018= 267 060×104m3。

3.4 模型精度檢驗(yàn)與分析

3.4.1 GM(1,1)模型擬合性能

為了便于分析GM(1,1)模型擬合的精確性，繪制表2中的2001—2017年實(shí)際供水總量、擬合值和相對(duì)誤差，如圖1所示。

圖1 GM(1,1)模型的擬合結(jié)果Fig.1 Fitting results of the GM(1,1) model

由圖1可知，2001—2006年實(shí)際供水總量整體呈現(xiàn)上升趨勢(shì)，但是在2007—2013年區(qū)間供水總量變化出現(xiàn)一定程度的波動(dòng)。GM(1,1)模型擬合的供水總量變化曲線基本為一條上升直線，大致可認(rèn)為是以固定速度逐年遞增。在2001—2007年和2013—2016年兩個(gè)實(shí)際供水總量遞增區(qū)間，GM(1,1)模型擬合結(jié)果相對(duì)誤差在±5%以內(nèi)，擬合精度較高；在2007-2013年區(qū)間實(shí)際供水總量出現(xiàn)波動(dòng)，擬合供水總量遞增，GM(1,1)模型擬合結(jié)果相對(duì)誤差大于±5%，其中2012年的相對(duì)誤差更是高達(dá)13.31%。

以上結(jié)果表明，GM(1,1)模型對(duì)于均勻遞增且無(wú)波動(dòng)的序列擬合精度較高，對(duì)于波動(dòng)較大序列擬合精度較低，不能滿足使用需求，需要采取措施加以優(yōu)化。

3.4.2 灰色馬爾科夫模型預(yù)測(cè)結(jié)果分析

為更好地比較GM(1,1)模型和灰色馬爾科夫模型，評(píng)價(jià)其預(yù)測(cè)精度，分別計(jì)算兩個(gè)模型對(duì)2017年和2018年的供水總量預(yù)測(cè)的絕對(duì)誤差、相對(duì)誤差，結(jié)果如表3所示。

GM(1,1)模型的預(yù)測(cè)精度較低，相對(duì)誤差絕對(duì)值大于7%。經(jīng)過(guò)灰色馬爾科夫鏈優(yōu)化后的GM(1,1)模型預(yù)測(cè)精度得到大幅度提升，將相對(duì)誤差絕對(duì)值控制在5%以內(nèi)。GM(1,1)模型的預(yù)測(cè)值大幅度低于實(shí)際值，灰色馬爾科夫模型在一定程度上起到了糾偏的作用，使得預(yù)測(cè)值偏離程度降低，但是預(yù)測(cè)值仍然低于實(shí)際值。

表3 GM(1,1)模型和灰色馬爾科夫模型預(yù)測(cè)結(jié)果對(duì)比Tab.3 Comparison of the GM(1,1) and Grey Markov Model

4 結(jié)語(yǔ)

當(dāng)采用GM(1,1)模型擬合波動(dòng)比較大的數(shù)據(jù)時(shí)，誤差會(huì)比較大，精度不夠高。通過(guò)基于GM(1，1)的灰色馬爾科夫模型的建立，原始序列波動(dòng)可以在一定程度上由馬爾科夫鏈通過(guò)轉(zhuǎn)移概率來(lái)克服。以天津市2001—2018年供水總量為研究對(duì)象，擬合2001—2016年供水總量曲線、預(yù)測(cè)2017年及2018年供水總量，對(duì)比分析表明經(jīng)馬爾科夫鏈優(yōu)化后的GM(1,1)模型預(yù)測(cè)精度滿足要求，可應(yīng)用于年供水量、用水量預(yù)測(cè)，為區(qū)域水資源配置優(yōu)化提供參考。