基于灰色馬爾科夫模型的天津市供水總量預測

丁 祥， 王 彤

(1.長安大學基建處， 陜西 西安 710064; 2.長安大學 建筑工程學院， 陜西 西安 710061)

隨著城市化的發(fā)展，水資源短缺的問題愈演愈烈，水資源的優(yōu)化配置問題亟待解決，科學的預測供水量顯得尤為重要。水量預測方法主要有人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法、灰色模型法、組合預測法等[1-6]。

灰色模型(Grey Model)是由鄧聚龍[7-10]于1982年首次提出，當灰色模型GM(m,n)中只含有一個變量(m=1)且為一階方程(n=1)時，灰色模型就被稱為GM(1,1)模型。因為其具有建模過程簡單、模型表達式簡潔、便于求解等特點，已成功應(yīng)用于農(nóng)業(yè)、氣象、環(huán)境和人口等領(lǐng)域[11]。由于模型自身具有缺陷，近年來很多學者對其進行了優(yōu)化，優(yōu)化方法大致可分為初始值優(yōu)化、背景值構(gòu)造函數(shù)優(yōu)化等[12-13]。但是優(yōu)化后的模型仍然不能很好地預測波動大、增長規(guī)律性不強或不規(guī)則變化的序列。有研究表明馬爾科夫鏈中的轉(zhuǎn)移概率矩陣能夠很好地反應(yīng)序列的波動性，有效彌補GM(1,1)模型的缺陷，故本研究聯(lián)合兩種數(shù)學方法構(gòu)建灰色馬爾科夫預測模型。

以天津市年供水總量預測為例，建立灰色馬爾可夫預測模型，運用Matlab進行編程和求解。既突出GM(1,1)模型對時間序列模型需要數(shù)據(jù)少、預測結(jié)果精度高的優(yōu)勢，又結(jié)合馬爾科夫鏈對波動性較大的數(shù)據(jù)預測精確的優(yōu)點。

1 GM(1，1)模型與精度檢驗

設(shè)歷史用水量序列為：

X(0)={X(0)(1)，X(0)(2)，…，X(0)(n)}

(1)

累加原始序列X(0)可得序列X(1)：

X(1)={X(1)(1)，X(1)(2)，…，X(1)(n)}

(2)

所以GM(1,1)模型的一階微分方程可以寫成：

(3)

式中a為系統(tǒng)的發(fā)展系數(shù)；u為系統(tǒng)的灰作用量。

按導數(shù)定義有：

(4)

將式(4)寫成離散的形式：

=X(1)(k+1)-X(1)(k)=X(0)(k+1)

(5)

對微分方程式(3)中X取k和k+1時刻的平均值，即：

(6)

則微分方程可變?yōu)椋?/p>

X(0)(k+1)+a·Z(1)(k)=u

(7)

寫成矩陣形式有：

(8)

令

(9)

則式(8)可表示為矩陣式：

Yn=BA

(10)

由式(10)可知，Yn和B是已知的，A為未知數(shù)。A中又有未知參數(shù)a和u，所以共有2個未知數(shù)，有n-1個方程。而n-1>2，故該方程組無解。通過最小二乘法可求得其近似解。將式(10)可變?yōu)椋?/p>

Yn=B+E

(11)

式中E為誤差項；為最小二乘估計值。

欲使：

min‖Yn-B‖2=min(Yn-B)T(Yn-B)

(12)

求得式(11)的最小二乘解為：

(13)

將上述解帶入式(10)，可得:

(14)

寫成離散形式為：

(15)

對生成的序列進行累減還原后得到：

(16)

X(0)(1)=X(1)(1)

(17)

式(16)和式(17)為GM(1,1)模型預測用水量的基本方程。

2 灰色馬爾科夫預測模型

馬爾可夫預測模型與灰色系統(tǒng)模型不同，它彌補了灰色預測模型的不足，可以對波動序列進行預測。將GM(1,1)模型與馬爾可夫鏈理論相結(jié)合，建立灰色馬爾科夫預測模型，模型建立步驟如下。

① 計算波動指數(shù)序列

(18)

② 劃分狀態(tài)

將波動指數(shù)序列劃分為s個狀態(tài)：

v(k)∈[ai,bi](i=1,2,…,s)

(19)

式中ai、bi分別表示第i個狀態(tài)Ei的上限和下限，所以E=(E1，E2，…，Es)。

③ 初始概率矩陣

④ 狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣

(20)

式中eij為從狀態(tài)Ei經(jīng)過一步轉(zhuǎn)移為狀態(tài)Ej的個數(shù)。

⑤ 狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣

根據(jù)最大概率準則，預測結(jié)果所處狀態(tài)應(yīng)該是pi1,pi2,…,pin中最大者對應(yīng)的狀態(tài)，即當max{pij,pi2,…,pin}=pik時，就可以預測系統(tǒng)下一時刻將轉(zhuǎn)向狀態(tài)Ek，則Ek的中點或者均值表示預測數(shù)值。

若pik>pim(m=1,2,…,n；m≠k)且差值比較大時，則說明預測精度較高；若pik≈pim(m=1,2,…,n；m≠k)，則說明預測精度一般。

⑥ 計算預測序列

(21)

3 實例分析

3.1 研究區(qū)域選取

選擇天津市作為研究區(qū)域，使用2001—2017年全市供水總量數(shù)據(jù)預測2018年全市供水總量，預測供水數(shù)據(jù)來源于《天津統(tǒng)計年鑒2019》。原始供水總量數(shù)據(jù)如表1所示。

表1 天津市2001—2018年供水總量Tab.1 Total water supply quantity of Tianjin from 2001 to 2018

3.2 GM(1,1)供水量預測模型

建立原始供水總量序列為X(0)={188 141，199 610，205 118，…，274 905}，原始供水總量1-AGO序列X(1)={188 141，387 751，592 869，…，3 873 357}。

使用Matlab軟件編程，采用最小二乘法，計算微分方程中X(0)(k+1)+aZ(1)(k)=u中的參數(shù)a=-0.018 56，u=1.950 59×105，帶入得到微分方程表達式：X(1)(k+1)=188 141.001 051e0.018 56k-0.001 051。

求得2001—2017年供水總量的擬合值和相應(yīng)的波動系數(shù)，如表2所示。

表2 GM(1,1)模型擬合結(jié)果和狀態(tài)分布Tab.2 Fitting results and state distribution of the GM(1,1) model

續(xù)表2 (Continue)

由式(16)可求得2017年供水總量擬合值為255 549×104m3。按照新陳代謝進化機制，去掉2001年供水總量數(shù)據(jù)，添加2017年供水總量數(shù)據(jù)，計算得到2018年供水總量擬合值為258 579×104m3。

3.3 灰色馬爾可夫供水量預測模型

首先計算波動系數(shù)，結(jié)果見表2。波動系數(shù)最小值為0.9346，最大值為1.0629。采用等間距的狀態(tài)劃分方式，將波動系數(shù)劃分為3個區(qū)間段。

E1：[0.882 5，0.942 6]

E2：[0.942 6，1.002 7]

E3：[1.002 7，1.062 9]

根據(jù)各年份供水量預測序列的波動系數(shù)進行狀態(tài)劃分，結(jié)果見表2。

得到初始概率：E1=2；E2=6；E3=8。

然后計算狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣：M11=0；M12=2；M13=0；M21=1；M22=2；M23=3；M31=1；M32=1；M33=5。

因此，狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣為：

預測2017年供水總量波動系數(shù)：2016年供水總量波動系數(shù)位于狀態(tài)3，由max{p31，p32，p33}=5/7=p33可知2017年供水總量彈性系數(shù)位于狀態(tài)3，數(shù)值等于狀態(tài)3均值，即1.032 8。

預測2017年供水總量R2017=263 931×104m3，2018年供水總量R2018= 267 060×104m3。

3.4 模型精度檢驗與分析

3.4.1 GM(1,1)模型擬合性能

為了便于分析GM(1,1)模型擬合的精確性，繪制表2中的2001—2017年實際供水總量、擬合值和相對誤差，如圖1所示。

圖1 GM(1,1)模型的擬合結(jié)果Fig.1 Fitting results of the GM(1,1) model

由圖1可知，2001—2006年實際供水總量整體呈現(xiàn)上升趨勢，但是在2007—2013年區(qū)間供水總量變化出現(xiàn)一定程度的波動。GM(1,1)模型擬合的供水總量變化曲線基本為一條上升直線，大致可認為是以固定速度逐年遞增。在2001—2007年和2013—2016年兩個實際供水總量遞增區(qū)間，GM(1,1)模型擬合結(jié)果相對誤差在±5%以內(nèi)，擬合精度較高；在2007-2013年區(qū)間實際供水總量出現(xiàn)波動，擬合供水總量遞增，GM(1,1)模型擬合結(jié)果相對誤差大于±5%，其中2012年的相對誤差更是高達13.31%。

以上結(jié)果表明，GM(1,1)模型對于均勻遞增且無波動的序列擬合精度較高，對于波動較大序列擬合精度較低，不能滿足使用需求，需要采取措施加以優(yōu)化。

3.4.2 灰色馬爾科夫模型預測結(jié)果分析

為更好地比較GM(1,1)模型和灰色馬爾科夫模型，評價其預測精度，分別計算兩個模型對2017年和2018年的供水總量預測的絕對誤差、相對誤差，結(jié)果如表3所示。

GM(1,1)模型的預測精度較低，相對誤差絕對值大于7%。經(jīng)過灰色馬爾科夫鏈優(yōu)化后的GM(1,1)模型預測精度得到大幅度提升，將相對誤差絕對值控制在5%以內(nèi)。GM(1,1)模型的預測值大幅度低于實際值，灰色馬爾科夫模型在一定程度上起到了糾偏的作用，使得預測值偏離程度降低，但是預測值仍然低于實際值。

表3 GM(1,1)模型和灰色馬爾科夫模型預測結(jié)果對比Tab.3 Comparison of the GM(1,1) and Grey Markov Model

4 結(jié)語

當采用GM(1,1)模型擬合波動比較大的數(shù)據(jù)時，誤差會比較大，精度不夠高。通過基于GM(1，1)的灰色馬爾科夫模型的建立，原始序列波動可以在一定程度上由馬爾科夫鏈通過轉(zhuǎn)移概率來克服。以天津市2001—2018年供水總量為研究對象，擬合2001—2016年供水總量曲線、預測2017年及2018年供水總量，對比分析表明經(jīng)馬爾科夫鏈優(yōu)化后的GM(1,1)模型預測精度滿足要求，可應(yīng)用于年供水量、用水量預測，為區(qū)域水資源配置優(yōu)化提供參考。